evaluación de no estacionaridad de series de tiempo

Proyecto de grado Ingeniería Ambiental

Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas en

Colombia:

Caso aplicado al Eje Cafetero

Por: Alejandro Ocampo Giraldo

Asesor: Mario Díaz-Granados Ortiz

Universidad de los Andes

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental

Bogotá D.C, diciembre de 2019

Evaluación de no estacionaridad de series de tiempo hidroclimatológicas

en Colombia: Caso aplicado al Eje Cafetero

1



2

CONTENIDO

1. Introducción ........................................................................................................................... 4

2. Objetivos................................................................................................................................ 4

2.1. Objetivo General ............................................................................................................ 4

2.2. Objetivos Específicos ..................................................................................................... 5

3. Marco teórico ......................................................................................................................... 5

3.1. Estacionaridad ................................................................................................................ 5

3.2. Tendencias ..................................................................................................................... 6

3.2.1. Prueba Mann-Kendall ............................................................................................. 7

3.2.2. Pendiente de Sen .................................................................................................... 8

3.3. Homogeneidad ............................................................................................................... 9

3.3.1. Prueba de Pettitt..................................................................................................... 9

3.3.2. Prueba del rango de Buishand ............................................................................... 10

3.3.3. Prueba de homogeneidad normal estándar (SNHT) ............................................... 10

3.4. Variables de interés ...................................................................................................... 11

3.4.1. Descomposición modal empírica ........................................................................... 11

4. Metodología ......................................................................................................................... 11

4.1. Inventario de información disponible............................................................................ 12

4.2. Análisis de calidad, consistencia y validez de la información ......................................... 12

4.2.1. Análisis de datos anómalos y datos faltantes ......................................................... 12

4.2.2. Análisis exploratorio gráfico .................................................................................. 13

4.3. Análisis estadístico confirmatorio ................................................................................. 14

4.3.1. Normalidad ........................................................................................................... 14

4.3.2. Autocorrelación .................................................................................................... 15

4.3.3. Tendencias y su magnitud ..................................................................................... 15

4.3.4. Homogeneidad y punto de cambio........................................................................ 16

4.3.5. Regresión lineal..................................................................................................... 16

4.4. Evaluación de los resultados obtenidos......................................................................... 17

4.5. Metodología de implementación .................................................................................. 17

5. Caso de estudio .................................................................................................................... 18

5.1. Aplicación detallada de la metodología ......................................................................... 21

5.1.1. Serie de precipitación mensual ............................................................................. 21



3

5.1.2. Series de precipitación anuales ............................................................................. 30

6. Resultados y análisis ............................................................................................................ 38

6.1. Series mensuales .......................................................................................................... 41

6.2. Series totales anuales ................................................................................................... 42

6.3. Mínimos anuales .......................................................................................................... 43

6.4. Máximos anuales .......................................................................................................... 44

6.5. Comparación resultados ............................................................................................... 44

7. Conclusiones y recomendaciones ......................................................................................... 45

8. Referencias bibliográficas .................................................................................................... 46

9. Anexos ................................................................................................................................. 48

Anexo 1 .................................................................................................................................... 48

Anexo 2 .................................................................................................................................... 49



4

1. INTRODUCCIÓN

Los datos hidroclimatológicos son el conjunto de registros de diferentes tipos de variables

climáticas observadas en una región y tiempo específico, medidas con instrumentos bajo un

conjunto de procedimientos estándar (Bernal, Barrios, Ramos, Velásquez, & Ibarra, 2012). Este

tipo de información es considerada por la Organización Meteorológica Mundial (WMO) (2009)

como un instrumento para el ordenamiento del territorio y la planificación ambiental regional en

términos de la reducción de riesgos de desastres naturales, así como para la planificación del

transporte y agricultura; además, se considera como un insumo crucial en la planificación de

estrategias de explotación de recursos naturales (Cantor Gomez, 2011).

El diseño y la administración de los recursos naturales se han basado generalmente en el

análisis de información recolectada a partir de observaciones bajo el supuesto por de defecto de

estacionaridad (Clark et al., 2015).Sin embargo, hoy en día este supuesto es menos válido por

factores como cambios acelerados en el uso del suelo, variabilidad climática, fenómenos

macroclimáticos y cambio climático asociado a efecto invernadero (Díaz-granados & Camacho,

2014). El supuesto de estacionaridad implica que las propiedades estadísticas de una serie como

lo es la media o la varianza permanecen constantes en el tiempo (Clark et al., 2015), por lo que

se tiene una función de densidad de probabilidad invariante en el tiempo asociada a la variable

de estudio, haciendo que el pasado represente la mejor información disponible para estimar lo

esperable en el futuro (Díaz-granados & Camacho, 2014).

Debido a esto, cabe preguntarse, si al involucrar la no estacionaridad de la serie realmente se

obtiene un análisis más confiable y por ende una mejor predicción de las variables hidrológicas

para utilizar en el diseño, planeación y administración de los recursos naturales. Como lo

menciona Serinaldi y Kilsby (2015), hay una necesidad de desarrollar métodos de análisis no

estacionarios consistentes que puedan explicar la naturaleza de un clima que cambia en el tiempo.

Sin embargo, para esto es también importante preguntarse cómo se sabe cuándo una serie viola

este supuesto de estacionaridad, y qué se puede concluir a partir de esto. El presente proyecto se

enfoca en la última pregunta formulada, mediante la propuesta de una metodología con el fin de

poder identificar cuándo una serie viola este supuesto. Esto se hará mediante la aplicación de

diversas pruebas estadísticas expuestas en diferentes fuentes de literatura.

De forma general en este proyecto de grado se presenta una metodología para la evaluación

de la no estacionaridad de una serie de tiempo al igual que una aplicación de un caso estudio. En

primera instancia, se presenta una revisión de literatura acerca de los avances realizados en este

tema en diferentes campos de la hidroclimatología. Segundo, se describe la propuesta

metodológica para la evaluación de no estacionaridad. Después, en tercer lugar, se presenta el

caso de estudio o aplicación sobre el cual se va a implementar la metodología y seguido a esto se

presenta una descripción detallada de la aplicación de la metodología a una serie de tiempo

específica. Seguido a esto, se presentan de forma conjunta todos los resultados de las estaciones

hidroclimatológicas que se seleccionaron para después realizar un análisis detallado de éstos.

Finalmente, a partir del desarrollo del proyecto se plantean las respectivas conclusiones y posibles

trabajos futuros.

2. OBJETIVOS

2.1. Objetivo General



5

Valorar y analizar el comportamiento se series de tiempo hidroclimatológicas para identificar y

evaluar el supuesto de estacionaridad a partir de una metodología pertinente.

2.2. Objetivos Específicos - Identificar diferentes herramientas de tipo estadístico que se puedan utilizar para el análisis

de series de tiempo hidroclimatológicas en Colombia.

- Plantear una metodología acorde para la evaluación de no estacionaridad en series de tiempo

hidroclimatológicas en Colombia.

- Aplicar la metodología planteada a un caso de estudio para evaluar el respectivo depempeño

de ésta.

- Evaluar posibles causas o factores que invalidan el supuesto de estacionaridad en las series

de tiempo hidroclimatológicas en Colombia.

3. MARCO TEÓRICO

Para desarrollar la metodología a emplear para la evaluación de estacionaridad o no

estacionaridad en las series de tiempo hidroclimatológicas se hizo primero una detallada revisión

de literatura. Esta revisión consistió principalmente en el análisis de artículos de procedimientos

y técnicas estadísticas, tanto genéricas como específicas de aplicaciones en hidrología y

climatología, para la revisión de las propiedades de interés de las series. Se realizó esta revisión

documental con el fin de tener una buena aproximación al conocimiento que se tiene hoy en día

sobre esta temática y analizar los avances que se han realizado. A partir de ésta, con un contexto

teórico apropiado se pudo proceder a la elaboración de una metodología acorde con el propósito

principal del proyecto

En la presente sección se hace una descripción detallada de los conceptos, métodos y teorías

más importantes para la elaboración del proyecto. Además, se analizan y discuten los principales

resultados a los que han llegado diferentes investigaciones a partir de la aplicación de la

metodología y cómo se podrían adaptar al presente proyecto.

