fracciones

FRACCIONESFRACCIONES

Fracciones ComunesUna fracción común representa partes

iguales de un entero. Consiste de dos números y una barra fraccionaria, y se escribe de esta forma

rDenominado

Numerador

Regla 1

Cuando el denominador es 1, la fracción es igual al número del numerador.

Regla 2: MultiplicarRegla 2: Multiplicar

bd

ac

d

c

b

a

Ejemplo:Ejemplo:

15

8

5

4

3

2

Regla 3: DivisiónRegla 3: División

bc

ad

dcb

a

Ejemplo:Ejemplo:

12

10

34

52

54

32

Regla 4: SumaRegla 4: Suma

bd

bcad

d

c

b

a

Ejemplo:Ejemplo:

15

2

53

3452

5

4

3

2

Ejercicio: Ejercicio: Realice la Realice la operación que se le pide.operación que se le pide.

7

4

21

15 (c)

7

2

15

8 (b)

4

7

7

11 (a)

7

3

6

5 (f)

7

20

31

4 (e)

4

7

11

9 (d)

RespuestasRespuestas

105

26

105

3056

715

21578

7

2

15

8 b)

28

93

28

4944

47

77411

4

7

7

11 a)


77

36

711

49

47119

4

7

11

9 d)

147

60

721

415

7

4

21

15 c)

18

35

36

75

7365

7

3

6

5 f)

217

80

731

204

7

20

31

4 e)

NOTACION NOTACION CIENTIFICACIENTIFICA

Cualquier número positivo puede Cualquier número positivo puede escribirse en notación científica,escribirse en notación científica,

C x 10C x 10mm, donde 1≤c<10 y m es un , donde 1≤c<10 y m es un entero.entero.

Esta notación proporciona una Esta notación proporciona una manera de trabajar con números manera de trabajar con números muy grandes y números muy muy grandes y números muy pequeños. pequeños.

EjemploEjemplo

1. La rapidez de la luz es de 1. La rapidez de la luz es de aproximadamente 300 000 000 aproximadamente 300 000 000

m/s.m/s.

2. El punto de la i en un libro tiene 2. El punto de la i en un libro tiene una masa de aproximadamente una masa de aproximadamente

0.000 000 001 kg.0.000 000 001 kg.

El problema se evita al usar un El problema se evita al usar un método que incorpora método que incorpora potencias del número 10:potencias del número 10:

101000=1=1

101011=10=10

101022=10x10=100=10x10=100

101033=10x10x10=1000=10x10x10=1000

101044=10x10x10x10=10000=10x10x10x10=10000

101055=10x10x10x10x10=100000=10x10x10x10x10=100000

La rapidez de la luz es de La rapidez de la luz es de aproximadamente 300 000 000 aproximadamente 300 000 000

m/s.m/s.

3 x 103 x 1088 m/s m/s

Los números representativos Los números representativos menores que la unidad son los menores que la unidad son los

siguientes:siguientes:

0001.010101010

110

001.0101010

110

01.01010

110

1.010

110

4

3

2

1

xxx

xx

x

Otros ejemplos:Otros ejemplos:

El punto de la i en un libro tiene El punto de la i en un libro tiene una masa de aproximadamente una masa de aproximadamente

0.000 000 001 kg.0.000 000 001 kg.

1 x 101 x 10-9-9

Por ejemplo, la distancia entre la Por ejemplo, la distancia entre la Tierra y el Sol es de alrededor de Tierra y el Sol es de alrededor de 93,000,000 millas. En notación 93,000,000 millas. En notación científicacientífica

93,000,000 millas = 9.3 x 1093,000,000 millas = 9.3 x 1077 millasmillas

La masa de una molécula de La masa de una molécula de oxígeno es de alrededor de oxígeno es de alrededor de

0.000 000 000 000 000 000 000 0.000 000 000 000 000 000 000 053 gramos053 gramos

En notación científica:En notación científica:

5.3 x 105.3 x 10-23-23gg

Convierte a notación Convierte a notación científica o viceversacientífica o viceversaa) 2.375 x 10a) 2.375 x 1088 e) 3.98 x 10e) 3.98 x 10-8-8

b) 0.000000349b) 0.000000349 f) 0.000489f) 0.000489

c) 7.36 x 10c) 7.36 x 10-5-5 g) 8.64 x 10g) 8.64 x 1044

d) 9816762.5d) 9816762.5 h) 0.0357h) 0.0357


a) 2.375 x 10a) 2.375 x 108 8 = 237500000= 237500000

b) 0.000000349 = 3.49 x 10b) 0.000000349 = 3.49 x 10-7-7

c) 7.36 x 10c) 7.36 x 10-5-5 = 0.0000736

d) 9816762.5 = 9.8167625 x 10d) 9816762.5 = 9.8167625 x 1066

e) 3.98 x 10e) 3.98 x 10-8-8 =0.0000000398 =0.0000000398

f) 0.000489 = 4.89 x 10f) 0.000489 = 4.89 x 10-4-4

g) 8.64 x 10g) 8.64 x 1044 = 86400 = 86400

h) 0.0357 = 3.57 x 10h) 0.0357 = 3.57 x 10-2-2

REGLA DE TRESREGLA DE TRES

La La regla de tresregla de tres es una forma de es una forma de resolución de problemas de resolución de problemas de

proporcionalidad entre tres o más proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una valores conocidos y una

incógnita. incógnita.

Regla de tres

Directa Inversa Mixta

REGLA DE TRES REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTASIMPLE DIRECTA

YX

BA

A

BXY

YX

BA

Si necesito 2 litros de leche para Si necesito 2 litros de leche para el desayuno de 8 niños, ¿Cuántos el desayuno de 8 niños, ¿Cuántos litros de leche se necesita para litros de leche se necesita para 15?15?

A

BXY

Y

15

28

75.3

8

30

8

215Y

YX

BA

De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600 . ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

A

BXY

Y

600

%100800

%75

800

%100600Y

REGLA DE TRES REGLA DE TRES SIMPLE INVERSASIMPLE INVERSA

YX

BA

X

BAY

YX

BA

si 8 trabajadores realizan todo su si 8 trabajadores realizan todo su trabajo en 10 horas, ¿cuánto trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán 3 trabajadores en realizar tardarán 3 trabajadores en realizar la misma cantidad de trabajo?la misma cantidad de trabajo?

