fenomenos detransporte

FENÓMENOS DE TRANSPORTEAnálisis de la caída de agua en una fuente esférica

Cabello Lara Víctor DanielFigueroa Salamanca María CarolinaFlores Guadarrama IsraelSerrano Villanueva Ivonne

ProblemaDeterminar las ecuaciones que describen la caída de un fluido (agua) sobre la superficie esférica de una fuente ornamental.

Análisis• Fluido newtoniano• Estado estacionario• Sin desplazamiento en r• Sin desplazamiento en Ɵ

Ecuación de movimiento en coordenadas esféricas

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de y constantes:

Componente r

Componente

rrrrrr

rr g

v

senrv

rv

rv

rv

rp

rvvv

rsenvv

rv

rvv

tv

22222

22 1cot222

gv

senrsenrvv

rv

rp

rrv

rvvv

rsenvv

rv

rvv

tv rr

r

222222

2 cos221cot

Donde nabla es

2

2

2222

22 111

senrsen

senrrr

rr

Componente 𝜙Ecuación de movimiento en coordenadas esféricas

cotrvv

rvvv

rsenvv

rv

rv

vtv r

r

gvsenr

vsenrsenr

vvp

rsenr

22222

2 cos221

Análisis de componente r

rrrrrr

rr g

v

senrv

rv

rv

rv

rp

rvvv

rsenvv

rv

rvv

tv

22222

22 1cot222

Debido a que no existe movimiento del fluido en la componente “r”, podemos

eliminar la misma así como la velocidad en “r” y las

diferenciales de velocidad en “r” para el resto de las

componentes.

𝜙

z

X

y

Ɵ

r0

Análisis de componente Ɵ

gv

senrsenrvv

rv

rp

rrv

rvvv

rsenvv

rv

rvv

tv rr

r

222222

2 cos221cot

Debido a que no existe movimiento del fluido en la componente “Ɵ”, podemos eliminar la misma así como

la velocidad en “Ɵ” y las diferenciales de velocidad en “Ɵ” para el resto de las

componentes.

𝜙

z

X

y

Ɵ

r0

Análisis de componente

gv

senrv

senrsenr

vvp

rsenr

vv

rvvv

rsenvv

rv

rv

vtv rr

r

22222

2 cos221cot

• No existe diferencia de movimiento en con respecto a Ɵ ni con respecto a sí misma.

• No existe una diferencia de presión con respecto a .

𝜙

z

X

y

Ɵ

r0

Condiciones Límite

• Debido a la fricción, en r=k la velocidad en ᶲ es igual a cero.

• Por lo tanto, el punto con menor fricción es cuando r=R y por ello se tiene la velocidad máxima en ᶲ en ese punto.

C.L.:1.- = 2.-= 0

Componente

2

2

2222

22 111

senrsen

senrrr

rr

0

Desarrollo de nabla

Dado que nabla es la suma de derivadas parciales de velocidad en respecto a las diferentes componentes, se obtiene:

0

Resolviendo la ecuación

𝜕𝜕𝑟 𝑟

2 𝜕 𝑣𝜙

𝜕𝑟 =𝑣𝜙

𝑠𝑒𝑛2𝜃−𝜌𝑔𝜙𝑟2

𝜇

Integrando

𝑟 2𝜕 𝑣𝜙

𝜕𝑟 =𝑣𝜙𝑟𝑠𝑒𝑛2𝜃

−𝑟3 𝜌𝑔𝜙

3𝜇 +𝑐1

𝐶 .𝐿 . (1 ) : (𝑅 )𝑣𝜙=𝑣𝑀 á𝑥⟹𝜕𝑣 𝜙

𝜕𝑟 =0

Reacomodando la ecuación anterior:

Resolviendo C1

∴𝑐1=𝑅3𝜌𝑔𝜙

3𝜇 −𝑣𝑀 á𝑥𝑅𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝜕𝑣𝜙

𝜕𝑟 =𝜌𝑔𝜙

3𝜇 (𝑅3

𝑟 2−𝑟 )+ 1

𝑠𝑒𝑛2𝜃 (𝑣𝜙

𝑟 −𝑣𝑀 á𝑥𝑅𝑟2 )

Integrando:

𝑣 𝜙=𝜌𝑔𝜙

3𝜇 (− 𝑅3

𝑟 −𝑟2

2 )+ 1𝑠𝑒𝑛2𝜃

¿

Sustituyendo C1 en la ecuación original y reacomodando:

𝐶 .𝐿 . (2 ):→𝑣 𝜙 (𝑘 )=0

Resolviendo la ecuación

Resolviendo C2 :

∴𝐶2=𝜌𝑔𝜙

3𝜇 (𝑅3

𝑘 +𝑘2

2 )− 𝑣𝑀 á𝑥 𝑅𝑘𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑣 𝜙=1

𝑠𝑒𝑛2𝜃− 𝑙𝑛∨𝑟∨¿(𝑣𝑀 á𝑥 𝑅( 1𝑟 − 1𝑘 )+𝜌 𝑔𝜙𝑠𝑒𝑛2𝜃

3𝜇 (𝑅3 ( 1𝑘 − 1𝑟 )+ 12 (𝑘2−𝑟 2 )))¿

Sustituyendo C2 en la ecuación original y reacomodando:

Resolviendo la ecuación

Resumen de Ecuaciones

𝑣 𝜙=1

𝑠𝑒𝑛2𝜃− 𝑙𝑛∨𝑟∨¿(𝑣𝑀 á𝑥 𝑅( 1𝑟 − 1𝑘 )+𝜌 𝑔𝜙𝑠𝑒𝑛2𝜃

3𝜇 (𝑅3 ( 1𝑘 − 1𝑟 )+ 12 (𝑘2−𝑟 2 )))¿

𝜕𝑣𝜙

𝜕𝑟 =𝜌𝑔𝜙

3𝜇 (𝑅3

𝑟 2−𝑟 )+ 1

𝑠𝑒𝑛2𝜃 (𝑣𝜙

𝑟 −𝑣𝑀 á𝑥 𝑅𝑟2 )

𝜕𝜕𝑟 𝑟

2 𝜕 𝑣𝜙

𝜕𝑟 =𝑣𝜙

𝑠𝑒𝑛2𝜃−𝜌𝑔𝜙𝑟2

𝜇

Gráfica• Asignando valores arbitrarios a R, k y Ɵ y sustituyendo

los valores constantes, obtenemos la :• Especificaciones de la fuente

• Especificaciones del fluido

• Otras constantes

𝑣𝑀 á𝑥=165.0728𝑚𝑠

Gráfica• Para generar la gráfica se introdujo el siguiente código en

Matlab con los datos especificados:clear allclose allclcd=1000; %densidad (kg/m3)visc= 8.91E-4; %viscosidad (kg/ms)g=9.81; %gravedad (m/s2)R=0.31; %radio mayor (m)k=0.3; %radio menor (m)a=0.5; %sen2(teta(rad))cte=d*g*a/(3*visc);max=((cte)*((R^3)*((1/k)-(1/R))+(1/2)*((k^2)-(R^2))))/((a-log(R))-((1/R)-(1/k))*(R));b=(max)*(R);figure(01)x=(0.3:0.001:0.31)';for n=1:length(x) I=x(n); y=(1/(a-log(I)))*(b*((1/I)-(1/k))+(cte)*((R^3)*((1/k)-(1/I))+(1/2)*((k^2)-(I^2)))); V(n,1)=y;endplot(x,V);xlabel('Valor de r');ylabel('Velocidad en phi');

Gráfica