evaluación de no estacionaridad de series de tiempo
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Proyecto de grado Ingeniería Ambiental
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas en
Colombia:
Caso aplicado al Eje Cafetero
Por: Alejandro Ocampo Giraldo
Asesor: Mario Díaz-Granados Ortiz
Universidad de los Andes
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental
Bogotá D.C, diciembre de 2019
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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CONTENIDO
1. Introducción ........................................................................................................................... 4
2. Objetivos................................................................................................................................ 4
2.1. Objetivo General ............................................................................................................ 4
2.2. Objetivos Específicos ..................................................................................................... 5
3. Marco teórico ......................................................................................................................... 5
3.1. Estacionaridad ................................................................................................................ 5
3.2. Tendencias ..................................................................................................................... 6
3.2.1. Prueba Mann-Kendall ............................................................................................. 7
3.2.2. Pendiente de Sen .................................................................................................... 8
3.3. Homogeneidad ............................................................................................................... 9
3.3.1. Prueba de Pettitt..................................................................................................... 9
3.3.2. Prueba del rango de Buishand ............................................................................... 10
3.3.3. Prueba de homogeneidad normal estándar (SNHT) ............................................... 10
3.4. Variables de interés ...................................................................................................... 11
3.4.1. Descomposición modal empírica ........................................................................... 11
4. Metodología ......................................................................................................................... 11
4.1. Inventario de información disponible............................................................................ 12
4.2. Análisis de calidad, consistencia y validez de la información ......................................... 12
4.2.1. Análisis de datos anómalos y datos faltantes ......................................................... 12
4.2.2. Análisis exploratorio gráfico .................................................................................. 13
4.3. Análisis estadístico confirmatorio ................................................................................. 14
4.3.1. Normalidad ........................................................................................................... 14
4.3.2. Autocorrelación .................................................................................................... 15
4.3.3. Tendencias y su magnitud ..................................................................................... 15
4.3.4. Homogeneidad y punto de cambio........................................................................ 16
4.3.5. Regresión lineal..................................................................................................... 16
4.4. Evaluación de los resultados obtenidos......................................................................... 17
4.5. Metodología de implementación .................................................................................. 17
5. Caso de estudio .................................................................................................................... 18
5.1. Aplicación detallada de la metodología ......................................................................... 21
5.1.1. Serie de precipitación mensual ............................................................................. 21
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en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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5.1.2. Series de precipitación anuales ............................................................................. 30
6. Resultados y análisis ............................................................................................................ 38
6.1. Series mensuales .......................................................................................................... 41
6.2. Series totales anuales ................................................................................................... 42
6.3. Mínimos anuales .......................................................................................................... 43
6.4. Máximos anuales .......................................................................................................... 44
6.5. Comparación resultados ............................................................................................... 44
7. Conclusiones y recomendaciones ......................................................................................... 45
8. Referencias bibliográficas .................................................................................................... 46
9. Anexos ................................................................................................................................. 48
Anexo 1 .................................................................................................................................... 48
Anexo 2 .................................................................................................................................... 49
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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1. INTRODUCCIÓN
Los datos hidroclimatológicos son el conjunto de registros de diferentes tipos de variables
climáticas observadas en una región y tiempo específico, medidas con instrumentos bajo un
conjunto de procedimientos estándar (Bernal, Barrios, Ramos, Velásquez, & Ibarra, 2012). Este
tipo de información es considerada por la Organización Meteorológica Mundial (WMO) (2009)
como un instrumento para el ordenamiento del territorio y la planificación ambiental regional en
términos de la reducción de riesgos de desastres naturales, así como para la planificación del
transporte y agricultura; además, se considera como un insumo crucial en la planificación de
estrategias de explotación de recursos naturales (Cantor Gomez, 2011).
El diseño y la administración de los recursos naturales se han basado generalmente en el
análisis de información recolectada a partir de observaciones bajo el supuesto por de defecto de
estacionaridad (Clark et al., 2015).Sin embargo, hoy en día este supuesto es menos válido por
factores como cambios acelerados en el uso del suelo, variabilidad climática, fenómenos
macroclimáticos y cambio climático asociado a efecto invernadero (Díaz-granados & Camacho,
2014). El supuesto de estacionaridad implica que las propiedades estadísticas de una serie como
lo es la media o la varianza permanecen constantes en el tiempo (Clark et al., 2015), por lo que
se tiene una función de densidad de probabilidad invariante en el tiempo asociada a la variable
de estudio, haciendo que el pasado represente la mejor información disponible para estimar lo
esperable en el futuro (Díaz-granados & Camacho, 2014).
Debido a esto, cabe preguntarse, si al involucrar la no estacionaridad de la serie realmente se
obtiene un análisis más confiable y por ende una mejor predicción de las variables hidrológicas
para utilizar en el diseño, planeación y administración de los recursos naturales. Como lo
menciona Serinaldi y Kilsby (2015), hay una necesidad de desarrollar métodos de análisis no
estacionarios consistentes que puedan explicar la naturaleza de un clima que cambia en el tiempo.
Sin embargo, para esto es también importante preguntarse cómo se sabe cuándo una serie viola
este supuesto de estacionaridad, y qué se puede concluir a partir de esto. El presente proyecto se
enfoca en la última pregunta formulada, mediante la propuesta de una metodología con el fin de
poder identificar cuándo una serie viola este supuesto. Esto se hará mediante la aplicación de
diversas pruebas estadísticas expuestas en diferentes fuentes de literatura.
De forma general en este proyecto de grado se presenta una metodología para la evaluación
de la no estacionaridad de una serie de tiempo al igual que una aplicación de un caso estudio. En
primera instancia, se presenta una revisión de literatura acerca de los avances realizados en este
tema en diferentes campos de la hidroclimatología. Segundo, se describe la propuesta
metodológica para la evaluación de no estacionaridad. Después, en tercer lugar, se presenta el
caso de estudio o aplicación sobre el cual se va a implementar la metodología y seguido a esto se
presenta una descripción detallada de la aplicación de la metodología a una serie de tiempo
específica. Seguido a esto, se presentan de forma conjunta todos los resultados de las estaciones
hidroclimatológicas que se seleccionaron para después realizar un análisis detallado de éstos.
Finalmente, a partir del desarrollo del proyecto se plantean las respectivas conclusiones y posibles
trabajos futuros.
2. OBJETIVOS
2.1. Objetivo General
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Valorar y analizar el comportamiento se series de tiempo hidroclimatológicas para identificar y
evaluar el supuesto de estacionaridad a partir de una metodología pertinente.
2.2. Objetivos Específicos - Identificar diferentes herramientas de tipo estadístico que se puedan utilizar para el análisis
de series de tiempo hidroclimatológicas en Colombia.
- Plantear una metodología acorde para la evaluación de no estacionaridad en series de tiempo
hidroclimatológicas en Colombia.
- Aplicar la metodología planteada a un caso de estudio para evaluar el respectivo depempeño
de ésta.
- Evaluar posibles causas o factores que invalidan el supuesto de estacionaridad en las series
de tiempo hidroclimatológicas en Colombia.
3. MARCO TEÓRICO
Para desarrollar la metodología a emplear para la evaluación de estacionaridad o no
estacionaridad en las series de tiempo hidroclimatológicas se hizo primero una detallada revisión
de literatura. Esta revisión consistió principalmente en el análisis de artículos de procedimientos
y técnicas estadísticas, tanto genéricas como específicas de aplicaciones en hidrología y
climatología, para la revisión de las propiedades de interés de las series. Se realizó esta revisión
documental con el fin de tener una buena aproximación al conocimiento que se tiene hoy en día
sobre esta temática y analizar los avances que se han realizado. A partir de ésta, con un contexto
teórico apropiado se pudo proceder a la elaboración de una metodología acorde con el propósito
principal del proyecto
En la presente sección se hace una descripción detallada de los conceptos, métodos y teorías
más importantes para la elaboración del proyecto. Además, se analizan y discuten los principales
resultados a los que han llegado diferentes investigaciones a partir de la aplicación de la
metodología y cómo se podrían adaptar al presente proyecto.
3.1. Estacionaridad Una serie de tiempo hidrológica se puede considerar estacionaria si sigue una distribución de
probabilidad en la cual las propiedades estadísticas de cualquier orden no tienen cambios
significativos en el tiempo (Clark et al., 2015). En otras palabras, una serie de tiempo de cualquier
variable hidrológica puede considerarse estacionaria si las propiedades como la media, la
varianza y la estructura de autocorrelación son constantes en el tiempo. Como lo mencionan Díaz-
Granados & Camacho (2014) tras la suposición de estacionaridad, una serie de tiempo, al tener
una función de probabilidad invariante en el tiempo acepta que el pasado representa la mejor
información disponible para estimar lo esperable en el futuro, por lo que las propiedades de ésta
pueden ser estimadas de registros históricos. A partir de esto, se puede concluir entonces que un
análisis estacionario implica que los valores observados de una variable se asumen como
realizaciones aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de una función estacionaria
de densidad de probabilidad (Serinaldi & Kilsby, 2015).
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A lo largo de los años los análisis hidrológicos se han basado en esta suposición de
estacionaridad; sin embargo, como lo mencionan Serinaldi y Kilsby (2014) esto puede traer
fuentes de incertidumbre a la hora de generar predicciones o hacer evaluaciones de las series de
tiempo, ya que no se está teniendo en consideración el cambio de los parámetros estadísticos en
función del tiempo o de otras variables externas. Entonces, hoy en día esta suposición puede ser
inapropiada principalmente por 3 factores mencionados en la investigación hecha por Díaz-
Granados & Camacho (2014). Primero, están las alteraciones antropogénicas en el sistema
hidrológico como por ejemplo el proceso de urbanización, cambios en el uso del suelo,
construcción de infraestructura, entre otros que afectan las relaciones en el ciclo hidrológico.
Segundo, están las variaciones en el clima inducidas por la acción antrópica, lo cual se refiere al
cambio climático ocasionado por la emisión de los gases de efecto invernadero. Estos cambios
en el clima generan una mayor variabilidad en los procesos hidrológicos como la precipitación
haciéndola más intensa en algunas zonas o reduciéndola en otras. Finalmente, está la variabilidad
natural, en donde se incluyen procesos como fenómenos macroclimáticos, oscilaciones intra
estacionales, actividad solar, ciclo de Milankovic, entre otras. Como lo menciona Jacob et al.
(2009) el sistema climático terrestre es altamente complejo y no lineal por lo que su
comportamiento es altamente impredecible y puede tener fenómenos como los mencionados que
alteren las propiedades de variables la cuales pueden ser amplificadas o amortiguadas por ciclos
de retroalimentación.
Ahora bien, es pertinente hablar sobre cómo se podría saber cuándo una serie de tiempo
cumple con esta propiedad de estacionaridad y cuando no lo hace. Como se mencionó
anteriormente, el propósito detrás de esto es hacer un análisis para saber si las propiedades
estadísticas de la serie como la media, varianza o autocorrelación están cambiando a lo largo del
tiempo, y si se comprueba que éstas están cambiando, entonces se podría concluir que la serie ya
no es estacionaria. Como se menciona en la investigación de Clark et al. (2015), los patrones de
no estacionaridad en variables climáticas e hidrológicas han sido detectados en la forma de
tendencias o variaciones crecientes y decrecientes en la media de la serie. Entonces, al encontrar
una tendencia en la serie se puede concluir que algún parámetro estadístico está cambiando con
el tiempo por lo que se estaría violando el supuesto de estacionaridad. Además de la posibilidad
de identificar la violación del supuesto por medio de las tendencias, la no estacionaridad también
se puede encontrar mediante la evaluación de la homogeneidad de la serie. Así, si alguna
propiedad de la serie varía a lo largo del tiempo de medición se estaría violando el supuesto de
homogeneidad por lo que también estaría violando el supuesto se estacionaridad, como lo
menciona (Cepeda Cuervo, Achcar, & Andrade, 2018).
En las siguientes secciones de la revisión documental se analizan diferentes metodologías y
pruebas estadísticas para evaluar si en las series de variables hidrológicas o climáticas violan el
supuesto de estacionaridad.
