expressions de la recta

EXPRESSIONS DE LA RECTA¡Tots som trilobits!

• Només amb un punt qualsevol de la recta i un vector director, en tenim suficient per a trobar totes les equacions de la recta. Veiem el procés a continuació:

P(x,y) = (a,b) Vector director

Punt cartesià

Ens donen les següents dades:

• El punt P(2,1)

• I el vector director = (1,2)

Veiem la representació gràfica d’aquestes dades:

Component horitzontal del vector director

Component vertical del vector director

En primer lloc, trobarem l’equació vectorial de la recta:

• Només substituint els valors que ens han donat en l’equació, en tenim suficient per a trobar-la:

Component x d’un del punt P de la

recta

Component y d’un del punt P de la

recta

Component horitzontal del vector director

Component vertical del vector directorCoordenades del

punt a determinar

Coeficient lambda per a trobar infinits

punts

L’equació vectorial:

P(2,1) = (1,2)

(x,y) = (2,1) + (1,2)

Eq. vectorial

• A partir de l’equació vectorial, podem trobar totes les altres fent algunes modificacions matemàtiques. Veiem-les a continuació:

De la vectorial, passem a les paramètriques:

* Podem fer això ja que en la vectorial, els components x i y no estan relacionats directament per cap operació matemàtica i per tant podem separar la vectorial en els paràmetres que modifiquen els components horitzontals i verticals.

Eqs. paramètriques

Passem de la vectorial a les paramètriques:

* Si ho pensem, podem substituir els valors de les coordenades de P i dels components del vector director en les paramètriques sense passar per la vectorial.

• Hem de trobar una manera de relacionar ambdós paràmetres entre si; Per a fer això, tenim l’equació contínua. Veiem com funciona i com la podem trobar:

De les paramètriques a la contínua:

• Encara que les paramètriques siguin dues equacions separades, les podem relacionar a través de λ ja que en ambdues equacions ha de tenir el mateix valor per a obtenir un punt real de la recta:

L’equació contínua:

• Tot veien el procediment anterior, podem afirmar el següent:

• I per tant:

• Doncs bé, aquesta és l’equació contínua!

La contínua

• Si ho pensem bé, no fa falta passar per la vectorial ni la paramètrica per a trobar les altres equacions de la recta ja que directament podem substituir les coordenades del punt P i els components del vector director en aquesta equació:

Component x d’un del punt P de la

recta

Component y d’un del punt P de la

recta

Component horitzontal del vector director

Component vertical del vector director

Aquí tenim l’equació contínua de la nostra recta:

Eq. contínua

• El següent pas, consisteix a igualar a 0 la contínua. L’equació resultant, es coneix com a general o implícita.

De la contínua a la general

Un cop hem arribat aquí, hem d’establir unes pautes per a

poder continuar:

Equació general o implícita

• Seguint les pautes abans citades, arribem a l’equació general:

• I tot seguint-les, arribem a l’equació general de la nostra recta:

Eq. general

Parem un moment i examinem les propietats d’aquesta equació:

• Ens permet estudiar la posició relativa entre rectes:

Condició d’igualtat Condició de paral·lelitzat

Condició de tall en el pla Condició de perpendicularitat

Propietats de l’equació general:

• Ens permet saber quin angle forma amb l’horitzontal:

• Ens permet trobar el vector director de la recta i el vector director de la recta que li és perpendicular:

Angle amb l’horitzontal

Vector director de la recta Vector director de la recta perpendicular

• Per últim, podem trobar distàncies amb aquesta equació i una fórmula ben simple:– Distància punt-recta:

– Distància recta-recta: Estudiem la posició relativa de les rectes i si són paral·leles, trobem un punt qualsevol d’una d’elles i utilitzem la fòrmula punt-recta.

Propietats de l’equació general:

Coordenades del punt

Coeficients de l’equació general de la

recta

De la general a l’explícita:

• A continuació, aïllarem la y tot trobant l’equació explícita de la recta:

Un cop hem arribat aquí, establim unes

igualtats:

Equació explícita:

• I finalment, obtenim l’equació explícita:

• On m representa el pendent de la recta i n l’ordenada a l’origen*.

Eq. explícita

* Valor d’y quan x = 0; Punt de tall amb l’eix vertical

De nou, aquesta d’aquesta equació, podem trobar algunes propietats:

• Ens permet estudiar la posició relativa entre dues rectes:

• I conèixer l’angle d’inclinació de la recta:

Condició de paral·lelitzat

Condició de perpendicularitat

Angle amb l’horitzontal

L’expressió punt-pendent d ela recta:

• Partint de la contínua i fent petites modificacions, arribem a l’expressió punt-pendent:

Un cop hem arribat aquí, hem d’establir una igualtat:

Expressió punt-pendent

De la general a la canònica:

• Quan A, B i C ≠ 0 podem dur a terme el següent procés:

Un cop hem arribat aquí, hem

d’establir les següents igualtats:

Eq. explícita

p = Abcisa a l’origen (valor d’x quan y = 0 o punt de tall amb l’eix

horitzontal) n = ordenada a l’origen

• L’equació canònica de la nostra recta és:

Talla l’eix horitzontal a la posició

(3/2, 0)

Talla l’eix vertical a la

posició (0,-3)

Alerta!No tenen equació

canònica aquelles rectes que passin per l’origen de coordenades ja que ens trobaríem davant d’una

divisió entre 0

• L’equació canònica ens proporciona, de forma directa, informació sobre els punts de tall de la recta amb els eixos de coordenades

Fins aquí el treball, ara us deixo que m’han dit que si

segueixo escalant per aquesta recta, arribaré a

l’infinit.

+ ∞

- ∞