flujo-tubos-concentricos

7/23/2019 flujo-tubos-concentricos

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Mecnica de Fluidos, Forma diferencial de las ecuaciones fundamentales de flujo fluido

Emilio Rivera Chvez

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Ejemplo 2.- Flujo de un fluido newtoniano entre tubos concntricos.

Un cilindro de radio ri

gira con una velocidad angular

constante de rad/s dentro de un cojinete estacionario

de radio r

, como se muestra en la figura. El cilindro y el

cojinete estn separados por un aceite con viscosidad

kg/m3. El aceite es newtoniano. Encuentre el perfil de

velocidad tangencial V

y de esfuerzo cortante delaceite como funcin de r y de los parmetros pertinentes

de geometra y propiedades del fluido. Suponga flujo

laminar, que se alcanzan condiciones de estado

permanente y que puede utilizarse la ley de viscosidad

de Newton a pesar de que este flujo no es paralelo.

Pueden despreciarse los efectos de borde. Cul es el par

necesario que se debe aplicar para hacer girar el eje?

Solucin

La ecuacin diferencial de cantidad de movimiento es la que rige el flujo del fluido, + (1)Dada la geometra del problema, tomamos un volumen de control en coordenadas cilndricas y

representamos en este el flujo de cantidad de movimiento a travs de sus caras en la direccin

de flujo, as como las fuerzas que actan sobre el volumen de control infinitesimal provocando el

transporte de cantidad de movimiento, previo anlisis de la situacin planteada:

-Debido a la longitud infinita del cilindro y cojinete, despreciamos los efectos de borde por lo

que no hay movimiento axial: Vz

=0.

-El cilindro interior es concntrico con el cojinete y gira con velocidad angular constante, por lo

que asumimos que hay simetra circular, debido a ello las partculas fluidas se mueven

tangencialmente y la velocidad vara solo en funcin de r (por efecto de la viscosidad) y es

independiente de .-Como la componente radial de velocidad es Vr=ro=0 en la pared interior del cojinete, as como

en el cilindro Vr=ri=0, concluimos que Vr=0 en cualquier punto del flujo. Entonces el movimiento

tiene que ser nicamente circular, V

V

(r). Dicho de otro modo la velocidad solo tiene

componente tangencial y esta es slo funcin de r. En consecuencia solo existe esfuerzo

cortante en la cara r y es funcin de r, .+

r

d

dr

Cojinete

g

+

dr

r

d

d

pp

Fig 2.2.- volumen de control diferencial en la que se muestran los esfuerzos y el transporte de cantidad de

movimiento asociado al flujo msico en la direccin azimutal.

+1

V(r)=?

Eje

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Emilio Rivera Chvez

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La componente acimutal de la ecuacin (1) en coordenadas cilndricas est dada por:

+ + + + + (2)Bajo los supuestos planteados anteriormente para este problema, casi todos los trminos son

cero, excepto el ltimo.

0 (3) (1 + 12 22 + 22) 1 (4)

Entonces la ecuacin 3 se puede escribir as,

0 (5)Que es la ecuacin diferencial a resolver.

Como V(r) es funcin solo de r, la ecuacin (5) es una ecuacin diferencial ordinaria de

segundo orden

0Ecuacin que se puede resolver asi,

+

+

0

0 0Integrando, una vez,

Separando variables, volviendo a integrar y despejado V, se tiene finalmente,

+ Las constantes pueden ser calculadas a partir de las condiciones de frontera:

Para r=ri; V= ri r + Para r=r0; V= 0 0 + C2 = -C1r02

r

r

(6)

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Emilio Rivera Chvez

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Finalmente la solucin para la ecuacin de distribucin de velocidad es

r

Ahora, de la componente azimutal de la ecuacin de Newton de la viscosidad en coordenadas

cilndricas, se puede obtener la distribucin de esfuerzo cortante como funcin de r, : [ () + 1 ]

Teniendo en cuenta que Vr = 0 y que V (r), se tiene;

[ ()]Dividiendo la ecuacin (7) entre r, derivando la ecuacin resultante y reemplazando en (8), se

obtiene

21 El par necesario para hacer girar el cilindro interior (eje) puede calcularse fcilmente a partir de

la definicin (fuerza por brazo).

|=

2 2 1 4

En la figura se muestra el perfil de distribucin de velocidad y esfuerzo cortante.

Estesistemaesunmodeloaceptableparacojinetes

defriccin, tambin seconstruyen cierto tipo de

viscosmetros-basados en este modelo- que

permitenmedirlaviscosidaddefluidosmidiendoel

pardetorsinylavelocidadangular.

Obsrvesequeenestetipodedispositivoselflujo

fluido se debe al arrastre viscoso debido a la

rotacindeleje,ynoaungradientedepresinen

la direccin tangencial, en cambio si hay un

gradientedepresinenladireccinradial.

Cmo cambia el modelo de distribucin de

velocidades y tensiones tangenciales si, (a) el

cilindro exterior es el que gira y el interior

permaneceesttico?Y(b)siamboscilindrosgiran,

unoensentidocontrarioalotro?

(7)

V

(8)

(9)

(10)