3.2. Tendencias Como bien se mencionó anteriormente, el análisis de tendencias es una de las formas de
identificar estacionaridad o no estacionaridad en las series de tiempo de variables
hidroclimatológicas. En este tipo de series de tiempo es de muy alta complejidad e incertidumbre
la detección de tendencias de manera visual, y por consiguiente, es necesario la implementación
de pruebas estadísticas. Dentro de las pruebas más comunes se encuentra la prueba de Mann-
Kendall utilizada por Carmona y Poveda (2013), Kallache et al. (2004), Libiseller y Grimvall
(2002), Karmeshu (2012), Díaz-Granados & Camacho (2014), Guenni, Degryze & Alvarado
(2008), Castro y Carvajal (2010) y Cantor (2011). Además de esta prueba que es principalmente
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para averiguar si la tendencia existe o no, en muchas investigaciones utilizan otro tipo de pruebas
para analizar qué tan grande o pequeña es la magnitud de la tendencia. Para esto, se hace uso
entonces de la pendiente de Sen que es utilizada por Carmona y Poveda (2013), Díaz-Granados
& Camacho (2014), Cantor (2011) y Maintainer & Pohlert (2018) para analizar la magnitud de
la tendencia en caso de que se presente.
3.2.1. Prueba Mann-Kendall
Para la compresión de los resultados del presente proyecto es pertinente dar una descripción
de la presente prueba ya que es de alta importancia en el desarrollo del mismo. La prueba se
ejecuta mediante un procedimiento computacional que considera la serie de tiempo de 𝑛 datos y
𝑇𝑖 y 𝑇𝑗 como dos subconjuntos de datos en donde 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛 y 𝑗 = 𝑖 + 1, 𝑖 + 2,… , 𝑛. Estos
valores son evaluados como una serie de tiempo ordenada. Entonces, el procedimiento de la
prueba consiste en comparar cada valor de la serie de datos con el siguiente, en donde si el valor
del dato del tiempo posterior es mayor al valor del dato del tiempo anterior la estadística de la
prueba 𝑆 se incrementa una unidad. Por otro lado, si el valor del dato del tiempo anterior es mayor
al valor del dato del tiempo posterior la estadística 𝑆 decrece una unidad (Karmeshu, 2012). Se
realiza esto para toda la serie de datos y el acumulado del valor de 𝑆 después de los incrementos
y disminuciones es el valor final del estadístico de la prueba. Matemáticamente la formulación
de la prueba descrita anteriormente se muestra a continuación:
𝑆 = ∑ ∑ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑇𝑗 − 𝑇𝑖)
𝑛
𝑗=𝑖+1
𝑛−1
𝑖=1
𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑇𝑗 − 𝑇𝑖) = {
1 𝑠𝑖 𝑇𝑗 − 𝑇𝑖 > 0
0 𝑠𝑖 𝑇𝑗 − 𝑇𝑖 = 0
−1 𝑠𝑖 𝑇𝑗 − 𝑇𝑖 < 0
El procedimiento descrito anteriormente es el procedimiento estándar que sigue toda prueba
Mann-Kendall. Sin embargo, al momento de calcular la varianza para el cálculo del estadístico de
prueba existen varias aproximaciones o metodologías que le dan a la prueba Mann-Kendall ciertas
características. Entonces, existen modificaciones para que la respectiva prueba pueda incluir el efecto
de las covariables sobre la variable principal y ésta es llamada Mann-Kendall parcial y es la utilizada
por Libiseller y Grimvall (2002). También, la prueba se puede modificar para que ésta tenga en cuenta
la autocorrelación temporal de los datos, ya que cuando los datos de la serie de tiempo tienen esta
característica, tendencias artificiales tienden a aparecer cuando en realidad no existen o no son
estadísticamente significativas (Carmona & Poveda, 2014). Esta prueba Mann-Kendall modificada,
para tener en cuenta la autocorrelacioón de los datos es la utilizada por Díaz-Granados & Camacho
(2014) y Carmona y Poveda (2014) para el análisis de las series de datos. Sin embargo, también existe
la prueba básica de Mann-Kendall que no tiene en consideración ninguna de estas características que
pueden presentar los datos, y es la utilizada por Karmeshu (2012) para la detección de tendencias.
Existen otras modificaciones como lo propone Maintainer & Pohlert (2018) que son las adaptadas a
datos con estacionalidad y múltiples variables.
Ahora bien, como en el presente proyecto se busca probar la estacionaridad o no
estacionaridad de variables individuales, solo se tienen en cuenta la prueba Mann-Kendall simple y
la modificada para datos que presentan autocorrelación. Como bien se mencionó, la diferencia de
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estas dos pruebas radica en el cálculo de la varianza; sin embargo, el estadístico de prueba se calcula
de igual forma como se muestra a continuación:
𝑍𝑆 =
{
𝑆 − 1
𝜎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑆 > 0
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑆 = 0𝑆 + 1
𝜎 𝑝𝑟𝑎 𝑆 < 0
El estadístico de prueba 𝑍𝑖 es usado como una medida de significancia de la prueba (Karmeshu, 2012)
en donde las diferentes hipótesis que se quieren validar o invalidar son:
𝐻0: 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠)
𝐻1: 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
Ahora, el estadístico 𝑍𝑠 se compara con un valor critico 𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 (distribución normal estándar)
asociado con un nivel de significancia 𝛼, generalmente del 5%. Entonces, si el valor del estadístico
de prueba es menor que el valor de 𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 se aceptaría la hipótesis nula concluyendo que la tendencia
es no significativa.
Como lo menciona Karmeshu (2012) hay dos principales ventajas de utilizar esta prueba. La
primera es que la prueba es no paramétrica por lo que no requiere que los datos sigan una distribución
normal, y además tiene tolerancia en cuanto a los datos atípicos (Carmona y Poveda 2014). La
segunda, es que la prueba tiene baja sensibilidad a cambios bruscos debidos a la no homogeneidad de
la serie.
3.2.2. Pendiente de Sen Esta prueba es utilizada para cuantificar el cambio de la magnitud de las derivadas de tiempo
locales (tasa de cambio) (Carmona & Poveda, 2014). La metodología requiere que los datos
igualmente espaciados. La estimación de la pendiente se obtiene con la siguiente ecuación:
𝑚𝑘 =𝑋𝑖+1 − 𝑋𝑖(𝑖 + 1) − 𝑖
Siendo 𝑚 la respectiva pendiente entre dos puntos. Ahora, la pendiente de Sen se calcula como
la mediana de todas las pendientes individuales.
Al igual que para la prueba de Mann-Kendall, la pendiente de Sen presenta modificaciones
cuando los datos presentan ciertas características que hacen violar algunos de los supuesto básicos
como la no presencia de autocorrelación. Pohlert (2018) utiliza una la prueba de Sen modificada
para datos con estacionalidad y autocorrelación para el cálculo de la magnitud de la pendiente,
donde se tienen en cuentas estas características antes mencionadas.
Esta metodología para calcular la magnitud de una tendencia tiene una ventaja y es que no
hace ninguna suposición acerca de la distribución que siguen los dato, por consiguiente, se puede
utilizar para series de datos que no cumplen con el supuesto de normalidad.
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3.3. Homogeneidad Con respecto a la homogeneidad de la serie de tiempo de variables hidroclimatologicas las
pruebas que se utilizan comúnmente son las de Wilcoxon, Mann-Whitney (Díaz-Granados, 2018)
y Von Neuman (Javari, 2016). Sin embargo, en algunas investigaciones como en las hechas por
Javari (2016), Bernal et al. (2012), Kang y Yusof (2012) y Maintainer & Pohlert (2018) se utiliza
otra aproximación para la evaluación de la homogeneidad de una serie llamada detección del
punto de cambio. Este tipo de prueba evalúa si en algún periodo se da algún cambio en las
propiedades estadísticas, y por consiguiente, si se llega a presentar ese cambio se concluiría que
la serie es heterogénea y por lo tanto se estaría violando el supuesto de estacionaridad. Dentro de
este tipo de pruebas se encuentra la prueba de Pettitt, la prueba del rango de Buishand y la prueba
de homogeneidad normal estándar (Kang & Yusof, 2012).
Es pertinente dar una breve descripción de lo que es el análisis de punto de cambio. Como lo
menciona Kallache, Rust, & Kropp (2005) muchas veces el término “Punto de cambio” no refleja
lo que realmente significa o lo que realmente mide, que en realidad puede ser un cambio abrupto
en la media, el comienzo de una tendencia lineal o el cambio de partes de una tendencia. Por esta
razón, éste es un análisis importante para el presente proyecto, ya que en los registros hidrológicos
muchas veces los puntos de cambio se dan debido a intervenciones antropogénicas,
modificaciones de instrumentación o cambio climático (Kallache, Rust, & Kropp, 2005). Como
se puede ver, estas características que potencialmente causan ese punto de cambio en las
propiedades estadísticas, son similares a las que causan la no estacionaridad en las series.
Antes de dar una breve descripción de las pruebas de mayor relevancia para el proyecto con
respecto a la homogeneidad de la serie y la detección del punto de cambio, es pertinente
mencionar que todas éstas siguen una misma estructura de pruebas de hipótesis. Todas estas
pruebas siguen la prueba de hipótesis que se presenta a continuación (Kang & Yusof, 2012):
𝐻0: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎
𝐻1: 𝐻𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎
3.3.1. Prueba de Pettitt Esta prueba considera una secuencia de variables aleatorias 𝑋1, … , 𝑋𝑇. Se dice que hay un
punto de cambio en 𝜏, si 𝑋𝑡 para 𝑡 = 1,… , 𝜏 tiene una función de distribución común 𝐹1(𝑥) y 𝑋𝑡 para 𝑡 = 𝜏 + 1,… , 𝑇 tienen una función de distribución común 𝐹2(𝑥) y se cumple que 𝐹1(𝑥) ≠𝐹2(𝑥) (Kallache et al., 2005). Acá viene una de las ventajas de esta prueba y es que no hace
ningún supuesto sobre las distribuciones 𝐹1(𝑥) y 𝐹2(𝑥), y solo es necesario que las variables
sobre las que se aplica la prueba sean continuas. El estadístico de prueba es definido como (Bates,
Chandler, & Bowman, 2012):
𝐾 = max1≤𝑡<𝑛
|𝑈𝑡,𝑛|
Donde, 𝑈𝑡,𝑛 = ∑ ∑ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑋𝑖 − 𝑋𝑗)𝑇𝑗=𝑡+1
𝑡𝑖=1
(Maintainer & Pohlert, 2018)
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Siendo 𝑅𝑗 el rango de las observaciones. El punto de cambio de la serie está localizado en 𝐾. El
valor del estadístico de prueba es comparado con el valor crítico propuesto por Pettitt (1979).
Finalmente, una de las características particulares de este método es que es sensible a cambios en
la serie localizados en la mitad de la serie de tiempo.
3.3.2. Prueba del rango de Buishand A diferencia de la prueba de Pettitt, el rango de Buishand considera variables 𝑋 aleatorias
normalmente distribuidas. A partir de esto se procede a presentar la formulación para la
elaboración de la prueba (Maintainer & Pohlert, 2018):
𝑥𝑖 = {𝜇 + 𝜖𝑖 𝑖 = 1,… ,𝑚
𝜇 + Δ + 𝜖𝑖 𝑖 = 𝑚 + 1,… , 𝑛
En este caso, bajo la hipótesis nula Δ = 0, por lo que si se rechaza ésta Δ ≠ 0. Las sumas
parciales se calculan como:
𝑆𝑘 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥) (1 ≤ 𝑖 < 𝑛)
𝑘
𝑖=1
Con esto se procede a calcular el estadístico de prueba de la siguiente forma:
𝑅𝑏 =max 𝑆𝑘 −min 𝑆𝑘
𝜎
Finalmente, el p-valor para completar la prueba de hipótesis se calcula a partir de
simulaciones de Monte Carlo usando m réplicas (Maintainer & Pohlert, 2018).
Ahora bien, la particularidad de este método es que al igual que el de Pettitt, es sensible para
detectar cambios que se presentan en la mitad de la serie de datos.
3.3.3. Prueba de homogeneidad normal estándar (SNHT)
Al igual que la prueba de Buishand, la SNHT asume que los datos se distribuyen normal. El
estadístico de prueba se describe a continuación (Maintainer & Pohlert, 2018):
𝑇𝑘 = 𝑘𝑧12 + (𝑛 − 𝑘)𝑧2
2 (1 ≤ 𝑘 < 𝑛)
Donde 𝑧1 =1
𝑘 ∑
𝑥𝑖−�̅�
𝜎
𝑘𝑖=1 𝑧2 =
1
𝑛−𝑘∑
𝑥𝑖−�̅�
𝜎
𝑛𝑖=1+𝑘
Y el valor crítico corresponde a: 𝑇 = max 𝑇𝑘
Al igual que para la anterior prueba el p-valor para concluir sobre la prueba de hipótesis se
estima mediante simulaciones de Monte Carlo usando m réplicas
A diferencia de los dos anteriores métodos la particularidad de éste radica en que este tiene
una mayor sensibilidad para detectar cambios al comienzo o al final de la serie de tiempo.
