�potencias, ra�ces y logaritmosïà ......

UNIDAD: 1Números.

2° Medio

CONTENIDOS

1. Potencias1.1 potencias1.2 propiedades de las potencias1.3 ecuaciones exponenciales

2. Radicación2.1 raíces2.2 propiedades de las raíces2.3 racionalización2.4 ecuaciones irracionales

3. Logaritmos3.1 logaritmos3.2 propiedades

Definición de potencia

Una potencia es un numero que llamaremos “a” que arribade este se encuentra otro numero que llamaremos “n”de esta forma: na Al “n” se le llama exponente de la potencia

Al “a” se le llama base de la potencia

Las potencias sirven para expresar lamultiplicación de un dato que se repite una ciertacantidad de veces

“a” es el número en cuestión,”n” esla cantidad de veces que semultiplica por si mismo.

Se define de esta forma: an=a•a•a•a• •a (n veces)

Bueno, ¿entendieron lo que es realmenteuna potencia?

Yo si, pero parece que mi amigo no mucho

Bueno, lo explicare mas detenidamente.Tomen atención.

Aplicando la definición tenemos:

(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

Calculemos el valor de -34

Observamos que la base de la potencia es 3( y no -3) expresándola en forma deproducto nos queda:

-34 = -3 • 3 • 3 • 3 = -81

Ahora veamos si entendisteCalculemos el valor de (-2)3

4

4

2

2

Soluciones:

-16

16

Como conclusión se puede decirque cuando un término que esantecedido por un signo negativose eleva a un exponente impar eltérmino siempre será el mismoque al inicio, en cambio elevado aun número par se logrará el signocontrario al inicial.

Ahora resuelve tú

POTENCIAS CON EXPONENTE 1Es igual a la base de la potencia, es decir:

a1=a ejemplos: 101=10; 31=3Ejercita:1) 71=2) 221=3) 41=4) 61=

Soluciones:1)72)223)44)6

En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si mismasi el exponente es 1.

POTENCIAS CON EXPONENTE -1

es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir:a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/2)-1=2Ejercita:

___3

25)4

___8)3

___3,2)2

___4

2)1

1

1

1

1

Soluciones:

1) 2

2) 10/23

3) 1/8

4) 3/10

Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base ysumamos los exponentes, es decir:

an • am = an+m

al revés cuando tenemos una base con una suma en elexponente la podemos descomponer, es decir:

an+m = an • am

Multiplicación de potencias de igual base

EJERCICIO RESUELTOExpresemos en forma de potencias: aquí tenemosel producto del término (-1/2) cinco veces (eltérmino se repite 5 veces).En este caso lo que sehace es sumar los exponentes de todos lostérminos, dejando solo un término.

5

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

RESUELVE ESTOS EJERCICIOSPARA VER COMO VAS MANEJANDOESTA PROPIEDAD

___)4

___55)3

___)2

___)1

242

4

632

53

yxyx aa

bbb

aa

SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,

espero que te haya ido bien.1)a8

2)b11

3) 55

4)a3x+2y

División de potencias de igualbase.

En este caso, mantenemos la base y restamoslos exponentes, es decir:

an : am = an-m

al revés cuando tenemos una base con una restaen el exponente la podemos descomponer, esdecir:

an-m = an : am

EJERCICIO RESUELTO

42626 : xxxx

)()()()( 23

2

3

babababa

Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando estapropiedad

_____:)4

_____5

2:

5

2)3

____)2

____)1

11

54

45

56

6

16

xx mm

xx

xx

m

m

SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te

haya ido bien.1)m10

2)x2

3) 2/54)m2

POTENCIA CON EXPONENTE 0

Es igual a 1:

a0=1, 00= no existe

Ejemplos:50=1

-40=-1

Ejercita:

1) 30=___ 3)-20=___

2) (1/2)0=___ 4) 10=___

Soluciones:

1)1 3)-1

2)1 4)1

POTENCIA CON EXPONENTENEGATIVOEs la misma propiedad que con exponente a -1,solo

que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo elexponente, no queda en 1, sino que en n.

a-n=1/an ; a≠0 ejemplo: 3-2=(1/3)2=1/32=1/9Ejercitemos:1)-2-2=___ 3)(1/3)-2=___2)(-2)-2=___ 4) (22/23)-4=___

Soluciones:

1)-1/4 3)9

2)1/4 4)16

Potencia de una potenciaAquí debemos elevar la base a lamultiplicación de los exponentes.(am)n = an • m

En el caso contrario si tenemos una base conexponentes multiplicándose se puedendistribuir.an • m = (am)n

EJERCICIO RESUELTO

1. Desarrollemos (a2 :a6)2

Primero tenemos que aplicar la propiedad,multiplicando los exponentes, luego aplicando laspropiedades ya conocidas deberíamos poder llegar aun término.

