90 expressions algebraiques. polinomis. 3ºb eso 3º b d'eso ... · apareixeran les...

90 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºB ESO

LibrosMareaVerde.tk

www.apuntesmareaverde.org.es

Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñez

Revisor: Javier Rodrigo

Il·lustracions: Banc d'Images d'INTEF

i commons.wikimedia

Mat. orientades a les ensenyances acadèmiques 3º B ESO. Capítol 4: Expressions algebraiques. Polinomis Revisor: Javier Rodrigo LibrosMareaVerde.tk Autor: Eduardo Cuchillo Ibáñezwww.apuntesmareaverde.org.es Il·lustracions: Banc d'Imatges d'INTEF

Matemàtiques orientades a les ensenyances acadèmiques :

3º B d'ESOCapítol 4:

Expressions algebraiques.Polinomis.

http://commons.wikimedia.org/

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/


Índex

1. INTRODUCCIÓ. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES1.1. INTRODUCCIÓ

1.2. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

2. POLINOMIS. SUMA I PRODUCTE 2.1. MONOMIS. POLINOMIS

2.2. SUMA DE POLINOMIS

2.3. PRODUCTE DE POLINOMIS

3. DIVISIÓ DE POLINOMIS3.1. INTRODUCCIÓ A LES FRACCIONS POLINÒMIQUES

3.2. DIVISIÓ DE POLINOMIS

3.3. IGUALTATS NOTABLES

3.4. OPERACIONS AMB FRACCIONS ALGEBRAIQUES

ResumSegons avancem en els nostres estudis es van ampliant els nostres coneixements, en particular els deMatemàtiques. Açò no es deu a cap tipus de capritx, tot al contrari: al llarg de la història lesMatemàtiques es desenrotllen espentades per les necessitats de les persones. És indubtable laconveniència que una persona tinga soltesa amb els nombres i les seues operacions bàsiques: suma,resta, multiplicació i divisió. Per soltesa no ha d’entendre’sque se sàpia de memòria “totes” les taules de multiplicar,sinó que siga conscient del que significa realitzar unaoperació concreta, que siga capaç de donar resposta apreguntes quotidianes que es resolen operandadequadament les dades disponibles. Per a aqueix propòsités útil fomentar la nostra capacitat d’abstracció; ella enspermet reconéixer com a equivalents situacions enaparença molt allunyades. En aquest capítol es va a fer unpas en aqueix sentit en manipular, manejar, dadesnumèriques no concretats, no coneguts, a través d’indeterminades o variables. D’aqueixa maneraapareixeran les expressions algebraiques i, dins d’elles, unes expressions particulars d’abundant ús isimplicitat d’exposició, els polinomis.




1. INTRODUCCIÓ. EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES

1.1. IntroduccióNo cal imaginar situacions rebuscades perquè, a l’hora de realitzar un raonament, ens topem ambalguna de les quatre operacions matemàtiques bàsiques: suma, resta, multiplicació o divisió.

Exemples:

• El pare, la mare i el fill han anat al cine i les entrades han costat 27 euros. Per acalcular el preu de cada entrada es divideix entre 3: 27/ 3 = 9 euros.

• Si comprarem pasta de te i el preu d’un quilogram és de 18’3 euros, resultahabitual que, segons va la dependenta introduint pastes en una safata, anem veient l’import final. Pera això si la safata està sobre una balança, executem l’operació 18’3∙x on x és la quantitat dequilograms que ens ha indicat la balança. Després de cada pesada, el resultat d’aqueixa multiplicacióreflectix l’import de les pastes que, en aqueix moment, conté la safata.

Suposem que tenim un contracte amb una companyia de telefonia mòbil pel que paguem 5cèntims d’euro per minut, així com 12 cèntims per establiment de telefonada. Amb aqueixa

tarifa, una telefonada de 3 minuts ens costarà:

27'012'015'012'0)305'0( =+=+⋅ euros

Però quin és el preu d’una telefonada qualsevol?Com desconeixem la seua duració, ens trobem

amb una quantitat no determinada, o indeterminada, per la qual cosaen qualsevol resposta que donem a la pregunta anterior s’apreciarà l’absència d’aqueix dadaconcreta. Podem dir que el cost d’una telefonada qualsevol és

12'005'012'0)05'0( +⋅=+⋅ xx euros

on x assenyala la seua duració, en minuts.

Activitats proposades1. A finals de cada mes l’empresa de telefonia mòbil ens proporciona la

factura mensual. En ella apareix molta informació, en particular, elnombre total de telefonades realitzades (N) així com la quantitat totalde minuts de conversació (M). Amb les dades de l’anterior exemple,justifica que l’import de les telefonades efectuades durant aqueix mesés:

NMNM ⋅+⋅=⋅+⋅ 12'005'0)12'0()05'0( euros

Exemple:

És ben coneguda la fórmula de l’àrea d’un rectangle de base b i altura associada h:

A = b∙h

En tots aquests exemples han sorgit expressions algebraiques.


b

h



1.2. Expressions algebraiquesAnomenarem expressió algebraica a qualsevol expressió matemàtica que es construïsca amb nombres iles operacions matemàtiques bàsiques: suma, resta, multiplicació i/o divisió. En una expressióalgebraica pot haver-hi dades no concretades; segons el context, rebran el nom de variable,indeterminada, paràmetre, entre altres.

Si en una expressió algebraica no hi ha variables, la dita expressió no és més que un nombre:

Exemple:

2

313

2

2

2

3151

2

3151

2

15211

15

221

1

15

10

15

1221

1

53

52

35

3421

1

3

2

5

4)7(3 −=+−=+−=+⋅−=+−=+

−

−=+

⋅⋅−

⋅⋅

−=+−

−⋅

Al fixar un valor concret per a cada indeterminada d’una expressió algebraica apareix un nombre, elvalor numèric d’aqueixa expressió algebraica per a tals valors de les indeterminades.

Exemple:

El volum d’un con ve donat per l’expressió algebraica:

hrV ⋅⋅= 2

31 π

en la que r és el radi del cercle base i h és la seua altura. D’esta manera, el volum d’un con labase del qual té un radi de 10 cm i d’altura 15 cm és igual a:

322 500151031

31

cmhrV πππ ⋅=⋅⋅=⋅⋅= .

L'àrea lateral del con ve donada per AL = π∙r∙g, on r és el radi de la base i g la generatriu. Lasuperfície total és AT = π∙r∙g + π∙r2.L'expressió algebraica que representa el producte dels quadrats de dos nombres qualssevol x i

y es simbolitza per 22 yx ⋅ . Si en ella fixem 2−=x i 5

3=y resulta

25

36

25

94

5

3)2(

2

2 =⋅=

⋅− .