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3.4. Variables de interés
Ahora bien, después de hacer la descripción de las pruebas más importantes vale la pena
preguntarse, a qué tipo de variables se les tiene que hacer las respectivas pruebas para poder
probar la no homogeneidad de la serie. Éstas pruebas pueden realizarse sobre múltiples variables.
Por ejemplo, Carmona y Poveda (2014) realizan las pruebas sobre las series de lluvias mensuales,
descargas promedio de ríos y temperaturas mínimas; Cepeda y Rodríguez (2016) toman como
variables de estudio la precipitación total mensual y temperatura media, mínima y máxima
mensual, y Cantor (2011) vuelve a tomar las series de precipitación mensual. Sin embargo, en
muchas investigaciones primero se hace un modelo de regresión, en algunos casos con
covariables, y a partir de esos modelos de regresión se le aplican las pruebas de tendencia y
homogeneidad a los residuos o al modelo ajustado en si, como es el caso de Kallache et al. (2005),
Libiseller y Grimvall (2002), Javari (2016) y Serinaldi y Kilsby (2014). Finalmente, se le puede
dar una última aproximación al problema de las variables y es mediante la utilización del método
de descomposición de la serie en sus funciones modales intrínsecas (IMF) metodología utilizada
por Díaz-Granados y Camacho (2014) y Carmona y Poveda (2014).
3.4.1. Descomposición modal empírica Como lo mencionan Carmona y Poveda (2014) la descomposición modal empírica (EMD) es un
proceso de filtración que permite la descomposición de una serie de tiempo en un numero finito
de funciones modales intrínsecas (IMF), cada una de éstas está asociadas con diferentes modos
oscilatorios que están embebidos en la serie de datos original. La EMD es un método adaptativo
que trabaja directamente sobre la serie de tiempo y es derivada exclusivamente de la información
suministrada por lo que al aplicarla no se realiza ninguna suposición extra. Por esta razón este
tipo de descomposición está basada en características locales de los datos observados, lo que la
hace aplicable a series no lineales y a series que violen el supuesto de estacionaridad. Ahora bien,
al generar la descomposición de la serie en sus funciones modales intrínsecas se puede obtener la
función residual, que es la que se utilizaría para analizar la posible presencia de tendencias o no
homogeneidad, por lo tanto, a esta función residual es a la que se le aplicarían las pruebas, como
lo hace Díaz-Granados y Camacho (2014) y Carmona y Poveda (2014) con el principal propósito
de detectar tendencias a largo plazo.
4. METODOLOGÍA
Existen muchas aproximaciones metodológicas para el análisis de series de tiempo
hidroclimatológicas como las propuestas por Díaz-Granados (2018) y Castro y Carvajal (2010)
en las cuales se comienza haciendo un análisis riguroso de la información para luego proceder a
realizar el análisis confirmatorio estadístico de las hipótesis de interés. Ahora bien, la metodología
empleada en el desarrollo del presente proyecto se divide en las etapas que se muestran a
continuación:
1. Inventario de información disponible
2. Análisis de calidad y consistencia y validez de la información
-Análisis de datos anómalos
-Análisis de datos faltantes
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-Análisis exploratorio, gráfico y estadísticas descriptivas
3. Análisis estadístico
-Normalidad
-Autocorrelación
-Tendencias y su magnitud
-Homogeneidad y punto de cambio
4. Evaluación de los resultados obtenidos y conclusiones a partir de éstos
En el presente segmento del proyecto se procede a describir cada una de las etapas de la
metodología de forma detallada con su debida justificación.
4.1. Inventario de información disponible Este es el primer paso que se debe llevar a cabo siempre que se va a realizar un análisis de
una serie de tiempo hidroclimatológica. Ahora bien, en primera instancia se tienen que identificar
las estaciones disponibles, lo cual se refiere al tipo de estación, localización de la misma, periodos
de registros disponibles y las variables con las que cuentan los registros (precipitación, brillo
solar, temperatura, caudales, entre otros) (Díaz-Granados, 2018). Después de esto, se debe llevar
a cabo una valoración rigurosa de la información disponible. Dentro de la valoración se incluye
la identificación del nivel de agregación (información diaria, mensual, anual).
4.2. Análisis de calidad, consistencia y validez de la información Como lo menciona Díaz-Granados (2018), después de identificar la información disponible,
ésta es la primera etapa dentro de los análisis hidrológicos. Esto es debido a que permite establecer
la calidad de la información disponible, los valores anómalos, porcentajes de información
incompleta o inexistente, y por esto ayuda a reducir la incertidumbre en los resultados por efecto
de errores en los datos (Díaz-Granados, 2018). Sin embargo, cabe aclarar que siempre va a existir
incertidumbre en los resultados, ya que la información hidrometeorológica, al ser medida con
instrumentos de recolección de datos siempre va a tener un margen de error asociado.
Ahora bien, como parte de este análisis preliminar de la información se debe llevar a cabo un
análisis de datos anómalos y faltantes y un análisis exploratorio base. A continuación, se hace
una explicación de este tipo de análisis.
4.2.1. Análisis de datos anómalos y datos faltantes Con respecto a los datos faltantes y la completitud de las series de tiempo, como lo menciona
Díaz-Granados (2018), es conveniente que las series hidrométricas sean lo más completas posible
para poder realizar una apropiada caracterización de las mísmas. Para esto entonces, se traen a
colación los criterios utilizados por Diana Cristina Cantor de la Universidad Nacional de
Colombia (2011), en donde las series a analizar tienen que tener un período de registro superior
a 25 años y un porcentaje de faltantes inferior al 10%. Ahora bien, después de seleccionar las
mejores series disponibles por medio del uso de estos criterios, existen distintas metodologías
para completar los datos faltantes. Sin embargo, este completado depende de la cantidad de
faltantes que se tengan. Por consiguiente, se sugiere (Díaz-Granados, 2018) que cuando se tenga
un faltante se tome el promedio del día anterior y posterior, si se tienen de 2 a 5 faltantes se haga
un promedio móvil con una ventana de 7 días o utilizar las correlaciones con estaciones vecinas
para el completado. Finalmente, cuando hay más de 5 datos faltantes se puede utilizar la
aproximación propuesta por Díaz-Granados & Camacho (2014) en donde se hacen regresiones
simples o múltiples locales o globales para completar los datos.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
13
Ahora bien, con respecto a los datos anómalos se lleva a cabo otro tipo de aproximación.
Existen aproximaciones gráficas como la de analizar los residuos de las regresiones lineales, que
en este caso al no tener regresiones con covariables no se lleva a cabo. Existen otras
aproximaciones estadísticas como las propuestas por Díaz-Granados (2018) para identificar datos
potencialmente anómalos; dentro de estas pruebas están: Z-scores, Modified Z-scores,
Generalized Extreme Studentized Deviate (GESD), Grubbs, Titjen y Moore y Kimber.
Generalmente en estos casos se realizan todas las pruebas y se adopta un criterio en el cual se
acepta anomalía de un dato cuando al menos 𝑚 pruebas sugieran que este dato es anómalo, y
finalmente si este dato es anómalo se corrige con técnicas de llenado de faltantes.
4.2.2. Análisis exploratorio gráfico A partir de este tipo de análisis se da la primera aproximación para saber si la serie es estacionaria.
Como lo menciona Cantor (2011), el esquema metodológico de un análisis exploratorio para
detectar la existencia de alguna tendencia y/o cambio, y la homogeneidad de la serie empieza por
un análisis gráfico. Existen muchas aproximaciones gráficas para las series de tiempo con el fin
de identificar comportamientos de la serie por medio visual. Sin embargo, en el presente proyecto
se utilizan las siguientes:
Graficas de series de tiempo
En este tipo de gráficas se presentan los datos ordenados cronológicamente en las ordenadas
y el tiempo (fechas) en las abscisas. Según Cantor (2011), éstos son gráficos en los cuales se
pueden observar tendencias, cambios, intermitencia, entre otras propiedades de la serie. Cabe
aclarar que la mayoría de las veces es de elevada dificultad evidenciar las tendencias por medio
de esta aproximación gráfica. Debido a esto, se utiliza una herramienta llamada LOWESS, siglas
en ingles que denotan: “Locally Weighted Scatterplot Smoothing”. Este es un método que utiliza
los mínimos cuadrados ponderados para ajustar una curva a la serie de puntos para “suavizar” la
serie con el principal objetivo de identificar relaciones entre variables o identificar tendencias.
Este tipo de gráficas se le aplican a la serie de datos originales sin ninguna alteración.
Otra aproximación que se lleva a cabo es la de graficar los datos estandarizados. Al
estandarizar los datos se espera que éstos pasen a estar distribuidos alrededor del cero, por lo que
al hacerlo se podrían identificar más fácil las tendencias. Además, al hacer esto se podrían
identificar datos potencialmente anómalos como los datos que están más alejados del cero.
Descomposiciones de las series de tiempo
La descomposición se las series es útil ya que puede remover factores de ruido que no
permiten ver las tendencias. En el caso del presente proyecto se implementó una descomposición
de forma aditiva y una descomposición modal empírica en la cual se descompone la serie en sus
funciones modales intrínsecas.
Diagramas de caja y bigotes
Como lo menciona Cantor (2011) a partir de este tipo de diagramas se puede obtener un
resumen de la información ya que brinda una idea de la tendencia central, la variabilidad, la
simetría y la presencia de datos atípicos.
Histogramas y gráficos de distribución específica
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
14
La función principal de los histogramas es poder identificar si la serie de datos sigue alguna
distribución en particular. En este caso, la distribución más importante a considerar es la normal,
ya que ésta determina el tipo de pruebas que se le pueden aplicar a las series, si pueden ser pruebas
paramétricas o tienen que ser no paramétricas. Debido a esto los gráficos p-p y q-q que se realizan
son para comprobar si la serie de datos se ajusta a una distribución normal.
Gráfica de los residuos de la descomposición modal empírica (EMD)
Como bien se mencionó en el marco teórico al descomponer la serie de tiempo en las
funciones modales intrínsecas se obtiene una serie residual, la cual se puede graficar para tener
otra intuición acerca de la presencia de tendencia y el supuesto de estacionaridad.
4.3. Análisis estadístico confirmatorio
Aunque el análisis gráfico da una muy buena aproximación acerca del comportamiento de
los datos y ayuda a entender características importantes de los mismos, a partir de esto no se
puede concluir nada al respecto sobre la serie. Por consiguiente, es pertinente realizar análisis
confirmatorios cuyo propósito es el de confirmar estadísticamente la presencia o ausencia de
ciertas propiedades sobre las cuales se pudo tener una intuición en el análisis grafico preliminar.
Como bien se sabe existen pruebas estadísticas tanto paramétricas como no paramétricas. La
mayoría de las pruebas paramétricas suponen que los datos siguen una distribución normal, y son
sensibles a la cantidad de datos, a las asimetrías y a la presencia de datos atípicos (Cantor, 2011).
Por otro lado, las pruebas no paramétricas no requieren ningún supuesto de normalidad o de otra
distribución específica, y en algunos casos no son sensibles ante la presencia de datos atípicos.
Por consiguiente, antes de poder realizar cualquier prueba es necesario verificar si la serie de
datos se distribuye normal. Después, de verificar normalidad es pertinente hacer el análisis de
autocorrelación debido a que esta propiedad puede generar ruido al momento de realizar otras
pruebas. Por ejemplo, al momento de evaluar una tendencia la presencia de esta propiedad puede
dar a concluir que hay tendencia cuando en realidad no la hay. Después de verificar estas dos
propiedades se procede a realizar las pruebas confirmatorias de estacionaridad, tanto de
tendencias como de homogeneidad / punto de cambio y regresión lineal.