X

BAY

67.26

3

108Y

Y

3

108

YX

BA

Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?

X

BAY

100

75

30025Y

Y

75

30025

REGLA DE TRES REGLA DE TRES SIMPLE MIXTASIMPLE MIXTA

ZYX

CBA

Relación directaRelación directa

C

AZX

ZX

CA

Relación inversaRelación inversa

Y

ABX

YX

BA

Relación mixtaRelación mixta

CY

ABZX

EjemploEjemplo

Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de reja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una reja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

InformaciónInformación

BoteBotess

Capacidad Capacidad (kg)(kg)

Longitud Longitud (m)(m)

Altura Altura (cm)(cm)

1212 ½½ 9090 8080

xx 22 200200 120120


BoteBotess

Capacidad Capacidad (kg)(kg)

Longitud Longitud (m)(m)

Altura Altura (cm)(cm)

1212 ½½ 9090 8080

xx 22 200200 120120

BoteBotess

CapacidaCapacidadd

(kg)(kg)

LongitudLongitud

(m)(m)AlturaAltura

(m)(m)AreaArea

(m(m22))

1212 0.50.5 9090 0.80.8 7272

xx 22 200200 1.21.2 240240

Y

ABX

YX

BA

BotesBotes Capacidad Capacidad (kg)(kg)

Area (mArea (m22))

1212 0.50.5 7272

XX 22 240240

Relación Inversa

kg

kgbotesx

2

5.012

BotesBotes Capacidad Capacidad (kg)(kg)

Area (mArea (m22))

1212 0.50.5 7272

XX 22 240240

Relación Directa

2

2

72

24012

m

mbotesx

C

AZX

ZX

CA

kg

kgbotesx

2

5.012

2

2

72

24012

m

mbotesx

botes

mkg

mkgbotesx 10

722

2405.0122

2

EjemploEjemplo

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos

obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en

cinco días?


ObreroObreross

Largo (m)Largo (m) Ancho (m)Ancho (m) DíasDías

1111 220220 4848 66

xx 300300 5656 55


ObreroObreross

Largo Largo (m)(m)

Ancho Ancho (m)(m)

DíaDíass

Area Area (m(m22))

1111 220220 4848 66 1056010560

xx 300300 5656 55 1680016800

Y

ABX

YX

BA

ObrerosObreros DíasDías Area (mArea (m22))

1111 66 1056010560

XX 55 1680016800

Relación Inversa

días

díasobrerosx

5

611

ObrerosObreros DíasDías Area (mArea (m22))

1111 66 1056010560

XX 55 1680016800

Relación Directa

2

2

10560

1680011

m

mobrerosx

C

AZX

ZX

CA

obreros

mdías

mdíasobrerosx 21

105605

168006112

2

2

2

10560

1680011

m

mobrerosx

días

díasobrerosx

5

611

RESUELVERESUELVE

Ejercicio 1Ejercicio 1

Un coche de Mérida a Valladolid Un coche de Mérida a Valladolid tarda 3 horas a una velocidad de tarda 3 horas a una velocidad de 80 kilómetros por hora. ¿Cuántas 80 kilómetros por hora. ¿Cuántas horas tardará a una velocidad de horas tardará a una velocidad de 120 km por hora? 120 km por hora?

hh

hkm

hkmhx 2

120

240

/120

/803

km/h 120

km/h 80

Velocidad

-

-

hx

h 3

Tiempo


Calcula la masa de 65 cmCalcula la masa de 65 cm33 de de mercurio. Considera que éste mercurio. Considera que éste presenta una densidad de 13.6 presenta una densidad de 13.6 g/cmg/cm33

gx 884

cm 1

g 6.13cm 65

x

g 13.6

Masa

-

-

cm 65

cm 1

Volumen

3

3

3

3


Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

3

3

3

3

m 400

m 100010

4

106

m 1000

m 40010

4

6

hx

hx

Volumen

x

h

TiempoGrifos

h

hx

hx

hx

5.37m 4004

m 1000106

m 400

m 100010

4

106

3

3

3

3


Un estudiante necesita 15.0 g de Un estudiante necesita 15.0 g de etanol (alcohol etílico) para un etanol (alcohol etílico) para un experimento. Si la densidad del experimento. Si la densidad del alcohol es de 0.789 g/ml, alcohol es de 0.789 g/ml, ¿Cuántos mililitros de alcohol ¿Cuántos mililitros de alcohol necesita?necesita?

mlx 011.19

g 789.0

ml 1g 15

g 15

g 0.789

Masa

-

-

x

ml 1

Volumen


Leyendo 20 páginas cada día Leyendo 20 páginas cada día terminé un libro en 33 días. terminé un libro en 33 días. ¿Cuántos días tardaré leyendo 30 ¿Cuántos días tardaré leyendo 30 páginas diarias? páginas diarias?

díasx 22

pag 30

días 33pag 20

x

33

Días

-

-

30

20

Páginas

PROPORCIONESPROPORCIONES

Proporción es una igualdad entre dos razones.

Donde…Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

eConsecuent

eAntecedent

b

a

EjemploEjemplo

Un abuelo reparte 4 0 pesos entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

200

36

45016

36

450

16

15036

45012

36

450

12

10036

4508

36

450

8

36

450

1612816128

16128

zz

yy

xx

zyxzyx

zyx

EjemploEjemplo

Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 pesos. Al cabo de un año han

ganado 6450 pesos. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente

proporcional a los capitales aportados?

2700

21500

64509000

21500

6450

9000

225021500

64507500

21500

6450

7500

150021500

64505000

21500

6450

5000

21500

6450

900075005000900075005000

900075005000

zz

xy

xx

zyxzyx

zyx

ResuelveResuelve

Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas,

directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 pesos. Hallar lo

que le corresponde a la primera y tercera.