Si a l’expressió

zyx

x 6

27 3 −⋅++

particularitzem les tres variables amb els valors

4=x , 1−=y , 2

1=z

sorgeix el nombre

7124272/1

6)1(4

2

47 3 −=−−+=−−⋅++




En una expressió algebraica pot no tindre sentit donar algun valor a certa indeterminada. En efecte, enl’últim exemple no és possible fer 0=z .

Activitats proposades2. Escriu les expressions algebraiques que ens proporcionen la longitud d’una

circumferència i l’àrea d’un trapezi.

3. Reescriu, en llenguatge algebraic, els següents enunciats, referits a dos nombres qualssevol x i y :

a) El triple de la seua diferència b) La suma dels seus quadrats c) El quadrat de la seua suma

d) L’invers del seu producte e) La suma dels seus oposats d) El producte dels seus quadrats

4. Una botiga de roba anuncia en els seus aparadors que està de rebaixes ique tots els seus articles estan rebaixats un 30 % sobre el preu imprés encada etiqueta. Escriu el que pagarem per una peça en funció del queapareix en la seua etiqueta.

5. Calcula el valor numèric de les següents expressions algebraiques per al valor o valors ques’indiquen:

a) 54

3 2 −+−x

x per a 2−=x .

b) 12

3 23

−⋅+−++ bab

bab per a

3

1=a i 2

1=b .

6. Indica, en cada cas, el valor numèric de l’expressió zyx 32 +− :

a) 1,2,1 === zyx

b) 1,0,2 −=== zyx

c) 0,1,0 === zyx

7. Calcula el valor numèric de les següents expressions algebraiques per al valor o els valors ques’indiquen:

a) x2 + 2x − 7 per a x = 2 b) (a + b)2 − (a2 + b2) per a a = 3 i b = −2 c) c2 + 3c + 7 per a c = 1.




2. POLINOMIS. SUMA I PRODUCTE

2.1. Monomis. PolinomisUnes expressions algebraiques de gran utilitat són els polinomis, la versió més simple i, dels quals almateix temps, generadora d’ells són els monomis.

Un monomi ve donat pel producte de nombres i indeterminades. Anomenarem coeficient d’unmonomi al nombre que multiplica a la indeterminada, o indeterminades; la indeterminada, oindeterminades, conformen la part literal del monomi.

Exemples:

L'expressió que ens proporciona el triple d’una quantitat, 3∙x, és unmonomi amb una única variable, x, i coeficient 3.

El volum d’un con, hr ⋅⋅ 2

31 π , és un monomi amb dues indeterminades, r

i h , i coeficient π31

. La seua part literal és hr ⋅2 .

Altres monomis: 5a2b3, 2232 zyx ⋅⋅⋅

L'expressió 5 xy2+√3xy−37x està formada per tres termes, tres monomis. Cada un té un

coeficient i una part literal:

Al primer, 5 xy2 , el coeficient és 5 i la part literal 2xy

Al segon, √3xy , té per coeficient 3 i part literal xy

I al tercer, x73− , el coeficient és

73− i la part literal x

Atenent a l’exponent de la variable, o variables, adjudicarem un grau a cada monomi d’acord amb elcriteri següent:

Quan hi haja una única indeterminada, el grau del monomi serà l’exponent de la seuaindeterminada.

Si apareixen diverses indeterminades, el grau del monomi serà la suma dels exponentsd’aqueixes indeterminades.

Exemples:

3x és un monomi de grau 1 en la variable x.

hr ⋅⋅ 2

31 π és un monomi de grau 3 en les indeterminades r i h .

5a2b3 és un monomi de grau 5 en a i b.

2232 zyx ⋅⋅⋅ és un monomi de grau 7 en x , y i z .

Un nombre pot ser considerat com un monomi de grau 0.




Activitats proposades8. En cada un dels següents monomis assenyala el seu coeficient, la seua part literal i el seu grau:

312x−

cba 34

24xy

Un polinomi és una expressió construïda a partir de la suma de monomis. El grau d’un polinomi vindràdonat pel major grau dels seus monomis.

Exemples:

275

1 32 +⋅−⋅ xx és un polinomi de grau 3 en la variable x .

xxy ⋅+⋅+⋅− 283 24 és un polinomi de grau 4 en les indeterminades x i y .232 374 yyx ⋅+−⋅⋅ és un polinomi de grau 5 en x i y .

x−2⋅y+6⋅z és un polinomi de grau 1 en x , y i z .

Tant en aquesta secció com en la següent ens limitarem, bàsicament, a considerar polinomis amb unaúnica variable. És habitual escriure els diferents monomis d’un polinomi de manera que els seus grausvagen en descens per a, amb aquest criteri, apreciar en el seu primer monomi quin és el grau delpolinomi.

L'aspecte genèric d’un polinomi en la variable x és

012

21

1 ...... axaxaxaxa nn

nn +++++ −

−

on els coeficients ka són nombres. El monomi de grau zero, 0a , rep el nom de terme independent.

Direm que un polinomi és mònic quan el coeficient del seu terme de major grau és igual a 1.

Exemples:

25

13 24 ++− xx és un polinomi de grau 4 en la variable x , el terme independent de la qual és

2 .

734 3 −+ yy és un polinomi de grau 3 en la indeterminada y amb terme independent 7− .

1232 +− zz és un polinomi de grau 2 en z . A més, és un polinomi mònic.

93 +x és un polinomi de grau 1 en x .

Activitats proposades9. Para cada un dels següents polinomis destaca el seu grau i els monomis que el constitueixen:

xxx −+ 24 75

32 2106 xx −+



97 Expressions algebraiques. Polinomis. 3ºB ESO2253 72 yxxxy +−

Com ocorre amb qualsevol expressió algebraica, si fixem, o triem, un valor concret per a la variable d’unpolinomi apareix un nombre: el valor numèric del polinomi per a aqueix valor determinat de la variable.Si hem anomenat p a un polinomi, a l’avaluació de p en, per exemple, el nombre 3− la denotaremper )3(−p , i llegirem ”p de menys tres” o ”p en menys tres”. Amb aquest criteri, si p és un polinomila indeterminada del qual és la variable x , podem referir-nos a ell com p o )(xp indistintament.

D'aquesta forma apreciem que un polinomi pot ser entés com una manera concreta d’assignar a cadanombre un altre nombre.

Exemples:

Si avaluem el polinomi 25

13 24 ++−≡ xxp en 5=x ens trobem amb el nombre

186871875256253255

153)5( 24 −=+−=++⋅−=+⋅+⋅−=p

El valor del polinomi 734 3 −+= yyyq )( per a 1−=y és

141047314713141 3 −=−−=−−−⋅=−−⋅+−⋅=− )()()()(qEn particularitzar el polinomi 1232 +−≡ zzr en 0=z resulta el nombre 12)0( =r .

Activitats proposades10. Considerem el polinomi p ( x )= x3−3x+2 . Troba els següents valors numèrics de p :

)0(p , p (1 ) , )1(−p , )2(−p i )2/1(p .