3.1. Estacionaridad Una serie de tiempo hidrológica se puede considerar estacionaria si sigue una distribución de

probabilidad en la cual las propiedades estadísticas de cualquier orden no tienen cambios

significativos en el tiempo (Clark et al., 2015). En otras palabras, una serie de tiempo de cualquier

variable hidrológica puede considerarse estacionaria si las propiedades como la media, la

varianza y la estructura de autocorrelación son constantes en el tiempo. Como lo mencionan Díaz-

Granados & Camacho (2014) tras la suposición de estacionaridad, una serie de tiempo, al tener

una función de probabilidad invariante en el tiempo acepta que el pasado representa la mejor

información disponible para estimar lo esperable en el futuro, por lo que las propiedades de ésta

pueden ser estimadas de registros históricos. A partir de esto, se puede concluir entonces que un

análisis estacionario implica que los valores observados de una variable se asumen como

realizaciones aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de una función estacionaria

de densidad de probabilidad (Serinaldi & Kilsby, 2015).



6

A lo largo de los años los análisis hidrológicos se han basado en esta suposición de

estacionaridad; sin embargo, como lo mencionan Serinaldi y Kilsby (2014) esto puede traer

fuentes de incertidumbre a la hora de generar predicciones o hacer evaluaciones de las series de

tiempo, ya que no se está teniendo en consideración el cambio de los parámetros estadísticos en

función del tiempo o de otras variables externas. Entonces, hoy en día esta suposición puede ser

inapropiada principalmente por 3 factores mencionados en la investigación hecha por Díaz-

Granados & Camacho (2014). Primero, están las alteraciones antropogénicas en el sistema

hidrológico como por ejemplo el proceso de urbanización, cambios en el uso del suelo,

construcción de infraestructura, entre otros que afectan las relaciones en el ciclo hidrológico.

Segundo, están las variaciones en el clima inducidas por la acción antrópica, lo cual se refiere al

cambio climático ocasionado por la emisión de los gases de efecto invernadero. Estos cambios

en el clima generan una mayor variabilidad en los procesos hidrológicos como la precipitación

haciéndola más intensa en algunas zonas o reduciéndola en otras. Finalmente, está la variabilidad

natural, en donde se incluyen procesos como fenómenos macroclimáticos, oscilaciones intra

estacionales, actividad solar, ciclo de Milankovic, entre otras. Como lo menciona Jacob et al.

(2009) el sistema climático terrestre es altamente complejo y no lineal por lo que su

comportamiento es altamente impredecible y puede tener fenómenos como los mencionados que

alteren las propiedades de variables la cuales pueden ser amplificadas o amortiguadas por ciclos

de retroalimentación.

Ahora bien, es pertinente hablar sobre cómo se podría saber cuándo una serie de tiempo

cumple con esta propiedad de estacionaridad y cuando no lo hace. Como se mencionó

anteriormente, el propósito detrás de esto es hacer un análisis para saber si las propiedades

estadísticas de la serie como la media, varianza o autocorrelación están cambiando a lo largo del

tiempo, y si se comprueba que éstas están cambiando, entonces se podría concluir que la serie ya

no es estacionaria. Como se menciona en la investigación de Clark et al. (2015), los patrones de

no estacionaridad en variables climáticas e hidrológicas han sido detectados en la forma de

tendencias o variaciones crecientes y decrecientes en la media de la serie. Entonces, al encontrar

una tendencia en la serie se puede concluir que algún parámetro estadístico está cambiando con

el tiempo por lo que se estaría violando el supuesto de estacionaridad. Además de la posibilidad

de identificar la violación del supuesto por medio de las tendencias, la no estacionaridad también

se puede encontrar mediante la evaluación de la homogeneidad de la serie. Así, si alguna

propiedad de la serie varía a lo largo del tiempo de medición se estaría violando el supuesto de

homogeneidad por lo que también estaría violando el supuesto se estacionaridad, como lo

menciona (Cepeda Cuervo, Achcar, & Andrade, 2018).

En las siguientes secciones de la revisión documental se analizan diferentes metodologías y

pruebas estadísticas para evaluar si en las series de variables hidrológicas o climáticas violan el

supuesto de estacionaridad.

3.2. Tendencias Como bien se mencionó anteriormente, el análisis de tendencias es una de las formas de

identificar estacionaridad o no estacionaridad en las series de tiempo de variables

hidroclimatológicas. En este tipo de series de tiempo es de muy alta complejidad e incertidumbre

la detección de tendencias de manera visual, y por consiguiente, es necesario la implementación

de pruebas estadísticas. Dentro de las pruebas más comunes se encuentra la prueba de Mann-

Kendall utilizada por Carmona y Poveda (2013), Kallache et al. (2004), Libiseller y Grimvall

(2002), Karmeshu (2012), Díaz-Granados & Camacho (2014), Guenni, Degryze & Alvarado

(2008), Castro y Carvajal (2010) y Cantor (2011). Además de esta prueba que es principalmente



7

para averiguar si la tendencia existe o no, en muchas investigaciones utilizan otro tipo de pruebas

para analizar qué tan grande o pequeña es la magnitud de la tendencia. Para esto, se hace uso

entonces de la pendiente de Sen que es utilizada por Carmona y Poveda (2013), Díaz-Granados

& Camacho (2014), Cantor (2011) y Maintainer & Pohlert (2018) para analizar la magnitud de

la tendencia en caso de que se presente.

3.2.1. Prueba Mann-Kendall

Para la compresión de los resultados del presente proyecto es pertinente dar una descripción

de la presente prueba ya que es de alta importancia en el desarrollo del mismo. La prueba se

ejecuta mediante un procedimiento computacional que considera la serie de tiempo de 𝑛 datos y

𝑇𝑖 y 𝑇𝑗 como dos subconjuntos de datos en donde 𝑖 = 1,2, . . , 𝑛 y 𝑗 = 𝑖 + 1, 𝑖 + 2,… , 𝑛. Estos

valores son evaluados como una serie de tiempo ordenada. Entonces, el procedimiento de la

prueba consiste en comparar cada valor de la serie de datos con el siguiente, en donde si el valor

del dato del tiempo posterior es mayor al valor del dato del tiempo anterior la estadística de la

prueba 𝑆 se incrementa una unidad. Por otro lado, si el valor del dato del tiempo anterior es mayor

al valor del dato del tiempo posterior la estadística 𝑆 decrece una unidad (Karmeshu, 2012). Se

realiza esto para toda la serie de datos y el acumulado del valor de 𝑆 después de los incrementos

y disminuciones es el valor final del estadístico de la prueba. Matemáticamente la formulación

de la prueba descrita anteriormente se muestra a continuación:

𝑆 = ∑ ∑ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑇𝑗 − 𝑇𝑖)

𝑛

𝑗=𝑖+1

𝑛−1

𝑖=1

𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑇𝑗 − 𝑇𝑖) = {

1 𝑠𝑖 𝑇𝑗 − 𝑇𝑖 > 0

0 𝑠𝑖 𝑇𝑗 − 𝑇𝑖 = 0

−1 𝑠𝑖 𝑇𝑗 − 𝑇𝑖 < 0

El procedimiento descrito anteriormente es el procedimiento estándar que sigue toda prueba

Mann-Kendall. Sin embargo, al momento de calcular la varianza para el cálculo del estadístico de

prueba existen varias aproximaciones o metodologías que le dan a la prueba Mann-Kendall ciertas

características. Entonces, existen modificaciones para que la respectiva prueba pueda incluir el efecto

de las covariables sobre la variable principal y ésta es llamada Mann-Kendall parcial y es la utilizada

por Libiseller y Grimvall (2002). También, la prueba se puede modificar para que ésta tenga en cuenta

la autocorrelación temporal de los datos, ya que cuando los datos de la serie de tiempo tienen esta

característica, tendencias artificiales tienden a aparecer cuando en realidad no existen o no son

estadísticamente significativas (Carmona & Poveda, 2014). Esta prueba Mann-Kendall modificada,

para tener en cuenta la autocorrelacioón de los datos es la utilizada por Díaz-Granados & Camacho

(2014) y Carmona y Poveda (2014) para el análisis de las series de datos. Sin embargo, también existe

la prueba básica de Mann-Kendall que no tiene en consideración ninguna de estas características que

pueden presentar los datos, y es la utilizada por Karmeshu (2012) para la detección de tendencias.

Existen otras modificaciones como lo propone Maintainer & Pohlert (2018) que son las adaptadas a

datos con estacionalidad y múltiples variables.