4.3.1. Normalidad
La primera aproximación a esta prueba se hace mediante el análisis gráfico del histograma y
las gráficas de p-p y q-q. Después de tener esta intuición se procede a realizar la confirmación
estadística. Dentro de las pruebas más utilizadas está la de Kolmogorov-Smirnov y Chi cuadrado
(Javari (2016), Cantor (2011)) y la de Shapiro-Wilk (UB, (s.f), Cantor (2011), Díaz-Granados
(2018)). Todas las pruebas llevan a cabo la misma prueba de hipótesis:
𝐻0: 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑦𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝐻1: 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑦𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
Cabe resaltar que la prueba Shapiro-Wilk tiene un mejor desempeño cuando la muestra tiene
como máximo 50 datos.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
15
A partir de esto, como bien se dijo anteriormente se procede a realizar pruebas paramétricas
o no paramétricas en los análisis posteriores.
4.3.2. Autocorrelación La segunda propiedad que se analiza en la metodología es la de autocorrelación. En pocas
palabras, esto se puede entender como la correlación entre miembros de series observacionales
ordenadas en el tiempo. En otras palabras, se puede considerar como una dependencia entre los
valores de los datos ordenados en el tiempo. Ésta es una propiedad importante ya que muchas
pruebas estadísticas y modelos como el de regresión lineal, asumen que los datos no presentan
autocorrelación, por lo que al presentarla se violarían supuesto de algunas pruebas y por
consiguiente perderían validez. Como se ha mencionado antes en el documento, un claro ejemplo
de esto es la prueba Mann-Kendall que necesita ser modificada cuando los datos presentan
autocorrelación.
Ahora bien, para probar autocorrelación en una serie de tiempo hay que tener en
consideración el rezago o “lag” en el que se presenta la esta propiedad. Esto se puede entender
cómo, a partir de cuantos valores t unidades de tiempo atrás depende el dato que se está
analizando. En el caso de este proyecto, se realiza una primera prueba para probar autocorrelación
de lag 1 y posterior a esto se elabora un correlograma o gráfico de autocorrelación que muestra
la significancia de la autocorrelación dependiendo del lag por lo que permite identificar hasta qué
rezago se presenta esta propiedad de la serie. Siguiendo esta línea de ideas, para hacer la primera
prueba se tienen que tener dos series de datos, la primera desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 𝑇 − 1 y la
segunda desde 𝑡 = 1 hasta 𝑡 = 𝑇; así al aplicar la prueba se puede llegar a una conclusión acerca
de si los datos presentan correlación de orden 1. La prueba de hipótesis que plantea la prueba es
la siguiente:
𝐻0: 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝜌 = 0
𝐻1: 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝜌 ≠ 0
Se realiza la prueba de correlación de Pearson, que mide la fuerza y dirección de la asociación
que existe entre dos variables, siendo en este caso la serie de tiempo normal y la serie rezagada
una unidad de tiempo.
4.3.3. Tendencias y su magnitud Para identificar si la tendencia que presentan los datos es significativa o no se realiza como
prueba principal la prueba Mann-Kendall expuesta en el marco teórico. Dependiendo entonces
de si los datos presentan autocorrelación se escoge si se lleva a cabo la prueba modificada o la
prueba general. En el caso de que no se presente autocorrelación, como un procedimiento
confirmatorio se realiza la prueba de tendencia Cox and Stuart, que se rige por un principio similar
a la de la prueba Mann-Kendall. A partir de entonces, se llega a una conclusión sobre la
significancia de la tendencia que puede presentar la serie.
Ahora bien, es pertinente también tener una aproximación de la magnitud de la pendiente.
Para esto se estima la pendiente de Sen, método explicado en el marco teórico. Si bien esta prueba
también depende del resultado de autocorrelación de los datos, que si presenta esta propiedad se
utiliza la pendiente modificada de Sen. A partir de este resultado, además de saber la magnitud
de la tendencia, también se puede identificar si la misma es positiva o negativa.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
16
4.3.4. Homogeneidad y punto de cambio
Para la detección de homogeneidad o heterogeneidad de la serie de tiempo se utilizan las
pruebas descritas en el marco teórico las cuales incluyen: Prueba de Pettitt, Prueba del rango de
Buishand y Prueba de homogeneidad normal estándar. Esto con el fin de probar si alguno de los
parámetros estadísticos presenta cambios en el tiempo. Ahora bien, hay que hacer una
consideración sobre la interpretación de resultados de estas pruebas. Entonces, cuando los datos
se distribuyen normal se concluye como lo hizo Kang y Yusof (2012) teniendo en cuenta los
resultados de las tres pruebas así: si de rechazan las tres hipótesis nulas de las tres pruebas la serie
es considerada heterogénea, si se rechazan solo dos de las tres pruebas se considera que la serie
tiene señales de no homogeneidad, pero se debería hacer una análisis más detallado de ésta, y por
ultimo si solo se rechaza la hipótesis de una prueba o no se rechaza ninguna se concluye que la
serie es homogénea. Por otro lado, si la serie de tiempo no se distribuye normal, el resultado más
significativo para la conclusión acerca de la serie es el que se obtiene a partir de la prueba de
Pettitt, ya que ésta es la única prueba no paramétrica que no asume normalidad en los datos.
Como bien se mencionó, como resultado de estas pruebas se obtiene le fecha en la cual se
presenta el cambio en la media. Por consiguiente, para hacer un análisis más profundo y para que
se tenga una mejor interpretación se grafican dos diagramas de caja y bigotes para ver qué tan
significativos (visualmente) es el cambio en la media o varianza. Este tipo de análisis es propuesto
por Castro y Carvajal (2010) para determinar si existe un cambio en la media de la tendencia
central de la serie hidroclimatológica.
4.3.5. Regresión lineal
La regresión lineal es la última prueba que se realiza en la metodología empleada en el
presente proyecto. El modelo de regresión a aplicar es un modelo simple descrito por la ecuación
que se presenta a continuación:
�̂� = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 + 𝜖
Siendo 𝑌 la precipitación y 𝑋 la variable temporal. El parámetro más importante del resultado del
modelo de regresión es el 𝛽1 ya que es la estimación de la pendiente, por lo que sí es significativo
se podría concluir que hay presencia de tendencia y por consiguiente la serie podría violar el
supuesto de estacionaridad.
Sobre este procedimiento cabe aclarar varios puntos. Primero, la estimación de los
parámetros del modelo de regresión lineal por mínimos cuadrados asume que los datos siguen
una distribución normal y son independiente e idénticamente distribuidos. Por consiguiente, si
los datos no siguen una distribución normal y se presenta heterogeneidad o autocorrelación en la
serie no sería correcto aplicar este modelo de regresión lineal ya que las conclusiones a partir de
este serían erróneas (Valencia, 2019). Por tal motivo, solo se ajusta el modelo de regresión cuando
los datos cumplan todos los supuestos. Segundo, se realiza esta prueba solo como un
procedimiento confirmatorio y debido a la facilidad de interpretación del resultado (𝛽); sin
embargo, las pruebas que más pesan en toda la metodología son las de tendencia y homogeneidad
presentadas anteriormente.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
17
4.4. Evaluación de los resultados obtenidos
Ahora bien, al aplicar la metodología desarrollada se agrupan los resultados para cada serie
de tiempo de manera individual. Se documentan los resultados de significancia para las pruebas
de autocorrelación, tendencias, homogeneidad y regresión lineal. En algunos casos se documenta
también la magnitud, como es el caso de la tendencia y la regresión lineal y en otros casos
periodos de tiempo para las pruebas de homogeneidad. Ahora bien, en cuanto a la interpretación
se pueden resaltar varios puntos. Primero, si la serie analizada tiene tendencias significativas y
además presenta problemas de heterogeneidad también significativos, ésta va a ser clasificada
como una serie que no cumple con el supuesto de estacionaridad. Por otro lado, si la serie presenta
tendencias significativas, pero es homogénea en el tiempo, ésta va a ser clasificada como una
serie que es potencialmente no estacionaria ya que presenta tendencia. De igual manera, cuando
la serie no presenta una tendencia significativa, pero es heterogénea en el tiempo, ésta también
va a ser clasificada como una serie potencialmente estacionaria ya que tiene cambios
significativos a lo largo del tiempo en los parámetros estadísticos. Por último, si la serie no
presenta tendencias significativas y es homogénea en el tiempo, ésta va a ser clasificada como
una serie que cumple con el supuesto de estacionaridad. Cabe resaltar que este análisis es el centro
o núcleo de esta investigación.
Aparte del principal análisis propuesto en el anterior párrafo se pueden proponer otras
aproximaciones igualmente interesantes para la evaluación de los resultados obtenidos. Entonces,
uno de los parámetros de interés a analizar sería el del tiempo (fecha) en el que se presenta el
cambio en la propiedad estadística que hace que la serie de tiempo no sea homogénea. Al
comparar este resultado en todas las series evaluadas se puede tener una idea de en qué fechas
comenzaron a presentarse cambios y se puede hacer una investigación acerca de lo sucedido
alrededor de esa fecha. Otro punto importante que se puede evaluar es el de la comparación de
los resultados de una misma variable para una misma serie, pero con diferente nivel de
agregación. Por ejemplo, realizar una comparación de los resultados obtenidos para la serie
mensual de precipitación con los resultados obtenidos para la serie anual de precipitación, bien
pueden ser totales, máximos o mínimos anuales. A partir de esta comparación, analizar por qué
puede suceder esto, qué propiedades de la serie pueden estar haciendo que esto suceda y qué
implicaciones tiene sobre la conclusión final acerca de si la serie cumple con la estacionaridad o
no.
4.5. Metodología de implementación
La implementación del procedimiento se llevó a cabo en el software RStudio. Se realizó una
rutina en la cual se utilizaron diferentes paquetes. Dentro de estos los más importantes son: trend,
xts y EMD. EL paquete trend utilizado por Maintainer & Pohlert (2018) provee todos los métodos
para hacer análisis de tendencias, el paquete xts se utiliza para hacer el análisis de la serie de datos
hidroclimatológicos como una serie temporal lo que le da a la serie ciertas propiedades
importantes a la hora del análisis y el paquete EMD se utiliza para descomponer la serie en
funciones modales intrínsecas. En Anexo 1 se presenta el diagrama de flujo del procedimiento
realizado en el software RStudio para la implementación de la metodología descrita
anteriormente.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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5. CASO DE ESTUDIO
Para la selección del caso de estudio se tuvieron en cuenta las siguientes consideraciones,
presentadas a continuación según el orden de importancia:
1. Disponibilidad y calidad de la información
2. Importancia del sitio en el país
3. Estudios anteriores sobre el sitio
Entonces, con respecto a la información disponible se tuvieron series de tiempo suministradas
por entidades como el IDEAM, las CARs y CENICAFE y series de estudios anteriores. Con
respecto a la información del IDEAM y de las corporaciones autónomas regionales (CARs) hubo
mucha información faltante lo que hizo a la mayoría de las series ser incompletas y no cumplir el
criterio de selección expuesto anteriormente sobre un máximo de 10% de faltantes. Por el lado
de la información de los estudios anteriores el problema radicó en la longitud de las series de
tiempo, incumpliendo en algunos casos el criterio de un mínimo de 25 años de registro. Por
último, CENICAFE que por medio de los anuarios meteorológicos anuales provee información
completa de un amplio número de estaciones. Con respecto a la característica de completitud de
la información la información de CENICAFE era la mejor alternativa. Ahora, con respecto a la
longitud de estas series se tuvo acceso a anuarios físicos desde 1999 hasta 2005 (Biblioteca
Universidad de los Andes) y anuarios digitales desde el 2006 hasta el 2017, lo que conforma una
ventana temporal de 18 años. Sin embargo, de un estudio anterior (suministrado por Díaz-
Granados) se tuvo información de las series diarias de precipitación desde 1973 hasta 1999, que
juntándola con la información de los anuarios se logró tener una ventana de tiempo de 44 años.
Esta información corresponde a las observaciones meteorológicas en la red de estaciones que
posee la Federación Nacional de Cafeteros a lo largo y ancho de la zona cafetera colombiana
(CENICAFE, 2017).
