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Fracciones ComunesUna fracción común representa partes
iguales de un entero. Consiste de dos números y una barra fraccionaria, y se escribe de esta forma
rDenominado
Numerador
Ejercicio: Ejercicio: Realice la Realice la operación que se le pide.operación que se le pide.
7
4
21
15 (c)
7
2
15
8 (b)
4
7
7
11 (a)
7
3
6
5 (f)
7
20
31
4 (e)
4
7
11
9 (d)
Cualquier número positivo puede Cualquier número positivo puede escribirse en notación científica,escribirse en notación científica,
C x 10C x 10mm, donde 1≤c<10 y m es un , donde 1≤c<10 y m es un entero.entero.
Esta notación proporciona una Esta notación proporciona una manera de trabajar con números manera de trabajar con números muy grandes y números muy muy grandes y números muy pequeños. pequeños.
EjemploEjemplo
1. La rapidez de la luz es de 1. La rapidez de la luz es de aproximadamente 300 000 000 aproximadamente 300 000 000
m/s.m/s.
2. El punto de la i en un libro tiene 2. El punto de la i en un libro tiene una masa de aproximadamente una masa de aproximadamente
0.000 000 001 kg.0.000 000 001 kg.
El problema se evita al usar un El problema se evita al usar un método que incorpora método que incorpora potencias del número 10:potencias del número 10:
101000=1=1
101011=10=10
101022=10x10=100=10x10=100
101033=10x10x10=1000=10x10x10=1000
101044=10x10x10x10=10000=10x10x10x10=10000
101055=10x10x10x10x10=100000=10x10x10x10x10=100000
La rapidez de la luz es de La rapidez de la luz es de aproximadamente 300 000 000 aproximadamente 300 000 000
m/s.m/s.
3 x 103 x 1088 m/s m/s
Los números representativos Los números representativos menores que la unidad son los menores que la unidad son los
siguientes:siguientes:
0001.010101010
110
001.0101010
110
01.01010
110
1.010
110
4
3
2
1
xxx
xx
x
Otros ejemplos:Otros ejemplos:
El punto de la i en un libro tiene El punto de la i en un libro tiene una masa de aproximadamente una masa de aproximadamente
0.000 000 001 kg.0.000 000 001 kg.
1 x 101 x 10-9-9
Por ejemplo, la distancia entre la Por ejemplo, la distancia entre la Tierra y el Sol es de alrededor de Tierra y el Sol es de alrededor de 93,000,000 millas. En notación 93,000,000 millas. En notación científicacientífica
93,000,000 millas = 9.3 x 1093,000,000 millas = 9.3 x 1077 millasmillas
La masa de una molécula de La masa de una molécula de oxígeno es de alrededor de oxígeno es de alrededor de
0.000 000 000 000 000 000 000 0.000 000 000 000 000 000 000 053 gramos053 gramos
En notación científica:En notación científica:
5.3 x 105.3 x 10-23-23gg
Convierte a notación Convierte a notación científica o viceversacientífica o viceversaa) 2.375 x 10a) 2.375 x 1088 e) 3.98 x 10e) 3.98 x 10-8-8
b) 0.000000349b) 0.000000349 f) 0.000489f) 0.000489
c) 7.36 x 10c) 7.36 x 10-5-5 g) 8.64 x 10g) 8.64 x 1044
d) 9816762.5d) 9816762.5 h) 0.0357h) 0.0357
RespuestasRespuestas
a) 2.375 x 10a) 2.375 x 108 8 = 237500000= 237500000
b) 0.000000349 = 3.49 x 10b) 0.000000349 = 3.49 x 10-7-7
c) 7.36 x 10c) 7.36 x 10-5-5 = 0.0000736
d) 9816762.5 = 9.8167625 x 10d) 9816762.5 = 9.8167625 x 1066
e) 3.98 x 10e) 3.98 x 10-8-8 =0.0000000398 =0.0000000398
f) 0.000489 = 4.89 x 10f) 0.000489 = 4.89 x 10-4-4
g) 8.64 x 10g) 8.64 x 1044 = 86400 = 86400
h) 0.0357 = 3.57 x 10h) 0.0357 = 3.57 x 10-2-2
La La regla de tresregla de tres es una forma de es una forma de resolución de problemas de resolución de problemas de
proporcionalidad entre tres o más proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una valores conocidos y una
incógnita. incógnita.
YX
BA
Si necesito 2 litros de leche para Si necesito 2 litros de leche para el desayuno de 8 niños, ¿Cuántos el desayuno de 8 niños, ¿Cuántos litros de leche se necesita para litros de leche se necesita para 15?15?
A
BXY
Y
15
28
75.3
8
30
8
215Y
YX
BA
De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600 . ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?
A
BXY
Y
600
%100800
%75
800
%100600Y
YX
BA
si 8 trabajadores realizan todo su si 8 trabajadores realizan todo su trabajo en 10 horas, ¿cuánto trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán 3 trabajadores en realizar tardarán 3 trabajadores en realizar la misma cantidad de trabajo?la misma cantidad de trabajo?
X
BAY
67.26
3
108Y
Y
3
108
YX
BA
Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?
X
BAY
100
75
30025Y
Y
75
30025
EjemploEjemplo
Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de reja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una reja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.