Ahora bien, como en el presente proyecto se busca probar la estacionaridad o no

estacionaridad de variables individuales, solo se tienen en cuenta la prueba Mann-Kendall simple y

la modificada para datos que presentan autocorrelación. Como bien se mencionó, la diferencia de



8

estas dos pruebas radica en el cálculo de la varianza; sin embargo, el estadístico de prueba se calcula

de igual forma como se muestra a continuación:

𝑍𝑆 =

{

𝑆 − 1

𝜎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑆 > 0

0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑆 = 0𝑆 + 1

𝜎 𝑝𝑟𝑎 𝑆 < 0

El estadístico de prueba 𝑍𝑖 es usado como una medida de significancia de la prueba (Karmeshu, 2012)

en donde las diferentes hipótesis que se quieren validar o invalidar son:

𝐻0: 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠)

𝐻1: 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

Ahora, el estadístico 𝑍𝑠 se compara con un valor critico 𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 (distribución normal estándar)

asociado con un nivel de significancia 𝛼, generalmente del 5%. Entonces, si el valor del estadístico

de prueba es menor que el valor de 𝑍𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 se aceptaría la hipótesis nula concluyendo que la tendencia

es no significativa.

Como lo menciona Karmeshu (2012) hay dos principales ventajas de utilizar esta prueba. La

primera es que la prueba es no paramétrica por lo que no requiere que los datos sigan una distribución

normal, y además tiene tolerancia en cuanto a los datos atípicos (Carmona y Poveda 2014). La

segunda, es que la prueba tiene baja sensibilidad a cambios bruscos debidos a la no homogeneidad de

la serie.

3.2.2. Pendiente de Sen Esta prueba es utilizada para cuantificar el cambio de la magnitud de las derivadas de tiempo

locales (tasa de cambio) (Carmona & Poveda, 2014). La metodología requiere que los datos

igualmente espaciados. La estimación de la pendiente se obtiene con la siguiente ecuación:

𝑚𝑘 =𝑋𝑖+1 − 𝑋𝑖(𝑖 + 1) − 𝑖

Siendo 𝑚 la respectiva pendiente entre dos puntos. Ahora, la pendiente de Sen se calcula como

la mediana de todas las pendientes individuales.

Al igual que para la prueba de Mann-Kendall, la pendiente de Sen presenta modificaciones

cuando los datos presentan ciertas características que hacen violar algunos de los supuesto básicos

como la no presencia de autocorrelación. Pohlert (2018) utiliza una la prueba de Sen modificada

para datos con estacionalidad y autocorrelación para el cálculo de la magnitud de la pendiente,

donde se tienen en cuentas estas características antes mencionadas.

Esta metodología para calcular la magnitud de una tendencia tiene una ventaja y es que no

hace ninguna suposición acerca de la distribución que siguen los dato, por consiguiente, se puede

utilizar para series de datos que no cumplen con el supuesto de normalidad.



9

3.3. Homogeneidad Con respecto a la homogeneidad de la serie de tiempo de variables hidroclimatologicas las

pruebas que se utilizan comúnmente son las de Wilcoxon, Mann-Whitney (Díaz-Granados, 2018)

y Von Neuman (Javari, 2016). Sin embargo, en algunas investigaciones como en las hechas por

Javari (2016), Bernal et al. (2012), Kang y Yusof (2012) y Maintainer & Pohlert (2018) se utiliza

otra aproximación para la evaluación de la homogeneidad de una serie llamada detección del

punto de cambio. Este tipo de prueba evalúa si en algún periodo se da algún cambio en las

propiedades estadísticas, y por consiguiente, si se llega a presentar ese cambio se concluiría que

la serie es heterogénea y por lo tanto se estaría violando el supuesto de estacionaridad. Dentro de

este tipo de pruebas se encuentra la prueba de Pettitt, la prueba del rango de Buishand y la prueba

de homogeneidad normal estándar (Kang & Yusof, 2012).

Es pertinente dar una breve descripción de lo que es el análisis de punto de cambio. Como lo

menciona Kallache, Rust, & Kropp (2005) muchas veces el término “Punto de cambio” no refleja

lo que realmente significa o lo que realmente mide, que en realidad puede ser un cambio abrupto

en la media, el comienzo de una tendencia lineal o el cambio de partes de una tendencia. Por esta

razón, éste es un análisis importante para el presente proyecto, ya que en los registros hidrológicos

muchas veces los puntos de cambio se dan debido a intervenciones antropogénicas,

modificaciones de instrumentación o cambio climático (Kallache, Rust, & Kropp, 2005). Como

se puede ver, estas características que potencialmente causan ese punto de cambio en las

propiedades estadísticas, son similares a las que causan la no estacionaridad en las series.

Antes de dar una breve descripción de las pruebas de mayor relevancia para el proyecto con

respecto a la homogeneidad de la serie y la detección del punto de cambio, es pertinente

mencionar que todas éstas siguen una misma estructura de pruebas de hipótesis. Todas estas

pruebas siguen la prueba de hipótesis que se presenta a continuación (Kang & Yusof, 2012):

𝐻0: 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑛𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠

𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎

𝐻1: 𝐻𝑎𝑦 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎 ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎

3.3.1. Prueba de Pettitt Esta prueba considera una secuencia de variables aleatorias 𝑋1, … , 𝑋𝑇. Se dice que hay un

punto de cambio en 𝜏, si 𝑋𝑡 para 𝑡 = 1,… , 𝜏 tiene una función de distribución común 𝐹1(𝑥) y 𝑋𝑡 para 𝑡 = 𝜏 + 1,… , 𝑇 tienen una función de distribución común 𝐹2(𝑥) y se cumple que 𝐹1(𝑥) ≠𝐹2(𝑥) (Kallache et al., 2005). Acá viene una de las ventajas de esta prueba y es que no hace

ningún supuesto sobre las distribuciones 𝐹1(𝑥) y 𝐹2(𝑥), y solo es necesario que las variables

sobre las que se aplica la prueba sean continuas. El estadístico de prueba es definido como (Bates,

Chandler, & Bowman, 2012):

𝐾 = max1≤𝑡<𝑛

|𝑈𝑡,𝑛|

Donde, 𝑈𝑡,𝑛 = ∑ ∑ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑋𝑖 − 𝑋𝑗)𝑇𝑗=𝑡+1

𝑡𝑖=1

(Maintainer & Pohlert, 2018)



10

Siendo 𝑅𝑗 el rango de las observaciones. El punto de cambio de la serie está localizado en 𝐾. El

valor del estadístico de prueba es comparado con el valor crítico propuesto por Pettitt (1979).

Finalmente, una de las características particulares de este método es que es sensible a cambios en

la serie localizados en la mitad de la serie de tiempo.

3.3.2. Prueba del rango de Buishand A diferencia de la prueba de Pettitt, el rango de Buishand considera variables 𝑋 aleatorias

normalmente distribuidas. A partir de esto se procede a presentar la formulación para la

elaboración de la prueba (Maintainer & Pohlert, 2018):

𝑥𝑖 = {𝜇 + 𝜖𝑖 𝑖 = 1,… ,𝑚

𝜇 + Δ + 𝜖𝑖 𝑖 = 𝑚 + 1,… , 𝑛

En este caso, bajo la hipótesis nula Δ = 0, por lo que si se rechaza ésta Δ ≠ 0. Las sumas

parciales se calculan como:

𝑆𝑘 = ∑(𝑥𝑖 − 𝑥) (1 ≤ 𝑖 < 𝑛)

𝑘

𝑖=1

Con esto se procede a calcular el estadístico de prueba de la siguiente forma:

𝑅𝑏 =max 𝑆𝑘 −min 𝑆𝑘

𝜎

Finalmente, el p-valor para completar la prueba de hipótesis se calcula a partir de

simulaciones de Monte Carlo usando m réplicas (Maintainer & Pohlert, 2018).

Ahora bien, la particularidad de este método es que al igual que el de Pettitt, es sensible para

detectar cambios que se presentan en la mitad de la serie de datos.

3.3.3. Prueba de homogeneidad normal estándar (SNHT)

Al igual que la prueba de Buishand, la SNHT asume que los datos se distribuyen normal. El

estadístico de prueba se describe a continuación (Maintainer & Pohlert, 2018):

𝑇𝑘 = 𝑘𝑧12 + (𝑛 − 𝑘)𝑧2

2 (1 ≤ 𝑘 < 𝑛)

Donde 𝑧1 =1

𝑘 ∑

𝑥𝑖−�̅�

𝜎

𝑘𝑖=1 𝑧2 =

1

𝑛−𝑘∑

𝑥𝑖−�̅�

𝜎

𝑛𝑖=1+𝑘

Y el valor crítico corresponde a: 𝑇 = max 𝑇𝑘

Al igual que para la anterior prueba el p-valor para concluir sobre la prueba de hipótesis se

estima mediante simulaciones de Monte Carlo usando m réplicas

A diferencia de los dos anteriores métodos la particularidad de éste radica en que este tiene

una mayor sensibilidad para detectar cambios al comienzo o al final de la serie de tiempo.



