final probabilidad

Matemática II

Estadística

Probabilidad

Análisis Combinatorio

Probabilidad

ExperimentosAleatorios

Deterministicos

Sucesos

TiposEspacio S

Unión A U BIntersección A ∩ B

DiferenciaContrarios

Espacio Muestral E

Axiomas de la Probabilidad

Propiedades de la Probabilidad

Ley de Laplace

Combinatoria y Probabilidad

Probabilidad Condicionada P(A/B)

Suc. Independiente

Suc. Dependiente

Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de BayesTeorema del

producto

• Ejemplo Si dejamos caer una piedra desde una ventana

sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará

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Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de BayesTeorema del

producto

• Ejemplos Si lanzamos una moneda no sabemos de

antemano si saldrá cara o cruz.

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Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de BayesTeorema del

producto

ELEMENTAL

ALEATORIO

COMPUESTO

SEGURO

IMPOSIBLE Ø

COMPATIBLES

INCOMPATIBLES

DEPENDIENTES

INDEPENDIENTES

CONTRARIO Ā

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Teorema de BayesTeorema del

producto

• Una moneda E= {C, X}.• Número de sucesos = 22 =4• Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}.• Número de sucesos = 24 =16• Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.• Número de sucesos = 26 = 64

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producto

• Ejemplo• Consideramos el experimento que consiste en

lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.

• A = {2, 4, 6}• B = {3, 6}• A B = {2, 3, 4, 6}

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Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de BayesTeorema del

producto

• Ejemplo• Consideramos el experimento que consiste en

lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.

• A = {2, 4, 6}• B = {3, 6}• A B = {6}

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Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de BayesTeorema del

producto

• Ejemplo• Consideramos el experimento que consiste en

lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.

• A = {2, 4, 6}• B = {3, 6}• A − B = {2, 4}

Probabilidad de la diferencia de sucesos

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Teorema de BayesTeorema del

producto

• Ejemplo• Consideramos el experimento que consiste en

lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .• A = {2, 4, 6}• = {1, 3, 5}

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• Ejemplo• Espacio muestral de una moneda:• E = {C, X}.

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• 0 ≤ p(A) ≤ 1

• p(E) = 1

• p(A B) = p(A) + p(B)

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Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de BayesTeorema del

producto

• 1-

• 2-

• 3-

• 4-

• 5-

• 6-

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Teorema de BayesTeorema del

producto

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• Se extraen cinco cartas de una baraja de 52. Hallar la probabilidad de extraer:

• 4 ases.

• 4 ases y un rey.

• 3 cincos y 2 sotas.

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producto

• Ejemplo• Calcular la probabilidad de obtener un 6 al

tirar un dado sabiendo que ha salido par.

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• p(A/B) = p(A)

• Al lazar dos dados los resultados son independientes.

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Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de BayesTeorema del

producto

• p(A/B) ≠ p(A)

• Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

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Teorema de BayesTeorema del

producto

• Ejemplo• Se dispone de tres cajas con

bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

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• Ejemplos• El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

ProbabilidadExperimentos

Aleatorios

Deterministicos

SucesosTipos

Espacio SUnión A U B

Intersección A ∩ BDiferenciaContrariosEspacio Muestral E

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Probabilidad Condicionada P(A/B) Suc. Independiente

Suc. Dependiente

Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de Bayes

Teorema del producto

• P (A ∩ B) = P (B) . P(A/B) = P (A) . P (B/A)

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Espacio Muestral E

Axiomas de la Probabilidad

Propiedades de la Probabilidad

Ley de Laplace

Combinatoria y Probabilidad

Probabilidad Condicionada P(A/B)

Suc. Independiente

Suc. Dependiente

Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de BayesTeorema del

producto

Probab. de la intersección de sucesos independientes• p(A B) = p(A) · p(B)• Ejemplo• Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a

meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

Probab. de la intersección de sucesos dependientes• p(A B) = p(A) · p(B/A)• Ejemplo• Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas.

¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

Probabilidad

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Unión A U BIntersección A ∩ B

DiferenciaContrarios

Espacio Muestral E

Axiomas de la Probabilidad

Propiedades de la Probabilidad

Ley de Laplace

Combinatoria y Probabilidad

Probabilidad Condicionada P(A/B)

Suc. Independiente

Suc. Dependiente

Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de BayesTeorema del

producto

• Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles• A ∩B = Ø• p(A B) = p(A) + p(B)• Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al

lanzar un dado.• Probabilidad de la unión de sucesos compatibles• A ∩B ≠ Ø• p(A B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)p(A B C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(A B) − p(A ∩ C) − p(B ∩ C) +

p(A∩ B ∩C)

• Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un dado.