InformaciónInformación
BoteBotess
Capacidad Capacidad (kg)(kg)
Longitud Longitud (m)(m)
Altura Altura (cm)(cm)
1212 ½½ 9090 8080
xx 22 200200 120120
InformaciónInformación
BoteBotess
Capacidad Capacidad (kg)(kg)
Longitud Longitud (m)(m)
Altura Altura (cm)(cm)
1212 ½½ 9090 8080
xx 22 200200 120120
BoteBotess
CapacidaCapacidadd
(kg)(kg)
LongitudLongitud
(m)(m)AlturaAltura
(m)(m)AreaArea
(m(m22))
1212 0.50.5 9090 0.80.8 7272
xx 22 200200 1.21.2 240240
Y
ABX
YX
BA
BotesBotes Capacidad Capacidad (kg)(kg)
Area (mArea (m22))
1212 0.50.5 7272
XX 22 240240
Relación Inversa
kg
kgbotesx
2
5.012
BotesBotes Capacidad Capacidad (kg)(kg)
Area (mArea (m22))
1212 0.50.5 7272
XX 22 240240
Relación Directa
2
2
72
24012
m
mbotesx
C
AZX
ZX
CA
EjemploEjemplo
11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos
obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en
cinco días?
InformaciónInformación
ObreroObreross
Largo (m)Largo (m) Ancho (m)Ancho (m) DíasDías
1111 220220 4848 66
xx 300300 5656 55
InformaciónInformación
ObreroObreross
Largo Largo (m)(m)
Ancho Ancho (m)(m)
DíaDíass
Area Area (m(m22))
1111 220220 4848 66 1056010560
xx 300300 5656 55 1680016800
Y
ABX
YX
BA
ObrerosObreros DíasDías Area (mArea (m22))
1111 66 1056010560
XX 55 1680016800
Relación Inversa
días
díasobrerosx
5
611
ObrerosObreros DíasDías Area (mArea (m22))
1111 66 1056010560
XX 55 1680016800
Relación Directa
2
2
10560
1680011
m
mobrerosx
C
AZX
ZX
CA
obreros
mdías
mdíasobrerosx 21
105605
168006112
2
2
2
10560
1680011
m
mobrerosx
días
díasobrerosx
5
611
Ejercicio 1Ejercicio 1
Un coche de Mérida a Valladolid Un coche de Mérida a Valladolid tarda 3 horas a una velocidad de tarda 3 horas a una velocidad de 80 kilómetros por hora. ¿Cuántas 80 kilómetros por hora. ¿Cuántas horas tardará a una velocidad de horas tardará a una velocidad de 120 km por hora? 120 km por hora?
Ejercicio 2Ejercicio 2
Calcula la masa de 65 cmCalcula la masa de 65 cm33 de de mercurio. Considera que éste mercurio. Considera que éste presenta una densidad de 13.6 presenta una densidad de 13.6 g/cmg/cm33
Ejercicio 3Ejercicio 3
Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
Ejercicio 4Ejercicio 4
Un estudiante necesita 15.0 g de Un estudiante necesita 15.0 g de etanol (alcohol etílico) para un etanol (alcohol etílico) para un experimento. Si la densidad del experimento. Si la densidad del alcohol es de 0.789 g/ml, alcohol es de 0.789 g/ml, ¿Cuántos mililitros de alcohol ¿Cuántos mililitros de alcohol necesita?necesita?
Ejercicio 5Ejercicio 5
Leyendo 20 páginas cada día Leyendo 20 páginas cada día terminé un libro en 33 días. terminé un libro en 33 días. ¿Cuántos días tardaré leyendo 30 ¿Cuántos días tardaré leyendo 30 páginas diarias? páginas diarias?
Proporción es una igualdad entre dos razones.
Donde…Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.
EjemploEjemplo
Un abuelo reparte 4 0 pesos entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
200
36
45016
36
450
16
15036
45012
36
450
12
10036
4508
36
450
8
36
450
1612816128
16128
zz
yy
xx
zyxzyx
zyx
EjemploEjemplo
Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 pesos. Al cabo de un año han
ganado 6450 pesos. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente
proporcional a los capitales aportados?
2700
21500
64509000
21500
6450
9000
225021500
64507500
21500
6450
7500
150021500
64505000
21500
6450
5000
21500
6450
900075005000900075005000
900075005000
zz
xy
xx
zyxzyx
zyx
Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas,
directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 pesos. Hallar lo
que le corresponde a la primera y tercera.