2.2. Suma de polinomisCom un polinomi és una suma de monomis, la suma de dos polinomis és un altre polinomi. A l’hora desumar dos polinomis procedirem a sumar els monomis de la mateixa part literal.

Exemples:

La suma dels polinomis 25

13 24 ++− xx i 654 24 −−+− xxx és el polinomi

455

214)62(54

5

1)13(

)62(545

1)3()654(2

5

13

2424

22442424

)(

)()(

−−+−=−+−⋅++⋅−−=

=−+−++−−=−−+−+++−

xxxxxx

xxxxxxxxxx

66)71()43()5()74()135( 22222 −+=−++−++=−+++− xxxxxxxxxx

142)4()12( 3443 +++−=+−++ xxxxxx

11)2()9( 33 =+−++ xx

3xy + 5xy + 2x = 8xy + 2x

En el següent exemple sumarem dos polinomis disposant-los, adequadament, un sobre un altre.

Exemple:

22523

63547

4524

345

235

2345

−−++−

−−++−+++−++

xxxx

xxxx

xxxxx

Propietats de la suma de polinomis Propietat commutativa. Si p i q són dos polinomis, no importa l’orde en què els col·loquem a l’hora desumar-los:

pqqp +≡+

Exemple:

855)17()32()4()13()724( 23223232 +−+−=++−−+++−=+−+−++− xxxxxxxxxxxxx

855)71()23()4()724()13( 23223223 +−+−=++−−+++−=+−++−+− xxxxxxxxxxxxx

Propietat associativa. Ens assenyala com es poden sumar tres o més polinomis. Basta fer-lo agrupant-los de dos en dos:

)()( rqprqp ++≡++

Exemple:

245)6()855(

)6()13724()6()13()724(2323

232232

+−+−=−++−+−=

=−++−+−+−=−++−+−++−

xxxxxxx

xxxxxxxxxxxx




També:

245)52()724(

)613()724()6()13()724(23232

232232

+−+−=−−+−++−=

=−++−+−++−=−++−+−++−

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

Activitats proposades11. Realitza les següents sumes de polinomis:

)324()452()5( 2323 xxxxxxx +−−++++−+−2232 )136()42()4( xxxxxx −+++−++−++

Element neutre. Hi ha un polinomi amb una propietat particular: el resultat de sumar-lo amb qualsevolaltre sempre és aquest últim. Es tracta del polinomi donat pel nombre 0, el polinomi zero.

Exemple:

7370)737()737(0 333 ++−=+++−=++−+ xxxxxx

Element oposat. Cada polinomi té associat un altre, al què anomenerem el seu polinomi oposat, tal quela suma d’ambdós és igual al polinomi zero. Aconseguim el polinomi oposat d’un donat, simplement,canviant el signe de cada monomi.

Exemple:

El polinomi oposat de 722 34 −++−≡ xxxp és 722 34 +−− xxx , al què denotarem com "" p− .Ratifiquem que la seua suma és el polinomi zero:

0)77()22()()22()722()722( 33443434 =+−+−+−++−=+−−+−++− xxxxxxxxxxxx

Activitats proposades12. Escriu el polinomi oposat de cada un dels polinomis següents:

• 9322 23 +−− xxx

• x5−

• xx 73 +−

13. Considera els polinomis 12 +−≡ xxp , 323 −+−≡ xxq , així com el polinomi suma qps +≡ . Troba elsvalors que adopta cada un d’ells per a 2−=x , és a dir, calcula )2(−p , )2(−q i )2(−s . Estudia sihi ha alguna relació entre aqueixos tres valors.

14. Obtín el valor del polinomi p≡4 x3−x2+1 en x=2 . Quin valor pren el polinomi oposat de p en2=x ?




2.3. Producte de polinomisUna altra operació que podem realitzar amb polinomis és la multiplicació.

El resultat del producte de polinomis sempre serà un altre polinomi. Encara que en un polinomi tenimuna indeterminada, o variable, com ella adopta valors numèrics, a l’hora de multiplicar polinomisutilitzarem les propietats de la suma i el producte entre nombres, en particular la propietat distributivadel producte respecte de la suma; així, tot queda en funció del producte de monomis, qüestió queresolem amb facilitat:

mnmn abxbxax +=⋅

Exemples:

64242 102)5(2)5( xxxx −=⋅⋅−=⋅− +

333 20)4(5)4(5 xxx −=⋅−⋅=−⋅234222222 18126)63()43()23()642(3 xxxxxxxxxxx +−=⋅+⋅−⋅=+−⋅

xxxxxxxxxxx 262)2()1()2()3()2()()2()13( 2433 +−=−⋅−+−⋅+−⋅−=−⋅−+−

=++−+−−=−−⋅−+−−⋅=−−⋅− )1082()15123()54()2()54()3()54()23( 223222 xxxxxxxxxxxxx

10714310)815()212(3 23223 +−−=++−+−−+= xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxx 1226)122()6()2()6()6()2()6( 23423433 +−−=+−+−=−⋅−+⋅−=−⋅−

També podem materialitzar el producte de polinomis tal com multipliquem nombres enters:

Exemple:

41162

42

1236

42

13

42

2345

235

24

3

2

3

+−+−+−

++−

−−

++−

+−×

++−

xxxxx

xxx

xxx

xx

xx

xx

Recordem que el polinomi oposat d’un altre s’obté simplement canviant el signe de cada monomi.Aquesta acció es correspon de multiplicar pel nombre “ 1− ” el polinomi original. D’aquesta manera elpolinomi oposat d’és

pp ⋅−≡− )1(

En aquest moment apareix de manera natural l’operació diferència, o resta, de polinomis. La definimamb l’ajuda del polinomi oposat d’un donat:

qpqpqp ⋅−+≡−+≡− )1()(

Exemple:

4382)62(3)35(2

)632()235()632()235(2342234

23422342

−−−−=−+−−−+−==−−−++−−=+++−−+−−

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxx




Activitats proposades15. Efectua els següents productes de polinomis:

• )43()2( 2 −⋅− xx

• )54()12( 3 +−⋅+ xx

• )62()14( 23 +⋅−− xxx

• )978()1( 2 −+⋅− xx

16. Realitza les següents diferències de polinomis:

• )2()25( 2 xx −−+

• )12()42( 3 −−−+− xxx

• )143()27( 232 +−+−− xxxxx

17. Multiplica cada un dels següents polinomis per un nombre de tal forma que sorgisquen polinomismònics:

• 23 2 +− xx

• 326 3 −+− xx

• 292 −+− xx

18. Calcula i simplifica els productes següents:

a) )42( +−⋅ xx b) )23()32( +⋅− xx

c) )34()2( aa −⋅− d) )2()3( 22 abba −⋅−

Propietats del producte de polinomis Propietat commutativa. Si p i q són dos polinomis, no importa l’orde en què els col·loquem a l’hora demultiplicar-los:

pqqp ⋅≡⋅

Exemple:

2342334232323 7927722)(7)(2)()72( xxxxxxxxxxxxxxx −+−=−++−=+−⋅−+−⋅=+−⋅−23423342323 7927272)72()72()72()( xxxxxxxxxxxxxx −+−=−++−=−⋅+−⋅−=−⋅+−

Propietat associativa. Ens assenyala com es poden multiplicar tres o més polinomis. Basta fer-loagrupant-los de dos en dos:

)()( rqprqp ⋅⋅≡⋅⋅

Exemple:

( )xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

266184122266441212

)()26412()()13()24(234563243546

32332

−++−−=−++−+−−=

=+−⋅−++−=+−⋅+−⋅−

També:




( )xxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

266184122266441212

)33()24()()13()24(234563243546

324232

−++−−=−++−+−−=

=+−−⋅−=+−⋅+−⋅−

Activitats proposades19. Realitza els següents productes de polinomis:

• 22 )243( xxxx ⋅++−⋅

• )()35()12( 2 xxxx −⋅+−⋅+−

• )45()2()13( aaa −⋅−⋅−

Element neutre. Hi ha un polinomi amb una propietat particular: en multiplicar-lo per qualsevol altresempre ens dóna aquest últim. Es tracta del polinomi donat pel nombre 1, el polinomi unitat.

Exemple:

3251)325()325(1 333 +−−=⋅+−−=+−−⋅ xxxxxx

Propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma. Quan en una multiplicació de polinomisun dels factors ve donat com la suma de dos polinomis com, per exemple,

( ))4()72()3( 32 xxxxx −++−⋅−

tenim dues opcions per a conéixer el resultat:

a) realitzar la suma i, després, multiplicar

( ) ( )xxxxxxxxxxx

xxxxxxxxx

7271837621183

76)3()4()72()3(234524235

3232

−+−−=−+−+−=

=+−⋅−=−++−⋅−

b) distribuir, aplicar, la multiplicació a cada un dels sumands i, després, sumar:

( )xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxx

727183)4123()72216(

)4()3()72()3()4()72()3(23452435223

32232

−+−−=+−−+−++−==−⋅−++−⋅−=−++−⋅−

Comprovem que obtenim el mateix resultat.

En general, la propietat distributiva de la multiplicació respecte de la suma ens diu que

( ) ( ) ( )rpqprqp ⋅+⋅≡+⋅

Convé comentar que l’anterior propietat distributiva llegida en sentit contrari, de dreta a esquerra, és elque comunament es denomina traure factor comú.

Exemple:

2232345 2)1923(21846 xxxxxxxx ⋅+−−=+−−

Activitats proposades20. De cada un dels següents polinomis extrau algun factor que siga comú als seus monomis:

• xxx 201510 23 +−−

• 24 2430 xx +




3. DIVISIÓ DE POLINOMIS

3.1. Introducció a les fraccions polinòmiquesFins a aquest moment hem estudiat diverses operacions amb polinomis: suma, resta i producte. Enqualsevol dels casos el resultat sempre és un altre polinomi. Quan establim una fracció polinómicacom, per exemple,

32

32

3

−+−xx

xx

el que tenim és una expressió algebraica, una fracció algebraica, la qual, en general, no és un polinomi.Sí que apareix un polinomi en el molt particular cas en què el denominador és un nombre diferent dezero, açò és, un polinomi de grau 0.

És senzill constatar que l’expressió anterior no és un polinomi: qualsevol polinomi pot ser avaluat enqualsevol nombre. No obstant això aqueixa expressió no pot ser avaluada per a x=1 , ja que ensquedaria el nombre 0 al denominador.

Podríem creure que la següent fracció polinómica sí que és un polinomi:

352352352 2

2323

−+−=−++−=−+−xx

x

x

x

x

x

x

x

xxx

L’expressió de la dreta sí és un polinomi, perquè es tracta d’una suma de monomis, però la del’esquerra no ho és ja que no pot ser avaluada en x=0 . No obstant això, aqueixa fracció algebraica i elpolinomi, quan són avaluats en qualsevol nombre diferent de zero, ofereixen el mateix valor. Sónexpressions equivalents allí on ambdós tenen sentit, açò és, per a aquells nombres en què eldenominador no es fa zero.

3.2. Divisió de polinomisEncara que, com hem vist en l’apartat anterior, una fracció polinómica, en general, no és un polinomi,anem a endinsar-nos en la divisió de polinomis perquè és una qüestió important i útil.

Analitzem amb deteniment la divisió de dos nombres enters positius. Quan dividim dos nombres, D(dividend) entre d (divisor, diferent de 0), sorgeixen altres dos, el quocient (c) i el residu (r). Ells estroben lligats per l’anomenada prova de la divisió:

rcdD +⋅=

Alternativament:

d

rc

d

D +=

A més, diem que la divisió és exacta quan 0=r .

El conegut algoritme de la divisió persegueix trobar un nombre enter, el quocient c, tal que el residu rsiga un nombre menor que el divisor d, i major o igual que zero. Fixem-nos en que, sense aquestaexigència per al residu r, podem triar arbitràriament un valor per al quocient c el qual ens subministra elseu valor associat com a residu r. En efecte, si tenim com a dividend D = 673 i com divisor d = 12, “sivolem” que el quocient siga c = 48 el seu residu associat és

975766734812673 =−=⋅−=⋅−= cdDr




i la connexió entre aquests quatre nombres és

974812673 +⋅=

Aquesta última “llectura” de la divisió de nombres enters va a guiar-nos a l’hora de dividir dospolinomis.

Donats dos polinomis p ( x ) i q (x ) , la divisió de p ( x ) , polinomi dividend, entre q (x ) , polinomidivisor, ens proporcionarà altres dos polinomis, el polinomi quocient )(xc i el polinomi residu )(xr .També ací pesarà una exigència sobre el polinomi residu: el seu grau haurà de ser menor que el grau delpolinomi divisor. La relació entre els quatre serà, naturalment,

)()()()( xrxcxqxp +⋅=

També escriurem

)(

)()(

)(

)(

xq

xrxc

xq

xp +=

encara que, en este cas, serem conscients de les cauteles assenyalades en l’apartat anterior quant a les

equivalències entre polinomis i altres expressions algebraiques.

Igual que ocorre amb l’algoritme de la divisió entera, l’algoritme de la divisió de polinomis consta de

diverses etapes, de caràcter repetitiu, en cada una de les quals apareixen uns polinomis quocient i

residu “provisionals” de manera que el grau d’aqueixos polinomis residu va descendint fins que ens

topem amb un el grau del qual és inferior al grau del polinomi divisor, la qual cosa indica que hem

conclòs. Vegem aquest procediment amb un exemple concret.

Exemple:

• Dividirem el polinomi p ( x )=6 x4+5 x3+x2+3x−2 entre el polinomi q ( x )=2x2−x+3 . Com elpolinomi divisor, )(xq , és de grau 2, hem de trobar dos polinomis, un polinomi quocient )(xc

i un polinomi residu )(xr de grau 1 o 0, tals que

)()()()( xrxcxqxp +⋅=

o, com a igualtat entre expressions algebraiques,

)(

)()(

)(

)(

xq

xrxc

xq

xp +=

A la vista dels polinomis p ( x ) i q ( x ) , i del que s’ha dit sobre r ( x ) , és evident que el grau delpolinomi quocient, )(xc , ha de ser igual a 2. Anem a obtindre-lo monomi a monomi.

Primera aproximació als polinomis quocient i residu:

Per a poder aconseguir la igualtat rcqp +⋅≡ , com el grau de )(xr serà 1 o 0, el terme de major graude )(xp , 46x , sorgirà del producte )()( xcxq ⋅ . Així obtenim la primera aproximació del )(xc , seumonomi de major grau:

21 3)( xxc =

i, de manera automàtica, també un primer residu )(1 xr :




2388)936()2356(

3)32()2356()()()()(23234234

2223411

−+−=+−−−+++=

=⋅+−−−+++=⋅−=

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxcxqxpxr

Com aquest polinomi )(1 xr és de grau 3, major que 2, el grau del polinomi divisor )(xq , aqueixpolinomi residu no és el definitiu; hem de continuar.

Segona aproximació als polinomis quocient i residu:

Si particularitzem la igualtat entre expressions algebraiques )(

)()(

)(

)(

xq

xrxc

xq

xp += el que tenim fins ara

resulta

32

23883

32

23562

232

2

234

+−−+−+=

+−−+++

xx

xxxx

xx

xxxx

Aquesta segona etapa consisteix a dividir el polinomi 2388)( 231 −+−= xxxxr , sorgit com a residu de

l’etapa anterior, entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq , el divisor inicial. És a dir, repetim el que feiemabans però considerant un nou polinomi dividend: el polinomi residu del pas anterior.

El nou objectiu és aconseguir la igualtat rcqr +⋅≡ 21 . Igual que abans, el grau d’hauria de ser 1 o 0. Comel terme de major grau de )(1 xr , 38x , ix del producte )()( 2 xcxq ⋅ , és necessari que el polinomiquocient continga el monomi

xxc 4)(2 =

Això ens porta a un segon residu )(2 xr :

294)1248()2388(

4)32()2388()()()()(22323

223212

−−−=+−−−+−=

=⋅+−−−+−=⋅−=

xxxxxxxx

xxxxxxxcxqxrxr

Com aquest polinomi )(2 xr és de grau 2, igual que el grau del polinomi divisor )(xq , aqueix polinomiresidu no és el definitiu; hem de continuar.

Tercera aproximació als polinomis quocient i residu:

Allò que s’ha realitzat en l’etapa segona ens permet avançar en l’adequada descomposició de

l’expressió algebraica que ens ocupa:

32

29443

32

23883

32

23562

22

2

232

2

234

+−−−−++=

+−−+−+=

+−−+++

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

Aquesta tercera etapa consisteix a dividir el polinomi 294)( 22 −−−= xxxr , el residu de l’etapa

anterior, entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq , el divisor inicial. De nou repetim l’algoritme però amb unaltre polinomi dividend: el polinomi residu del pas anterior.

Perseguim que r2≡q⋅c3+r . Com en cada pas, el grau d’hauria de ser 1 o 0. El terme de major grau de)(2 xr , 24x− , sorgeix del producte )()( 3 xcxq ⋅ , pel que

2)(3 −=xc

i el tercer residu )(3 xr és




411)624()294(

)2()32()294()()()()(22

22323

+−=−+−−−−−=

=−⋅+−−−−−=⋅−=

xxxxx

xxxxxcxqxrxr

Com aquest polinomi r3( x ) és de grau 1, menor que 2, grau del polinomi divisor )(xq , aqueixpolinomi residu sí que és el definitiu. Hem conclòs:

32

411243

32

29443

32

23883

32

23562

22

22

2

232

2

234

+−+−+−+=

+−−−−++=

+−−+−+=

+−−+++

xx

xxx

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

Si ho expressem mitjançant polinomis:

)411()243()32(2356 22234 +−+−+⋅+−=−+++ xxxxxxxxx

Conclusió: en dividir el polinomi p ( x )=6 x4+5 x3+ x2+3x−2 entre el polinomi q ( x )=2x2−x+3obtenim com a polinomi quocient 243)( 2 −+= xxxc i com a polinomi residu 411)( +−= xxr .

A continuació agilitzarem la divisió de polinomis:

Activitats proposades21. Comprova que els càlculs que tens a continuació reflecteixen el que es va fer en l’exemple anterior

per a dividir el polinomi 2356)( 234 −+++= xxxxxp entre el polinomi 32)( 2 +−= xxxq .

Primera etapa:

2388

3936

32|2356

23

2234

2234

−+−−+−

+−−+++

xxx

xxxx

xxxxxx

Primera i segona etapes:

294

1248

2388

43936

32|2356

2

23

23

2234

2234

−−−−+−

−+−+−+−

+−−+++

xx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxxx

Les tres etapes:

411

624

294

1248

2388

243936

32|2356

2

2

23

23

2234

2234

+−+−

−−−

−+−−+−

−+−+−

+−−+++

x

xx

xx

xxx

xxx

xxxxx

xxxxxx




22. Divideix els polinomis següents:

7943 23 +−+ xxx entre 122 −+ xx

4326 23 +++− xxx entre 123 23 +−+ xxx

7134136 234 +−−−− xxxx entre 123 2 +−− xx

14144793 2345 +−++− xxxxx entre 32 23 +−− xxx

645 −− xx entre 32 +x

23. Troba dos polinomis tals que en dividir-los aparega q ( x )=x 2−2 x−1 com a polinomi quocient ir ( x )=2 x2−3 com a residu.

3.3. Igualtats notablesEn aquest apartat destacarem una sèrie de productes concrets de polinomis que sorgeixen sovint.Podem exposar-los de molt diverses formes. Tal com ho farem, apareixerà més d’una indeterminada;hem de ser capaços d’apreciar que si, en algun cas particular, alguna indeterminada passa a ser unnombre concret açò no farà ni més menys que particularitzar una situació més general.

Potències d’un binomi. Les següents igualtats s’obtenen, simplement, després d’efectuar els oportunscàlculs:

222 2)( bababa ++=+

El quadrat d’una suma és igual al quadrat del primer, més el dobleproducte del primer pel segon, més el quadrat del segon.

Comprova la igualtat a partir dels quadrats i rectangles de lail·lustració.

222 2)( bababa +−=−

El quadrat d’una diferència és igual al quadrat del primer, menys eldoble producte del primer pel segon, més el quadrat del segon.

Observa la figura i connecta-la amb la igualtat.

• 32233 33)( babbaaba +++=+

Ratifica la igualtat amb els cubs i prismes de la figura.

• 32233 33)( babbaaba −+−=−

Podem observar que, en cada un dels desenrotllaments,l’exponent del binomi coincideix amb el grau de cada un delsmonomis.




Exemples:

• 96332)3( 2222 ++=+⋅⋅+=+ aaaaa

• 168442)4( 2222 +−=+⋅⋅−=− xxxxx

• 25309)5(532)3()53( 2222 ++=+⋅⋅+=+ xxxxx

• 22222 3612)6(62)6( yxyxyyxxyx +−=+⋅⋅−=−• 12515030855)2(35)2(3)2()52( 2332233 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=− xxxxxxx

Activitats proposades24. Realitza els càlculs:

•2)1( x+

•2)2( +− x

• ( x−2)2

• (2a−3 )2

• ( x2+1 )3

• (2b−4 )3

25. Obtín les fórmules dels quadrats dels trinomis següents:

• 2)( cba ++ 2)( cba +−

26. Desenrotlla les potències següents:

a) (3x − y)2 b) (2a + x/2)2 c) (4y − 2/y)2

d) (5a + a2)2 e) (− a2 + 2b2)2 f) (2/3y − 1/y)2

27. Expressa com quadrat d’una suma o d’una diferència les següents expressions algebraiques:

a) a2 − 6a + 9 b) 4x2 + 4x + 1 c) b2 − 10b + 25

d) 4y2 − 12y + 9 e) a4 + 2a2 +1 f) y4 + 6xy2 + 9x2

Suma per diferència. De nou la següent igualtat s’obtédesprés d’efectuar el producte assenyalat:

22)()( bababa −=−⋅+

Suma per diferència és igual a diferència de quadrats.

Observa les figures i connecta-les amb la igualtat.

Exemples:

• 497)7()7( 222 −=−=−⋅+ aaaa

• 11)1()1( 222 −=−=−⋅+ xxxx

• 943)2()32()32( 222 −=−=−⋅+ xxxx

• =−⋅+⋅−=+−⋅+⋅−=+−⋅−− )35()35()1()53()53()1()53()53( xxxxxx222 925))3(5()1( xx +−=−⋅−=




Activitats proposades28. Efectua aquests productes:

• )23()23( −⋅+ xx

• )42()42( yxyx −⋅+

• )34()34( 22 −⋅+ xx

• )53()53( baba +⋅−

• )5()5( 22 xxxx +⋅+−

29. Expressa com a suma per diferència les següents expressions

a) 9x2 − 25 b) 4a4 − 81b2 c) 49 − 25 x2 d) 100 a2 − 64

De volta als polinomis d’una variable, podem dir que en aquest apartat hem expandit potències d’unpolinomi, o productes d’un polinomi per si mateix, així com productes de la forma suma per diferència.Convé donar-se compte que les seues fórmules, llegides al revés, ens informen del resultat de certes

divisions de polinomis. En efecte, igual que quan llegim 1871117 =× deduïm que 1117

187 = i, també,

1711

187 = , a partir del desenrotllament d’un binomi com, per exemple:

2342222 4129)23()23()23( xxxxxxxxx +−=+−⋅+−=+− , podem obtindre que

xxxx

xxx23

23

4129 22

234

+−=+−

+−

El mateix ocorre amb el producte de polinomis de la forma suma per diferència. Ja que, per exemple,

254)52()52( 633 −=+⋅− xxx , deduïm que 5252

254 33

6

+=−

−x

x

x, i també 52

52

254 33

6

−=+

−x

x

x

Activitats proposades30. Realitza les següents divisions de polinomis a partir de la conversió del dividend en la potència d’un

binomi o en un producte de la forma suma per diferència:

• 36122 ++ xx entre 6+x

•24 164 xx − entre xx 42 2 −

• 16249 2 +− xx entre 43 −x

• 52 −x entre 5+x




3.4. Operacions amb fraccions algebraiquesJa que tant els polinomis com les fraccions algebraiques obtingudes a partir de dos polinomis són, enpotència, nombres, operarem amb tals expressions seguint les propietats dels nombres.

Suma o resta. Per a sumar o restar dues fraccions polinómicas haurem d’aconseguir que tinguenel mateix denominador. Una manera segura d’aconseguir-lo, encara que pot no ser la mésadequada, és aquesta:

21

1221

12

12

21

21

2

2

1

1

qq

qpqp

qq

qp

qq

qp

q

p

q

p

⋅⋅+⋅≡

⋅⋅+

⋅⋅≡+

Producte. Basta multiplicar els numeradors i denominadors entre si:

21

21

2

2

1

1

qq

pp

q

p

q

p

⋅⋅≡⋅

Divisió. Segueix la coneguda regla de la divisió de fraccions numèriques:

21

21

2

2

1

1

pq

qp

q

pq

p

⋅⋅≡

Exemples:

xx xxxx xxxxx xxxxxxx xxxx xxxxxx

+−+=

+++−=

=+++

+−=

⋅+⋅++

+⋅+⋅−=

+++−

2

2

2

22

2

2

2

2

1431

31113

111

1131

)()()( )()( )()(

)()()()()()( )()()()()()()()( )()()( )()(

2133

217744

217744

1277

2144

1217

2122

27

12

222

2

+⋅+−−=

+⋅+−−++=

+⋅++−++=

=+⋅+

+−+⋅+

++=+⋅+

+⋅−+⋅++⋅+=

+−

++

xx xxxx xxxxx xxxxx xxx xxxx xxx xxxxx

)()( )()(15131

113

51

22 −⋅−−⋅+=

−−⋅

−+ xx xxxxxx

)()( )()(: xxx xxxxxxxx xxxx +⋅+−⋅+−=

+−⋅

++−=

−+

++−

22

2

31231

323

1323

De vegades pot ser útil apreciar que una fracció polinòmica pot ser reescrita com la suma, diferència,producte o quocient d’altres dues fraccions polinòmiques. En particular, això pot ser aprofitat per asimplificar una expressió polinòmica:

Exemples:

21

2)34(

)34(

2)34(2

)34(

68

34 2 xx

x

xx

x

xx

x

xx =⋅=−−⋅=

−⋅−⋅=

−−

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

xx

++−=−⋅

+−=

−−⋅

+−=

−⋅+−=

−+−

3

3)1(

)3(

)3(

)3(

)3(

)3(

)3(

)3()3(

)3(

9

96 2

2

2




Activitats proposades31. Efectua els càlculs següents:

1

2

2

1

−+

+ xx

xx

x 5

1

22

−−

−1

3

3

1 2

+⋅

++−

x

x

x

x

3:

22 −

+x

x

x

x

32. Realitza les següents operacions alterant, en cada apartat, només un dels denominadors, i el seurespectiu numerador:

• 23

2 1312

x

x

x

xx +++−−

•2

3

2

122 −

−−

−x

x

xx

x

33. Calcula els quocients següents:

a) (2x3 − 8x2 + 6x) : 2x

b) (5a3 + 60a2 −20) : 5

c) (16x3 + 40x2) : 8x2

d) (6x2y3 − 4xy2) : xy2

34. Comprova les següents identitats simplificant l’expressió del costat esquerre de cada igualtat:

• baba

ba 53

28

32

6 =

• yxxy

xyyx

2

12

4

28 223

−=−

•4

2

82

24 22

−+=

−+

x

xx

x

xx

•ab

abab

baab

abbaba

4

223

82

446 2

22

3222

−+−=

−+−

35. Simplifica les següents fraccions algebraiques:

a) 189

632

2

++

x

xx b)

23

23

53

7

aa

aa

+−

c) xy

xyyx

2

7 222 − d)

abba

abba

+−

3

22

36. En cada una de les següents fraccions algebraiques escriu, quan siga possible, el polinominumerador, o denominador, en forma de potència d’un binomi o de suma per diferència per a,posteriorment, poder simplificar cada expressió:

a) 63

42

+−x

x b)16

321622

2

−+−

x

xx c)

94

462 −

−a

a




CURIOSITATS. REVISTA


GEOMETRIATal com podràs comprovar durant aquest curs i els següents, gràcies als polinomis serà possible i senzill descriure nombrosos objectes geomètrics com a rectes, circumferències, el·lipses, paràboles, plans, esferes, cilindres, cons, etc.

12

2

2

2

=+by

ax

y = ax2 + bx + c

x2 + y2 + z2 = r2x2 + y2 = r2

Per a vore geomètricament el quadrat d'un trinomi:

http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/172241_am:1.swf

Per a vore geomètricament suma per diferència:


Per a vore geomètricament el quadrat d'una diferència:


ALTRES CIÈNCIESHem vist en aquest capítol que les fórmules que ens proporcionen l’àrea o el volum de diferents figures vénen donades per polinomis. Aquests també apareixen en nombrosos principis o lleis de la Física i de la Química com, per exemple, en diferents Lleis de Conservació, la Llei General dels Gasos, etc.

Així mateix, són de freqüent ús a l’hora d’obtindre distints índexs o indicadors propis de l’Economia com, per exemple, l'IPC (índex de preus al consum), l’euribor, etc.






RESUM

Noció Descripció Exemples

Expressió algebraica

Es construeix amb nombres i les operacionsmatemàtiques bàsiques de suma, resta, multiplicació i/odivisió

zyxyx

x ⋅⋅−+

− 232

3

Variable, indeterminada

Allò no concretat en una expressió algebraica Les variables, o indeterminades, de l’exemple anterior són x, y, z

Valor numèric d’una expressió algebraica

En fixar un valor concret per a cada indeterminada, ovariable, d’una expressió algebraica s’obté un nombre,el valor numèric d’aqueixa expressió algebraica per atals valors de les indeterminades.

Si, fem x = 3, i = −2, z = 1/2 obtenim

2

3

2

1)2(3

)2(32

33 23

−=⋅−⋅−−+⋅

⋅−

Monomi Expressió donada pel producte de nombres iindeterminades.

235 zyx ⋅⋅⋅− , 27 x⋅

Coeficient d’un monomi

El nombre que multiplica a la indeterminada, oindeterminades, del monomi

Els coeficients dels anteriorsmonomis són, respectivament,−5 i 7

Part literal d’un monomi

La indeterminada, o producte d’indeterminades, quemultiplica al coeficient del monomi

La part literal de 235 zyx ⋅⋅⋅− és23 zyx ⋅⋅

Grau d’un monomi

Quan hi ha una única indeterminada és l’exponent dedita indeterminada. Si apareixen diverses, el grau delmonomi serà la suma dels exponents d’aqueixesindeterminades.

Els graus dels monomisprecedents són 6 i 2,respectivament

Polinomi Expressió construïda a partir de la suma de monomis. 684 23 +++− xxx

Grau d’un polinomi

El major grau dels seus monomis L’anterior polinomi és de grau 3

Suma, resta i producte de polinomis

El resultat sempre és un altre polinomi

623

5

1

2,3

23

2

2

2

−−+≡⋅++−≡−

++≡+−≡+≡

xxxqp

xxqp

xxqp

xqxp

Divisió de dos polinomis

S’obtenen altres dos polinomis, els polinomis quocient(c(x)) i residu (r(x)), lligats als polinomis inicials: elspolinomis dividend (p(x)) i divisor (q(x))

)()()()( xrxcxqxp +⋅=




EXERCICIS I PROBLEMES

1. Una empresa majorista de viatges està confeccionant una oferta per a distribuir-la en diferentsagències de viatge. Es tracta d’un viatge amb avió, d’anada i tornada, a Palma de Mallorca el preudel qual dependrà del nombre final de viatgers. Les dades concretes són:

a) Si no hi ha més de 100 persones interessades, el vol costarà150 euros per persona.

b) Si hi ha més de 100 persones interessades, per cada viatgerque passe del centenar el preu del viatge es reduirà en 1 euro.No obstant això, el preu del vol en cap cas serà inferior a 90euros.

Estudia i determina el preu final del vol, per persona, en funció del nombre total de viatgers. Aixímateix, expressa la quantitat que ingressarà l’empresa segons el nombre de viatgers.

2. En aquest exercici es va a presentar un truc mitjançant el qual endevinarem el nombre que resultadesprés de manipular repetidament un nombre desconegut. Converteix en una expressió algebraicales successives alteracions del nombre desconegut i justifica el que ocorre.

i. Dis-li a un company que escriba en un paper un nombre parell i que no el mostreii. Que el multiplique per 5

iii. Que al resultat anterior li sume 5 iv. Que multiplique per 2 el que obté v. Que al resultat anterior li sume 10

vi. Que multiplique per 5 el que obtévii. Que dividisca entre 100 l’última quantitat

viii. Que al resultat precedent li reste la meitat del nombre que va escriureix. Independentment del nombre desconegut original quin nombre ha sorgit?

3. Els responsables d’una empresa, en previsió d’uns futurs alts i baixos en les vendes dels productesque fabriquen, pensen proposar als seus treballadors a finals de l’any 2014 el següent:

a) La disminució dels sous, per a l’any que ve 2015, en un 10%.

b) Per a 2016 ofereixen augmentar un 10% els salaris de 2015.c) En general, suggereixen que el sou disminuïsca un 10% cada

any imparell i que augmente un 10% cada any parell.

Si finalment s’aplica allò que s’ha exposat, estudia si els treballadorsrecuperaran l’any 2016 el salari que tenien en 2014. Analitza quèocorre amb els sous després del pas de molts anys.