8841212

4

26

222

6

2 11

a

aaa

a

a

a

a

a

EJERCICIOS

___)4

___9)3

___23)2

___)1

4

325,0

2

1246

3522324

2

6

42

a

zyx

cbacba

x

ba

SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero

que te haya ido bien.

1) (a4b8)/x12

2) 72a2b19c9

3) 3x3y2z

4) a3/16

Potencia de un productoElevamos el producto de las bases al exponente

común.an • bn = (ab)n

Por el contrario si tenemos 2 un paréntesiselevado a un numero, los componentes delparéntesis se pueden separar.

(ab)n = an • bn

EJERCICIO RESUELTO

605353 444

Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicarlas bases, luego solo resolvemos la potencia resultante.

EJERCICIOS

___278)4

___)3

___2)2

___8)1

1414

22

33

pp ba

qba

ax

SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,.1) (2ax)3

2) [2q(a+b)]2

3) (ab)4p-1

4) 63

POTENCIAS DE 10

100 = 1 104 = 10000101 = 10 105 = 100000102 = 100 106 = 1000000103 = 1000 107 = 10000000

POTENCIA CON EXPONENTEFRACCIONARIO

Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabajade la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de lafracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índicecorresponde a el denominador de la fracción.

nn aa 1

n mn

m

aa • Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver

una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índicecomo denominador y el exponente que tenga el radicandocomo numerador en la potencia que se formaría

3

53 5 aa

____161728)4

_____216125)3

_____8164)2

_____25)1

4

1

3

1

3

1

3

1

4

2

2

1

2

1

Soluciones:

1)5

2)17

3)-1

4)10

Resuelve estos ejercicios para ver comovas manejando esta propiedad

___)41

1(

___)43

(

___)1,1(

___10

___)2(

___3

___2

3

6

3

1

3

2

2

___5

2

2

5

5

2

___5

311

___2

1

5

43

___)02,0()02,0(

___2221

___)12()12(

___2222

321

012

3021

22

321

11

3210

Reforzamientos varios:

Raíces

RAÍCES

Índice de la raíz OperanteCantidad subradical o radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacerel proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:

n a

nn aa1

En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de lapotencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican

(eliminan) con las raíces y viceversa

¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulode raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahoracomo es esto?

Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos loscuales son:

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Raíz de una potencia con exponente igual alíndice.

Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene elradicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar elradicando como potencia, una base elevado a unafracción de la siguiente forma:

11

)( aaaa n

n

nnn n

Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo laspropiedades de las raíces, veamos la primera:

Al elevar a n la raíz n-esima dea estamos simplificando elproceso anterior por lo cual elnumero quedaría el numero

Veamos unos ejemplos:

5

2

5

2

5

2

5

2

7777

5555

15

5

5

5

1

13

33 3

12

22

xxxx p

pp p

Aplicando la propiedad,vemos que el índice y elexponente del radicandose deja en forma depotencia, por lo tanto igualnumerador y denominadordan como resultado 1, asíse dice que se simplifico oelimino la raíz y seconvierte en una simplebase elevado a 1 lo queda como resultado lamisma base, como vemosen los ejemplos.

Ahora te toca a ti trabajar:

5 5

3 3

4 4

2

48.4

23.3

59.2

6.1

Raíz de un producto:

nnn baba

nnn baba

Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se esténmultiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen

el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como semuestra a continuación.

Así también podemos hacer el proceso inverso,donde el producto de dos raíces de igual índice que

puede agrupar en una sola raíz

6216278278

10100254254

306521612521612527000

632811681161296

3333

3333

4444

Resolvamos juntos estos ejercicios, separandocada raíz en dos productos de raíces yresolviéndolas por separado, luego se multiplica yse obtiene el resultado correspondiente:

4 64 74 3

333

2555.4

842.3

623.2

123.1

ppp

xxx

aa

Trabaja tu:

SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,

espero que te haya ido bien.1) 62) 6a3) 4x4) 5p4

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tieneslas nociones de esta propiedad clara, si crees quecosto, o tienes dudas, resuelve los ejercicios dereforzamiento, o anda a la consulta bibliografía deeste módulo y encontrarás algunos links parareforzarte.

De la raíz de una fracción o división se puede separaren 2 raíces pero que poseen el mismo índice que laanterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.

n

n

n

b

a

b

a

nn

n

b

a

b

a

* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz yel denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como semuestra a continuación:

* Pasemos a Raíz de un cuociente:

** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar araíz de un producto

24111

444111:444

132

262:26

5255

1255:125

62

182:18

33

a

aaa

a

aaa

Resolvamos algunos ejemplos paraaprender mejor:

Pero parta poderresolver algunosejercicios no solodebemos dividir,sino tambiénaplicarpropiedades delas potenciascomo es la restade exponentes

Vamos te toca ahora

______6

600

______16

4096

______8

216

______60

240

4

3

3

Si tienes alguna dudano vaciles en repasarla materia.!!!!