Unidades SI Unidades SI fundamentalesfundamentales
CANTIDAD FISICACANTIDAD FISICA NOMBRE DE NOMBRE DE LA UNIDADLA UNIDAD
ABREVIATURABREVIATURAA
MasaMasa KilogramoKilogramo kgkg
LongitudLongitud MetroMetro mm
TiempoTiempo SegundoSegundo ss
Corriente Corriente eléctricaeléctrica
AmpereAmpere AA
TemperaturaTemperatura KelvinKelvin KK
Intensidad Intensidad luminosaluminosa
CandelaCandela cdcd
Cantidad de Cantidad de masamasa
MolMol molmol
MASAMASA
1 kg1 kg
1 g1 g
1 kg1 kg
==
==
==
1000 g1000 g
1000 mg1000 mg
2.2046 lb2.2046 lb
1 lb1 lb == 0.45359 kg0.45359 kg
EjemploEjemplo
Si una mujer tiene una masa de 115 lb, Si una mujer tiene una masa de 115 lb, ¿qué masa tiene en gramos?¿qué masa tiene en gramos?
x
g
lb
lb 6.453
115
1
gxlb
glbx 41022.5
1
)6.453)(115(
EjercicioEjercicio
La dosis recomendada para La dosis recomendada para adultos de elixofilina, un fármaco adultos de elixofilina, un fármaco empleado para el tratamiento de empleado para el tratamiento de asma, es de 6 mg/kg de masa asma, es de 6 mg/kg de masa corporal. Calcule la dosis en corporal. Calcule la dosis en miligramos para una persona de miligramos para una persona de 150 lb.150 lb.
Info:Info:Tratamiento= 6 mg/kg Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lbPersona = 150 lb¿Cuánto del medicamento en ¿Cuánto del medicamento en mg?mg?
g
lb
glbx
x
g
lb
lb
680401
6.453150
6.453
150
1
Info:Info:Tratamiento= 6 mg/kg Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lb = 68040gPersona = 150 lb = 68040g¿Cuánto del medicamento en ¿Cuánto del medicamento en mg?mg?
kg
g
gkgz
g
g
z
kg
04.681000
680401
68040
10001
Info:Info:Tratamiento= 6 mg/kg Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lb = 68040g = Persona = 150 lb = 68040g = 68.04kg68.04kg¿Cuánto del medicamento en mg?¿Cuánto del medicamento en mg?
mg
kg
kgmgw
kg
kg
w
mg
24.4081
04.686
04.68
16
VOLUMENVOLUMEN
1L1L == 1010-3-3 m m33
== 1 dm1 dm33
== 101033 cm cm33
== 1.0567 qt1.0567 qt
== 1000 mL1000 mL
Cont… VOLUMENCont… VOLUMEN
1 gal1 gal == 4qt4qt
== 3.7854 L3.7854 L
1 cm1 cm33 == 1 mL1 mL
1 pulg1 pulg33 == 16.4 cm16.4 cm33
EjemploEjemplo
Convierta 4.95 qt a mLConvierta 4.95 qt a mL
qt
qt
x
L
95.4
0567.11
L
qt
qtLx 6844.4
0567.1
95.41
EjemploEjemplo
Una persona ordinaria tiene Una persona ordinaria tiene alrededor de 200 mg de alrededor de 200 mg de colesterol en 100 mL de su colesterol en 100 mL de su sangre. Si el volumen total de sangre. Si el volumen total de sangre en una persona es de 5.0 sangre en una persona es de 5.0 L, ¿Cuántos gramos de colesterol L, ¿Cuántos gramos de colesterol total contiene la sangre de ese total contiene la sangre de ese individuo?individuo?
Info: Persona = 200mg/100 mL Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5.0 L Vol. de sangre = 5.0 L ¿Cuántos g de colesterol total ¿Cuántos g de colesterol total contiene la sangre de ese individuo?contiene la sangre de ese individuo?
L
Lx
x
L
1.0ml 1000
ml 1001
ml 100
ml 10001
Info: Persona = 200mg/100 mL Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5.0 L Vol. de sangre = 5.0 L ¿Cuántos g de colesterol total ¿Cuántos g de colesterol total contiene la sangre de ese individuo?contiene la sangre de ese individuo?
mg 10000
L 0.1
mg 2005
L 5
L 1.0200
Ly
y
mg
Info: Persona = 200mg/100 mL Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5.0 L Vol. de sangre = 5.0 L ¿Cuántos g de colesterol total ¿Cuántos g de colesterol total contiene la sangre de ese individuo?contiene la sangre de ese individuo?
g 10
mg 1000
mg 100001
mg 10000
mg 10001
gw
w
g
EjemploEjemplo
Calcule la masa en gramos de Calcule la masa en gramos de 1.00 galones de agua. La 1.00 galones de agua. La densidad del agua es de 1.00 densidad del agua es de 1.00 g/mL.g/mL.
Info: galón de HInfo: galón de H22O, O, ΡΡ=1g/ml=1g/ml¿masa en gramos?¿masa en gramos?
ml 4.3785
L 1
4L 785.3ml 1000
4L 3.785
L 1
-
-
x
ml 000 1
x
1 gal - 3.7854 L
Info: 1 galón de HInfo: 1 galón de H22O = O = 3785.4ml, 3785.4ml, ΡΡ=1g/ml. ¿masa en =1g/ml. ¿masa en gramos?gramos?
g 4.3785
ml 1
ml 4.3785g 1
ml 3785.4
ml 1
-
-
z
g 1
z
PRESIONPRESION
1 Pa1 Pa == 1 N/m1 N/m22
== 1 kg/m-s1 kg/m-s22
1 atm1 atm == 101.325 Pa101.325 Pa
== 760 torr760 torr
== 14.70 14.70 lb/pulglb/pulg22
1 bar1 bar == 105 Pa105 Pa
EjemploEjemplo
Si un pronosticador del tiempo Si un pronosticador del tiempo predice que durante el día la predice que durante el día la temperatura alcanzará 31ºC, temperatura alcanzará 31ºC, calcule la temperatura predicha calcule la temperatura predicha (a) (a) en K; en K; (b)(b) en ºF. en ºF.
