fractales bartolo luque - curso de introduccion sistemas complejos

Fractales  

Bartolo  Luque

GaborCsordas y  Gabor Papp

3

El  efecto  Droste

Tal vez la forma más elemental y pri-­mitiva de recursividad sea el efectoDroste: una imagen que contiene unaréplica en miniatura de sí misma.

El nombre proviene de una popularmarca de chocolates de los PaísesBajos que, a principios del siglo xx,empleó este efecto en una de susimágenes publicitarias. En ellaaparecía una enfermera que portaba,justamente, una caja de cacaoDroste decorada con una réplica enminiatura de la imagen original. Asípues, en la caja aparecía otra vez laenfermera, la cual llevaba otra caja, yasí sucesivamente.

Diseño  publicitario

Visage of War, Salvador Dali (1940)

Geometrical  Self-­Similarity

Geometrical  Self-­SimilarityThe  magnified  piece  of  an  object  is  an  exact  copy  of  the  whole  object.

SierpinskiTriangle.exe

zoom  in

and  rescale  

Geometrical  Self-­Similarity

zoom  in

and  rescale  

Geometrical  Self-­Similarity

Cosas  raras:  el  perímetroKoch  snowflake

nnN 43)( ⋅=

nnL )3/1()( =

nnLnNnP )3/4(3)()()( ⋅==

3)0(1)0(==

==

nNnL

∞→n ∞

KochCurve.exe

14

"I coined fractal from the Latin adjective fractus. The corresponding Latin verb frangere means "to break": to create irregular fragments. It is therefore sensible - and how appropriate for our needs! - that, in addition to "fragmented"(as in fraction or refraction), fractus should also mean "irregular", both meanings being preserved in fragment."

(The Fractal Geometry of Nature)

La palabra latina fractus significa quebrado. En palabrasde Benoit Mandelbrot:

Benoit Mandelbrot (1924-2010)

The  Cantor  Set  is  the  dust  of  points  obtained  as  the  limit  of  this  succession  of  

segments

This  is  already  the  limit  of  

succession  of  iterations

Más cosas raras: Curva de Peano

¿Tiene  entonces  la  curva  dimensión  1  o  dimensión  2?¿Tiene  sentido  esta  pregunta?

Objects  in  mirror  are  closer  than  they  appear.

Monsters  inSci-­Fi

King  Kong  (1933) Them  (1954) Godzilla  (1954)Record:  120  m

Tarantula  (1955)

The deadlymantis(1957)

20

?

Ley  cuadrado  cúbica

Cuando  un  objeto  crece  sin  cambiar  de  forma,  su  superficie  crece  como  el  

cuadrado  de  alguna  longitud  característica  

(por  ejemplo,  su  altura)  mientras  que  el  volumen  crece  como  el  cubo  de  dicha  

cantidad.

Galileo  (1564-­1642)

¿Qué  se  podemos  deducir  de  la  ley?

3

2

~)(~)(rrVrrS

3

2

8~)2(4~)2(rrVrrS⋅⋅

⋅⋅

19571958

250  Hz150  Hz

ρρ

µ SLSL

==

211 −∝∝ LSL

ν

µν

TL21

=

Allometry  is  the  study  of  the  relationship  between  size  and  shape.

2−∝ Lν

2−∝ Lν

DimensionTopological  Dimension

• Points  (or  disconnected  collections  of  them)  have  topological  dimension  0.

• Lines  and  curves  have  topological  dimension  1.• 2-­‐D  things  (think  filled  in  square)  have  topological  dimension  2.• 3-­‐D  things  (a  solid  cube)  have  topological  dimension  3.

intuitive:  length,  area,  volume

rescale  bya  factor  b

length  s

Fractal  vs.  integer  dimension

b ·s

b2·Aarea  A

intuitive:  length,  area,  volume

rescale  bya  factor  b

length  s

b2·Aarea  A

Fractal  vs.  integer  dimension

b1·s

D

Dimensions  of  objects• Consider  objects  in  1,  2  and  3  dimensions:

D  =  1 D  =  2 D  =  3

• Reduce  length  of  ruler  by  factor,  r

r  =  1/2

N  =  2N  =  4

N  =  8

• Quantity  increases  by  N  =  (1/r)D

r  =  1/2

r  =1/3

N  =  2

N  =  3

N  =  4

N  =  9

N  =  8

N  =  27

( )( )rND/1log

log=

( )( )

( )( )

13log3log

2log2log

===D ( )( )( )

23log9log

2log)4log(

===D( )

( )( )

33log27log

2log)8log(

===D

1                            1  

r N

Sierpinsky  revisited

1                             1  

r N

1/2 3

Sierpinsky  revisited

1                                    1  

r N

1/2 3

1/4 9

Sierpinsky  revisited

1                          1  

r N

1/2 3

1/4 9

1/8 27

k

0

1

2

3

r  =  2-­kN    =  3k

Sierpinsky  revisitedN  = (1/r)D  

( )( )rND/1log

log=

( )( )

( )( )2log3log

2log3log

== k

k

D

Fractal  vs.  integer  dimension

585.1)2log()3log( D ≈=

“more  than  a  line  – less  than  an  area”

What’s  special  about  fractals  is  that  the  “dimension”  is  not  necessarily  a  whole  number

“Clouds are not spheres,mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straightline.”

Benoit  B.  Mandelbrot

Geometric scale invariance and fractal geometry

«Un  fractal  es  un  objeto  matemático  cuya  dimensión  de  Hausdorff es  siempre  mayor  a  su  dimensión  topológica».

Koch  island:  

scale  byfactor  b=3

length  s

length  4  s

2619.1)3log()4log( D ≈=

Fractal  vs.  integer  dimension

N(ε) =  2k where  k  is  the  iteration  And  ε =(1/3)k

D=ln(2)/ln(3)  =  0.6309…

N(ε) =  8k where  k  is  the  iteration  And  ε =(1/3)k

D=ln(8)/ln(3)  =  1.8927…

The  Cantor  Set  is  the  dust  of  points  obtained  as  the  limit  of  this  succession  

of  segments

This  is  already  the  limit  of  succession  of  iterations

N  =  (1/r)D

Self-­similarity  in  nature

Romanesco  –a  cross  between  broccoli  

and  cauliflower

Self-­similarity  in  nature

Self-­similarity  in  nature

Fractal  concepts  characterize  those  objects  in  which  properly  scaled portions  are  identical  to  the  original  object.  Can  be  identical  in  deterministic  or  statistical  sense.

Self-­Similarity:  Geometrical  and  Statistical

La  gran  ola  de  Kanagawa

Scale  Laws...  Power  Laws

α−⋅= rBrQ )(

......... 2−∝ Lν

Q  (r) Log  Q  (r)

r Log  r

BrrQ loglog)(log +−= α

How  long  is  the  coast  of  Britain?

Suppose  the  coast  of  Britain   is  measured  using  a  200  km  ruler,  specifying  that  both  ends  of  the  ruler  must  touch  the  coast.  Now  cut  the  ruler  in  half  and  repeat  the  measurement,  then  repeat  again:  

B.  B.  Mandelbrot,  Science’1967

Scale-dependent length.

Compass o ruler method:

How  Long  is  the  Coastline  of  Britain?

r  =  Length  of  Line  Segments  in  KmQ(r)  =  N(r)  r  = Total  Length  in  Km

r r

How  Long  is  the  Coastline  of  Britain?Richardson  1961  The  problem  of  contiguity:  An  Appendix  to  Statistics  

of  Deadly  Quarrels  General  Systems  Yearbook    6:139-­187

Log 10(Total  Length  in  Km)

CIRCLE

SOUTH  AFRICAN    COAST

4.0

3.5

3.0

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5Log10 (Length  of  Line  Segments  in  Km)

Scaling

The  value  measured for  a  property,  such  as  length,  surface,  or  volume,    depends  on  the  resolution at  which  it  is  measured.  