4. Els responsables de l’anterior empresa, després de rebre l’informe d’una consultora, alteren la seuaintenció inicial i proposaran als seus treballadors, a finals de l’any 2014, el següent:

a) Un augment dels sous, per a l’any que ve 2015, d’un 10%.

b) Per a 2016, una reducció del 10% sobre els salaris de 2015.c) En general, suggereixen que el sou augmente un 10% cada any imparell

i que disminuïsca un 10% cada any parell.

Si s’aplica allò que s’ha exposat, analitza si el salari dels treballadors de l’any2016 coincidirà amb el que tenien en 2014. Estudia com evolucionen els sousdesprés del pas de molts anys.

5. Observa si hi ha nombres en què les següents expressions no poden ser avaluades:

1

3

+−x

x

)72()5(

12

+⋅−−xx

x

122 +− xx

x

22 3

2

yx

yx

+−+

6. Troba el valor numèric de les següents expressions als nombres que s’indiquen:

1

3

+−x

x en 1=x

122 +− xx

x per a 2−=x

22 3

2

yx

yx

+−+

en 3=x i 1−=y

abcca

ba

3

422

2

−−+−

per a 1−=a , 0=b i 2=c

)72()5(

12

+⋅−−xx

x en

2

1=x

7. Una persona té estalviats 3000 euros i decideix depositar-los en unproducte bancari amb un tipus d’interés anual del 2’5 %. Si decideixrecuperar els seus estalvis al cap de dos anys, quina serà la quantitattotal de què disposarà?

8. Construeix un polinomi de grau 2, )(xp , tal que 6)2( −=−p .

9. Considera els polinomis 142)( 23 −+−= xxxxp , 523)( 234 −−+−−= xxxxxq i 23)( 2 +−= xxxr .




Fes les operacions següents:

rqp ++qp −rp ⋅qrp −⋅

10. Calcula els productes:

a)

−⋅

−

352

3 byyax b) ( ) ( )zyxzyx 1'02'03'03'02'01'0 +−⋅−+

c) ( ) ( ) ( )axyyx +⋅−⋅− 1

11. Efectua les divisions de polinomis:

7122 23 +−+ xxx entre 3+x821784 234 +−++− xxxx entre 132 2 +− xx

146923 235 −++−− xxxx entre 323 +−− xx

12. Calcula els quocients:

a) )(:)4( 23 xx b) ( ) ( )22433 3:4 yzxzyx c) ( ) ( )yxyyxx 2:44 2224 −+−

13. Realitza les operacions entre fraccions algebraiques:

x

x

x

x 1212

−+−

1

532

+++xx

x

x

x

xx

x −−−− 2

3

12

x

x

xx

x −⋅−− 2

3

12

x

x

xx

x −−− 2

:3

12

14. Troba un polinomi )(xp tal que en dividir )(xp entre 32)( 23 −+−= xxxxq s’obtinga com apolinomi residu 13)( 2 +−= xxr .

15. Calcula les potències:

a) 2)2( zyx −+ b) 3)3( yx − c) 2

3

+ ba d) 232 )2( zx −




16. Analitza si els següents polinomis han sorgit del desenrotllament de potències de binomis, otrinomis, o d’un producte suma per diferència. En cas afirmatiu expressa la seua procedència.

962 +− xx168 24 ++ xx

22 312 yxyx +−122 234 ++++ yyyy

122 234 +++− xxxx252 −x52 +x

15 2 −x22 8yx −

14 −x22 yx −

222 2 zyx −

17. Analitza si el numerador i el denominador de les següents expressions algebraiques procedeixen deldesenrotllament d’un binomi, o d’un producte suma per diferència, i simplifica-les:

a) 1

122

2

−++

x

xx b) 22

4224 2

yx

yyxx

++−

c) 14

3

−−

y

yxxy

18. Efectua les següents operacions i simplifica tot el possible:

a) )3(2

1

)3(

3

xxx −−

− b) 1

153

2

5

3

434

+⋅−+−x

x

x

xxx c)

ba

yx

ba

yx

33

542

−++

−−

19. Simplifica tot el possible:

a)

+

−

xx

x

yyx

1: 2

24 b)

ab

ab

ab

abaabb

−+

−+++

:33 3223

c) baba

ba

ba

ba

−

+−−

−+ 4

:

20. Simplifica tot el possible:

a)

yxa

yxa

xya

xya

++

+−

++

−+

11

11

:11

11

b)

−−

+++

3232

321:

3211

xxxxxx c)

yx

yx

yx

yx21

31

23

12

−

−⋅

+

−




AUTOAVALUACIÓ

1. Assenyala els coeficients que apareixen en les següents expressions algebraiques:

a) 253 yx ⋅⋅⋅ b) 73 34 ++−− xxx c) 93

624

8 22

+−+−

+a

xay

x

2. Destaca les variables, o indeterminades, de les precedents expressions algebraiques.

3. Del polinomi 5 x4−8 x2− x+9 indica el seu grau i els monomis que ho integren.

4. L'expresió x−74−2x

no té sentit para

a) 7=x b) 2=x c) 7=x y 2=x d) 0=x5. Qualsevol polinomi:

a) pot ser avaluat en qualsevol nombre. b) no pot ser avaluat en el nombre zero. c) no pot ser avaluat en certs nombres concrets.

6. El valor numèric de l’expressió z

xzy

x 36

24

7 22

−+−

+ en 1,2,1 −=== zyx és:

a) 11− b) 7 c) 1 d) 5−

7. Completa adequadament les frases següents:a) La suma de dos polinomis de grau dos sol ser un altre polinomi de grau ………. b) La suma de tres polinomis de grau dos sol ser un altre polinomi de grau ………. c) El producte de dos polinomis de grau dos és sempre un altre polinomi de grau ………. d) La diferència de dos polinomis de grau dos sol ser un altre polinomi de grau ……….

8. Finalitza adequadament les frases següents:a) La suma de dos polinomis de grau dos és sempre un altre polinomi de grau ………. b) La suma de tres polinomis de grau dos és sempre un altre polinomi de grau ………. c) La diferència de dos polinomis de grau dos és sempre un altre polinomi de grau ……….

9. En dividir el polinomi 42)( 34 +−= xxxp entre 22)( 2 ++= xxxq el polinomi residu resultant: a) ha de ser de grau 2.b) pot ser de grau 2.c) ha de ser de grau 1. d) cap de les opcions precedents.

10. Perquè una fracció polinòmica )(

)(

xq

xp siga equivalent a un polinomi:

a) els polinomis )(xp i )(xq han de ser del mateix grau.b) no importen els graus de )(xp i )(xq .c) el grau del polinomi numerador, p ( x ) , ha de ser superior o igual al grau del polinomi denominador,q (x ) .

d) el grau del polinomi numerador, p ( x ) , ha de ser inferior al grau del polinomi denominador, q ( x ) .



90 expressions algebraiques. polinomis. 3ºb eso 3º b d'eso ... · apareixeran les...

Documents