1029

5

7735z

75

735

4415

7353

5

735

3

75

735

3

z

xx

zx

UNIDADES DE UNIDADES DE MEDICIONMEDICION

MATERIA

PROPIEDADES CUANTITATIVAS

Mediciones científicas

UNIDADES SI

Unidades SI Unidades SI fundamentalesfundamentales

CANTIDAD FISICACANTIDAD FISICA NOMBRE DE NOMBRE DE LA UNIDADLA UNIDAD

ABREVIATURABREVIATURAA

MasaMasa KilogramoKilogramo kgkg

LongitudLongitud MetroMetro mm

TiempoTiempo SegundoSegundo ss

Corriente Corriente eléctricaeléctrica

AmpereAmpere AA

TemperaturaTemperatura KelvinKelvin KK

Intensidad Intensidad luminosaluminosa

CandelaCandela cdcd

Cantidad de Cantidad de masamasa

MolMol molmol

MASAMASA

1 kg1 kg

1 g1 g

1 kg1 kg

==

==

==

1000 g1000 g

1000 mg1000 mg

2.2046 lb2.2046 lb

1 lb1 lb == 0.45359 kg0.45359 kg

Cont… MASACont… MASA

1 lb1 lb == 16 onzas16 onzas

1 uma1 uma == 1.6605402x101.6605402x10--

2424gg

EjemploEjemplo

Si una mujer tiene una masa de 115 lb, Si una mujer tiene una masa de 115 lb, ¿qué masa tiene en gramos?¿qué masa tiene en gramos?

x

g

lb

lb 6.453

115

1

gxlb

glbx 41022.5

1

)6.453)(115(

EjercicioEjercicio

La dosis recomendada para La dosis recomendada para adultos de elixofilina, un fármaco adultos de elixofilina, un fármaco empleado para el tratamiento de empleado para el tratamiento de asma, es de 6 mg/kg de masa asma, es de 6 mg/kg de masa corporal. Calcule la dosis en corporal. Calcule la dosis en miligramos para una persona de miligramos para una persona de 150 lb.150 lb.

Info:Info:Tratamiento= 6 mg/kg Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lbPersona = 150 lb¿Cuánto del medicamento en ¿Cuánto del medicamento en mg?mg?

g

lb

glbx

x

g

lb

lb

680401

6.453150

6.453

150

1

Info:Info:Tratamiento= 6 mg/kg Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lb = 68040gPersona = 150 lb = 68040g¿Cuánto del medicamento en ¿Cuánto del medicamento en mg?mg?

kg

g

gkgz

g

g

z

kg

04.681000

680401

68040

10001

Info:Info:Tratamiento= 6 mg/kg Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lb = 68040g = Persona = 150 lb = 68040g = 68.04kg68.04kg¿Cuánto del medicamento en mg?¿Cuánto del medicamento en mg?

mg

kg

kgmgw

kg

kg

w

mg

24.4081

04.686

04.68

16

VOLUMENVOLUMEN

1L1L == 1010-3-3 m m33

== 1 dm1 dm33

== 101033 cm cm33

== 1.0567 qt1.0567 qt

== 1000 mL1000 mL

Cont… VOLUMENCont… VOLUMEN

1 gal1 gal == 4qt4qt

== 3.7854 L3.7854 L

1 cm1 cm33 == 1 mL1 mL

1 pulg1 pulg33 == 16.4 cm16.4 cm33

EjemploEjemplo

Convierta 4.95 qt a mLConvierta 4.95 qt a mL

qt

qt

x

L

95.4

0567.11

L

qt

qtLx 6844.4

0567.1

95.41

z

mL

L

L 1000

6844.4

1

mL

L

mLLz 4684

1

1000684.4

EjemploEjemplo

Una persona ordinaria tiene Una persona ordinaria tiene alrededor de 200 mg de alrededor de 200 mg de colesterol en 100 mL de su colesterol en 100 mL de su sangre. Si el volumen total de sangre. Si el volumen total de sangre en una persona es de 5.0 sangre en una persona es de 5.0 L, ¿Cuántos gramos de colesterol L, ¿Cuántos gramos de colesterol total contiene la sangre de ese total contiene la sangre de ese individuo?individuo?

Info: Persona = 200mg/100 mL Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5.0 L Vol. de sangre = 5.0 L ¿Cuántos g de colesterol total ¿Cuántos g de colesterol total contiene la sangre de ese individuo?contiene la sangre de ese individuo?

L

Lx

x

L

1.0ml 1000

ml 1001

ml 100

ml 10001


mg 10000

L 0.1

mg 2005

L 5

L 1.0200

Ly

y

mg


g 10

mg 1000

mg 100001

mg 10000

mg 10001

gw

w

g

EjemploEjemplo

Calcule la masa en gramos de Calcule la masa en gramos de 1.00 galones de agua. La 1.00 galones de agua. La densidad del agua es de 1.00 densidad del agua es de 1.00 g/mL.g/mL.

Info: galón de HInfo: galón de H22O, O, ΡΡ=1g/ml=1g/ml¿masa en gramos?¿masa en gramos?

ml 4.3785

L 1

4L 785.3ml 1000

4L 3.785

L 1

-

-

x

ml 000 1

x

1 gal - 3.7854 L

Info: 1 galón de HInfo: 1 galón de H22O = O = 3785.4ml, 3785.4ml, ΡΡ=1g/ml. ¿masa en =1g/ml. ¿masa en gramos?gramos?

g 4.3785

ml 1

ml 4.3785g 1

ml 3785.4

ml 1

-

-

z

g 1

z

PRESIONPRESION

1 Pa1 Pa == 1 N/m1 N/m22

== 1 kg/m-s1 kg/m-s22

1 atm1 atm == 101.325 Pa101.325 Pa

== 760 torr760 torr

== 14.70 14.70 lb/pulglb/pulg22

1 bar1 bar == 105 Pa105 Pa

TEMPERATURATEMPERATURA

0 K0 K == -273.15ºC-273.15ºC

== -459.67ºF-459.67ºF

325

9

329

5

15.273

CF

FC

CK

EjemploEjemplo

Si un pronosticador del tiempo Si un pronosticador del tiempo predice que durante el día la predice que durante el día la temperatura alcanzará 31ºC, temperatura alcanzará 31ºC, calcule la temperatura predicha calcule la temperatura predicha (a) (a) en K; en K; (b)(b) en ºF. en ºF.