How  depends  is  called  the  scaling  relationship.

How  Long  is  the  Coastline  of  Britain?Richardson  1961  The  problem  of  contiguity:  An  Appendix  to  Statistics  

of  Deadly  Quarrels  General  Systems  Yearbook    6:139-­187

Log 10(Total  Length  in  Km)

CIRCLE

SOUTH  AFRICAN    COAST

4.0

3.5

3.0

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5Log10 (Length  of  Line  Segments  in  Km)

25.0)( −∝ rrL

Statistical  Self-­SimilarityIn  real  world  are  usually  not  exact  smaller  copies  of  the  whole  object.  The  value  of  statistical  property  Q(r)  measured  at  resolution  r,  is  proportional  to  the  value  Q(ar)  measured  at  resolution  ar.

Q(ar)  =  kQ(r)pdf  [Q(ar)]  =  pdf  [kQ(r)]d

)()()(;)(

25.025.025.025.0

25.0

rLarAaraAraLrArL

⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅

⋅=−−−−

−

Self-­Similarity Implies  a  Scaling  Relationship

Q  (r)  =  B  rb

Q  (ar)  =  k  Q(r) Q  (r)  =  B  rb

Self-­Similarity  can  be  satisfied  by  the  power  law  scaling,  the  simplest  and  most  common  form  of  the  scaling  relationship:

Proof:  using  the  scaling  relationship  to  evaluate  Q(r)  and  Q(ar)

Q  (r)  =  B  rb  Q  (ar)  =  B  ab rb

if        k  =  ab then        Q  (ar)  =  k  Q  (r)

Power  Lawmeasurement

r Log  rLogarithm

of  

the  measuremnt

Resolution  used  to  make  the  measurement

Logarithm  of  the  resolution  used  to  make  the  measurement

Such power law scaling relationships are  characteristic of  fractals. Power lawrelationships are  found so  often because so  many things in  nature are  fractal.

Scale Laws and  Power Laws

α−⋅= rBrQ )( BrrQ loglog)(log +−= α

Mass�(Perimeter)3Double  the  size  � Octuple  MassDimension  =  3

Solid  Spheres"Euclidean  Object"

33

234

34~

2

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

=

πππρ

π

PRVM

RP

Crumbled  Paper  Balls"Non-­Euclidean  Objects"

M.A.F. Gomes,  “Fractal  geometry  in  crumpled  paper  balls”Am.J.Phys.  55,  649-­650   (1987).

R.H.Ko and  C.P.Bean,  “A  simple  experiment  that  demonstrates  fractal  behavior”,  Phys.  Teach. 29,  78  (1991).

Crumbled  Paper  Balls"Non-­Euclidean  Objects"

Mass�(Perimeter)Dimensionlog(Mass)  �Dimension log(Perimeter)

L.H.F.  Silva  and  M.T.  Yamashita,  “The  dimension  of  the  pore  space  in  sponges,”  European  Journal of  Physics  30:  135-­137,  2009  .

Por  cierto,  los  geólogos  suelen  utilizar  este  tipo  de  idea  para  caracterizar  la  porosidad  de  rocas  y  su  permeabilidad  (Alexis  Mojica,  Leomar Acosta,  “La  porosidad  de  las  rocas  y  su  naturaleza  fractal,”  Invet.  pens.  crit.  4:  88-­93,  2006  ).

Se  recortan  muchos  cubitos  de  esponja  de  lado  progresivamente  mayor,  por  ejemplo, desde  1  cm  de  lado,  2  cm,  3  cm,  hasta  donde  podamos.  Pesamos  las  esponjas  con  una  balanza,  luego  las  sumergimos  en  agua  y  las  volvemos  a  pesar.  La  diferencia  de  masa  entre  la  esponja  seca  y  la  mojada.  Dibujando  esta  diferencia  en  función  del  lado  en  escala  doblemente   logarítmica  se  observará  que  la  dimensión  fractal  de  la  esponja  es  D  =  2.95,  menor  que  3,  resultado  de  la  existencia  de  los  poros.