EjercicioEjercicio
El etilenglicol, principal El etilenglicol, principal ingrediente de los ingrediente de los anticongelantes, se congela a -anticongelantes, se congela a -11.5ºC. Calcule el punto de 11.5ºC. Calcule el punto de congelación en congelación en (a) (a) K; K; (b)(b) ºF. ºF.
Un doctor ordena tomar 200 mg Un doctor ordena tomar 200 mg de Rocepin a un infante de 15.4 de Rocepin a un infante de 15.4 lb cada 8 horas. La etiqueta del lb cada 8 horas. La etiqueta del medicamento muestra que 75-medicamento muestra que 75-150 mg/kg por día es el rango de 150 mg/kg por día es el rango de la dosis apropiada. ¿Se encuentra la dosis apropiada. ¿Se encuentra la orden del doctor dentro del la orden del doctor dentro del rango apropiado?rango apropiado?
Información. Información. Infante: 15.4 lb. Infante: 15.4 lb. Ordenado:200mg/8h. Ordenado:200mg/8h. Etiqueta:75-150mg/kg x díaEtiqueta:75-150mg/kg x día
kg
lb
kglbx
x
kg
lb
lb
985.61
45359.04.15
45359.0
4.15
1
Información.Información. Infante: 15.4 lb (7kg). Infante: 15.4 lb (7kg). Ordenado:200mg/8h. Ordenado:200mg/8h. Etiqueta:75-150mg/kg x díaEtiqueta:75-150mg/kg x día
día al 600día al veces3200
1050)/150(7
525)/75)(7(
mgmg
mgkgmgkg
mgkgmgkg
EjemploEjemplo
Se ordenó 1.5mg/kg de Se ordenó 1.5mg/kg de solumedrol a un niño con peso de solumedrol a un niño con peso de 74.8 lb. Solumedrol se encuentra 74.8 lb. Solumedrol se encuentra disponible en 125mg/2mL. disponible en 125mg/2mL. ¿Cuántos mL le debe proporcionar ¿Cuántos mL le debe proporcionar la enfermera?la enfermera?
Información.Información. Niño: 74.8lb Niño: 74.8lb Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: 125mg/2ml125mg/2ml
kg
lb
kglbx
x
kg
lb
lb
928.331
45359.08.74
45359.0
8.74
1
Información.Información. Niño: 74.8lb (34kg)Niño: 74.8lb (34kg)Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: 125mg/2ml125mg/2ml
mlml
mg
mlmgz
z
ml
mg
mg
mgkgmgkg
82.0816.0
25
251
2
51
125
51/5.134
Una tableta Una tableta → 1 →→ 1 →
Media tableta Media tableta → 1/2 →→ 1/2 →
Un cuarto de tableta Un cuarto de tableta → 1/4 →→ 1/4 →
EjemploEjemplo
Se ordenó 25 mg de Metroprolol. Se ordenó 25 mg de Metroprolol. Metroprolol está disponible en Metroprolol está disponible en tabletas de 50mg. ¿Cuántas tabletas de 50mg. ¿Cuántas tabletas debe la enfermera tabletas debe la enfermera suministrar?suministrar?
EjemploEjemplo
El cloruro de potasio se encuentra El cloruro de potasio se encuentra disponible en tabletas de 10 mg. disponible en tabletas de 10 mg. Se ordenó, 40 mg de cloruro de Se ordenó, 40 mg de cloruro de potasio. ¿Cuántas tabletas debe potasio. ¿Cuántas tabletas debe administrar la enfermera? administrar la enfermera?
Dada una cantidad de masa por Dada una cantidad de masa por líquido, ¿Cuánto líquido se líquido, ¿Cuánto líquido se
requiere?requiere?
EjemploEjemplo
Se ordena suministrar 0.1g de Se ordena suministrar 0.1g de Dilantin. Éste se encuentra Dilantin. Éste se encuentra disponible como 30mg/5mL. disponible como 30mg/5mL. ¿Cuánto se debe administrar? ¿Cuánto se debe administrar?
requerido líquido tienese que VolDisponible
Ordenado
mLmLmg
mg
mgg
mggx
x
mg
g
g
7.16530
100
1001
10001.0
1000
1.0
1
DATOS
Ordenado:
0.1g
Disponible:
30mg/5ml
EjemploEjemplo
Si se ordena 40 mg de Lasix y Si se ordena 40 mg de Lasix y éste se encuentra disponible en éste se encuentra disponible en presentación de 80 mg/mL, presentación de 80 mg/mL, ¿Cuánto se debe suministra?¿Cuánto se debe suministra?
requerido líquido tienese que VolDisponible
Ordenado
mLmLmg
mg5.01
80
40
DATOS
Ordenado:
40mg
Disponible:
80mg/ml
EjemploEjemplo
En un colegio, el 78% de 250 alumnos En un colegio, el 78% de 250 alumnos estudian francés como segundo estudian francés como segundo
idioma. ¿Cuántos alumnos estudian idioma. ¿Cuántos alumnos estudian francés?francés?
