funciones trigonometricas de angulos compuestos y dobles
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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLESTRANSCRIPT
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TRIGONOMETRTRIGONOMETRÍAÍA
Karen De’ OsambelaKaren De’ Osambela Adrian FonsecaAdrian Fonseca
PROF. Julio ValenzuelaPROF. Julio Valenzuela
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FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOMTRIGONOMÉTRICAS ÉTRICAS
DE ÁNGULOS COMPUESTOSDE ÁNGULOS COMPUESTOS
Karen De’ OsambelaKaren De’ Osambela
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Las identidades Trigonométricas de Las identidades Trigonométricas de ángulos compuestos son aquellos ángulos compuestos son aquellos
que se forman de la suma o resta de que se forman de la suma o resta de dos ángulos. dos ángulos.
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Sen (Sen (αα±±ββ))
Sen (α+β) = Sen α · · Cos β + Sen β · · Cos α
Sen (α – β) = Sen α ·· Cos β - Sen β ·· Cos α
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EjemploEjemplo
Calcular Sen 69° Calcular Sen 69°
Sen 69° = Sen (16° + 53°) = Sen 16° Cos 53° + Sen 53° Cos 16°
= (7/25) (3/5) + (4/5) (24/25)
= (21/125) + (96/ 125)
= 117 125
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Cos (Cos (αα±±ββ))
Cos (α+β) = Cos α · · Cos β - Sen β ·· Sen α
Cos (α – β) = Cos α · · Cos β + Sen β · · Sen α
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EjemploEjemplo
Calcular Cos 75° Calcular Cos 75°
Cos 75° = Cos (45° +30°) = Cos45° Cos30° - Sen45° Sen30°
= ( 2 /2) ( 3 /2) – ( 2 /2) (1/2)
= ( 6 /4) - (2/4)
= 6 - 2
4
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Tg (Tg (αα±±ββ))
Tg (α+β) = Tg α + Tg β
1 - Tgβ · · Tg α
Tg (α – β) = Tg α - Tg β
1 + Tgβ · · Tg α
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EjemploEjemplo
Calcular Tg 111° Calcular Tg 111°
Tg 111° = Tg (74°+37°) = Tg 74 – Tg37
1 – Tg74 Tg37 = (24/6)- (3/4)
1– (24/6) (3/4)
= - 39 24
Tg 111° está ubicado en el Segundo Cuadrante ( II C)
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FUNCIONES FUNCIONES TRIGONOMTRIGONOMÉTRICAS DEL ÉTRICAS DEL
ÁNGULO DOBLEÁNGULO DOBLE
Adrian FonsecaAdrian Fonseca
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FórmulasFórmulas
Sen 2Sen 2α α = 2·Sen α·Cos α= 2·Sen α·Cos α
Cos2Cos2αα - Sen2 - Sen2αα
Cos 2Cos 2α α = 1 - 2·Sen2= 1 - 2·Sen2αα
2·Cos22·Cos2αα - 1 - 1
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Tg 2Tg 2α α = = 2·Tg 2·Tg αα
1-Tg21-Tg2αα
Ctg 2Ctg 2α α = = Ctg2Ctg2αα-1-1
2·Ctg2·Ctgαα
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ObservaciónObservación
1+Tg2α
1-Tg2α
2·Tg α
• Sen 2α= 2·Tg α 1-Tg2 α
• Cos 2α= 1-Tg2α – 1 2·Ctg α
2α
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EjemplosEjemplos
1. 1. Sabiendo que: Sen Sabiendo que: Sen αα= 12/13, calcular: “Sen 2α”= 12/13, calcular: “Sen 2α”
Resolución:
- A partir del dato: Sen α=12/13 → Cos α=5/13
X
1213
12² + x² = 13²
144 + x² = 169
x² = 25
X = 5
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- Nos piden: Sen 2α = 2∙Sen α ∙ Cos α
Sen 2α = 2 ∙ 12/13 ∙ 5/13
Sen 2α = 120/169
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2. 2. Siendo Cos Siendo Cos ββ = 15/17, calcular = 15/17, calcular ““Cos 2Cos 2ββ”.”.
Resolución:
- Aplicamos la siguiente relación:
Cos 2β = 2 Cos²β - 1
Cos 2β = 2 (15/17)² - 1
Cos 2β = 450/289 - 1 → Cos 2β = 161 289
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3. 3. De la figura, hallar “xDe la figura, hallar “x”.”.
3
7
X
αα
A
C
B
- Analizando el gráfico: ▪ Tg α = 3/x
▪ Tg 2α = 10/x
- Además: Tg 2α = 2·Tg α 1 - Tg²α
- Reemplazando: 2·3 10 = x . x 1 – 3² x²
10 = 6x . x x² - 9
10x² - 90 = 6x²
4x² = 90
D
X = 3 10 2