11

3.4. Variables de interés

Ahora bien, después de hacer la descripción de las pruebas más importantes vale la pena

preguntarse, a qué tipo de variables se les tiene que hacer las respectivas pruebas para poder

probar la no homogeneidad de la serie. Éstas pruebas pueden realizarse sobre múltiples variables.

Por ejemplo, Carmona y Poveda (2014) realizan las pruebas sobre las series de lluvias mensuales,

descargas promedio de ríos y temperaturas mínimas; Cepeda y Rodríguez (2016) toman como

variables de estudio la precipitación total mensual y temperatura media, mínima y máxima

mensual, y Cantor (2011) vuelve a tomar las series de precipitación mensual. Sin embargo, en

muchas investigaciones primero se hace un modelo de regresión, en algunos casos con

covariables, y a partir de esos modelos de regresión se le aplican las pruebas de tendencia y

homogeneidad a los residuos o al modelo ajustado en si, como es el caso de Kallache et al. (2005),

Libiseller y Grimvall (2002), Javari (2016) y Serinaldi y Kilsby (2014). Finalmente, se le puede

dar una última aproximación al problema de las variables y es mediante la utilización del método

de descomposición de la serie en sus funciones modales intrínsecas (IMF) metodología utilizada

por Díaz-Granados y Camacho (2014) y Carmona y Poveda (2014).

3.4.1. Descomposición modal empírica Como lo mencionan Carmona y Poveda (2014) la descomposición modal empírica (EMD) es un

proceso de filtración que permite la descomposición de una serie de tiempo en un numero finito

de funciones modales intrínsecas (IMF), cada una de éstas está asociadas con diferentes modos

oscilatorios que están embebidos en la serie de datos original. La EMD es un método adaptativo

que trabaja directamente sobre la serie de tiempo y es derivada exclusivamente de la información

suministrada por lo que al aplicarla no se realiza ninguna suposición extra. Por esta razón este

tipo de descomposición está basada en características locales de los datos observados, lo que la

hace aplicable a series no lineales y a series que violen el supuesto de estacionaridad. Ahora bien,

al generar la descomposición de la serie en sus funciones modales intrínsecas se puede obtener la

función residual, que es la que se utilizaría para analizar la posible presencia de tendencias o no

homogeneidad, por lo tanto, a esta función residual es a la que se le aplicarían las pruebas, como

lo hace Díaz-Granados y Camacho (2014) y Carmona y Poveda (2014) con el principal propósito

de detectar tendencias a largo plazo.

4. METODOLOGÍA

Existen muchas aproximaciones metodológicas para el análisis de series de tiempo

hidroclimatológicas como las propuestas por Díaz-Granados (2018) y Castro y Carvajal (2010)

en las cuales se comienza haciendo un análisis riguroso de la información para luego proceder a

realizar el análisis confirmatorio estadístico de las hipótesis de interés. Ahora bien, la metodología

empleada en el desarrollo del presente proyecto se divide en las etapas que se muestran a

continuación:

1. Inventario de información disponible

2. Análisis de calidad y consistencia y validez de la información

-Análisis de datos anómalos

-Análisis de datos faltantes



12

-Análisis exploratorio, gráfico y estadísticas descriptivas

3. Análisis estadístico

-Normalidad

-Autocorrelación

-Tendencias y su magnitud

-Homogeneidad y punto de cambio

4. Evaluación de los resultados obtenidos y conclusiones a partir de éstos

En el presente segmento del proyecto se procede a describir cada una de las etapas de la

metodología de forma detallada con su debida justificación.

4.1. Inventario de información disponible Este es el primer paso que se debe llevar a cabo siempre que se va a realizar un análisis de

una serie de tiempo hidroclimatológica. Ahora bien, en primera instancia se tienen que identificar

las estaciones disponibles, lo cual se refiere al tipo de estación, localización de la misma, periodos

de registros disponibles y las variables con las que cuentan los registros (precipitación, brillo

solar, temperatura, caudales, entre otros) (Díaz-Granados, 2018). Después de esto, se debe llevar

a cabo una valoración rigurosa de la información disponible. Dentro de la valoración se incluye

la identificación del nivel de agregación (información diaria, mensual, anual).

4.2. Análisis de calidad, consistencia y validez de la información Como lo menciona Díaz-Granados (2018), después de identificar la información disponible,

ésta es la primera etapa dentro de los análisis hidrológicos. Esto es debido a que permite establecer

la calidad de la información disponible, los valores anómalos, porcentajes de información

incompleta o inexistente, y por esto ayuda a reducir la incertidumbre en los resultados por efecto

de errores en los datos (Díaz-Granados, 2018). Sin embargo, cabe aclarar que siempre va a existir

incertidumbre en los resultados, ya que la información hidrometeorológica, al ser medida con

instrumentos de recolección de datos siempre va a tener un margen de error asociado.

Ahora bien, como parte de este análisis preliminar de la información se debe llevar a cabo un

análisis de datos anómalos y faltantes y un análisis exploratorio base. A continuación, se hace

una explicación de este tipo de análisis.

4.2.1. Análisis de datos anómalos y datos faltantes Con respecto a los datos faltantes y la completitud de las series de tiempo, como lo menciona

Díaz-Granados (2018), es conveniente que las series hidrométricas sean lo más completas posible

para poder realizar una apropiada caracterización de las mísmas. Para esto entonces, se traen a

colación los criterios utilizados por Diana Cristina Cantor de la Universidad Nacional de

Colombia (2011), en donde las series a analizar tienen que tener un período de registro superior

a 25 años y un porcentaje de faltantes inferior al 10%. Ahora bien, después de seleccionar las

mejores series disponibles por medio del uso de estos criterios, existen distintas metodologías

para completar los datos faltantes. Sin embargo, este completado depende de la cantidad de

faltantes que se tengan. Por consiguiente, se sugiere (Díaz-Granados, 2018) que cuando se tenga

un faltante se tome el promedio del día anterior y posterior, si se tienen de 2 a 5 faltantes se haga

un promedio móvil con una ventana de 7 días o utilizar las correlaciones con estaciones vecinas

para el completado. Finalmente, cuando hay más de 5 datos faltantes se puede utilizar la

aproximación propuesta por Díaz-Granados & Camacho (2014) en donde se hacen regresiones

simples o múltiples locales o globales para completar los datos.



13

Ahora bien, con respecto a los datos anómalos se lleva a cabo otro tipo de aproximación.

Existen aproximaciones gráficas como la de analizar los residuos de las regresiones lineales, que

en este caso al no tener regresiones con covariables no se lleva a cabo. Existen otras

aproximaciones estadísticas como las propuestas por Díaz-Granados (2018) para identificar datos

potencialmente anómalos; dentro de estas pruebas están: Z-scores, Modified Z-scores,

Generalized Extreme Studentized Deviate (GESD), Grubbs, Titjen y Moore y Kimber.

Generalmente en estos casos se realizan todas las pruebas y se adopta un criterio en el cual se

acepta anomalía de un dato cuando al menos 𝑚 pruebas sugieran que este dato es anómalo, y

finalmente si este dato es anómalo se corrige con técnicas de llenado de faltantes.

4.2.2. Análisis exploratorio gráfico A partir de este tipo de análisis se da la primera aproximación para saber si la serie es estacionaria.

Como lo menciona Cantor (2011), el esquema metodológico de un análisis exploratorio para

detectar la existencia de alguna tendencia y/o cambio, y la homogeneidad de la serie empieza por

un análisis gráfico. Existen muchas aproximaciones gráficas para las series de tiempo con el fin

de identificar comportamientos de la serie por medio visual. Sin embargo, en el presente proyecto

se utilizan las siguientes:

Graficas de series de tiempo

En este tipo de gráficas se presentan los datos ordenados cronológicamente en las ordenadas

y el tiempo (fechas) en las abscisas. Según Cantor (2011), éstos son gráficos en los cuales se

pueden observar tendencias, cambios, intermitencia, entre otras propiedades de la serie. Cabe

aclarar que la mayoría de las veces es de elevada dificultad evidenciar las tendencias por medio

de esta aproximación gráfica. Debido a esto, se utiliza una herramienta llamada LOWESS, siglas

en ingles que denotan: “Locally Weighted Scatterplot Smoothing”. Este es un método que utiliza

los mínimos cuadrados ponderados para ajustar una curva a la serie de puntos para “suavizar” la

serie con el principal objetivo de identificar relaciones entre variables o identificar tendencias.

Este tipo de gráficas se le aplican a la serie de datos originales sin ninguna alteración.