Dado que en CENICAFE hay información de más de 100 estaciones fue necesario escoger
algunas de éstas. Para esto se utilizaron las dos últimas: importancia del sitio en el país y estudios
anteriores sobre el sitio. Los departamentos de mayor importancia dentro de las zonas cafeteras
son los de Caldas, Quindío y Risaralda (Duque, s.f). Según el Banco de la República (2019) el
Eje Cafetero representado por los tres departamentos mencionados registró exportaciones totales
por US$341 millones, donde las exportaciones de café fueron de aproximadamente US$204
millones. Si se compara esto con el total de exportaciones de café en Colombia, se puede concluir
que el Eje Cafetero representa alrededor del 40% de las exportaciones de café. Por otro lado,
después de realizar la revisión bibliográfica para la elaboración del presente proyecto no se
encontró ningún análisis similar en la zona. Por estas razones se escogieron estaciones de estos
tres departamentos. La información que se utilizó para el análisis en esta zona se obtuvo solo de
CENICAFE.
Ahora bien, vale la pena hacer una breve descripción de la zona antes de proceder a realizar
el análisis de las series. Entonces, estos tres departamentos están localizados en la región noroeste
del país como se puede evidenciar a continuación:
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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Figura 1 Ubicación eje cafetero
Como bien se puede apreciar en el mapa esta zona tiene una ubicación privilegiada ya
que está en la mitad del eje industrial y las tres ciudades más importantes de Colombia: Cali,
Medellín y Bogotá. Ahora bien, de forma específica el departamento de Caldas cuenta con 27
municipios siendo Manizales la capital, el departamento de Quindío cuenta con 12 municipios y
Armenia es su capital y, por último, el departamento de Risaralda cuya capital es Pereira tiene 14
municipios. A continuación, se presenta la división de cada uno de los municipios ( Figura 2
Municipios de los departamentos eje cafetero) y las capitales de los mismos (Figura 3 Capitales
departamentos Eje cafetero) .
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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Figura 2 Municipios de los departamentos eje cafetero
Figura 3 Capitales departamentos Eje cafetero
Ahora bien, ya con la zona establecida es pertinente hablar acerca de las estaciones y las
variables que se analizaron en el presente proyecto. Como lo menciona CENICAFE (2010), la
lluvia y la radiación solar son los dos elementos del clima de mayor importancia para la
producción del café, y por lo tanto los parámetros de mayor pertinencia para el análisis climático
de la región. Además de esto, como bien se dijo antes, la única información que se pudo obtener
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
21
desde los años 1990 hacia atrás fue la de precipitación diaria. Por estas dos razones se escogió la
precipitación como la variable de análisis del presente proyecto. Primero, se utilizaron las series
mensuales, y posterior a esto se hizo uso de las series de valores totales, máximos, mínimos y
medios anuales. Con respecto a las estaciones, se seleccionaron las estaciones (total de 10)
listadas a continuación:
- De Caldas: Santagueda, Cenicafé, Granja Luker, Naranjal.
- De Quindío: Paranguacito, La Bella, Maracay.
- De Risaralda: La Catalina, El Cedral, El Jazmín
5.1. Aplicación detallada de la metodología
En el presente apartado del proyecto se realiza una descripción detallada de la metodología
propuesta en la sección anterior con el objetivo de ilustrar cómo se llevaron a cabo las pruebas,
esto es, de qué forma se concluye a partir del análisis gráfico y del análisis de las pruebas de
hipótesis y como se recolectan los resultados obtenidos a partir de este procedimiento. El
propósito principal es presentar dos diferentes resultados de la metodología, uno para una serie
de tiempo mensual y otro para series de tiempo anuales. Esto con el propósito de ilustrar los
resultados que se pueden obtener con dos series distintas, que propiedades especificas tienen y
cómo esto se pueden apreciar a partir de las pruebas realizadas.
Antes de los análisis es necesario revisar las características básicas de la serie. Como
ilustración se usa aquí la serie de la estación El Naranjal del departamento de Caldas, que cuenta
con registros de precipitación mensual desde el año 1972 hasta el año 2017, con una media de
226,7 milímetros mensuales, un máximo de 579,4 milímetros y un mínimo de 6,8 milímetros.
Ahora bien, dicho esto se procede a realizar el análisis.
5.1.1. Serie de precipitación mensual
Análisis gráfico
Como bien se mencionó la primera parte de la metodología incluye el análisis gráfico. Primero,
se procede a realizar la gráfica de la serie de tiempo con la respectiva línea Lowess para poder
observar una posible tendencia.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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Gráfica 1 Serie de tiempo El Naranjal
Como se puede identificar a partir de la línea roja en la Gráfica 1 Serie de tiempo El Naranjal, no hay
una evidencia muy fuerte de que se presente una tendencia significativa. Si bien la línea roja es
constante hasta el año 1998, a partir de este año se ve un leve incremento en la misma, por lo cual
con este pequeño pero constante incremente podría llegarse a suponer la presencia de una tendencia
significativa. No obstante, como bien se sabe a partir de esta información no se puede dar una
conclusión certera. Sin embargo, después de realizar las pruebas confirmatorias la tendencia podría
no ser significativa. Ahora bien, se procede a realizar la descomposición de la serie de forma aditiva
como se muestra a continuación:
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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Gráfica 2 Descomposición aditiva de la serie de tiempo
En la Gráfica 2 Descomposición aditiva de la serie de tiempose pueden identificar 4 tipos de gráficas,
la primera es la serie de tiempo observada, que es equivalente a la primera gráfica que se expuso, la
segunda es la gráfica de la tendencia, la tercera es la estacionalidad de la serie y por último esta la
aleatoriedad de la serie. De las gráficas la más importante es la de la tendencia, y como se puede
evidenciar es casi constante a lo largo del tiempo, no se presenta ningún incremento o decrecimiento
significativo. Sin embargo, no es correcto concluir nada al respecto.
Se procede a graficar la función residual de la descomposición modal de la serie de tiempo.
Para un mejor análisis también se presenta la tendencia encontrada en la anterior descomposición
aditiva.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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Gráfica 3 Serie residual EMD El Naranjal
Gráfica 4 Tendencia descomposición aditiva
A partir de la presente gráfica no se pueden sacar conclusiones concretas. Sin embargo, se
podría decir que hay una posible tendencia ya que se puede ver un incremento significativo a
partir un punto en el tiempo. Además, comparándola con la serie de la descomposición aditiva se
puede ver que en las dos se presenta el mismo comportamiento, primero decreciente y después
creciente. Sin embargo, esta serie de residuos es de mayor utilidad al hacer las respectivas pruebas
confirmatorias.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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Ahora bien, se procede a realizar la porción del análisis con enfoque en la distribución de los datos,
por lo tanto, lo primero es realizar el diagrama de caja y bigotes.
Gráfica 5 Diagrama de caja y bigotes El Naranjal
Acerca del presente diagrama no se pueden hacer conclusiones muy fuertes. Lo que se puede ver es
que la media de la precipitación está al rededor de 200 milímetros y que la mayoría de los datos
(percentil 25 y 75) están en el rango de 150 y 350 milímetros. Además, hay presencia de valores que
están por fuera del bigote que denota el máximo por lo que habría que tenerlos en consideración al
momento de hacer el análisis de los datos atípicos. Se procede ahora a realizar el análisis del
histograma.
Gráfica 6 Histograma serie el Naranjal
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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En este caso, se puede apreciar la forma de campana en la distribución, por lo que se genera la
intuición de que los datos pueden llegar a distribuirse de forma normal.
Finalmente se realiza un análisis gráfico de la serie estandarizada, con el fin de identificar posibles
datos anómalos y también posibles tendencias:
Gráfica 7 Serie de tempo datos estandarizados El Naranjal
A partir de la anterior gráfica se puede apreciar cómo la mayoría de los datos se distribuyen
alrededor del cero y se encuentran en el rango de -3 a 3, por consiguiente, se considera que no hay
ningún dato anómalo en la serie.
Normalidad
Ya se tiene entonces una primera aproximación a la posible distribución de la serie gracias al
histograma; sin embargo, en esta sección se procede a realizar el análisis confirmatorio. Primero
entonces, se realiza un gráfico cuantil-cuantil como se muestra a continuación:
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
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Gráfica 8 q.q plot serie en Naranjal
En este tipo de gráfica se hace una comparación de los cuantiles de la distribución normal
teórica con los cuantiles de la serie. Lo más importante para tener en cuenta son las dos colas; en otras
palabras, el principio y el final de la gráfica, a diferencia de la gráfica p-p en donde solo se analiza
una cola. Ahora bien, se puede ver que la línea se ajusta relativamente bien a la distribución propuesta.
Identificado esto se procede a realizar las pruebas estadísticas. A continuación, se presentan los
respectivos p-valores de cada una de las pruebas:
Tabla 1 P-valores pruebas normalidad El Naranjal
Para concluir sobre las siguientes pruebas hay que tener algunas consideraciones. La primera es que,
como bien se dijo, la prueba de Shapiro solo provee conclusiones correctas cuando la cantidad de
datos es menor que 50, y como la presente serie tiene 552 datos el resultado de la prueba no se tiene
en cuenta. Ahora bien, con respecto a las pruebas K-S y Chi cuadrado, se puede decir que cuando la
cantidad de datos es superior a 30 la prueba Chi cuadrado provee un mejor resultado que la de K-S
(Sergio Cabrales, 2018). Sin embargo, se puede apreciar que el p-valor de la prueba K-S es muy
cercano a la significancia. Por consiguiente, se concluye que la serie se distribuye normal ya que a
partir de la prueba 𝜒2 no se rechaza la hipótesis nula por lo cual la serie sigue la distribución
propuesta.
Autocorrelación
A continuación, se procede realizar las pruebas para verificar si la serie de datos presenta
autocorrelación. Se realiza la prueba de Pearson entre la serie de datos normal y la serie rezagada
un periodo. Al aplicar la prueba se obtiene que el p-valor es igual a 6,203 ∗ 10−9. Por esta razón,
se concluye que como el p-valor es menor a una significancia del 5% se rechaza la hipótesis nula
por lo que el parámetro de correlación 𝜌 es diferente de cero y por consiguiente la serie presenta
Prueba P-valor
Shapiro test 0,00065
K-S test 0,038
Chi cuad. test 0,352
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autocorrelación de orden 1. Además, la respectiva prueba arroja un valor de correlación igual a
𝜌 = 0,244. Ahora bien, para tener una mejor visualización de la autocorrelación y por ende una
mejor interpretación de esta propiedad en la serie, se procede a elaborar el autocorrelalograma
como se muestra a continuación:
Gráfica 9 Autocorrelalograma
Del gráfico presentado lo que se analiza es si las líneas verticales superan las líneas punteadas
horizontales. Si las superan, significa que la correlación del correspondiente lag (eje x) es
significativa. Por consiguiente, a partir de esto se puede ver que la serie si presenta signos de
autocorrelación.
Tendencias y su magnitud
Sabiendo las propiedades de la serie se puede proceder a realizar las pruebas de tendencias.
Como el test de autocorrelación resultó positivo y los datos presentan esta propiedad se procede
a utilizar la prueba Mann-Kendall modificada para este tipo de series. Al realizar la prueba se
obtuvo que el p-valor es igual a 0,00516; por consiguiente a partir de esto se puede rechazar la
hipótesis nula y concluir que la serie presenta una tendencia significativa. Se aplica la misma
prueba a la serie residual de la descomposición modal empírica y se obtiene un p-valor de 5,04 ∗10−9 por lo que igualmente se rechaza la hipótesis nula y se concluye nuevamente que la
tendencia de la serie es significativa. Como bien se mencionó se realiza también la prueba Cox
and Stuart como un procedimiento de verificación y a partir de esta prueba aplicada a la serie
normal y la serie de los residuos se vuelve a concluir que en ambas la tendencia es significativa
con p-valores de 0,018 𝑦 2,2 ∗ 1016 respectivamente.
Siguiendo con esta línea de análisis, se procede ahora a encontrar una aproximación a la
magnitud de la tendencia por medio de la pendiente de Sen. Al igual que para la anterior prueba,
en ésta se utiliza la versión modificada debido a la autocorrelación de los datos. Se obtiene
entonces que la pendiente es igual a 1,18 para el caso de la serie normal y 0,96 para el caso de la
serie de residuos.