Object  � SetProperty  � Distribution

Mean  size  o  characteristic  size

66

What  is  the  normal  length  of  a  penis?  

67

While  results  vary  across  studies,  the  consensus  is  that  the  mean  human  penis  is  approximately  12.9  – 15  cm in  length  with  a  95%  confidence  interval  of  (10.7  cm,  19.1  cm).

Mean

Non  -­ Fractal

More  Data

69

Fractal?

Self-similarity in geology

From:  D.  Sornette,  Critical  Phenomena  in  Natural  Sciences  (2000)

Self-similarity in geology

From:  D.  Sornette,  Critical  Phenomena  in  Natural  Sciences  (2000)

Cloud perimeters over 5 decades yield D ≈ 1.35 (Lovejoy, 1982)

Power  laws,  Pareto  distributions  and  Zipf’s  lawM.  E.  J.  Newman

WWW Nodes: WWW pages

Links: URL linksP(k)  ~  k-­ 2.1Scale-­Free  Networks

77

?

The  Average  Depends  on  the  Amount  of  Data  Analyzed

each  piece

The  Average  Depends  on  the  Amount  of  Data  Analyzed

oraverage  size

number  of  pieces  included

average  size

number  of  pieces  included

Contributions  to  the  mean  dominated  by  the  number  of  smallest  sizes.  

Contributions  to  the  mean  dominated  by  the  number  of  biggest  sizes.  

0→µ ∞→µ

Non-­FractalLog  avg

density  within  radius  r

Log  radius  r

Fractal

Log  avgdensity  within  radius  r

Log  radius  r

.5

-­1.0

-­2.0

-­1.5

.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.00-­2.5

0

Meakin  1986  In  On  Growth  and  Form:  Fractal  and  Non-­Fractal  Patterns  in  Physics  Ed.  Stanley  &  Ostrowsky,  Martinus  Nijoff  Pub.,  pp.  111-­135

When  the  moments,  such  as  the  mean  and  variance,  don’t  exist,  what  should  I  measure?  The  exponent...

Fractals  in  NatureElectrical Discharge from Tesla Coil

Fractals  in  Nature

Lichtenberg Figure

Created by exposing plastic rod to electron beam & injecting chargeinto material. Discharged by touching earth connector to left hand end

Viscous  fingeringElectrodeposition

Diffusion-limited aggregation (DLA)

T.A.  Witten,  L.M.  Sander  1981  

Statistical scale invariance of DLA

P.  Meakin,  Fractals,  scaling  and    growth  far  from  equilibrium

Mass-­length  relation  M1�R1D           M2�R2D  

Fractal

Log  avgdensity  within  radius  r

Log  radius  r

.5

-­1.0

-­2.0

-­1.5

.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.00-­2.5

0

Meakin  1986  In  On  Growth  and  Form:  Fractal  and  Non-­Fractal  Patterns  in  Physics  Ed.  Stanley  &  Ostrowsky,  Martinus  Nijoff  Pub.,  pp.  111-­135

When  the  moments,  such  as  the  mean  and  variance,  don’t  exist,  what  should  I  measure?  The  exponent...

Box-­counting

∙ Cover  the  object  by  boxes  of  size    ∊

<    ∊ >

∙  count  non-­empty  boxes

∙  repeat  for  many    ∊

Measuring  fractal  dimension

∙ cover  the  object  by  boxes  of  size    ∊

<∊>

∙  count  non-­empty  boxes

∙  repeat  for  many    ∊

box-­counting:  resolution-­dependent  measurement  

Measuring  fractal  dimension

∙ cover  the  object  by  boxes  of  size    ∊

∙  count  non-­empty  boxes

∙  repeat  for  many    ∊

box-­counting:  resolution-­dependent  measurement  

∙  consider  the  number  n  of  non-­empty  boxesas  a  function  of  ∊

(in  the  limit  ∊→0)

Fractals and  Chaos.Larry  S.  Liebovitch.

Fractals,  Chaos,  Power  Laws.Manfred  Schroeder