(a)(a) en K en K

KK 15.30415.27331

(b) en ºF

FF º88325632315

9

EjercicioEjercicio

El etilenglicol, principal El etilenglicol, principal ingrediente de los ingrediente de los anticongelantes, se congela a -anticongelantes, se congela a -11.5ºC. Calcule el punto de 11.5ºC. Calcule el punto de congelación en congelación en (a) (a) K; K; (b)(b) ºF. ºF.

DOSIFICACIONDOSIFICACION

Por pesoPor peso

Un doctor ordena tomar 200 mg Un doctor ordena tomar 200 mg de Rocepin a un infante de 15.4 de Rocepin a un infante de 15.4 lb cada 8 horas. La etiqueta del lb cada 8 horas. La etiqueta del medicamento muestra que 75-medicamento muestra que 75-150 mg/kg por día es el rango de 150 mg/kg por día es el rango de la dosis apropiada. ¿Se encuentra la dosis apropiada. ¿Se encuentra la orden del doctor dentro del la orden del doctor dentro del rango apropiado?rango apropiado?

Información. Información. Infante: 15.4 lb. Infante: 15.4 lb. Ordenado:200mg/8h. Ordenado:200mg/8h. Etiqueta:75-150mg/kg x díaEtiqueta:75-150mg/kg x día

kg

lb

kglbx

x

kg

lb

lb

985.61

45359.04.15

45359.0

4.15

1

Información.Información. Infante: 15.4 lb (7kg). Infante: 15.4 lb (7kg). Ordenado:200mg/8h. Ordenado:200mg/8h. Etiqueta:75-150mg/kg x díaEtiqueta:75-150mg/kg x día

día al 600día al veces3200

1050)/150(7

525)/75)(7(

mgmg

mgkgmgkg

mgkgmgkg

EjemploEjemplo

Se ordenó 1.5mg/kg de Se ordenó 1.5mg/kg de solumedrol a un niño con peso de solumedrol a un niño con peso de 74.8 lb. Solumedrol se encuentra 74.8 lb. Solumedrol se encuentra disponible en 125mg/2mL. disponible en 125mg/2mL. ¿Cuántos mL le debe proporcionar ¿Cuántos mL le debe proporcionar la enfermera?la enfermera?

Información.Información. Niño: 74.8lb Niño: 74.8lb Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: 125mg/2ml125mg/2ml

kg

lb

kglbx

x

kg

lb

lb

928.331

45359.08.74

45359.0

8.74

1

Información.Información. Niño: 74.8lb (34kg)Niño: 74.8lb (34kg)Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: 125mg/2ml125mg/2ml

mlml

mg

mlmgz

z

ml

mg

mg

mgkgmgkg

82.0816.0

25

251

2

51

125

51/5.134

Masa-MasaMasa-Masa

Una tableta Una tableta → 1 →→ 1 →

Media tableta Media tableta → 1/2 →→ 1/2 →

Un cuarto de tableta Un cuarto de tableta → 1/4 →→ 1/4 →

Tres cuartos de tableta Tres cuartos de tableta → 3/4→ 3/4

EjemploEjemplo

Se ordenó 25 mg de Metroprolol. Se ordenó 25 mg de Metroprolol. Metroprolol está disponible en Metroprolol está disponible en tabletas de 50mg. ¿Cuántas tabletas de 50mg. ¿Cuántas tabletas debe la enfermera tabletas debe la enfermera suministrar?suministrar?

tabletas5.0mg 50

mg) 25 tableta)(1(

mg 25

mg 50

-

-

x

tableta1

x

Disponible

Ordenadox

tabletas5.0mg 50

mg) 25 tableta)(1(

x

EjemploEjemplo

El cloruro de potasio se encuentra El cloruro de potasio se encuentra disponible en tabletas de 10 mg. disponible en tabletas de 10 mg. Se ordenó, 40 mg de cloruro de Se ordenó, 40 mg de cloruro de potasio. ¿Cuántas tabletas debe potasio. ¿Cuántas tabletas debe administrar la enfermera? administrar la enfermera?

4mg 10

mg 40x

Disponible

Ordenado

Masa/líquido para Masa/líquido para líquidoslíquidos

1 gota = 0.05 mL1 gota = 0.05 mL

1 gota = 3 microgotas1 gota = 3 microgotas

Dada una cantidad de masa por Dada una cantidad de masa por líquido, ¿Cuánto líquido se líquido, ¿Cuánto líquido se

requiere?requiere?

requerido líquido tienese que VolDisponible

Ordenado

EjemploEjemplo

Se ordena suministrar 0.1g de Se ordena suministrar 0.1g de Dilantin. Éste se encuentra Dilantin. Éste se encuentra disponible como 30mg/5mL. disponible como 30mg/5mL. ¿Cuánto se debe administrar? ¿Cuánto se debe administrar?


Ordenado

mLmLmg

mg

mgg

mggx

x

mg

g

g

7.16530

100

1001

10001.0

1000

1.0

1

DATOS

Ordenado:

0.1g

Disponible:

30mg/5ml

EjemploEjemplo

Si se ordena 40 mg de Lasix y Si se ordena 40 mg de Lasix y éste se encuentra disponible en éste se encuentra disponible en presentación de 80 mg/mL, presentación de 80 mg/mL, ¿Cuánto se debe suministra?¿Cuánto se debe suministra?


Ordenado

mLmLmg

mg5.01

80

40

DATOS

Ordenado:

40mg

Disponible:

80mg/ml

PORCENTAJEPORCENTAJE

EjemploEjemplo

En un colegio, el 78% de 250 alumnos En un colegio, el 78% de 250 alumnos estudian francés como segundo estudian francés como segundo

idioma. ¿Cuántos alumnos estudian idioma. ¿Cuántos alumnos estudian francés?francés?