Otra aproximación que se lleva a cabo es la de graficar los datos estandarizados. Al

estandarizar los datos se espera que éstos pasen a estar distribuidos alrededor del cero, por lo que

al hacerlo se podrían identificar más fácil las tendencias. Además, al hacer esto se podrían

identificar datos potencialmente anómalos como los datos que están más alejados del cero.

Descomposiciones de las series de tiempo

La descomposición se las series es útil ya que puede remover factores de ruido que no

permiten ver las tendencias. En el caso del presente proyecto se implementó una descomposición

de forma aditiva y una descomposición modal empírica en la cual se descompone la serie en sus

funciones modales intrínsecas.

Diagramas de caja y bigotes

Como lo menciona Cantor (2011) a partir de este tipo de diagramas se puede obtener un

resumen de la información ya que brinda una idea de la tendencia central, la variabilidad, la

simetría y la presencia de datos atípicos.

Histogramas y gráficos de distribución específica



14

La función principal de los histogramas es poder identificar si la serie de datos sigue alguna

distribución en particular. En este caso, la distribución más importante a considerar es la normal,

ya que ésta determina el tipo de pruebas que se le pueden aplicar a las series, si pueden ser pruebas

paramétricas o tienen que ser no paramétricas. Debido a esto los gráficos p-p y q-q que se realizan

son para comprobar si la serie de datos se ajusta a una distribución normal.

Gráfica de los residuos de la descomposición modal empírica (EMD)

Como bien se mencionó en el marco teórico al descomponer la serie de tiempo en las

funciones modales intrínsecas se obtiene una serie residual, la cual se puede graficar para tener

otra intuición acerca de la presencia de tendencia y el supuesto de estacionaridad.

4.3. Análisis estadístico confirmatorio

Aunque el análisis gráfico da una muy buena aproximación acerca del comportamiento de

los datos y ayuda a entender características importantes de los mismos, a partir de esto no se

puede concluir nada al respecto sobre la serie. Por consiguiente, es pertinente realizar análisis

confirmatorios cuyo propósito es el de confirmar estadísticamente la presencia o ausencia de

ciertas propiedades sobre las cuales se pudo tener una intuición en el análisis grafico preliminar.

Como bien se sabe existen pruebas estadísticas tanto paramétricas como no paramétricas. La

mayoría de las pruebas paramétricas suponen que los datos siguen una distribución normal, y son

sensibles a la cantidad de datos, a las asimetrías y a la presencia de datos atípicos (Cantor, 2011).

Por otro lado, las pruebas no paramétricas no requieren ningún supuesto de normalidad o de otra

distribución específica, y en algunos casos no son sensibles ante la presencia de datos atípicos.

Por consiguiente, antes de poder realizar cualquier prueba es necesario verificar si la serie de

datos se distribuye normal. Después, de verificar normalidad es pertinente hacer el análisis de

autocorrelación debido a que esta propiedad puede generar ruido al momento de realizar otras

pruebas. Por ejemplo, al momento de evaluar una tendencia la presencia de esta propiedad puede

dar a concluir que hay tendencia cuando en realidad no la hay. Después de verificar estas dos

propiedades se procede a realizar las pruebas confirmatorias de estacionaridad, tanto de

tendencias como de homogeneidad / punto de cambio y regresión lineal.

4.3.1. Normalidad

La primera aproximación a esta prueba se hace mediante el análisis gráfico del histograma y

las gráficas de p-p y q-q. Después de tener esta intuición se procede a realizar la confirmación

estadística. Dentro de las pruebas más utilizadas está la de Kolmogorov-Smirnov y Chi cuadrado

(Javari (2016), Cantor (2011)) y la de Shapiro-Wilk (UB, (s.f), Cantor (2011), Díaz-Granados

(2018)). Todas las pruebas llevan a cabo la misma prueba de hipótesis:

𝐻0: 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑦𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

𝐻1: 𝐿𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑦𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

Cabe resaltar que la prueba Shapiro-Wilk tiene un mejor desempeño cuando la muestra tiene

como máximo 50 datos.



15

A partir de esto, como bien se dijo anteriormente se procede a realizar pruebas paramétricas

o no paramétricas en los análisis posteriores.

4.3.2. Autocorrelación La segunda propiedad que se analiza en la metodología es la de autocorrelación. En pocas

palabras, esto se puede entender como la correlación entre miembros de series observacionales

ordenadas en el tiempo. En otras palabras, se puede considerar como una dependencia entre los

valores de los datos ordenados en el tiempo. Ésta es una propiedad importante ya que muchas

pruebas estadísticas y modelos como el de regresión lineal, asumen que los datos no presentan

autocorrelación, por lo que al presentarla se violarían supuesto de algunas pruebas y por

consiguiente perderían validez. Como se ha mencionado antes en el documento, un claro ejemplo

de esto es la prueba Mann-Kendall que necesita ser modificada cuando los datos presentan

autocorrelación.

Ahora bien, para probar autocorrelación en una serie de tiempo hay que tener en

consideración el rezago o “lag” en el que se presenta la esta propiedad. Esto se puede entender

cómo, a partir de cuantos valores t unidades de tiempo atrás depende el dato que se está

analizando. En el caso de este proyecto, se realiza una primera prueba para probar autocorrelación

de lag 1 y posterior a esto se elabora un correlograma o gráfico de autocorrelación que muestra

la significancia de la autocorrelación dependiendo del lag por lo que permite identificar hasta qué

rezago se presenta esta propiedad de la serie. Siguiendo esta línea de ideas, para hacer la primera

prueba se tienen que tener dos series de datos, la primera desde 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 𝑇 − 1 y la

segunda desde 𝑡 = 1 hasta 𝑡 = 𝑇; así al aplicar la prueba se puede llegar a una conclusión acerca

de si los datos presentan correlación de orden 1. La prueba de hipótesis que plantea la prueba es

la siguiente:

𝐻0: 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝜌 = 0

𝐻1: 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝜌 ≠ 0

Se realiza la prueba de correlación de Pearson, que mide la fuerza y dirección de la asociación

que existe entre dos variables, siendo en este caso la serie de tiempo normal y la serie rezagada

una unidad de tiempo.

4.3.3. Tendencias y su magnitud Para identificar si la tendencia que presentan los datos es significativa o no se realiza como

prueba principal la prueba Mann-Kendall expuesta en el marco teórico. Dependiendo entonces

de si los datos presentan autocorrelación se escoge si se lleva a cabo la prueba modificada o la

prueba general. En el caso de que no se presente autocorrelación, como un procedimiento

confirmatorio se realiza la prueba de tendencia Cox and Stuart, que se rige por un principio similar

a la de la prueba Mann-Kendall. A partir de entonces, se llega a una conclusión sobre la

significancia de la tendencia que puede presentar la serie.

Ahora bien, es pertinente también tener una aproximación de la magnitud de la pendiente.

Para esto se estima la pendiente de Sen, método explicado en el marco teórico. Si bien esta prueba

también depende del resultado de autocorrelación de los datos, que si presenta esta propiedad se

utiliza la pendiente modificada de Sen. A partir de este resultado, además de saber la magnitud

de la tendencia, también se puede identificar si la misma es positiva o negativa.



16

4.3.4. Homogeneidad y punto de cambio

Para la detección de homogeneidad o heterogeneidad de la serie de tiempo se utilizan las

pruebas descritas en el marco teórico las cuales incluyen: Prueba de Pettitt, Prueba del rango de

Buishand y Prueba de homogeneidad normal estándar. Esto con el fin de probar si alguno de los

parámetros estadísticos presenta cambios en el tiempo. Ahora bien, hay que hacer una

consideración sobre la interpretación de resultados de estas pruebas. Entonces, cuando los datos

se distribuyen normal se concluye como lo hizo Kang y Yusof (2012) teniendo en cuenta los

resultados de las tres pruebas así: si de rechazan las tres hipótesis nulas de las tres pruebas la serie

es considerada heterogénea, si se rechazan solo dos de las tres pruebas se considera que la serie

tiene señales de no homogeneidad, pero se debería hacer una análisis más detallado de ésta, y por

ultimo si solo se rechaza la hipótesis de una prueba o no se rechaza ninguna se concluye que la

serie es homogénea. Por otro lado, si la serie de tiempo no se distribuye normal, el resultado más

significativo para la conclusión acerca de la serie es el que se obtiene a partir de la prueba de

Pettitt, ya que ésta es la única prueba no paramétrica que no asume normalidad en los datos.

Como bien se mencionó, como resultado de estas pruebas se obtiene le fecha en la cual se

presenta el cambio en la media. Por consiguiente, para hacer un análisis más profundo y para que

se tenga una mejor interpretación se grafican dos diagramas de caja y bigotes para ver qué tan

significativos (visualmente) es el cambio en la media o varianza. Este tipo de análisis es propuesto

por Castro y Carvajal (2010) para determinar si existe un cambio en la media de la tendencia

central de la serie hidroclimatológica.