%100
%78250
%78
%100250
x
x
EjemploEjemplo
La población de una ciudad La población de una ciudad aumentó de 1.078.145 a aumentó de 1.078.145 a 1.192.932 habitantes, según el 1.192.932 habitantes, según el censo realizado entre los años censo realizado entre los años 2004 y 2005. 2004 y 2005.
¿Cuál ha sido el porcentaje de ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento de la población entre las aumento de la población entre las dos fechas?dos fechas?
1.192.932- 1.078.145=1147871.192.932- 1.078.145=114787
%65.10
1078145
%100114787
%100
114787
1078145
x
x
Prepara una solución al 1% de Prepara una solución al 1% de Brevital (Botella con 500 mg de Brevital (Botella con 500 mg de
polvo). ¿Cuántos mL de agua polvo). ¿Cuántos mL de agua esterilizada debes usar?esterilizada debes usar?
Info: Solución 1%, Info: Solución 1%, presentación 500mg presentación 500mg ¿mL?¿mL?1% = 1g/100mL = 1000mg/100mL 1% = 1g/100mL = 1000mg/100mL
= 10mg/mL= 10mg/mL
mL
mg
mLmgx
x
mL
mg
mg
5010
1500
1
500
10
Un frasco de AMPICILINA inyectable de 1 g, lo disolvemos en 4 mL de agua destilada. Tenemos que inyectar 250 mg. ¿Cuántos mL vamos a inyectar?
A un cliente se le ordenó 1 mg de A un cliente se le ordenó 1 mg de Diazepan, el cual se encuentra Diazepan, el cual se encuentra
disponible en tabletas de 2 mg. disponible en tabletas de 2 mg. ¿Cuántas tabletas se le dará?¿Cuántas tabletas se le dará?
A un paciente se le ordenó 25 mg A un paciente se le ordenó 25 mg de una medicina intravenosa. La de una medicina intravenosa. La
cual se encuentra en cual se encuentra en presentación de inyección IV de presentación de inyección IV de
50mg/5mL. ¿Cuántos mililitros se 50mg/5mL. ¿Cuántos mililitros se le debe administrar?le debe administrar?
1.4cc de tetracaina al ½% se 1.4cc de tetracaina al ½% se suministró ¿Cuántos mg se suministró ¿Cuántos mg se dieron?dieron?
A un paciente se le receta 7.5 mg A un paciente se le receta 7.5 mg de Bendrofluazida, ésta se de Bendrofluazida, ésta se encuentra disponible en tabletas encuentra disponible en tabletas de 2.5 mg. ¿Cuántas tabletas de 2.5 mg. ¿Cuántas tabletas debe de tomar?debe de tomar?
A un paciente se le recetó 22 mg A un paciente se le recetó 22 mg de sulfato de gentamicina por de sulfato de gentamicina por
medio de una inyección medio de una inyección intramuscular. Ésta se encuentra intramuscular. Ésta se encuentra en presentación de inyección IM en presentación de inyección IM
de 20mg/2mL. ¿Cuántos mililitros de 20mg/2mL. ¿Cuántos mililitros se debe administrar?se debe administrar?
Calcula la cantidad de dextrosa al Calcula la cantidad de dextrosa al 5% que hay en 1000 mL5% que hay en 1000 mL
EXPRESION ALGEBRAICAEXPRESION ALGEBRAICA
Se utiliza para representar una Se utiliza para representar una constante, una variable o una constante, una variable o una combinación de variables y combinación de variables y constantes que implican un constantes que implican un número finito de operaciones número finito de operaciones indicadas. indicadas.
MonomioMonomio
Un monomio en una variable es el Un monomio en una variable es el producto de una constante por una producto de una constante por una variable elevada a una potencia entera variable elevada a una potencia entera no negativa. De este modo, un no negativa. De este modo, un monomio tiene forma.monomio tiene forma.
kaxDonde a es una constante, x una variable y k ≥ 0 un número entero. La constante a es el coeficiente del monomio. Si a≠0, entonces k es el grado del monomio.
Dos monomios Dos monomios axk y bxk del mismo grado y con la misma variable son términos semejantes.
Al sumar o restar estos monomios, Al sumar o restar estos monomios, los podemos combinar en un los podemos combinar en un único monomio mediante la único monomio mediante la propiedad distributiva.propiedad distributiva.
La suma o la resta de dos La suma o la resta de dos monomios con grados distintos es monomios con grados distintos es un binomio.un binomio.
La suma o la resta de tres La suma o la resta de tres monomios con grados distintos es monomios con grados distintos es un trinomio.un trinomio.
POLINOMIOPOLINOMIO
Un polinomio en una variable es una Un polinomio en una variable es una expresión algebraica de la formaexpresión algebraica de la forma
aannxxnn+ a+ an-1n-1xxn-1n-1+ a+ an-2n-2xxn-2n-2+…+ a+…+ a11x+ax+a00
donde adonde ann, a, an-1n-1, a, an-2n-2, …, a, …, a11, a, a00 son constantes, son constantes, llamadas coeficientes de un polinomio, nllamadas coeficientes de un polinomio, n0 0 es un entero y x una variable. Si aes un entero y x una variable. Si ann0, se le 0, se le llama coeficiente principal del polinomio y llama coeficiente principal del polinomio y n es el grado del polinomio.n es el grado del polinomio.