%100

%78250

%78

%100250

x

x

EjemploEjemplo

La población de una ciudad La población de una ciudad aumentó de 1.078.145 a aumentó de 1.078.145 a 1.192.932 habitantes, según el 1.192.932 habitantes, según el censo realizado entre los años censo realizado entre los años 2004 y 2005. 2004 y 2005.

¿Cuál ha sido el porcentaje de ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento de la población entre las aumento de la población entre las dos fechas?dos fechas?

1.192.932- 1.078.145=1147871.192.932- 1.078.145=114787

%65.10

1078145

%100114787

%100

114787

1078145

x

x

Prepara una solución al 1% de Prepara una solución al 1% de Brevital (Botella con 500 mg de Brevital (Botella con 500 mg de

polvo). ¿Cuántos mL de agua polvo). ¿Cuántos mL de agua esterilizada debes usar?esterilizada debes usar?

Info: Solución 1%, Info: Solución 1%, presentación 500mg presentación 500mg ¿mL?¿mL?1% = 1g/100mL = 1000mg/100mL 1% = 1g/100mL = 1000mg/100mL

= 10mg/mL= 10mg/mL

mL

mg

mLmgx

x

mL

mg

mg

5010

1500

1

500

10

EJERCICIOSEJERCICIOS

Un frasco de AMPICILINA inyectable de 1 g, lo disolvemos en 4 mL de agua destilada. Tenemos que inyectar 250 mg. ¿Cuántos mL vamos a inyectar?

A un cliente se le ordenó 1 mg de A un cliente se le ordenó 1 mg de Diazepan, el cual se encuentra Diazepan, el cual se encuentra

disponible en tabletas de 2 mg. disponible en tabletas de 2 mg. ¿Cuántas tabletas se le dará?¿Cuántas tabletas se le dará?

A un paciente se le ordenó 25 mg A un paciente se le ordenó 25 mg de una medicina intravenosa. La de una medicina intravenosa. La

cual se encuentra en cual se encuentra en presentación de inyección IV de presentación de inyección IV de

50mg/5mL. ¿Cuántos mililitros se 50mg/5mL. ¿Cuántos mililitros se le debe administrar?le debe administrar?

1.4cc de tetracaina al ½% se 1.4cc de tetracaina al ½% se suministró ¿Cuántos mg se suministró ¿Cuántos mg se dieron?dieron?

A un paciente se le receta 7.5 mg A un paciente se le receta 7.5 mg de Bendrofluazida, ésta se de Bendrofluazida, ésta se encuentra disponible en tabletas encuentra disponible en tabletas de 2.5 mg. ¿Cuántas tabletas de 2.5 mg. ¿Cuántas tabletas debe de tomar?debe de tomar?

A un paciente se le recetó 22 mg A un paciente se le recetó 22 mg de sulfato de gentamicina por de sulfato de gentamicina por

medio de una inyección medio de una inyección intramuscular. Ésta se encuentra intramuscular. Ésta se encuentra en presentación de inyección IM en presentación de inyección IM

de 20mg/2mL. ¿Cuántos mililitros de 20mg/2mL. ¿Cuántos mililitros se debe administrar?se debe administrar?

Calcula la cantidad de dextrosa al Calcula la cantidad de dextrosa al 5% que hay en 1000 mL5% que hay en 1000 mL

EXPRESION EXPRESION ALGEBRAICAALGEBRAICA

EXPRESION ALGEBRAICAEXPRESION ALGEBRAICA

Se utiliza para representar una Se utiliza para representar una constante, una variable o una constante, una variable o una combinación de variables y combinación de variables y constantes que implican un constantes que implican un número finito de operaciones número finito de operaciones indicadas. indicadas.

MonomioMonomio

Un monomio en una variable es el Un monomio en una variable es el producto de una constante por una producto de una constante por una variable elevada a una potencia entera variable elevada a una potencia entera no negativa. De este modo, un no negativa. De este modo, un monomio tiene forma.monomio tiene forma.

kaxDonde a es una constante, x una variable y k ≥ 0 un número entero. La constante a es el coeficiente del monomio. Si a≠0, entonces k es el grado del monomio.

Ejemplo:Ejemplo:

26x

4x

32x 2

MONOMIO COEFICIENTE GRADO

6 2

3

3 3 0

-5x -5 1

1 4

Dos monomios Dos monomios axk y bxk del mismo grado y con la misma variable son términos semejantes.

Al sumar o restar estos monomios, Al sumar o restar estos monomios, los podemos combinar en un los podemos combinar en un único monomio mediante la único monomio mediante la propiedad distributiva.propiedad distributiva.

Ejemplo:Ejemplo:

2222 75252 xxxx

3333 3)58(58 xxxx

La suma o la resta de dos La suma o la resta de dos monomios con grados distintos es monomios con grados distintos es un binomio.un binomio.

La suma o la resta de tres La suma o la resta de tres monomios con grados distintos es monomios con grados distintos es un trinomio.un trinomio.

EjemploEjemplo

binomioun es 22 x

oun trinomi es 533 xx

binomioun es 27252 222 xxx

POLINOMIOPOLINOMIO

Un polinomio en una variable es una Un polinomio en una variable es una expresión algebraica de la formaexpresión algebraica de la forma

aannxxnn+ a+ an-1n-1xxn-1n-1+ a+ an-2n-2xxn-2n-2+…+ a+…+ a11x+ax+a00

donde adonde ann, a, an-1n-1, a, an-2n-2, …, a, …, a11, a, a00 son constantes, son constantes, llamadas coeficientes de un polinomio, nllamadas coeficientes de un polinomio, n0 0 es un entero y x una variable. Si aes un entero y x una variable. Si ann0, se le 0, se le llama coeficiente principal del polinomio y llama coeficiente principal del polinomio y n es el grado del polinomio.n es el grado del polinomio.

Los monomios que conforman a un Los monomios que conforman a un polinomio son sus términospolinomio son sus términos

EjemploEjemplo

66144 234 xxxxTérmino

Término

Término Término

Término

EjemploEjemplo

POLINOMIO COEFICIENTE GRADO

3x2-5=3x2+0*x+(-5)

3,0,-5

2

8-2x+x2=1*x2-2x+8 1,-2,8 2

5x+ =5x1+ 5, 1

3=3*1=3*x

0 3 0

0 0 Sin grado

EXPONENTESEXPONENTES

ExponenteExponente, término utilizado en , término utilizado en matemáticas para indicar el matemáticas para indicar el número de veces que una número de veces que una cantidad se ha de multiplicar por cantidad se ha de multiplicar por sí misma. sí misma.

Un exponente se escribe Un exponente se escribe normalmente como un pequeño normalmente como un pequeño número o letra en la parte superior número o letra en la parte superior derecha de la expresión.derecha de la expresión.

Ejemplo:Ejemplo: xx22

(x+y)(x+y)33

Por lo tanto…Por lo tanto…

aann

denota denota

el producto ael producto a..aa..aa……a a

(n factores)(n factores)

Leyes de los exponentes:Leyes de los exponentes:

mnnm

nmn

m

nmnm

a)(a

a

aa

a

a)(aa

10

EjemploEjemplo

64242 xxxx

158787 wwww

mnmn aaa

EjemploEjemplo nmn

m

aa

a

6282

8

xxx

x

68148

14

zzz

z

EjemploEjemplo 10 a

10 x

10 k

EjemploEjemplo mnnm aa

248383 xxx

364949 www

mm

mm

m

mm

mmm

a

b

b

a

aa

b

a

b

a

baab

1

)(

EjemploEjemplo mmm baab

4444 zyxxyz

888 twwt

EjemploEjemplo m

mm

b

a

b

a

5

55

y

x

y

x

3

33

r

w

r

w

EjemploEjemplo mm

aa

1

77 1

xx

22 1

ww

EjemploEjemplomm

a

b

b

a

33

r

t

t

r

99

z

g

g

z

Ejercicio: Ejercicio: Simplifica cada expresión.

a)a)

b)b)

c)c)

4

23)(mm

21

32

26 yy

2

43

65

3

y

m

d)d)

e)e) 60

)2( 31

37

32

mmm

EjerciciosEjercicios

3 23

2

3-

232

a )

4w

z- )

)

ac

b

yxa

ECUACIONES ECUACIONES LINEALESLINEALES

¿Qué es una ecuación?¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una Una ecuación es una igualdad igualdad de dos expresiones de dos expresiones algebraicas, algebraicas, cada una de ellas cada una de ellas escrita a los lados del signo igual.escrita a los lados del signo igual.

xx 31257

ECUACION

La expresión que se escribe a la izquierda de la igualdad recibe el

nombre de “primer miembro de la ecuación”, y la expresión de la

derecha “segundo miembro”.

xx 31257 PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO

Los términos que llevan Los términos que llevan xx se denominan se denominan ““términos en xtérminos en x” y aquellos que no van ” y aquellos que no van

multiplicando a la multiplicando a la xx se llaman se llaman términos independientes.términos independientes.

xx 31257 Términos en x

Términos independientes

Definición de una Definición de una ecuación lineal ecuación lineal Una ecuación lineal en la variable Una ecuación lineal en la variable xx

es una ecuación de la forma

donde a y b son números reales y a≠0

0bax

Resolver una ecuación consiste Resolver una ecuación consiste en encontrar un valor para la en encontrar un valor para la incógnita que al sustituirlo en la incógnita que al sustituirlo en la ecuación haga que la igualdad se ecuación haga que la igualdad se cumpla. cumpla.

Por lo tanto…

TEOREMATEOREMA

La ecuación lineal ax+b=0 (donde La ecuación lineal ax+b=0 (donde

a≠0) tiene exactamente una a≠0) tiene exactamente una

solución, solución, a

b

Resuelve: Resuelve:

10

7

710

51237

x

x

xx

xx 31257

Ejemplo: Ejemplo: Resuelva la Resuelva la ecuaciónecuación

821125 xxx

2

5

52

1163

6113

6113

x

x

xx

xx

xx

Ejemplo: Ejemplo: Resuelva la Resuelva la ecuación para xecuación para x

axabbx

xabxa

xbaax

22 (c)

24 (b)

24453 (a)

axb

xax

aaxxax

2x-b5 (f)

32a (e)

33 (d)

22

2

Si se lee la temperatura en dos Si se lee la temperatura en dos termómetro, uno Fahrenheit y otro termómetro, uno Fahrenheit y otro

Celcius, entonces F grados es la Celcius, entonces F grados es la temperatura Fahrenheit leída y C temperatura Fahrenheit leída y C

grados es la temperatura Celcius, la grados es la temperatura Celcius, la relación de estas temperaturas es:relación de estas temperaturas es:

Resuelve esta ecuación para C.Resuelve esta ecuación para C.

325

9 CF

325

9 CF

CF

CF

CF

9

)32(5

9)32(55

932

9

)32(5

FC

FACTORIZACIONFACTORIZACION

Factorizar un polinomio que Factorizar un polinomio que contenga la suma de monomios contenga la suma de monomios significa encontrar una expresión significa encontrar una expresión equivalente que es un producto.equivalente que es un producto.

FactorizarFactorizar xx 1510 2

)32(51510 2 xxxx

Suma de monomios

Expresión equivalente que es

un producto

Dos factores de10x2+15x son 5x y

2x+3

FACTOR COMUNFACTOR COMUN

Propiedad distributiva en Propiedad distributiva en dirección inversa.dirección inversa.

ab+ac=a(b+c)ab+ac=a(b+c)

EjemploEjemplo

Factoriza: a)18xFactoriza: a)18x3 3 + 27x+ 27x22

En primer lugar, determina el En primer lugar, determina el máximo factor común.máximo factor común.

18x18x3 3 + 27x+ 27x22

9 es el entero más grande que divide 18 y 27

x2 es la expresión más grande que

divide a x3 y x2

El MFC de los términos del El MFC de los términos del polinomio es 9xpolinomio es 9x22..

18x18x3 3 + 27x+ 27x22

=9x=9x22(2x)+9x(2x)+9x22(3)(3)

=9x=9x22(2x+3)(2x+3)

b)xb)x22(x+3)+5(x+3)(x+3)+5(x+3)

En esta situación el máximo factor En esta situación el máximo factor común es el binomio común (x+3). común es el binomio común (x+3). Este se factoriza como sigue:Este se factoriza como sigue:

xx22(x+3)(x+3)+5+5(x+3)(x+3)==(x+3)(x+3)(x(x22+5)+5)Se coloca Se coloca

fuera el fuera el binomio binomio que es el que es el factor comúnfactor común

Ejercicio: FactorizaEjercicio: Factoriza

a)a) 36x36x2 2 – 48x– 48x55

b)b) 51x51x33(x(x44-2) + 78y(x-2) + 78y(x44-2)-2)

FACTORIZAR POR FACTORIZAR POR AGRUPACIONAGRUPACION Algunos polinomios sólo tienen un Algunos polinomios sólo tienen un

máximo factor común de 1; sin máximo factor común de 1; sin embargo, es posible factorizarlos embargo, es posible factorizarlos con un agrupamiento adecuado con un agrupamiento adecuado de los términos. Este proceso se de los términos. Este proceso se llama factorización por llama factorización por agrupación.agrupación.

Ejemplo:Ejemplo:Factoriza: xFactoriza: x33+4x+4x22+3x+12+3x+12

No hay ningún factor distinto de 1 que No hay ningún factor distinto de 1 que los términos tengan en común. No los términos tengan en común. No obstante, puede agruparse los obstante, puede agruparse los términos de modo que tengan un términos de modo que tengan un factor común: factor común:

xx33+4x+4x22+3x+12+3x+12

El factor común es x2

El factor común es 3

Ahora factorizamos el polinomio dado, Ahora factorizamos el polinomio dado, como sigue: como sigue:

xx33+4x+4x22+3x+12+3x+12=(x=(x33+4x+4x22)+(3x+12) )+(3x+12) Agrupe términos con Agrupe términos con

factores comunes factores comunes

=x=x22(x+4)+3(x+4) (x+4)+3(x+4) Factorice el máximo Factorice el máximo factor común de los términos agrupados. Los otros dos factor común de los términos agrupados. Los otros dos términos ahora tienen al binomio x+4 como factor común.términos ahora tienen al binomio x+4 como factor común.

=(x+4)(x=(x+4)(x22+3) +3) Obtenga como factor MFC, x +4Obtenga como factor MFC, x +4


axaxxb

xxxxa

393 )

)

23

432

FACTORIZACION DE FACTORIZACION DE TRINOMIOSTRINOMIOS Para factorizar un trinomio de la Para factorizar un trinomio de la

forma forma

axax22 + bx+ c + bx+ c

son necesarios algunos intentos por son necesarios algunos intentos por ensayo y errorensayo y error

Estrategia para Estrategia para factorizar axfactorizar ax22+bx+c+bx+c

Suponga, de momento, que no hay Suponga, de momento, que no hay un máximo factor común.un máximo factor común.

1.1. Encuentre dos primeros Encuentre dos primeros términos cuyo producto sea axtérminos cuyo producto sea ax22

( x + ) ( x + ) = ( x + ) ( x + ) = axax22+bx+c+bx+c

2. Encuentre dos últimos términos 2. Encuentre dos últimos términos cuyo producto sea c:cuyo producto sea c:

( x + ) ( x + ) = ( x + ) ( x + ) = axax22+bx+c+bx+c

3. Repita los pasos 1 y 2, por ensayo 3. Repita los pasos 1 y 2, por ensayo y error, hasta que la suma del y error, hasta que la suma del producto de los extremos (E) y la producto de los extremos (E) y la de los internos (I) sea bx: de los internos (I) sea bx:

( x + ) ( x + ) = ( x + ) ( x + ) = axax22+bx+c+bx+c

I I E

Suma de E + I


5112x )

65 )

2

2

xb

xxa

FACTORIZACION DE UNA FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE DIFERENCIA DE CUADRADOSCUADRADOS

Si A y B son números reales, o expresiones Si A y B son números reales, o expresiones algebraicas, entoncesalgebraicas, entonces

AA22 – B – B22 = (A + B)(A – B) = (A + B)(A – B)

En palabras: la diferencia de los cuadrados de En palabras: la diferencia de los cuadrados de dos términos se factoriza como el producto dos términos se factoriza como el producto

de una suma y una resta de dichos de una suma y una resta de dichos términos.términos.

EjemploEjemplo

Factorice:Factorice:

Debemos expresar cada término como el Debemos expresar cada término como el cuadrado de algunos monomios y después cuadrado de algunos monomios y después

usar la fórmula para factorizar Ausar la fórmula para factorizar A22 – B – B22

42 x

)2)(2(24 222 xxxx

A2 - B2 = (A + B)(A - B)


84

62

1681 )

x-100 )

wxb

ya

FACTORIZACION DE FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADOS TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOSPERFECTOS

Sean A y B números reales, variables o Sean A y B números reales, variables o expresiones algebraicas.expresiones algebraicas.

1. 1.

2.2.

222 )(2 BABABA

222 )(2 BABABA

EjemploEjemplo

Factorice: Factorice: 962 xx

2222 )3(33296 xxxxx

A2 + 2 A B + B2 = (A + B)2


9124 )

69 )

2

2

xxb

xxa

FACTORIZACION DE LA FACTORIZACION DE LA SUMA Y RESTA DE DOS SUMA Y RESTA DE DOS CUBOSCUBOS

1.1. Factorización de la suma de dos cubosFactorización de la suma de dos cubos

AA33 + B + B33 = (A + B)(A = (A + B)(A22 – AB + B – AB + B22))

2. Factorización de la diferencia de dos 2. Factorización de la diferencia de dos cuboscubos

AA33 - B - B33 = (A - B)(A = (A - B)(A22 + AB + B + AB + B22))

Mismos signos Signos contrarios

Signos contrariosMismos signos

EjemploEjemplo

Factorice: Factorice: 83 x

)42)(2()22)(2(28 222333 xxxxxxxx

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)


66

33

3

8 )

34364w )

81 )

yxc

zb

xa

ESTRATEGIA PARA ESTRATEGIA PARA FACTORIZAR UN FACTORIZAR UN POLINOMIOPOLINOMIO1.1. Si hubiera un factor común, Si hubiera un factor común,

factorice el MFC.factorice el MFC.