ESTADISTICA

ETAPAS

Formulación del problemaDiseño del experimentoExperimento y recolección de datosDescripción del resultadoConclusiones

CONCEPTOS

PoblaciónMuestraIndividuoMuestreoValorDato

VARIABLES ESTADÍSTICAS

CuantitativaContinua

Discreta

Cualitativa Nominal

Ordinal

TIPOSDescriptiva

InferenciaL

FRECUENCIASAbsoluta F

Relativa Fr

Relativa Absoluta fa

Relativa Acumulada fr

GRAFICOS

PARAMETROS ESTADISTICOS

Tratamiento de las Variables Cuantitativas Discretas• Ejemplo• Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas

máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

• En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

xi Recuento F fa Fr fr

27 I 1 1 0.032 0.032

28 II 2 3 0.065 0.097

29 6 9 0.194 0.290

30 7 16 0.226 0.516

31 8 24 0.258 0.774

32 III 3 27 0.097 0.871

33 III 3 30 0.097 0.968

34 I 1 31 0.032 1

    31  

Tratamiento de las Variables Cuantitativas Continuas

• Datos: 3, 15, 24, 28, 33, 35, 38, 42, 43, 38, 36, 34, 29, 25, 17, 7, 34, 36, 39, 44, 31, 26, 20, 11, 13, 22, 27, 47, 39, 37, 34, 32, 35, 28, 38, 41, 48, 15, 32, 13.

  ci F fa Fr fr

[0, 5) 2.5 1 1 0.025 0.025

[5, 10) 7.5 1 2 0.025 0.050

[10, 15) 12.5 3 5 0.075 0.125

[15, 20) 17.5 3 8 0.075 0.200

[20, 25) 22.5 3 11 0.075 0.2775

[25, 30) 27.5 6 17 0.150 0.425

[30, 35) 32.5 7 24 0.175 0.600

[35, 40) 37.5 10 34 0.250 0.850

[40, 45) 42.5 4 38 0.100 0.950

[45, 50) 47.5 2 40 0.050 1

    40   1

PARAMETROS ESTADISTICOS

DE CENTRALIZACION

Media aritméticaMedianaModa

DE POSICION

CuartilesDecilesPercentiles

DE DISPERSION

Rango o recorridoVarianza Desviación Típica

Fórmulas

Fórmulas• MODA (D A)

• MEDIANA (D A)

• MEDIA

• CUARTILES (D A)

• DECILES

• CENTILES

• VARIANZA

• DESV. TIPICA

• Ejercicio de media aritmética• En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones

que muestra la tabla.

  xi fi xi · fi

[10, 20) 15 1 15

[20, 30) 25 8 200

[30,40) 35 10 350

[40, 50) 45 9 405

[50, 60 55 8 440

[60,70) 65 4 260

[70, 80) 75 2 150

    42 1 820

• Ejemplo• Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente

tabla:

• 100/2 = 50• Clase de la mediana: [66, 69)

  fi Fi

[60, 63) 5 5

[63, 66) 18 23

[66, 69) 42 65

[69, 72) 27 92

[72, 75) 8 100

  100  

DIAGRAMA DE SECTORES

DIAGRAMA DE BARRAS

POLIGONOS DE FRECUENCIA

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

• Ejemplo• En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 4 juegan

al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

  Alumnos Ángulo

Baloncesto 12 144°

Natación 3 36°

Fútbol 9 108°

Sin deporte 6 72°

Total 30 360°

DIAGRAMA DE SECTORES

DIAGRAMA DE BARRAS

POLIGONOS DE FRECUENCIA

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

• Ejemplo• Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su

grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Grupo sanguíneo

fi

A 6

B 4

AB 1

0 9

  20

DIAGRAMA DE SECTORES

DIAGRAMA DE BARRAS

POLIGONOS DE FRECUENCIA

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

• Ejemplo• Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes

variaciones:

Hora Temperatura

6 7º

9 12°

12 14°

15 11°

18 12°

21 10°

24 8°

DIAGRAMA DE SECTORES

DIAGRAMA DE BARRAS

POLIGONOS DE FRECUENCIA

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

• Ejemplo• El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

  ci fi Fi

[50, 60) 55 8 8

[60, 70) 65 10 18

[70, 80) 75 16 34

[80, 90) 85 14 48

[90, 100) 95 10 58

[100, 110) 110 5 63

[110, 120) 115 2 65

    65  

EjemploEn la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.

fi hi

[0, 5) 15 3

[5, 7) 20 10

[7, 9) 12 6

[9, 10) 3 3

50

DIAGRAMA DE SECTORES

DIAGRAMA DE BARRAS

POLIGONOS DE FRECUENCIA

HISTOGRAMAS

HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

Arreglos

•Sin repetición

•Con repetición

Permutaciones

•Circulares

•Sin repetición

•Con repetición

Combinaciones

•Sin repetición

•Con repetición

AnálisisCombinatorio

Numeros Combinatorios

Factorial Binomio de Newton

Arreglos

•Sin repetición

•Con repetición

Permutaciones

•Circulares

•Sin repetición

•Con repetición

Combinaciones

•Sin repetición

•Con repetición