fenomenos detransporte
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FENÓMENOS DE TRANSPORTEAnálisis de la caída de agua en una fuente esférica
Cabello Lara Víctor DanielFigueroa Salamanca María CarolinaFlores Guadarrama IsraelSerrano Villanueva Ivonne
ProblemaDeterminar las ecuaciones que describen la caída de un fluido (agua) sobre la superficie esférica de una fuente ornamental.
Análisis• Fluido newtoniano• Estado estacionario• Sin desplazamiento en r• Sin desplazamiento en Ɵ
Ecuación de movimiento en coordenadas esféricas
En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de y constantes:
Componente r
Componente
rrrrrr
rr g
v
senrv
rv
rv
rv
rp
rvvv
rsenvv
rv
rvv
tv
22222
22 1cot222
gv
senrsenrvv
rv
rp
rrv
rvvv
rsenvv
rv
rvv
tv rr
r
222222
2 cos221cot
Donde nabla es
2
2
2222
22 111
senrsen
senrrr
rr
Componente 𝜙Ecuación de movimiento en coordenadas esféricas
cotrvv
rvvv
rsenvv
rv
rv
vtv r
r
gvsenr
vsenrsenr
vvp
rsenr
22222
2 cos221
Análisis de componente r
rrrrrr
rr g
v
senrv
rv
rv
rv
rp
rvvv
rsenvv
rv
rvv
tv
22222
22 1cot222
Debido a que no existe movimiento del fluido en la componente “r”, podemos
eliminar la misma así como la velocidad en “r” y las
diferenciales de velocidad en “r” para el resto de las
componentes.
𝜙
z
X
y
Ɵ
r0
Análisis de componente Ɵ
gv
senrsenrvv
rv
rp
rrv
rvvv
rsenvv
rv
rvv
tv rr
r
222222
2 cos221cot
Debido a que no existe movimiento del fluido en la componente “Ɵ”, podemos eliminar la misma así como
la velocidad en “Ɵ” y las diferenciales de velocidad en “Ɵ” para el resto de las
componentes.
𝜙
z
X
y
Ɵ
r0
Análisis de componente
gv
senrv
senrsenr
vvp
rsenr
vv
rvvv
rsenvv
rv
rv
vtv rr
r
22222
2 cos221cot
• No existe diferencia de movimiento en con respecto a Ɵ ni con respecto a sí misma.
• No existe una diferencia de presión con respecto a .
𝜙
z
X
y
Ɵ
r0
Condiciones Límite
• Debido a la fricción, en r=k la velocidad en ᶲ es igual a cero.
• Por lo tanto, el punto con menor fricción es cuando r=R y por ello se tiene la velocidad máxima en ᶲ en ese punto.
C.L.:1.- = 2.-= 0
Componente
2
2
2222
22 111
senrsen
senrrr
rr
0
Desarrollo de nabla
Dado que nabla es la suma de derivadas parciales de velocidad en respecto a las diferentes componentes, se obtiene:
0
Resolviendo la ecuación
𝜕𝜕𝑟 𝑟
2 𝜕 𝑣𝜙
𝜕𝑟 =𝑣𝜙
𝑠𝑒𝑛2𝜃−𝜌𝑔𝜙𝑟2
𝜇
Integrando
𝑟 2𝜕 𝑣𝜙
𝜕𝑟 =𝑣𝜙𝑟𝑠𝑒𝑛2𝜃
−𝑟3 𝜌𝑔𝜙
3𝜇 +𝑐1
𝐶 .𝐿 . (1 ) : (𝑅 )𝑣𝜙=𝑣𝑀 á𝑥⟹𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟 =0
Reacomodando la ecuación anterior:
Resolviendo C1
∴𝑐1=𝑅3𝜌𝑔𝜙
3𝜇 −𝑣𝑀 á𝑥𝑅𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕𝑣𝜙
𝜕𝑟 =𝜌𝑔𝜙
3𝜇 (𝑅3
𝑟 2−𝑟 )+ 1
𝑠𝑒𝑛2𝜃 (𝑣𝜙
𝑟 −𝑣𝑀 á𝑥𝑅𝑟2 )
Integrando:
𝑣 𝜙=𝜌𝑔𝜙
3𝜇 (− 𝑅3
𝑟 −𝑟2
2 )+ 1𝑠𝑒𝑛2𝜃
¿
Sustituyendo C1 en la ecuación original y reacomodando:
𝐶 .𝐿 . (2 ):→𝑣 𝜙 (𝑘 )=0
Resolviendo la ecuación
Resolviendo C2 :
∴𝐶2=𝜌𝑔𝜙
3𝜇 (𝑅3
𝑘 +𝑘2
2 )− 𝑣𝑀 á𝑥 𝑅𝑘𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑣 𝜙=1
𝑠𝑒𝑛2𝜃− 𝑙𝑛∨𝑟∨¿(𝑣𝑀 á𝑥 𝑅( 1𝑟 − 1𝑘 )+𝜌 𝑔𝜙𝑠𝑒𝑛2𝜃
3𝜇 (𝑅3 ( 1𝑘 − 1𝑟 )+ 12 (𝑘2−𝑟 2 )))¿
Sustituyendo C2 en la ecuación original y reacomodando:
Resolviendo la ecuación
Resumen de Ecuaciones
𝑣 𝜙=1
𝑠𝑒𝑛2𝜃− 𝑙𝑛∨𝑟∨¿(𝑣𝑀 á𝑥 𝑅( 1𝑟 − 1𝑘 )+𝜌 𝑔𝜙𝑠𝑒𝑛2𝜃
3𝜇 (𝑅3 ( 1𝑘 − 1𝑟 )+ 12 (𝑘2−𝑟 2 )))¿
𝜕𝑣𝜙
𝜕𝑟 =𝜌𝑔𝜙
3𝜇 (𝑅3
𝑟 2−𝑟 )+ 1
𝑠𝑒𝑛2𝜃 (𝑣𝜙
𝑟 −𝑣𝑀 á𝑥 𝑅𝑟2 )
𝜕𝜕𝑟 𝑟
2 𝜕 𝑣𝜙
𝜕𝑟 =𝑣𝜙
𝑠𝑒𝑛2𝜃−𝜌𝑔𝜙𝑟2
𝜇
Gráfica• Asignando valores arbitrarios a R, k y Ɵ y sustituyendo
los valores constantes, obtenemos la :• Especificaciones de la fuente
• Especificaciones del fluido
• Otras constantes
𝑣𝑀 á𝑥=165.0728𝑚𝑠
Gráfica• Para generar la gráfica se introdujo el siguiente código en
Matlab con los datos especificados:clear allclose allclcd=1000; %densidad (kg/m3)visc= 8.91E-4; %viscosidad (kg/ms)g=9.81; %gravedad (m/s2)R=0.31; %radio mayor (m)k=0.3; %radio menor (m)a=0.5; %sen2(teta(rad))cte=d*g*a/(3*visc);max=((cte)*((R^3)*((1/k)-(1/R))+(1/2)*((k^2)-(R^2))))/((a-log(R))-((1/R)-(1/k))*(R));b=(max)*(R);figure(01)x=(0.3:0.001:0.31)';for n=1:length(x) I=x(n); y=(1/(a-log(I)))*(b*((1/I)-(1/k))+(cte)*((R^3)*((1/k)-(1/I))+(1/2)*((k^2)-(I^2)))); V(n,1)=y;endplot(x,V);xlabel('Valor de r');ylabel('Velocidad en phi');
Gráfica