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Homogeneidad
Después de tener los resultados para tendencias se procede a realizar las pruebas de detección de
punto de cambio para la identificación de homogeneidad. Se comienza entonces con la prueba de
Pettit, después se realiza la prueba de Buishand y por último la SNHT. A continuación, se
presentan los resultados de las pruebas presentadas anteriormente:
Tabla 2 Resultados pruebas de homogeneidad
Como se puede apreciar en la tabla, todos los p-valores son menores a un 5% de
significancia. Por consiguiente, en todas las pruebas se rechaza la hipótesis nula por lo que
se concluye que hay un cambio significativo en la media y por consiguiente la serie se
considera heterogénea. Cabe resaltar que en este caso se tuvieron en cuenta las tres pruebas
en la conclusión sobre la serie porque ésta sigue una distribución normal. Sin embargo, si los
datos no fueran normales se tomaría en cuenta solo la prueba de Pettitt. Teniendo estos
resultados hay dos tipos de análisis gráficos interesantes de realizar. El primero es el de
graficar las pruebas de SNHT y Buishand, ya que a partir de éstas se puede apreciar en qué
lugar del tiempo se presenta el cambio en la media. En el caso de SNHT es por medio del
máximo y en el caso del Buishand es el mínimo (Maintainer & Pohlert, 2018). A
continuación, se presentan las gráficas:
Gráfica 10 Pruebas de homogeneidad serie El Naranjal
Prueba Tipo de serie P-valor Punto de Cambio
Pettit Serie normal 0,0000788 315
Pettit Residuales <2,2*10^-16 312
Buishand Serie normal 0,0002 315
Buishand Residuales <2,2*10^-16 329
SNHT Serie normal 0,0004 315
SNHT Residuales <2,2*10^-16 348
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A partir de éstas se puede ver entonces que ambos puntos de cambio en la media se
presentan alrededor del mismo punto que es en este caso alrededor del año 27 que
corresponde al año 1999. Ahora bien, el segundo análisis grafico de interés corresponde a la
evaluación de la diferencia de las medias por medio de los diagramas de caja. En este caso
como se quiere evaluar la significancia del cambio en las medias de la serie normal de tiempo
se escoge el número de dato 315 para la separación de éstas. Al aplicar el procedimiento se
obtiene el siguiente resultado:
Gráfica 11 Comparación de medias Serie El Naranjal
A partir de la figura se puede apreciar un cambio significativo en la media, puede que en magnitud
no sea muy grande, pero sin embargo es apreciable.
Regresión lineal
En este caso, se concluye que la serie sigue una distribución normal por lo que uno de los
supuestos del modelo de regresión se cumple. Sin embargo, la serie presenta problemas de
autocorrelacion y heterocedasticidad y por consiguiente no es adecuado realizar un modelo de
regresión lineal por mínimos cuadrados para estimar la pendiente.
Evaluación de resultados
A partir de los resultados obtenidos se pueden derivar las siguientes conclusiones. La primera
es que la serie mensual de precipitación presenta tendencias significativas y además es no
homogénea en el tiempo. En consecuencia, esta serie mensual se caracteriza como una serie que
no cumple con el supuesto de estacionaridad.
5.1.2. Series de precipitación anuales
Para hacer el análisis de las series anuales de máximos, mínimos, medias y totales se llevó a cabo
un proceso iterativo de agrupación de datos como se evidencia en el diagrama de flujo del proceso
presente en Anexo 1. A continuación, se realiza el análisis de series de tiempo de precipitación
máxima, mínima, media y total.
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31
Análisis gráfico
Se procede a realizar la gráfica de la serie de tiempo con la respectiva línea Lowess para observar
una posible tendencia.
Gráfica 12 Series de tiempo anuales El Naranjal
De las gráficas anteriores se puede apreciar que los datos de las medias anuales y el
total tienen el mismo comportamiento, solo difieren sus magnitudes. Además, sobre estas dos
series se puede apreciar una leve tendencia creciente. Con respecto a los máximos y mínimos
no se puede evidenciar una tendencia muy clara. Los mínimos comienzan crecientes y
después toman un comportamiento constante; por otro lado, los máximos al principio
presentan un comportamiento constante y después creciente.
En este caso, como la serie bajo análisis es una serie anual, el tamaño de muestra se
reduce de forma considerable. Por consiguiente, se considera que no es pertinente realizar el
análisis de descomposición. Por esta razón para estos datos no se realiza el análisis de
descomposición aditiva ni descomposición empírica.
Dado lo anterior, el paso a seguir es el del análisis de distribución el cual comienza con un
diagrama de caja y bigotes:
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Gráfica 13 Diagramas caja y bigotes datos anuales
Se puede apreciar, como es de esperarse, que la varianza de los datos y por
consiguiente la caja se reduzca en comparación con la serie mensual. Sin embargo, a partir
de éstos no se puede hacer ninguna conclusión con una complejidad superior a la de saber los
percentiles en los cuales está contenida la diferente información anual. Se procede entonces
a realizar el histograma.
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Gráfica 14Histogramas series anuales El Naranjal
Con respecto a los diferentes histogramas se pueden concluir varias cosas. Lo primero que se
puede decir es que cuando se agrupan los datos anualmente en sus diferentes configuraciones la
distribución en la mayoría de los casos tiende a distribuirse como una normal, como se puede ver
en las diferentes series. En este caso los datos que menos parecen distribuirse normal son los
medios y los mínimos anuales. Ahora bien, acerca de la distribución no se puede concluir nada
hasta que se realice el análisis estadístico confirmatorio.
Normalidad
Se procede ahora a verificar las suposiciones adoptadas en la sección gráfica. Se comienza por
una gráfica cuantil-cuantil para la distribución normal:
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34
Gráfica 15 q-q plots series anuales El Naranjal
A partir de las gráficas anteriores se puede llegar a una conclusión un poco más clara. Se
puede evidenciar que las series de mínimos, medias y totales anuales tienen todos sus puntos
dentro del rango de la gráfica cuantil-cuantil. La gráfica de máximos tiene algunos valores por
fuera, sin embargo, el ajuste sigue siendo bueno. Ahora bien, para comprobar estas hipótesis se
procede a realizar las pruebas de distribución.
Tabla 3 Pruebas de normalidad para series anuales
Tipo de serie Media Tipo de serie Máximos
Prueba P-valor Prueba P-valor
Shapiro test 0,429 Shapiro test 0,158
K-S test 0,103 K-S test 0,133
Chi cuad. test 0,015 Chi cuad. test 0,107
Tipo de serie Mínimos Tipo de serie Totales
Prueba P-valor Prueba P-valor
Shapiro test 0,526 Shapiro test 0,429
K-S test 0,068 K-S test 0,103
Chi cuad. test 0,874 Chi cuad. test 0,015
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Con respecto a las pruebas realizadas se considera algunos aspectos mencionados en el
análisis de las series mensuales. El primero es que la prueba Chi cuadrado es la más sensible ante
la cantidad de datos, por consiguiente, cuanto los datos son reducidos se tiene que concluir
utilizando otras pruebas. Con respecto a la prueba de Shapiro, que en el caso anterior no se pudo
utilizar debido a la cantidad de datos, en este caso como la longitud de la serie es de 46 datos,
esta prueba se puede utilizar para concluir. La prueba K-S también funciona de manera correcta
con una serie con una reducida cantidad de datos (Sergio Cabrales, 2018). Por esta razón en este
caso se concluye a partir de las pruebas Shapiro y K-S. Sabiendo esto, como en ambas pruebas el
p-valor es mayor a una significancia del 5% no hay información suficiente para rechazar la
hipótesis nula por lo que se concluye que las series se distribuyen normal.
Autocorrelación
Con respecto a la autocorrelación de los datos lo que se espera es que esta sea mucho menor en
comparación con los datos mensuales, ya que un dato anual muy pocas veces tiene dependencia
del dato del año anterior como si pudo ser a nivel diario y mensual. Sin embargo, se procede a
realizar las pruebas pertinentes para concluir. Primero se comienza con la prueba de
autocorrelación de Pearson:
Tabla 4 Prueba de autocorrelación series anuales
Como se observa las series de máximos y mínimos no presentan autocorrelación
debido a que su p-valor es superior a la significancia por lo que se concluye que 𝜌 = 0. Sin
embargo, esto no sucede en las series de precipitación media y total anual, ya que tienen una
p-valor de aproximadamente 0,03 por lo que se rechazaría la hipótesis nula y se concluiría
que la correlación es significativa. No obstante, el 0,03 es muy cercano al 0,05 con el cual se
acepta la hipótesis nula. Debido a esta característica se procede a elaborar el diagrama de
autocorrelación para evaluar la significancia de las diferentes correlaciones con distintos
desfases.
Tipo de serie P-valor Correlación
Medias 0,028 0,326
Máximos 0,187 0,199
Mínimos 0,507 -0,101
Total 0,028 0,326
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Gráfica 16 Diagrama de autocorrelaciones para las series anuales
A partir de los diagramas se puede observar cómo las autocorrelaciones de los máximos y
mínimos no son significativas. Con respecto a las de los valores medios y los totales, se puede
ver que están ubicadas casi en borde de la línea, dando la intuición de que son muy poco
significativas. Por esta razón en este caso se asume que no son significativas las autocorrelaciones
ya que esto facilita las pruebas que se realizan más adelante.
Tendencias y su magnitud
A partir de los resultados anteriores se procede a probar la existencia de tendencias y su respectiva
magnitud. Como la conclusión acerca de la autocorrelación de las series es que ninguna de éstas
presenta este comportamiento entonces se procede a utilizar la prueba de Mann-Kendall sin
modificación al igual que la pendiente de Sen.
Tabla 5 Prueba Mann-Kendall y pendiente de Sen series anuales
A partir de la prueba Mann-Kendall se puede concluir que las series de precipitación anual
total y media presentan tendencia debido a que se rechaza la hipótesis nula. Por otro lado,
con respecto las series de máximos y mínimos se concluye que no presentan tendencias
significativas debido a un p-valor mayor a la significancia. Para comprobar los resultados de
esta prueba se ejecuta la prueba Cox Stuart, con la cual se obtienen los siguientes resultados:
Tipo de serie P-valor Pendiente
Medias 0,00507 1,23
Máximos 0,2639 1,07
Mínimos 0,1611 0,72
Total 0,00507 14,7
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Tabla 6 Prueba Cox Stuart series anuales
Se puede ver como a partir de esta prueba se llegan a los mismos resultados que para la prueba
de Mann-Kendall acerca de la significancia de las tendencias.
Homogeneidad
Teniendo los resultados para la significancia de las tendencias se procede a realizar las tres
respectivas pruebas para probar si la serie es homogénea. En éstas se obtienen los siguientes
resultados:
Tabla 7 Pruebas de homogeneidad series de tiempo anuales
En este caso, como los datos se distribuyen normal, se pueden tener en cuenta todos los
resultados de las pruebas. Ahora bien, se puede ver que tanto las series anuales como las totales
no son homogéneas en el tiempo ya que con el respectivo p-valor se rechaza la hipótesis nula de
todas las pruebas por lo que se concluye que la serie no es homogénea en el tiempo. Por el lado
de los máximos y mínimos se puede ver que se acepta la hipótesis nula para todas las pruebas por
lo que en este caso si se puede asumir que ambas series son homogéneas.
Regresión lineal
En este caso, lo primero que se hace es establecer si las series cumple los supuestos
pertinentes para poder realizar el modelo. Antes se concluyó que todas las series se distribuyen
normal, por lo que con este supuesto no hay problema. Con respecto al supuesto de homogeneidad
en las series de máximos y mínimos no hay problema alguno, sin embargo, con respecto a las
series de valores medios y anuales si hay problema ya que en la sección anterior se concluyó que
no son homogéneas. No obstante, el p-valor con el que se rechazó la hipótesis nula de
homogeneidad es muy cercano al 5% de la significancia, por lo que para poder hacer el modelo
de regresión lineal se puede suponer que las series si son homogéneas. Ahora bien, se procede a
realizar el modelo de regresión para las series anuales.
Tipo de serie P-valor
Medias 0,0064
Máximos 0,233
Mínimos 0,088
Total 0,0064
Tipo de serie Media Tipo de serie Máximos
Prueba P-valor Punto de cambio Prueba P-valor Punto de cambio
Pettit 0,0065 26 Pettit 0,2737 33
Buishand 0,0237 26 Buishand 0,102 33
SNHT 0,0121 33 SNHT 0,107 33
Tipo de serie Mínimos Tipo de serie Totales
Prueba P-valor Punto de cambio Prueba P-valor Punto de cambio
Pettit 0,613 6 Pettit 0,0065 26
Buishand 0,847 6 Buishand 0,0239 26
SNHT 0,299 6 SNHT 0,0115 33
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Tabla 8 Regresión lineal series anuales
A partir de estos resultados se puede entonces reforzar la conclusión de que la tendencia de
las series totales y medias anuales son significativas, esto debido a que el p-valor que prueba la
significancia de beta (pendiente) es menor a la significancia, por lo tanto beta es diferente de cero.