Soluciones:Acá tenemos lassoluciones de losejercicios anteriores,espero que te haya idobien.1) 22) 33) 24) 10.

mnn m aa

* Bueno aquí simplemente se multiplican losíndices y se deja al final una sola raíz coníndice igual al producto de los índices. Comose puede ver:

¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?

Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando,¿o no?:

1111

3531441531441531441

222

333

12433 4

422

aaa

abbaa b xxx

____729.4

____81.3

____1.2

____64.1

4

5 4 3

4

Sigue multiplicando tu los índicesy resuelve los siguiente:

Soluciones:Acá tenemos las

soluciones de losejercicios anteriores,espero que te haya idobien.

1) 22) 13) 34) 13

Para esto se amplifica o simplifica tanto elíndice como el exponente de la cantidadsubradical, por un termino o numero enparticular, ejemplo:

pn pn aa 1

yn yxn x aa: :

Pasemos a amplificación ysimplificación del índice de unaraíz:

Resolvamos estos ejercicios:

66 232•3 213•2 3•13

5:10 5:510 5

432434343

5252525

* • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolvermas fácilmente, así queda como resultado 5

• En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores,ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego sepuede resolver como cualquier otro problema.

Comprobemos si aprendiste bien de que se trata laamplificación y simplificación de raíces.

_____

_____4

_____5

_____7

3 4

15 5

2 3

6 2

p

SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,

espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes lasnociones de esta propiedad clara, si crees que costo, otienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo yencontrarás algunos links para reforzarte.

3

3

3

.4

4.3

55.2

7.1

pp

Factor de una raíz como factor:* En palabras simples es pasar un número quemultiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debeelevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentromultiplicándolo por los otros términos dentro de ella, asíse pueden aplicar otras operaciones como la suma deraíces de igual índice.

Se da de la siguiente forma:n nn abba

** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera serno entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

212212288 2

Vamos resolvamos:

33 33

2

2

2525250

982727

525220

* Se puede ver dosposibilidades:• simplificar unaraíz, dejándola massimple• O realizar unaraíz, juntandotérminos, pero deesta forma quedauna raíz muycompleja.

Racionalización de denominadores:• La idea es dejar los denominadores sin expresiones conraíces para poder trabajar mas fácilmente.• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.

2

23

2

23

22

23

22

23

2

3

2

23

4

23

22

23

2

3

3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

3 23

3 2

3

En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que elradicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así podereliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplicala suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores seeliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positivao negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.

• Se presentan los siguiente casos de expresiones:

3

25

25

25

2525

251

25

122

3

25

25

25

2525

251

25

122

Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debeamplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:

2233

2233

babababa

babababa

5

2632

263

263

23

2

23

2 3 23 2

3 23 2

3 23 2

3333

Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos peroevoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.

• Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupandos términos para dejarlos como suma por diferencia ala hora de multiplicar, así luego de resolver queda unasuma por diferencia simple:

4

102325

100410810816

102325

1024104

10223253

1024

3253

1024

3253

102325

3253

325

325

325325

3253

325

322

Luego de resolver el trinomio, se resolvemosel binomio resultante igual que si fuera sumapor diferencia, y así se elimina términos conraíces en el denominador, y en este caso nosqueda con denominador 4.

Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:

_____9

13)

_____52

3)2

_____2

2)1

3

SOLUCIONES

9

81.3

52-.2

2.1

3

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes lasnociones de esta propiedad clara, si crees que costo, otienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo yencontrarás algunos links para reforzarte.

2 1 2 7

2 2

x

/ - 2

2 x - 1 = 5 / ( )

2 x - 1 5

2 x - 1 = 2 5 / + 1

2 x = 2 6 / : 2

x = 1 3

2

8= x

3: /24=3x

3- /27=3+3x

() /33+3x

6- /93+3x+6

() /3336

33

3

23

x

son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical,para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice dela raíz, para eliminarla:

Ejemplos:

Ecuaciones irracionales:

PRACTIQUEMOS UN POCO

53.2 x

31.1 xx

5)3(.3 xxx

234.4 2 xx

SOLUCIONES:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,espero que te haya ido bien.

2

3 x.4

13

25 x.3

28 x.2

2 x5.1 21

x

Cotrol: veamos si aprendiste

3

1

3

1

0,027+64

3

1

2

1

8+4

277+642 3

6 36 23 4+8+8

487a b

a 24n n nncb 5

3

9

16x

y

3

5

16

18a

c

n nb43na

6415 6 a

n n n2 2

3

01+3x-5

3298x2 x

21-x-3+3

2

3

2

2x

x

35

3

25

2

27

142-1

VAMOS A HACER ALGUNOSEJERCICIOS

EJERCICIOS PARA RESOLVER: