funciones trigonometricas de angulos compuestos y dobles

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TRIGONOMETR TRIGONOMETR ÍA ÍA Karen De’ Osambela Karen De’ Osambela Adrian Fonseca Adrian Fonseca PROF. Julio PROF. Julio Valenzuela Valenzuela

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

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Page 1: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

TRIGONOMETRTRIGONOMETRÍAÍA

Karen De’ OsambelaKaren De’ Osambela Adrian FonsecaAdrian Fonseca

PROF. Julio ValenzuelaPROF. Julio Valenzuela

Page 2: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOMTRIGONOMÉTRICAS ÉTRICAS

DE ÁNGULOS COMPUESTOSDE ÁNGULOS COMPUESTOS

Karen De’ OsambelaKaren De’ Osambela

Page 3: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

Las identidades Trigonométricas de Las identidades Trigonométricas de ángulos compuestos son aquellos ángulos compuestos son aquellos

que se forman de la suma o resta de que se forman de la suma o resta de dos ángulos. dos ángulos.

Page 4: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

Sen (Sen (αα±±ββ))

Sen (α+β) = Sen α · · Cos β + Sen β · · Cos α

Sen (α – β) = Sen α ·· Cos β - Sen β ·· Cos α

Page 5: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

EjemploEjemplo

Calcular Sen 69° Calcular Sen 69°

Sen 69° = Sen (16° + 53°) = Sen 16° Cos 53° + Sen 53° Cos 16°

= (7/25) (3/5) + (4/5) (24/25)

= (21/125) + (96/ 125)

= 117 125

Page 6: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

Cos (Cos (αα±±ββ))

Cos (α+β) = Cos α · · Cos β - Sen β ·· Sen α

Cos (α – β) = Cos α · · Cos β + Sen β · · Sen α

Page 7: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

EjemploEjemplo

Calcular Cos 75° Calcular Cos 75°

Cos 75° = Cos (45° +30°) = Cos45° Cos30° - Sen45° Sen30°

= ( 2 /2) ( 3 /2) – ( 2 /2) (1/2)

= ( 6 /4) - (2/4)

= 6 - 2

4

Page 8: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

Tg (Tg (αα±±ββ))

Tg (α+β) = Tg α + Tg β

1 - Tgβ · · Tg α

Tg (α – β) = Tg α - Tg β

1 + Tgβ · · Tg α

Page 9: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

EjemploEjemplo

Calcular Tg 111° Calcular Tg 111°

Tg 111° = Tg (74°+37°) = Tg 74 – Tg37

1 – Tg74 Tg37 = (24/6)- (3/4)

1– (24/6) (3/4)

= - 39 24

Tg 111° está ubicado en el Segundo Cuadrante ( II C)

Page 10: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOMTRIGONOMÉTRICAS DEL ÉTRICAS DEL

ÁNGULO DOBLEÁNGULO DOBLE

Adrian FonsecaAdrian Fonseca

Page 11: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

FórmulasFórmulas

Sen 2Sen 2α α = 2·Sen α·Cos α= 2·Sen α·Cos α

Cos2Cos2αα - Sen2 - Sen2αα

Cos 2Cos 2α α = 1 - 2·Sen2= 1 - 2·Sen2αα

2·Cos22·Cos2αα - 1 - 1

Page 12: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

Tg 2Tg 2α α = = 2·Tg 2·Tg αα

1-Tg21-Tg2αα

Ctg 2Ctg 2α α = = Ctg2Ctg2αα-1-1

2·Ctg2·Ctgαα

Page 13: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

ObservaciónObservación

1+Tg2α

1-Tg2α

2·Tg α

• Sen 2α= 2·Tg α 1-Tg2 α

• Cos 2α= 1-Tg2α – 1 2·Ctg α

Page 14: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

EjemplosEjemplos

1. 1. Sabiendo que: Sen Sabiendo que: Sen αα= 12/13, calcular: “Sen 2α”= 12/13, calcular: “Sen 2α”

Resolución:

- A partir del dato: Sen α=12/13 → Cos α=5/13

X

1213

12² + x² = 13²

144 + x² = 169

x² = 25

X = 5

Page 15: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

- Nos piden: Sen 2α = 2∙Sen α ∙ Cos α

Sen 2α = 2 ∙ 12/13 ∙ 5/13

Sen 2α = 120/169

Page 16: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

2. 2. Siendo Cos Siendo Cos ββ = 15/17, calcular = 15/17, calcular ““Cos 2Cos 2ββ”.”.

Resolución:

- Aplicamos la siguiente relación:

Cos 2β = 2 Cos²β - 1

Cos 2β = 2 (15/17)² - 1

Cos 2β = 450/289 - 1 → Cos 2β = 161 289

Page 17: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

3. 3. De la figura, hallar “xDe la figura, hallar “x”.”.

3

7

X

αα

A

C

B

- Analizando el gráfico: ▪ Tg α = 3/x

▪ Tg 2α = 10/x

- Además: Tg 2α = 2·Tg α 1 - Tg²α

- Reemplazando: 2·3 10 = x . x 1 – 3² x²

10 = 6x . x x² - 9

10x² - 90 = 6x²

4x² = 90

D

X = 3 10 2