Con respecto a las otras series se refuerza la conclusión de que presentan tendencias que no son
significativas.
Evaluación de resultados
Sobre de las series anuales se pueden hacer dos conclusiones. Primero, las series de máximos
y mínimos se pueden clasificar como series que cumplen con el supuesto de estacionaridad, ya
que no presentan ninguna tendencia y además son homogéneas en el tiempo. Segundo, las series
de precipitación total y media se clasifican como series que no cumplen con el supuesto ya que
presentan tendencias significativas y sus propiedades estadísticas no son homogéneas en el
tiempo.
6. RESULTADOS Y ANÁLISIS
La metodología expuesta en la Sección 4 e implementada en la anterior sección se utilizó
para evaluar algunas de las series de precipitación del Eje Cafetero, con el objetivo de evaluar las
propiedades de las series y analizar si éstas cumplen con el supuesto de estacionaridad. Ahora
bien, a continuación, a partir de los análisis para Naranjal se presenta el formato de cómo se
documentaron los resultados para cada una de las series. La serie de El Naranjal se utilizó en la
sección anterior para explicar la aplicación detallada de la metodología. Cabe resaltar que el
modelo de documentación que se utilizó es una adaptación del utilizado por Díaz-Granados &
Camacho (2014).
Tipo de serie Media Tipo de serie Máximos
Regresión Regresión
P-valor 0,00769 P-valor 0,162
Beta 1,1 Beta 1,17
Tipo de serie Mínimos Tipo de serie Totales
Regresión Regresión
P-valor 0,204 P-valor 0,00769
Beta 0,55 Beta 13,24
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en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
39
Tabla 9 Documentación resultados
En términos de la notación utilizada la 𝑆 se refiere a que la prueba resultó significativa y la
𝑁𝑆 que la prueba dio no significativa. Por el lado de los números presentes hay diferentes
interpretaciones. Con respecto a la regresión lineal y la pendiente de Sen, los números son la
magnitud de la tendencia. Por otro lado, los números en las pruebas de homogeneidad son el
periodo en el tiempo (número de datos) en el que se presenta el punto de cambio en la serie de
tiempo.
Ahora bien, las tablas de los resultados individuales de las series se presentan en Anexo 2.
Así, se agrupó la información obtenida de las series individuales para hacer un análisis integral
de las series estudiadas.
Primero se hizo un análisis general sobre las propiedades estadísticas básicas de todas las
series. Para esto se usó un diagrama de caja y bigotes para poder hacer una mejor comparación
gráfica. En la Figura 4 se muestra la comparación de todas las estaciones.
Figura 4 Comparación precipitación mensual
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall S S NS NS
Mann-Kendall Modificado S S
Cox and Stuart S S S S NS NS
Prueba pend. de Sen S S S S NS NS
Pendiente de Sen Modif 1,18 0,96 1,23 14,76 1,07 0,726
Resgresión Lineal S(1,1) s(13,24) NS(1,17) NS(0,55)
Autocorrelación Autocorrelación S S S NS NS
Pettit S(315) S(312) S(26) S(26) NS NS
Buishand S(315) S(329) S(26) S(26) NS NS
SNHT S(315) S(348) S(33) S(33) NS NS
Pruebas estadisticas
Naranjal 1972- 2017
Homogenidad
Tendencia
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40
Como se puede ver en la gráfica las precipitaciones son muy similares, con una media
mensual de alrededor de 200 milímetros. Se puede ver también que la estación con mayor
precipitación es la de Naranjal con 235 mm y la de menor es la estación La Bella con 181
mm. Además, se puede evidenciar que las varianzas entre todas éstas son similares (amplitud
de las cajas). Para un análisis más detallado se procede a graficar las estaciones por
departamento:
Figura 5 Comparación estaciones Caldas
Figura 6 Comparación estaciones Quindío
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
41
Figura 7 Comparación estaciones Risaralda
Sobre estas tres gráficas se pueden observar varios aspectos. El primero es que la región con
niveles de precipitación mensual más bajos es la de Risaralda seguido por Quindío y Caldas que
parecen tener un nivel similar de precipitación mensual. En términos numéricos el departamento
de Caldas cuenta con una precipitación media mensual de 203 mm, el departamento de Risaralda
con 206 mm y finalmente el departamento de Quindío con un valor medio de 187 mm. Se puede
decir también que la información utilizada es consistente debido a que los promedios mensuales
de las estaciones por departamento son muy similares, al igual que su varianza.
Ahora bien, después de la anterior contextualización se presentan los resultados de la
evaluación de estacionaridad en las diferentes series de precipitación. Como bien se ha
mencionado este análisis se realizó para seis tipos de series, sin embargo, después de hacer un
análisis preliminar se concluyó que estas series se pueden agrupar en cuatro tipos que son: serie
mensual, total anual y mínimos y máximos anuales. Debido a esto, la presente sección se divide
en el análisis de los diferentes tipos de series y se concluye con una comparación de todos los
resultados obtenidos.
6.1. Series mensuales
A continuación, se presentan los resultados para las series mensuales de precipitación. Cabe
relatar que para agrupar estos resultados se tuvieron en cuenta tanto los resultados de las series
mensuales sin modificaciones, así como de los de las series residuales obtenidas a partir de la
descomposición modal empírica, adoptando los criterios establecidos a lo largo del proyecto.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
42
Tabla 10 Resultados series de precipitaciones mensuales
A partir de estos resultados se pueden apreciar ciertos patrones entre departamentos. Por
ejemplo, en el departamento de Caldas ninguna de las series mensuales presentó un
comportamiento homogéneo en el tiempo, mientras que en Quindío si es homogénea. En el caso
de las tendencias, en las series del Quindío se clasificaron como tendencias parciales ya que entre
las pruebas realizadas no se llegó a una única conclusión por lo que no se pudo concluir con un
100% de certeza. Se puede concluir que 4 de las 10 estaciones de precipitación mensual fueron
clasificadas como series que no siguen el supuesto de estacionaridad, 6 cumplían parcialmente el
supuesto; sin embargo, ninguna fue clasificada como una serie completamente estacionaria.
Finalmente, se puede evidenciar cómo el departamento del Quindío presenta en dos de sus series
una tendencia negativa, aunque es relativamente baja.
6.2. Series totales anuales
La evaluación de las series anuales mostró un comportamiento en particular. Cundo se
realizaron las pruebas estadísticas en las series de precipitación media anual y total anual las
conclusiones eran las mismas, difiriendo solo en las las magnitudes. Dado esto y teniendo en
cuenta que puede ser de mayor importancia tener en cuenta magnitudes anuales totales en vez de
medias se decidió presentar los resultados para las series totales. Sin embargo, la conclusión es
la misma en cuando al supuesto de estacionaridad. A continuación, se presentan los respectivos
resultados:
Tendencia Magnitud Heterogeneidad Conclusion
Santagueda NO 0,68 SI Potencialmente no estacionaria
Cenicafe SI 0,609 SI No estacionaria
Naranjal SI 1,18 SI No estacionaria
Luker NO 0,26 SI Potencialmente no estacionaria
La Bella Parcial -0,609 NO Potencialmente no estacionaria
Paranguacito Parcial -0,033 NO Potencialmente no estacionaria
Maracay Parcial 0,48 NO Potencialmente no estacionaria
El Jazmin SI 0,819 SI No estacionaria
La Catalina SI 1,08 SI No estacionaria
El Cedral Parcial -0,66 NO Potencialmente no estacionaria
Caldas
Quindio
Risaralda
Series Mensuales
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
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43
Tabla 11 Resultados series totales anuales
A diferencia de los resultados mensuales, en este caso hay 6 series que cumplen con el supuesto
de estacionaridad y solo 2 que no lo cumplen. En Quindío todas las series se clasificaron como
estacionarias, a diferencia de las series de los otros departamentos en donde los resultados fueron
muy variables. Como es de esperarse, el valor de la magnitud de las tendencias es
significativamente mayor que en los anteriores casos, y esto se debe a que se están tratando las
sumas de todos los meses del año. Como conclusión, en términos de series anuales medias y
totales de las estaciones del departamento del Quindío se pueden clasificar como unas en las que
se cumple el supuesto de estacionaridad. Con respecto a las estaciones de los otros dos
departamentos no se tiene ninguna conclusión concreta, sin embargo, existe la posibilidad de que
éstas violen el supuesto.
6.3. Mínimos anuales Se presentan a continuación los resultados para las diferentes series de mínimos anuales en
las estaciones del Eje Cafetero:
Tabla 12 Resultados series de mínimos anuales
En este caso ninguna de las series viola el supuesto de estacionaridad, en ninguna de las series
de mínimos anuales se presenta una tendencia significativa, ni tampoco un cambio significativo
en las propiedades estadísticas.
Tendencia Magnitud Heterogeneidad Conclusion
Santagueda NO 4,58 SI Potencialmente no estacionaria
Cenicafe NO 7,69 NO Estacionaria
Naranjal SI 14,76 SI No estacionaria
Luker NO 3,1 NO Estacionaria
La Bella NO 0,62 NO Estacionaria
Paranguacito NO 2,08 NO Estacionaria
Maracay NO 8,25 NO Estacionaria
El Jazmin NO 9,35 SI Potencialmente no estacionaria
La Catalina SI 16,8 SI No estacionaria
El Cedral NO -6,7 NO Estacionaria
Series Totales anuales
Caldas
Quindio
Risaralda
Tendencia Magnitud Heterogeneidad Conclusion
Santagueda NO 0,22 NO Estacionaria
Cenicafe NO 0,5 NO Estacionaria
Naranjal NO 0,72 NO Estacionaria
Luker NO 0,15 NO Estacionaria
La Bella NO -0,16 NO Estacionaria
Paranguacito NO 0,48 NO Estacionaria
Maracay NO 0,14 NO Estacionaria
El Jazmin NO 0,34 NO Estacionaria
La Catalina NO 0,65 NO Estacionaria
El Cedral NO 0,055 NO Estacionaria
Serie mínimos anuales
Caldas
Quindio
Risaralda
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en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
44
6.4. Máximos anuales A continuación, se presentan los resultados para las series de precipitación de máximos
anuales para 10 diferentes estaciones del Eje Cafetero colombiano:
Tabla 13 Resultados series de máximos anuales
En este caso se da un resultado similar al obtenido con las series de mínimos, ya que 9 de 10
estaciones cumplen con el supuesto de estacionaridad. Acerca de la estación que no cumple se
podrían llegar a concluir dos cosas, la primera es si efectivamente ésta presenta una tendencia
significativa y no es homogénea en el tiempo, o la inconsistencia de los datos de la misma.
6.5. Comparación resultados
Es pertinente ahora proceder a comparar los resultados obtenidos. Como bien se pudo
evidenciar en las series mensuales se presentan más casos de series que no cumplen con el
supuesto de estacionaridad en comparación con las series anuales. Y dentro de las series anuales,
los máximos y mínimos tienden a presentar propiedades estacionarias mientras que en los valores
medios o totales tienden a presentar propiedades que si violan el supuesto. Es importante
mencionar que esto puede suceder por muchas razones, una de éstas es la localización de las
estaciones, sin embargo, es un resultado con sentido ya que las series mensuales son mucho más
sensibles que las series anuales por lo que identificar propiedades como tendencias y
heterogeneidad en alguno de sus parámetros es más fácil. Otro comportamiento identificado es
que las series anuales en la mayoría de los casos se distribuyeron normal y además no presentaron
problemas de autocorrelación, como si lo hacen las series mensuales.