4.3.5. Regresión lineal

La regresión lineal es la última prueba que se realiza en la metodología empleada en el

presente proyecto. El modelo de regresión a aplicar es un modelo simple descrito por la ecuación

que se presenta a continuación:

�̂� = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 + 𝜖

Siendo 𝑌 la precipitación y 𝑋 la variable temporal. El parámetro más importante del resultado del

modelo de regresión es el 𝛽1 ya que es la estimación de la pendiente, por lo que sí es significativo

se podría concluir que hay presencia de tendencia y por consiguiente la serie podría violar el

supuesto de estacionaridad.

Sobre este procedimiento cabe aclarar varios puntos. Primero, la estimación de los

parámetros del modelo de regresión lineal por mínimos cuadrados asume que los datos siguen

una distribución normal y son independiente e idénticamente distribuidos. Por consiguiente, si

los datos no siguen una distribución normal y se presenta heterogeneidad o autocorrelación en la

serie no sería correcto aplicar este modelo de regresión lineal ya que las conclusiones a partir de

este serían erróneas (Valencia, 2019). Por tal motivo, solo se ajusta el modelo de regresión cuando

los datos cumplan todos los supuestos. Segundo, se realiza esta prueba solo como un

procedimiento confirmatorio y debido a la facilidad de interpretación del resultado (𝛽); sin

embargo, las pruebas que más pesan en toda la metodología son las de tendencia y homogeneidad

presentadas anteriormente.



17

4.4. Evaluación de los resultados obtenidos

Ahora bien, al aplicar la metodología desarrollada se agrupan los resultados para cada serie

de tiempo de manera individual. Se documentan los resultados de significancia para las pruebas

de autocorrelación, tendencias, homogeneidad y regresión lineal. En algunos casos se documenta

también la magnitud, como es el caso de la tendencia y la regresión lineal y en otros casos

periodos de tiempo para las pruebas de homogeneidad. Ahora bien, en cuanto a la interpretación

se pueden resaltar varios puntos. Primero, si la serie analizada tiene tendencias significativas y

además presenta problemas de heterogeneidad también significativos, ésta va a ser clasificada

como una serie que no cumple con el supuesto de estacionaridad. Por otro lado, si la serie presenta

tendencias significativas, pero es homogénea en el tiempo, ésta va a ser clasificada como una

serie que es potencialmente no estacionaria ya que presenta tendencia. De igual manera, cuando

la serie no presenta una tendencia significativa, pero es heterogénea en el tiempo, ésta también

va a ser clasificada como una serie potencialmente estacionaria ya que tiene cambios

significativos a lo largo del tiempo en los parámetros estadísticos. Por último, si la serie no

presenta tendencias significativas y es homogénea en el tiempo, ésta va a ser clasificada como

una serie que cumple con el supuesto de estacionaridad. Cabe resaltar que este análisis es el centro

o núcleo de esta investigación.

Aparte del principal análisis propuesto en el anterior párrafo se pueden proponer otras

aproximaciones igualmente interesantes para la evaluación de los resultados obtenidos. Entonces,

uno de los parámetros de interés a analizar sería el del tiempo (fecha) en el que se presenta el

cambio en la propiedad estadística que hace que la serie de tiempo no sea homogénea. Al

comparar este resultado en todas las series evaluadas se puede tener una idea de en qué fechas

comenzaron a presentarse cambios y se puede hacer una investigación acerca de lo sucedido

alrededor de esa fecha. Otro punto importante que se puede evaluar es el de la comparación de

los resultados de una misma variable para una misma serie, pero con diferente nivel de

agregación. Por ejemplo, realizar una comparación de los resultados obtenidos para la serie

mensual de precipitación con los resultados obtenidos para la serie anual de precipitación, bien

pueden ser totales, máximos o mínimos anuales. A partir de esta comparación, analizar por qué

puede suceder esto, qué propiedades de la serie pueden estar haciendo que esto suceda y qué

implicaciones tiene sobre la conclusión final acerca de si la serie cumple con la estacionaridad o

no.

4.5. Metodología de implementación

La implementación del procedimiento se llevó a cabo en el software RStudio. Se realizó una

rutina en la cual se utilizaron diferentes paquetes. Dentro de estos los más importantes son: trend,

xts y EMD. EL paquete trend utilizado por Maintainer & Pohlert (2018) provee todos los métodos

para hacer análisis de tendencias, el paquete xts se utiliza para hacer el análisis de la serie de datos

hidroclimatológicos como una serie temporal lo que le da a la serie ciertas propiedades

importantes a la hora del análisis y el paquete EMD se utiliza para descomponer la serie en

funciones modales intrínsecas. En Anexo 1 se presenta el diagrama de flujo del procedimiento

realizado en el software RStudio para la implementación de la metodología descrita

anteriormente.



18

5. CASO DE ESTUDIO

Para la selección del caso de estudio se tuvieron en cuenta las siguientes consideraciones,

presentadas a continuación según el orden de importancia:

1. Disponibilidad y calidad de la información

2. Importancia del sitio en el país

3. Estudios anteriores sobre el sitio

Entonces, con respecto a la información disponible se tuvieron series de tiempo suministradas

por entidades como el IDEAM, las CARs y CENICAFE y series de estudios anteriores. Con

respecto a la información del IDEAM y de las corporaciones autónomas regionales (CARs) hubo

mucha información faltante lo que hizo a la mayoría de las series ser incompletas y no cumplir el

criterio de selección expuesto anteriormente sobre un máximo de 10% de faltantes. Por el lado

de la información de los estudios anteriores el problema radicó en la longitud de las series de

tiempo, incumpliendo en algunos casos el criterio de un mínimo de 25 años de registro. Por

último, CENICAFE que por medio de los anuarios meteorológicos anuales provee información

completa de un amplio número de estaciones. Con respecto a la característica de completitud de

la información la información de CENICAFE era la mejor alternativa. Ahora, con respecto a la

longitud de estas series se tuvo acceso a anuarios físicos desde 1999 hasta 2005 (Biblioteca

Universidad de los Andes) y anuarios digitales desde el 2006 hasta el 2017, lo que conforma una

ventana temporal de 18 años. Sin embargo, de un estudio anterior (suministrado por Díaz-

Granados) se tuvo información de las series diarias de precipitación desde 1973 hasta 1999, que

juntándola con la información de los anuarios se logró tener una ventana de tiempo de 44 años.

Esta información corresponde a las observaciones meteorológicas en la red de estaciones que

posee la Federación Nacional de Cafeteros a lo largo y ancho de la zona cafetera colombiana

(CENICAFE, 2017).

Dado que en CENICAFE hay información de más de 100 estaciones fue necesario escoger

algunas de éstas. Para esto se utilizaron las dos últimas: importancia del sitio en el país y estudios

anteriores sobre el sitio. Los departamentos de mayor importancia dentro de las zonas cafeteras

son los de Caldas, Quindío y Risaralda (Duque, s.f). Según el Banco de la República (2019) el

Eje Cafetero representado por los tres departamentos mencionados registró exportaciones totales

por US$341 millones, donde las exportaciones de café fueron de aproximadamente US$204

millones. Si se compara esto con el total de exportaciones de café en Colombia, se puede concluir

que el Eje Cafetero representa alrededor del 40% de las exportaciones de café. Por otro lado,

después de realizar la revisión bibliográfica para la elaboración del presente proyecto no se

encontró ningún análisis similar en la zona. Por estas razones se escogieron estaciones de estos

tres departamentos. La información que se utilizó para el análisis en esta zona se obtuvo solo de

CENICAFE.

Ahora bien, vale la pena hacer una breve descripción de la zona antes de proceder a realizar

el análisis de las series. Entonces, estos tres departamentos están localizados en la región noroeste

del país como se puede evidenciar a continuación:



19

Figura 1 Ubicación eje cafetero

Como bien se puede apreciar en el mapa esta zona tiene una ubicación privilegiada ya

que está en la mitad del eje industrial y las tres ciudades más importantes de Colombia: Cali,

Medellín y Bogotá. Ahora bien, de forma específica el departamento de Caldas cuenta con 27

municipios siendo Manizales la capital, el departamento de Quindío cuenta con 12 municipios y

Armenia es su capital y, por último, el departamento de Risaralda cuya capital es Pereira tiene 14

municipios. A continuación, se presenta la división de cada uno de los municipios ( Figura 2

Municipios de los departamentos eje cafetero) y las capitales de los mismos (Figura 3 Capitales

departamentos Eje cafetero) .