Los monomios que conforman a un Los monomios que conforman a un polinomio son sus términospolinomio son sus términos
EjemploEjemplo
POLINOMIO COEFICIENTE GRADO
3x2-5=3x2+0*x+(-5)
3,0,-5
2
8-2x+x2=1*x2-2x+8 1,-2,8 2
5x+ =5x1+ 5, 1
3=3*1=3*x
0 3 0
0 0 Sin grado
ExponenteExponente, término utilizado en , término utilizado en matemáticas para indicar el matemáticas para indicar el número de veces que una número de veces que una cantidad se ha de multiplicar por cantidad se ha de multiplicar por sí misma. sí misma.
Un exponente se escribe Un exponente se escribe normalmente como un pequeño normalmente como un pequeño número o letra en la parte superior número o letra en la parte superior derecha de la expresión.derecha de la expresión.
Ejemplo:Ejemplo: xx22
(x+y)(x+y)33
Por lo tanto…Por lo tanto…
aann
denota denota
el producto ael producto a..aa..aa……a a
(n factores)(n factores)
¿Qué es una ecuación?¿Qué es una ecuación?
Una ecuación es una Una ecuación es una igualdad igualdad de dos expresiones de dos expresiones algebraicas, algebraicas, cada una de ellas cada una de ellas escrita a los lados del signo igual.escrita a los lados del signo igual.
xx 31257
ECUACION
La expresión que se escribe a la izquierda de la igualdad recibe el
nombre de “primer miembro de la ecuación”, y la expresión de la
derecha “segundo miembro”.
xx 31257 PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO
Los términos que llevan Los términos que llevan xx se denominan se denominan ““términos en xtérminos en x” y aquellos que no van ” y aquellos que no van
multiplicando a la multiplicando a la xx se llaman se llaman términos independientes.términos independientes.
xx 31257 Términos en x
Términos independientes
Definición de una Definición de una ecuación lineal ecuación lineal Una ecuación lineal en la variable Una ecuación lineal en la variable xx
es una ecuación de la forma
donde a y b son números reales y a≠0
0bax
Resolver una ecuación consiste Resolver una ecuación consiste en encontrar un valor para la en encontrar un valor para la incógnita que al sustituirlo en la incógnita que al sustituirlo en la ecuación haga que la igualdad se ecuación haga que la igualdad se cumpla. cumpla.
Por lo tanto…
TEOREMATEOREMA
La ecuación lineal ax+b=0 (donde La ecuación lineal ax+b=0 (donde
a≠0) tiene exactamente una a≠0) tiene exactamente una
solución, solución, a
b
Ejemplo: Ejemplo: Resuelva la Resuelva la ecuaciónecuación
821125 xxx
2
5
52
1163
6113
6113
x
x
xx
xx
xx
Ejemplo: Ejemplo: Resuelva la Resuelva la ecuación para xecuación para x
axabbx
xabxa
xbaax
22 (c)
24 (b)
24453 (a)
Si se lee la temperatura en dos Si se lee la temperatura en dos termómetro, uno Fahrenheit y otro termómetro, uno Fahrenheit y otro
Celcius, entonces F grados es la Celcius, entonces F grados es la temperatura Fahrenheit leída y C temperatura Fahrenheit leída y C
grados es la temperatura Celcius, la grados es la temperatura Celcius, la relación de estas temperaturas es:relación de estas temperaturas es:
Resuelve esta ecuación para C.Resuelve esta ecuación para C.
325
9 CF
Factorizar un polinomio que Factorizar un polinomio que contenga la suma de monomios contenga la suma de monomios significa encontrar una expresión significa encontrar una expresión equivalente que es un producto.equivalente que es un producto.
FactorizarFactorizar xx 1510 2
)32(51510 2 xxxx
Suma de monomios
Expresión equivalente que es
un producto
Dos factores de10x2+15x son 5x y
2x+3
FACTOR COMUNFACTOR COMUN
Propiedad distributiva en Propiedad distributiva en dirección inversa.dirección inversa.
ab+ac=a(b+c)ab+ac=a(b+c)
EjemploEjemplo
Factoriza: a)18xFactoriza: a)18x3 3 + 27x+ 27x22
En primer lugar, determina el En primer lugar, determina el máximo factor común.máximo factor común.
18x18x3 3 + 27x+ 27x22
9 es el entero más grande que divide 18 y 27
x2 es la expresión más grande que
divide a x3 y x2
El MFC de los términos del El MFC de los términos del polinomio es 9xpolinomio es 9x22..
18x18x3 3 + 27x+ 27x22
=9x=9x22(2x)+9x(2x)+9x22(3)(3)
=9x=9x22(2x+3)(2x+3)
b)xb)x22(x+3)+5(x+3)(x+3)+5(x+3)
En esta situación el máximo factor En esta situación el máximo factor común es el binomio común (x+3). común es el binomio común (x+3). Este se factoriza como sigue:Este se factoriza como sigue:
xx22(x+3)(x+3)+5+5(x+3)(x+3)==(x+3)(x+3)(x(x22+5)+5)Se coloca Se coloca
fuera el fuera el binomio binomio que es el que es el factor comúnfactor común
Ejercicio: FactorizaEjercicio: Factoriza
a)a) 36x36x2 2 – 48x– 48x55
b)b) 51x51x33(x(x44-2) + 78y(x-2) + 78y(x44-2)-2)
FACTORIZAR POR FACTORIZAR POR AGRUPACIONAGRUPACION Algunos polinomios sólo tienen un Algunos polinomios sólo tienen un
máximo factor común de 1; sin máximo factor común de 1; sin embargo, es posible factorizarlos embargo, es posible factorizarlos con un agrupamiento adecuado con un agrupamiento adecuado de los términos. Este proceso se de los términos. Este proceso se llama factorización por llama factorización por agrupación.agrupación.