Ahora bien, algo interesante de analizar sobre la presencia o ausencia de homogeneidad en
las series es el punto de cambio. Como lo mencionan Díaz-Granados & Camacho (2014) en
algunos casos la no estacionaridad puede ser causada por variaciones climáticas asociadas a
fenómenos macro climáticos como El Niño y La Niña. Relacionando esto con el punto de cambio,
entonces, es interesante analizar si éste se presenta con la presencia de alguno de estos eventos
de la hidrología colombiana. Al realizar las pruebas mencionadas, y concluir que la serie es
heterogénea el punto de cambio de éstas fue casi el mismo. En otras palabras, el punto de cambio
en las propiedades estadísticas se presentó casi en el mismo lugar en el tiempo. El punto de
cambio de las series heterogéneas se daba entre el año 1998 y 1999. Al cruzar la fecha donde se
presenta el cambio con un fenómeno macro climático como los fue la ola invernal de 2010-2011
Tendencia Magnitud Heterogeneidad Conclusion
Santagueda NO 0,3 NO Estacionaria
Cenicafe NO 0,9 NO Estacionaria
Naranjal NO 1 NO Estacionaria
Luker NO -0,78 NO Estacionaria
La Bella NO 1,5 NO Estacionaria
Paranguacito NO 0,48 NO Estacionaria
Maracay NO -0,59 NO Estacionaria
El Jazmin NO 1,5 NO Estacionaria
La Catalina SI 2,6 SI No estacionaria
El Cedral NO -0,02 NO Estacionaria
Quindio
Risaralda
Series máximos anuales
Caldas
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
45
(Díaz-granados & Camacho, 2014), se puede evidenciar el cambio del parámetro estadístico
(heterogeneidad) no se dio gracias a este fenómeno climático.
Otro análisis importante en el presente proyecto es el que surge de la pregunta propuesta por
Carmona y Poveda (2014), de si las tendencias identificadas en investigaciones pasadas se siguen
presentando o si son parte de una oscilación climática de baja frecuencia. Para esto entonces se
necesitaría información sobre las tendencias en el Eje Cafetero colombiano. Sin embargo, hoy en
día no hay estudios específicos sobre este tema en la zona de estudio. No obstante, Carmona y
Poveda (2014) hacen un análisis de tendencias geoespacial, en donde se puede identificar una
tendencia creciente por la zona donde está ubicado el Eje Cafetero. Por consiguiente, a partir de
la comparación con los resultados obtenidos en el presente proyecto se podría concluir que la
tendencia creciente en las series de precipitación mensual se sigue presentando en la presente
zona de estudio.
7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
A partir del desarrollo del presente trabajo se puede concluir que la aproximación
metodológica propuesta funciona de manera correcta al evaluar el supuesto de no estacionaridad
en una serie hidroclimatológica. Aplicando ésta a un caso particular en una zona de alta
importancia en Colombia como el Eje Cafetero, se puede llegar a la conclusión de que a nivel
mensual se presentan tendencias significativas positivas en las estaciones de Risaralda y Caldas
y tendencias significativas negativas las del Quindío. Sin embargo, en las series anuales se puede
concluir que la significancia de las tendencias a nivel general no es muy fuerte. Estos resultados
son de gran importancia al momento de desarrollar pronósticos o hacer algún tipo de planeación,
ya que si se quiere hacer un análisis a nivel mensual se tienen que considerar modelos que
incluyen distribuciones no estacionarias como lo puede ser los modelos lineales generalizados
(Serinaldi & Kilsby, 2015). Por consiguiente, ésta es una propiedad de alta importancia que se
podría tener en cuenta los análisis hidrológicos de hoy en día. Sin embargo, si no se tiene una
clara comprensión sobre las dinámicas físicas del sistema, no habría una justificación fuerte para
cambiar un modelo simple estacionario a un modelo más complejo no estacionario y concluir que
tiene un mejor desempeño (Serinaldi & Kilsby, 2015).
Se puede concluir que los análisis de punto de cambio para la detección de no homogeneidad
son una buena estrategia para el análisis en el tiempo de las series climatológicas, debido a que
dan un punto de partida para la investigación de posibles razones por las cuales se presenta la no
estacionaridad de la serie. Sobre esto también se puede decir que para variables como caudales,
algún tipo de contaminante u otras variables que se relacionen más con la actividad humana este
análisis de punto de cambio es de más utilidad que para el de series de precipitación. Esto se debe
a que este punto puede representar la violación de una norma o el exceso de consumo de algún
recurso.
Siguiendo con esta línea de reflexiones, es de alta importancia realizar este tipo de análisis
para diferentes variables como humedad, radiación solar, días de lluvia, caudales,
evapotranspiración, temperaturas, tasas de deforestación, cambio en el uso de la tierra entre otras
y así poder llegar a tener una conclusión más sólida acerca del cambio climático y la implicación
de no estacionaridad en éste. Así como el análisis simple de esas variables de forma individual,
también sería interesante evaluar el efecto de unas con respecto a las otras, introduciéndolas como
covariables y evaluando las dependencias de unas con respecto a las otras.
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
46
En cuanto al trabajo futuro un análisis interesante sería la evaluación de incertidumbre que
agregaría la no estacionaridad en los modelos hidrológicos. Como bien se mencionó, las variables
hidrometeológicas por ser mediciones de variables naturales tienen una incertidumbre asociada.
Por esta razón sería interesante evaluar cómo se comporta esta incertidumbre o variabilidad al
momento de hacer modelos estacionarios y no estacionarios.
8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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9. ANEXOS
Anexo 1
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
49
Anexo 2
Serie Mensual Residuos IMF mens. Serie Anual Med. Mensual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall - NS NS NS NS
Mann-Kendall Modificado NS NS
Cox and Stuart S S NS NS NS NS
Prueba pend. de Sen S S NS NS NS NS
Pendiente de Sen Modif 0,686 0.285 4,58 0,382 0.3 0.225
Regresión Lineal NS(7,9) NS(0,66) NS(0,24) NS(0,23)
Autocorrelación Autocorrelación S S S S S NS
Pettit S(322) S(336) S(27) S(27) NS NS
Buishand S(322) S(333) S(27) S(27) S(32) NS
SNHT S(322) S(74) S(27) S(27) NS NS
Pruebas estadisticas
Homogenidad
1973- 2017Santagueda
Tendencia
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
50
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall - NS NS NS NS
Mann-Kendall Modificado NS S
Cox and Stuart NS S S S NS NS
Prueba pend. de Sen S S NS NS NS NS
Pendiente de Sen Modif 0,609 0.974 0,641 7,69 0,912 0,506
Regresión Lineal NS(0,66) NS(7,99) NS(0,56) NS(0,90)
Autocorrelación Autocorrelación S NS NS NS NS
Pettit S(278) S(334) NS NS NS NS
Buishand NS S(356) NS NS NS NS
SNHT S(549) S(382) NS NS NS NS
Cenicafe 1972- 2017
Pruebas estadisticas
Homogenidad
Tendencia
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall NS NS NS NS
Mann-Kendall Modificado NS S(-)
Cox and Stuart NS S NS NS NS NS
Prueba pend. de Sen NS S(-) NS NS NS NS
Pendiente de Sen Modif 0,266 -0,468 0,259 3,108 -0,789 0,154
Resgresión lineal NS(0,21) NS(2,59) NS(-0,59) NS(0,21)
Autocorrelación Autocorrelación S NS NS NS NS
Pettit S(332) S(282) NS NS NS NS
Buishand S(332) S(306) S(28) S(28) NS NS
SNHT S(10) S(311) NS NS NS NS
Luker 1971- 2017
Tendencia
Pruebas estadisticas
Homogenidad
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall S S NS NS
Mann-Kendall Modificado S S
Cox and Stuart S S S S NS NS
Prueba pend. de Sen S S S S NS NS
Pendiente de Sen Modif 1,18 0,96 1,23 14,76 1,07 0,726
Resgresión Lineal S(1,1) s(13,24) NS(1,17) NS(0,55)
Autocorrelación Autocorrelación S S S NS NS
Pettit S(315) S(312) S(26) S(26) NS NS
Buishand S(315) S(329) S(26) S(26) NS NS
SNHT S(315) S(348) S(33) S(33) NS NS
Pruebas estadisticas
Naranjal 1972- 2017
Homogenidad
Tendencia
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall NS NS NS NS
Mann-Kendall Modificado NS S NS NS NS NS
Cox and Stuart NS S
Prueba pend. de Sen NS S NS NS NS NS
Pendiente de Sen Modif -0,033 0,235 0,173 2,08 0,481 0,1
Refresión Lineal NS(1,9) NS(0,16) NS(0,711) NS(0,04)
Autocorrelación Autocorrelación S NS NS S(-) NS
Pettit NS S(225) NS NS NS NS
Buishand NS S(200) NS NS NS NS
SNHT NS S(171) NS NS NS NS
Paranguacito 1972- 2017
Pruebas estadisticas
Tendencia
Homogenidad
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall NS NS NS NS
Mann-Kendall Modificado NS S(-)
Cox and Stuart NS S NS NS S NS
Prueba pend. de Sen NS S NS NS NS NS
Pendiente de Sen Modif 0,067 -0,609 0,052 0,62 1,5 -0,16
Regresión Lineal NS(3) NS(0,25) NS(1,6) NS(-0,20)
Autocorrelación Autocorrelación S NS NS NS NS
Pettit NS S(276) NS NS NS NS
Buishand S(405) S(263) NS NS NS NS
SNHT NS S(256) NS NS NS NS
Homogenidad
Tendencia
La Bella 1972- 2017
Pruebas estadisticas
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
51
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall NS NS NS NS
Mann-Kendall Modificado S NS
Cox and Stuart S S NS NS NS NS
Prueba pend. de Sen S S NS NS NS NS
Pendiente de Sen Modif 0,819 0,515 0,779 9,35 1,506 0,345
Regresión Lineal S(9,7) S(0,8) NS(1,5) NS(0,38)
Autocorrelación Autocorrelación S S S NS NS
Pettit S(315) S(357) S(26) S(26) NS NS
Buishand S(315) S(365) S(26) S(26) NS NS
SNHT S(374) S(377) S(31) S(31) S(35) NS
Jazmin 1972- 2017
Pruebas estadisticas
Homogenidad
Tendencia
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall NS NS NS NS
Mann-Kendall Modificado NS S
Cox and Stuart NS S NS NS NS NS
Prueba pend. de Sen NS S NS NS NS NS
Pendiente de Sen Modif 0,35 0,48 0,68 8,25 -0,59 0,2
Regresión Lineal NS(0,29) NS(4,7) NS(-0,17) NS(0,14)
Autocorrelación Autocorrelación S NS NS NS NS
Pettit NS S(216) NS NS NS NS
Buishand NS S(191) NS NS NS NS
SNHT NS S(179) NS NS NS NS
Maracay 1982- 2017
Pruebas estadisticas
Tendencia
Homogenidad
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall S S S NS
Mann-Kendall Modificado S S
Cox and Stuart S S S S S NS
Prueba pend. de Sen S S S S NS NS
Pendiente de Sen Modif 1,08 1,3 1,4 16,8 2,6 0,65
Regresión Lineal S(1,33) S(16) S(2,7) NS(0,77)
Autocorrelación Autocorrelación S S S NS NS
Pettit S(254) S(193) S(21) S(21) NS S(21)
Buishand S(254) S(180) S(21) S(21) S(21) NS
SNHT S(254) S(157) S(21) S(21) S(21) NS
La Catalina 1977- 2017
Pruebas estadisticas
Tendencia
Homogenidad
Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual
Mann-Kendall NS NS NS NS
Mann-Kendall Modificado NS S(-)
Cox and Stuart NS S(-) NS NS NS NS
Prueba pend. de Sen NS S(-) NS NS NS NS
Pendiente de Sen Modif -0,24 -0,66 -0,55 -6,7 -0,022 0,055
Regresión Lineal NS(-0,2) NS(-2,8) NS(-0,06) NS(-0,16)
Autocorrelación Autocorrelación S NS NS NS NS
Pettit NS S(270) NS NS NS NS
Buishand NS S(242) NS NS NS NS
SNHT NS S(226) NS NS NS NS
El Cedral 1973- 2017
Pruebas estadisticas
Tendencia
Homogenidad
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
52
Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas
en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero
53
Citas
(Haimberger, 2007)
(Bernal et al., 2012)
(Maintainer & Pohlert, 2018)
(Hanson, Dettinger, & Newhouse, 2006)
(Koutsoyiannis, 2006)
(Libiseller & Grimvall, 2002)
(Valle & Valle, 2010)
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(Cantor Gomez, 2011)
(Bates et al., 2012)
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(Carmona & Poveda, 2014)
(Díaz-granados & Camacho, 2014)
(Cepeda, 2016)
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(Serinaldi & Kilsby, 2015)
(Ruiz & Vargas, 1998)
(Cepeda Cuervo et al., 2018)
(Republica, 2019)
(Cafetero et al., n.d.)
(Liu, Chen, Xu, & Shu, 2011)
(Hamed & Ramachandra Rao, 1998)
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