exposicion de meodos numericos - universidad de los angeles comalcalco

MÉTODOS NUMERICOS UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES

METODOS DE SOLUCCION DE

ECUACIONES

2.1 METODOS DE INTERVALOLos métodos de los intervalos utilizan una

propiedad muy importante, consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones de  una raíz. Se llaman métodos de los intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.

En la gráfica 2.1 se observa como la función cambia de +f(x)  a  - f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre porque  f (c)= 0  y necesariamente la función pasa del cuadrante positivo al negativo de x. En algunos casos , que se verán más adelante esto no ocurre así, por ahora se asumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos utilizan estos cambios de signo  para poder ubicar el  la raíz (punto c), pero  es necesario entonces establecer un intervalo (como el [a,b]). De igual manera sucede cuando la función pasa por el punto e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la raíz el método necesita un intervalo como el  [d,f].

2.2 MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• El método de la bisección es muy similar al de la posición falsa, aunque algo mas simple. Como en el de la posición falsa, en este método también se requieren dos valores iniciales para ambos lados de la raíz, y que sus valores funcionales correspondientes sean de signos opuestos.

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• En este caso, el valor de se obtiene como el punto medio entre

• Dependiendo de la función que se tenga en particular, el método de la bisección puede converger ligeramente mas rápido o mas lento que el método de la posición falsa. Su gran ventaja sobre el de posición falsa es que proporcionan el tamaño exacto del intervalo en cada iteración (en ausencia en errores de redondeo).

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• Para aclarar esto, nótese que en este método, después de cada iteración, el tamaño del intervalo se reduce a la mitad, después de n iteraciones, el intervalo original se habrá reducido veces.

• Por lo anterior, si el intervalo original es del tamaño y el criterio de convergencia aplicado al valor absoluto de la diferencia de dos consecutivas es , entonces se requerirán iteraciones, donde se calcula con la igualdad de la expresión:

•

MÉTODO DE LA BISECCIÓN

• De donde

• Por esto se dice que se puede saber de antemano cuantas iteraciones se requieren.

2.3 APROXIMACIONES SUCESIVASEste método consiste en sustituir a la variable X0 , un valor aproximado

a la raíz en el segundo miembro de la ecuación X1= F(X0), con el cual

obtendremos a X1 que será el nuevo valor aproximado de la raíz mismo que será sustituido en el segundo miembro de la ecuación con el cual

obtendremos a X2 = F(X1)

Y así sucesivamente hasta encontrar el valor de la raíz o llegar a la enésima aproximación donde Xn = F ( X n - 1).

APROXIMACIONES SUCESIVAS

Si a medida que (n) crece, X0 tiende a obtener el valor de la raíz

y se dice que el método converge de lo contrario que el método diverge.

APROXIMACIONES SUCESIVAS

2.3.1 ITERACION Y CONVERGENCIA DE ECUACIONES

En general, en todos los procesos iterativos para resolver el sistema Ax=b se recurre a una cierta matriz Q, llamada matriz descomposición, escogida de tal forma que el problema original adopte la forma equivalente: 

Qx = (Q-A)x+b

La ecuación anterior sugiere un proceso iterativo que se concreta al escribir: 

El vector inicial x(0) puede ser arbitrario, aunque si se dispone de un buen candidato como solución éste es el que se debe emplear. La aproximación inicial que se adopta, a no ser que se disponga de una mejor, es la idénticamente nula 

A partir de la ecuación (63) se puede calcular una sucesión de vectores x(1), x(2), ....

Nuestro objetivo es escoger una matriz Q de manera que:• se pueda calcular fácilmente la sucesión [x(k)].• la sucesión [x(k)] converja rápidamente a la solución.

Como en todo método iterativo, deberemos especificar un criterio de convergencia y un número máximo de iteraciones M, para asegurar que el proceso se detiene si no se alcanza la convergencia. En este caso, puesto que x es un vector, emplearemos dos criterios de convergencia que se deberán satisfacer simultáneamente:1.El módulo del vector diferencia, , partido por el módulo del vector x, deberá ser menor que la convergencia deseada:

2.La diferencia relativa del mayor elemento en valor absoluto del vector x(k), , deberá ser diez veces menor que :

2.3.2 CONDICION DE LIPSCHITZSea xk la sucesión de valores calculados mediante el

método de iteración funcional:

La convergencia de este esquema iterativo se rige por las denominadas \condiciones deLipschitz" que pueden formularse de diversa manera, algunas de las cuales se presentan a continuación.Si no se conoce la existencia de la raíz a priori, entonces puede estudiarse la convergencia del método iterativo mediante las siguientes dos formas de las condiciones de Lipschitz

2.4 METODOS DE INTERPOLACION Si el valor inicial de la raíz es xi, entonces se puede entender una tangente desde el punto [xi, f(xi)]. El punto de esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada a la raíz. La formula es:

Xi+1 = xi f(xi)

2.4.1 METODOS DE NEWTON RAPHSON

•Este método es uno de los mas ampliamente usados en la búsqueda de raíces de ecuaciones. Según se puede ver en la figura 1

FIGURA 1. MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Método de Newton Raphson

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

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Método de Newton Raphson

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MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

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2.4.2 METODO DE L SECANTE El principal inconveniente del

método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto, lo cual puede llegar a resultar engorroso. Sin embargo, la forma funcional de f ( x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. El método de la secante es casi idéntico al de regula fasil salvo por un detalle: no se tiene en cuenta el signo de la función para estimar el siguiente punto. Se procede independientemente de los signos de la función. De todas maneras en algunos casos es más útil emplear el método de la secante.

Una forma de evitar el cálculo de f ' ( x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta que pasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la f (x ) − f ( x ) tangente) es decir, la pendiente de la recta) :

Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto de iteración:

REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS ITERACIONES AL APLICAR EL MÉTODO DE

LA SECANTE

La sucesión queda expresada en términos generales como:A partir de ciertos valores x0 y x1 dados. El

algoritmo deberá parar cuando sea menor que la precisión requerida. Obviamente, para poder arrancar el método se necesitan dos valores iniciales.

Forma de hacerlo: Primero hay que definir algunos conceptos como: xn Es el valor actual de Xxn−1 Es el valor anterior de Xxn+1 Es el valor siguiente de X

Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando y hará que encuentra la raíz.

Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que se llaman A y C. Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f(C). Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la fórmula B=((Af(C))-(C(f(A)))/(f(C)-f(A)). A diferencia del resto de los métodos, aquí no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se simplifica la formula para seguir con el método. Aquí solo se usan 2 columnas, una de xn y otra de f ( xn ) .

2.4.3 METODO DE AITKEN

UNIVERSIDAD DE LOS ANGELES CAMPUS COMALCALCO

INSTRUCTOR: ING. PEDRO DE LA CRUZ LARA EQUIPO

No.2

GRACIAS POR SU ATENCION…