Ejemplo:Ejemplo:Factoriza: xFactoriza: x33+4x+4x22+3x+12+3x+12
No hay ningún factor distinto de 1 que No hay ningún factor distinto de 1 que los términos tengan en común. No los términos tengan en común. No obstante, puede agruparse los obstante, puede agruparse los términos de modo que tengan un términos de modo que tengan un factor común: factor común:
xx33+4x+4x22+3x+12+3x+12
El factor común es x2
El factor común es 3
Ahora factorizamos el polinomio dado, Ahora factorizamos el polinomio dado, como sigue: como sigue:
xx33+4x+4x22+3x+12+3x+12=(x=(x33+4x+4x22)+(3x+12) )+(3x+12) Agrupe términos con Agrupe términos con
factores comunes factores comunes
=x=x22(x+4)+3(x+4) (x+4)+3(x+4) Factorice el máximo Factorice el máximo factor común de los términos agrupados. Los otros dos factor común de los términos agrupados. Los otros dos términos ahora tienen al binomio x+4 como factor común.términos ahora tienen al binomio x+4 como factor común.
=(x+4)(x=(x+4)(x22+3) +3) Obtenga como factor MFC, x +4Obtenga como factor MFC, x +4
FACTORIZACION DE FACTORIZACION DE TRINOMIOSTRINOMIOS Para factorizar un trinomio de la Para factorizar un trinomio de la
forma forma
axax22 + bx+ c + bx+ c
son necesarios algunos intentos por son necesarios algunos intentos por ensayo y errorensayo y error
Estrategia para Estrategia para factorizar axfactorizar ax22+bx+c+bx+c
Suponga, de momento, que no hay Suponga, de momento, que no hay un máximo factor común.un máximo factor común.
1.1. Encuentre dos primeros Encuentre dos primeros términos cuyo producto sea axtérminos cuyo producto sea ax22
( x + ) ( x + ) = ( x + ) ( x + ) = axax22+bx+c+bx+c
2. Encuentre dos últimos términos 2. Encuentre dos últimos términos cuyo producto sea c:cuyo producto sea c:
( x + ) ( x + ) = ( x + ) ( x + ) = axax22+bx+c+bx+c
3. Repita los pasos 1 y 2, por ensayo 3. Repita los pasos 1 y 2, por ensayo y error, hasta que la suma del y error, hasta que la suma del producto de los extremos (E) y la producto de los extremos (E) y la de los internos (I) sea bx: de los internos (I) sea bx:
( x + ) ( x + ) = ( x + ) ( x + ) = axax22+bx+c+bx+c
I I E
Suma de E + I
FACTORIZACION DE UNA FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE DIFERENCIA DE CUADRADOSCUADRADOS
Si A y B son números reales, o expresiones Si A y B son números reales, o expresiones algebraicas, entoncesalgebraicas, entonces
AA22 – B – B22 = (A + B)(A – B) = (A + B)(A – B)
En palabras: la diferencia de los cuadrados de En palabras: la diferencia de los cuadrados de dos términos se factoriza como el producto dos términos se factoriza como el producto
de una suma y una resta de dichos de una suma y una resta de dichos términos.términos.
EjemploEjemplo
Factorice:Factorice:
Debemos expresar cada término como el Debemos expresar cada término como el cuadrado de algunos monomios y después cuadrado de algunos monomios y después
usar la fórmula para factorizar Ausar la fórmula para factorizar A22 – B – B22
42 x
)2)(2(24 222 xxxx
A2 - B2 = (A + B)(A - B)
FACTORIZACION DE FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADOS TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOSPERFECTOS
Sean A y B números reales, variables o Sean A y B números reales, variables o expresiones algebraicas.expresiones algebraicas.
1. 1.
2.2.
222 )(2 BABABA
222 )(2 BABABA
FACTORIZACION DE LA FACTORIZACION DE LA SUMA Y RESTA DE DOS SUMA Y RESTA DE DOS CUBOSCUBOS
1.1. Factorización de la suma de dos cubosFactorización de la suma de dos cubos
AA33 + B + B33 = (A + B)(A = (A + B)(A22 – AB + B – AB + B22))
2. Factorización de la diferencia de dos 2. Factorización de la diferencia de dos cuboscubos
AA33 - B - B33 = (A - B)(A = (A - B)(A22 + AB + B + AB + B22))
Mismos signos Signos contrarios
Signos contrariosMismos signos
EjemploEjemplo
Factorice: Factorice: 83 x
)42)(2()22)(2(28 222333 xxxxxxxx
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
ESTRATEGIA PARA ESTRATEGIA PARA FACTORIZAR UN FACTORIZAR UN POLINOMIOPOLINOMIO1.1. Si hubiera un factor común, Si hubiera un factor común,
factorice el MFC.factorice el MFC.