20

Figura 2 Municipios de los departamentos eje cafetero

Figura 3 Capitales departamentos Eje cafetero

Ahora bien, ya con la zona establecida es pertinente hablar acerca de las estaciones y las

variables que se analizaron en el presente proyecto. Como lo menciona CENICAFE (2010), la

lluvia y la radiación solar son los dos elementos del clima de mayor importancia para la

producción del café, y por lo tanto los parámetros de mayor pertinencia para el análisis climático

de la región. Además de esto, como bien se dijo antes, la única información que se pudo obtener



21

desde los años 1990 hacia atrás fue la de precipitación diaria. Por estas dos razones se escogió la

precipitación como la variable de análisis del presente proyecto. Primero, se utilizaron las series

mensuales, y posterior a esto se hizo uso de las series de valores totales, máximos, mínimos y

medios anuales. Con respecto a las estaciones, se seleccionaron las estaciones (total de 10)

listadas a continuación:

- De Caldas: Santagueda, Cenicafé, Granja Luker, Naranjal.

- De Quindío: Paranguacito, La Bella, Maracay.

- De Risaralda: La Catalina, El Cedral, El Jazmín

5.1. Aplicación detallada de la metodología

En el presente apartado del proyecto se realiza una descripción detallada de la metodología

propuesta en la sección anterior con el objetivo de ilustrar cómo se llevaron a cabo las pruebas,

esto es, de qué forma se concluye a partir del análisis gráfico y del análisis de las pruebas de

hipótesis y como se recolectan los resultados obtenidos a partir de este procedimiento. El

propósito principal es presentar dos diferentes resultados de la metodología, uno para una serie

de tiempo mensual y otro para series de tiempo anuales. Esto con el propósito de ilustrar los

resultados que se pueden obtener con dos series distintas, que propiedades especificas tienen y

cómo esto se pueden apreciar a partir de las pruebas realizadas.

Antes de los análisis es necesario revisar las características básicas de la serie. Como

ilustración se usa aquí la serie de la estación El Naranjal del departamento de Caldas, que cuenta

con registros de precipitación mensual desde el año 1972 hasta el año 2017, con una media de

226,7 milímetros mensuales, un máximo de 579,4 milímetros y un mínimo de 6,8 milímetros.

Ahora bien, dicho esto se procede a realizar el análisis.

5.1.1. Serie de precipitación mensual

Análisis gráfico

Como bien se mencionó la primera parte de la metodología incluye el análisis gráfico. Primero,

se procede a realizar la gráfica de la serie de tiempo con la respectiva línea Lowess para poder

observar una posible tendencia.



22

Gráfica 1 Serie de tiempo El Naranjal

Como se puede identificar a partir de la línea roja en la Gráfica 1 Serie de tiempo El Naranjal, no hay

una evidencia muy fuerte de que se presente una tendencia significativa. Si bien la línea roja es

constante hasta el año 1998, a partir de este año se ve un leve incremento en la misma, por lo cual

con este pequeño pero constante incremente podría llegarse a suponer la presencia de una tendencia

significativa. No obstante, como bien se sabe a partir de esta información no se puede dar una

conclusión certera. Sin embargo, después de realizar las pruebas confirmatorias la tendencia podría

no ser significativa. Ahora bien, se procede a realizar la descomposición de la serie de forma aditiva

como se muestra a continuación:



23

Gráfica 2 Descomposición aditiva de la serie de tiempo

En la Gráfica 2 Descomposición aditiva de la serie de tiempose pueden identificar 4 tipos de gráficas,

la primera es la serie de tiempo observada, que es equivalente a la primera gráfica que se expuso, la

segunda es la gráfica de la tendencia, la tercera es la estacionalidad de la serie y por último esta la

aleatoriedad de la serie. De las gráficas la más importante es la de la tendencia, y como se puede

evidenciar es casi constante a lo largo del tiempo, no se presenta ningún incremento o decrecimiento

significativo. Sin embargo, no es correcto concluir nada al respecto.

Se procede a graficar la función residual de la descomposición modal de la serie de tiempo.

Para un mejor análisis también se presenta la tendencia encontrada en la anterior descomposición

aditiva.



24

Gráfica 3 Serie residual EMD El Naranjal

Gráfica 4 Tendencia descomposición aditiva

A partir de la presente gráfica no se pueden sacar conclusiones concretas. Sin embargo, se

podría decir que hay una posible tendencia ya que se puede ver un incremento significativo a

partir un punto en el tiempo. Además, comparándola con la serie de la descomposición aditiva se

puede ver que en las dos se presenta el mismo comportamiento, primero decreciente y después

creciente. Sin embargo, esta serie de residuos es de mayor utilidad al hacer las respectivas pruebas

confirmatorias.



25

Ahora bien, se procede a realizar la porción del análisis con enfoque en la distribución de los datos,

por lo tanto, lo primero es realizar el diagrama de caja y bigotes.

Gráfica 5 Diagrama de caja y bigotes El Naranjal

Acerca del presente diagrama no se pueden hacer conclusiones muy fuertes. Lo que se puede ver es

que la media de la precipitación está al rededor de 200 milímetros y que la mayoría de los datos

(percentil 25 y 75) están en el rango de 150 y 350 milímetros. Además, hay presencia de valores que

están por fuera del bigote que denota el máximo por lo que habría que tenerlos en consideración al

momento de hacer el análisis de los datos atípicos. Se procede ahora a realizar el análisis del

histograma.

Gráfica 6 Histograma serie el Naranjal



26

En este caso, se puede apreciar la forma de campana en la distribución, por lo que se genera la

intuición de que los datos pueden llegar a distribuirse de forma normal.

Finalmente se realiza un análisis gráfico de la serie estandarizada, con el fin de identificar posibles

datos anómalos y también posibles tendencias:

Gráfica 7 Serie de tempo datos estandarizados El Naranjal

A partir de la anterior gráfica se puede apreciar cómo la mayoría de los datos se distribuyen

alrededor del cero y se encuentran en el rango de -3 a 3, por consiguiente, se considera que no hay

ningún dato anómalo en la serie.

Normalidad

Ya se tiene entonces una primera aproximación a la posible distribución de la serie gracias al

histograma; sin embargo, en esta sección se procede a realizar el análisis confirmatorio. Primero

entonces, se realiza un gráfico cuantil-cuantil como se muestra a continuación:



27

Gráfica 8 q.q plot serie en Naranjal

En este tipo de gráfica se hace una comparación de los cuantiles de la distribución normal

teórica con los cuantiles de la serie. Lo más importante para tener en cuenta son las dos colas; en otras

palabras, el principio y el final de la gráfica, a diferencia de la gráfica p-p en donde solo se analiza

una cola. Ahora bien, se puede ver que la línea se ajusta relativamente bien a la distribución propuesta.

Identificado esto se procede a realizar las pruebas estadísticas. A continuación, se presentan los

respectivos p-valores de cada una de las pruebas:

Tabla 1 P-valores pruebas normalidad El Naranjal

Para concluir sobre las siguientes pruebas hay que tener algunas consideraciones. La primera es que,

como bien se dijo, la prueba de Shapiro solo provee conclusiones correctas cuando la cantidad de

datos es menor que 50, y como la presente serie tiene 552 datos el resultado de la prueba no se tiene

en cuenta. Ahora bien, con respecto a las pruebas K-S y Chi cuadrado, se puede decir que cuando la

cantidad de datos es superior a 30 la prueba Chi cuadrado provee un mejor resultado que la de K-S

(Sergio Cabrales, 2018). Sin embargo, se puede apreciar que el p-valor de la prueba K-S es muy

cercano a la significancia. Por consiguiente, se concluye que la serie se distribuye normal ya que a

partir de la prueba 𝜒2 no se rechaza la hipótesis nula por lo cual la serie sigue la distribución

propuesta.

Autocorrelación

A continuación, se procede realizar las pruebas para verificar si la serie de datos presenta

autocorrelación. Se realiza la prueba de Pearson entre la serie de datos normal y la serie rezagada

un periodo. Al aplicar la prueba se obtiene que el p-valor es igual a 6,203 ∗ 10−9. Por esta razón,

se concluye que como el p-valor es menor a una significancia del 5% se rechaza la hipótesis nula

por lo que el parámetro de correlación 𝜌 es diferente de cero y por consiguiente la serie presenta

Prueba P-valor

Shapiro test 0,00065

K-S test 0,038

Chi cuad. test 0,352



28

autocorrelación de orden 1. Además, la respectiva prueba arroja un valor de correlación igual a

𝜌 = 0,244. Ahora bien, para tener una mejor visualización de la autocorrelación y por ende una

mejor interpretación de esta propiedad en la serie, se procede a elaborar el autocorrelalograma

como se muestra a continuación:

Gráfica 9 Autocorrelalograma

Del gráfico presentado lo que se analiza es si las líneas verticales superan las líneas punteadas

horizontales. Si las superan, significa que la correlación del correspondiente lag (eje x) es

significativa. Por consiguiente, a partir de esto se puede ver que la serie si presenta signos de

autocorrelación.