2.2. Determine el número de Determine el número de términos en el polinomio y trate términos en el polinomio y trate de factorizar como se indica a de factorizar como se indica a continuación:continuación:

a) Si hay dos términos, ¿se puede a) Si hay dos términos, ¿se puede factorizar factorizar el binomio en alguno de los el binomio en alguno de los siguientes siguientes productos notables?productos notables?

Diferencia de cuadrados: ADiferencia de cuadrados: A22-B-B22=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B)

Suma de dos cubos: ASuma de dos cubos: A33+B+B33=(A+B)(A=(A+B)(A22-AB+B-AB+B22))

Diferencia de dos cubos: ADiferencia de dos cubos: A33-B-B33=(A-B)=(A-B)(A(A22+AB+B+AB+B22))

b) Si hay tres términos, ¿es un trinomio b) Si hay tres términos, ¿es un trinomio cuadrado perfecto? Si es así, cuadrado perfecto? Si es así, factorícelo en un de los siguientes factorícelo en un de los siguientes productos notables:productos notables:

AA22+2AB+B+2AB+B22=(A+B)=(A+B)22

AA22-2AB+B-2AB+B22=(A-B)=(A-B)22

Si no es un trinomio cuadrado perfecto, Si no es un trinomio cuadrado perfecto, trate de factorizarlo por ensayo y errortrate de factorizarlo por ensayo y error

c) Si hay cuatro términos o más, c) Si hay cuatro términos o más, intente factorizarlos por agrupación.intente factorizarlos por agrupación.

3. Verifique para ver si hay factores 3. Verifique para ver si hay factores con más de un término en el con más de un término en el polinomio factorizado que puedan polinomio factorizado que puedan factorizarse aún más. Si es así, factorizarse aún más. Si es así, factorice completamente.factorice completamente.

EJERCICIOSEJERCICIOS

Factoriza: 4y2-11y+6 6p2-7pq-5q2

16p2-40pq+25q2

169x2+104xy2+16y4

4m2-9 128p2-98q2

x2+36

4z2+12z+9-w2

256k4-625m4

k3—8 12x2-26x-10

FUNCIONES FUNCIONES LOGARITMICASLOGARITMICAS

Definición de los Definición de los logaritmoslogaritmos Y=log xY=log x

Significa 10Significa 10yy=x=x

EjemploEjemplo

Para encontrar log 10,000, Para encontrar log 10,000, pregúntese, ¿A qué exponente pregúntese, ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir debe elevarse 10 para producir 10,000?10,000?

EjemploEjemplo

Para encontrar log 10,000, Para encontrar log 10,000, pregúntese, ¿A qué exponente pregúntese, ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir debe elevarse 10 para producir 10,000?10,000?

Como 10Como 104 4 = 10,000, vemos que = 10,000, vemos que

log 10,000=4.log 10,000=4.

Asimismo…Asimismo…

01.100

1

10

110

22

2

110log

201.log

01log 1100

1010 21

PROPIEDADES PROPIEDADES BASICAS DE LOS BASICAS DE LOS LOGARITMOSLOGARITMOSSea x y y nSea x y y núúmeros reales con x>0.meros reales con x>0.

xxx

yx

yyy

loglog que ya 10

1010 que ya 10log

1010que ya 110log

110 que ya 01log

log

1

0

EjemploEjemplo

6log

5

10 d)

1000

1log c)

10log b)

100log a)

PROPIEDADES PROPIEDADES BASICAS DE LOS BASICAS DE LOS LOGARITMOSLOGARITMOSPara 0<b≠1, x>0, y cualquier número Para 0<b≠1, x>0, y cualquier número

real y.real y.

xxxb

bbyb

bbb

b

bbx

yyyb

b

b

b loglog que ya

que ya log

que ya 1log

1 que ya 01log

log

1

0

EjemploEjemplo

11log

3

2

66 c)

3log b)

8log a)

Expresa los siguientes Expresa los siguientes logaritmos en forma logaritmos en forma exponencial:exponencial:

1 9 2

2 71

2

31

42

3

49

2

) log

) log

) log

Expresa los siguientes Expresa los siguientes logaritmos en forma logaritmos en forma exponencial:exponencial:

1 27 3

2 61

2

31

92

3

36

3

) log

) log

) log

Expresa de la forma Expresa de la forma exponencial a la forma exponencial a la forma logarítmicalogarítmica

1 9

21

33

3 100 10

2

1

1

2

)81

)

)

1 64 4

2 2 8

31

164

3

3

2

)

)

)

Propiedades de los Propiedades de los logaritmoslogaritmos

1) log1) logbb 1 = 0 1 = 0

2) log2) logbb b = 1 b = 1

3) log3) logbb bx = x bx = x

4) log4) logbb MN = log MN = logbb M + log M + logbb N N

6) log6) logbb Mp = p log Mp = p logbb M M

7) log7) logbb M = log M = logbb N si y sólo si M = N N si y sólo si M = N

Usa las propiedades Usa las propiedades para expandir cada para expandir cada expresiónexpresión 1

2

3

4

3

1

5

3

) log

) log

) log

) log

b

b

b

b

uv

uv

r

xy

u

v

Usa las propiedades para Usa las propiedades para escribir cada expresión como escribir cada expresión como un solo logaritmo:un solo logaritmo:

1) log1) log33 (x) + log (x) + log 33 (6) = (6) =

2) log2) log33 (24) - log (24) - log33 (4) = (4) =

3) log (x - 1) + log (3) - 3 log 3) log (x - 1) + log (3) - 3 log (x) =(x) =

1) log (5) + log (3) =1) log (5) + log (3) =

2) log2) log33 (x + 2) - log (x + 2) - log33 ( x - 1) = ( x - 1) =

3) 2 log (x) + log (y) + log (3) 3) 2 log (x) + log (y) + log (3) ==

fracciones

Documents