2.2. Determine el número de Determine el número de términos en el polinomio y trate términos en el polinomio y trate de factorizar como se indica a de factorizar como se indica a continuación:continuación:
a) Si hay dos términos, ¿se puede a) Si hay dos términos, ¿se puede factorizar factorizar el binomio en alguno de los el binomio en alguno de los siguientes siguientes productos notables?productos notables?
Diferencia de cuadrados: ADiferencia de cuadrados: A22-B-B22=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B)
Suma de dos cubos: ASuma de dos cubos: A33+B+B33=(A+B)(A=(A+B)(A22-AB+B-AB+B22))
Diferencia de dos cubos: ADiferencia de dos cubos: A33-B-B33=(A-B)=(A-B)(A(A22+AB+B+AB+B22))
b) Si hay tres términos, ¿es un trinomio b) Si hay tres términos, ¿es un trinomio cuadrado perfecto? Si es así, cuadrado perfecto? Si es así, factorícelo en un de los siguientes factorícelo en un de los siguientes productos notables:productos notables:
AA22+2AB+B+2AB+B22=(A+B)=(A+B)22
AA22-2AB+B-2AB+B22=(A-B)=(A-B)22
Si no es un trinomio cuadrado perfecto, Si no es un trinomio cuadrado perfecto, trate de factorizarlo por ensayo y errortrate de factorizarlo por ensayo y error
c) Si hay cuatro términos o más, c) Si hay cuatro términos o más, intente factorizarlos por agrupación.intente factorizarlos por agrupación.
3. Verifique para ver si hay factores 3. Verifique para ver si hay factores con más de un término en el con más de un término en el polinomio factorizado que puedan polinomio factorizado que puedan factorizarse aún más. Si es así, factorizarse aún más. Si es así, factorice completamente.factorice completamente.
EJERCICIOSEJERCICIOS
Factoriza: 4y2-11y+6 6p2-7pq-5q2
16p2-40pq+25q2
169x2+104xy2+16y4
4m2-9 128p2-98q2
x2+36
Definición de los Definición de los logaritmoslogaritmos Y=log xY=log x
Significa 10Significa 10yy=x=x
EjemploEjemplo
Para encontrar log 10,000, Para encontrar log 10,000, pregúntese, ¿A qué exponente pregúntese, ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir debe elevarse 10 para producir 10,000?10,000?
EjemploEjemplo
Para encontrar log 10,000, Para encontrar log 10,000, pregúntese, ¿A qué exponente pregúntese, ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir debe elevarse 10 para producir 10,000?10,000?
Como 10Como 104 4 = 10,000, vemos que = 10,000, vemos que
log 10,000=4.log 10,000=4.
PROPIEDADES PROPIEDADES BASICAS DE LOS BASICAS DE LOS LOGARITMOSLOGARITMOSSea x y y nSea x y y núúmeros reales con x>0.meros reales con x>0.
xxx
yx
yyy
loglog que ya 10
1010 que ya 10log
1010que ya 110log
110 que ya 01log
log
1
0
PROPIEDADES PROPIEDADES BASICAS DE LOS BASICAS DE LOS LOGARITMOSLOGARITMOSPara 0<b≠1, x>0, y cualquier número Para 0<b≠1, x>0, y cualquier número
real y.real y.
xxxb
bbyb
bbb
b
bbx
yyyb
b
b
b loglog que ya
que ya log
que ya 1log
1 que ya 01log
log
1
0
Expresa los siguientes Expresa los siguientes logaritmos en forma logaritmos en forma exponencial:exponencial:
1 9 2
2 71
2
31
42
3
49
2
) log
) log
) log
Expresa los siguientes Expresa los siguientes logaritmos en forma logaritmos en forma exponencial:exponencial:
1 27 3
2 61
2
31
92
3
36
3
) log
) log
) log
Expresa de la forma Expresa de la forma exponencial a la forma exponencial a la forma logarítmicalogarítmica
1 9
21
33
3 100 10
2
1
1
2
)81
)
)
Propiedades de los Propiedades de los logaritmoslogaritmos
1) log1) logbb 1 = 0 1 = 0
2) log2) logbb b = 1 b = 1
3) log3) logbb bx = x bx = x
4) log4) logbb MN = log MN = logbb M + log M + logbb N N
6) log6) logbb Mp = p log Mp = p logbb M M
7) log7) logbb M = log M = logbb N si y sólo si M = N N si y sólo si M = N
Usa las propiedades Usa las propiedades para expandir cada para expandir cada expresiónexpresión 1
2
3
4
3
1
5
3
) log
) log
) log
) log
b
b
b
b
uv
uv
r
xy
u
v
Usa las propiedades para Usa las propiedades para escribir cada expresión como escribir cada expresión como un solo logaritmo:un solo logaritmo:
1) log1) log33 (x) + log (x) + log 33 (6) = (6) =
2) log2) log33 (24) - log (24) - log33 (4) = (4) =
3) log (x - 1) + log (3) - 3 log 3) log (x - 1) + log (3) - 3 log (x) =(x) =
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