Tendencias y su magnitud

Sabiendo las propiedades de la serie se puede proceder a realizar las pruebas de tendencias.

Como el test de autocorrelación resultó positivo y los datos presentan esta propiedad se procede

a utilizar la prueba Mann-Kendall modificada para este tipo de series. Al realizar la prueba se

obtuvo que el p-valor es igual a 0,00516; por consiguiente a partir de esto se puede rechazar la

hipótesis nula y concluir que la serie presenta una tendencia significativa. Se aplica la misma

prueba a la serie residual de la descomposición modal empírica y se obtiene un p-valor de 5,04 ∗10−9 por lo que igualmente se rechaza la hipótesis nula y se concluye nuevamente que la

tendencia de la serie es significativa. Como bien se mencionó se realiza también la prueba Cox

and Stuart como un procedimiento de verificación y a partir de esta prueba aplicada a la serie

normal y la serie de los residuos se vuelve a concluir que en ambas la tendencia es significativa

con p-valores de 0,018 𝑦 2,2 ∗ 1016 respectivamente.

Siguiendo con esta línea de análisis, se procede ahora a encontrar una aproximación a la

magnitud de la tendencia por medio de la pendiente de Sen. Al igual que para la anterior prueba,

en ésta se utiliza la versión modificada debido a la autocorrelación de los datos. Se obtiene

entonces que la pendiente es igual a 1,18 para el caso de la serie normal y 0,96 para el caso de la

serie de residuos.



29

Homogeneidad

Después de tener los resultados para tendencias se procede a realizar las pruebas de detección de

punto de cambio para la identificación de homogeneidad. Se comienza entonces con la prueba de

Pettit, después se realiza la prueba de Buishand y por último la SNHT. A continuación, se

presentan los resultados de las pruebas presentadas anteriormente:

Tabla 2 Resultados pruebas de homogeneidad

Como se puede apreciar en la tabla, todos los p-valores son menores a un 5% de

significancia. Por consiguiente, en todas las pruebas se rechaza la hipótesis nula por lo que

se concluye que hay un cambio significativo en la media y por consiguiente la serie se

considera heterogénea. Cabe resaltar que en este caso se tuvieron en cuenta las tres pruebas

en la conclusión sobre la serie porque ésta sigue una distribución normal. Sin embargo, si los

datos no fueran normales se tomaría en cuenta solo la prueba de Pettitt. Teniendo estos

resultados hay dos tipos de análisis gráficos interesantes de realizar. El primero es el de

graficar las pruebas de SNHT y Buishand, ya que a partir de éstas se puede apreciar en qué

lugar del tiempo se presenta el cambio en la media. En el caso de SNHT es por medio del

máximo y en el caso del Buishand es el mínimo (Maintainer & Pohlert, 2018). A

continuación, se presentan las gráficas:

Gráfica 10 Pruebas de homogeneidad serie El Naranjal

Prueba Tipo de serie P-valor Punto de Cambio

Pettit Serie normal 0,0000788 315

Pettit Residuales <2,2*10^-16 312

Buishand Serie normal 0,0002 315

Buishand Residuales <2,2*10^-16 329

SNHT Serie normal 0,0004 315

SNHT Residuales <2,2*10^-16 348



30

A partir de éstas se puede ver entonces que ambos puntos de cambio en la media se

presentan alrededor del mismo punto que es en este caso alrededor del año 27 que

corresponde al año 1999. Ahora bien, el segundo análisis grafico de interés corresponde a la

evaluación de la diferencia de las medias por medio de los diagramas de caja. En este caso

como se quiere evaluar la significancia del cambio en las medias de la serie normal de tiempo

se escoge el número de dato 315 para la separación de éstas. Al aplicar el procedimiento se

obtiene el siguiente resultado:

Gráfica 11 Comparación de medias Serie El Naranjal

A partir de la figura se puede apreciar un cambio significativo en la media, puede que en magnitud

no sea muy grande, pero sin embargo es apreciable.

Regresión lineal

En este caso, se concluye que la serie sigue una distribución normal por lo que uno de los

supuestos del modelo de regresión se cumple. Sin embargo, la serie presenta problemas de

autocorrelacion y heterocedasticidad y por consiguiente no es adecuado realizar un modelo de

regresión lineal por mínimos cuadrados para estimar la pendiente.

Evaluación de resultados

A partir de los resultados obtenidos se pueden derivar las siguientes conclusiones. La primera

es que la serie mensual de precipitación presenta tendencias significativas y además es no

homogénea en el tiempo. En consecuencia, esta serie mensual se caracteriza como una serie que

no cumple con el supuesto de estacionaridad.

5.1.2. Series de precipitación anuales

Para hacer el análisis de las series anuales de máximos, mínimos, medias y totales se llevó a cabo

un proceso iterativo de agrupación de datos como se evidencia en el diagrama de flujo del proceso

presente en Anexo 1. A continuación, se realiza el análisis de series de tiempo de precipitación

máxima, mínima, media y total.



31

Análisis gráfico

Se procede a realizar la gráfica de la serie de tiempo con la respectiva línea Lowess para observar

una posible tendencia.

Gráfica 12 Series de tiempo anuales El Naranjal

De las gráficas anteriores se puede apreciar que los datos de las medias anuales y el

total tienen el mismo comportamiento, solo difieren sus magnitudes. Además, sobre estas dos

series se puede apreciar una leve tendencia creciente. Con respecto a los máximos y mínimos

no se puede evidenciar una tendencia muy clara. Los mínimos comienzan crecientes y

después toman un comportamiento constante; por otro lado, los máximos al principio

presentan un comportamiento constante y después creciente.

En este caso, como la serie bajo análisis es una serie anual, el tamaño de muestra se

reduce de forma considerable. Por consiguiente, se considera que no es pertinente realizar el

análisis de descomposición. Por esta razón para estos datos no se realiza el análisis de

descomposición aditiva ni descomposición empírica.

Dado lo anterior, el paso a seguir es el del análisis de distribución el cual comienza con un

diagrama de caja y bigotes:



32

Gráfica 13 Diagramas caja y bigotes datos anuales

Se puede apreciar, como es de esperarse, que la varianza de los datos y por

consiguiente la caja se reduzca en comparación con la serie mensual. Sin embargo, a partir

de éstos no se puede hacer ninguna conclusión con una complejidad superior a la de saber los

percentiles en los cuales está contenida la diferente información anual. Se procede entonces

a realizar el histograma.



33

Gráfica 14Histogramas series anuales El Naranjal

Con respecto a los diferentes histogramas se pueden concluir varias cosas. Lo primero que se

puede decir es que cuando se agrupan los datos anualmente en sus diferentes configuraciones la

distribución en la mayoría de los casos tiende a distribuirse como una normal, como se puede ver

en las diferentes series. En este caso los datos que menos parecen distribuirse normal son los

medios y los mínimos anuales. Ahora bien, acerca de la distribución no se puede concluir nada

hasta que se realice el análisis estadístico confirmatorio.

Normalidad

Se procede ahora a verificar las suposiciones adoptadas en la sección gráfica. Se comienza por

una gráfica cuantil-cuantil para la distribución normal:



34

Gráfica 15 q-q plots series anuales El Naranjal

A partir de las gráficas anteriores se puede llegar a una conclusión un poco más clara. Se

puede evidenciar que las series de mínimos, medias y totales anuales tienen todos sus puntos

dentro del rango de la gráfica cuantil-cuantil. La gráfica de máximos tiene algunos valores por

fuera, sin embargo, el ajuste sigue siendo bueno. Ahora bien, para comprobar estas hipótesis se

procede a realizar las pruebas de distribución.

Tabla 3 Pruebas de normalidad para series anuales

Tipo de serie Media Tipo de serie Máximos

Prueba P-valor Prueba P-valor

Shapiro test 0,429 Shapiro test 0,158

K-S test 0,103 K-S test 0,133

Chi cuad. test 0,015 Chi cuad. test 0,107

Tipo de serie Mínimos Tipo de serie Totales

Prueba P-valor Prueba P-valor

Shapiro test 0,526 Shapiro test 0,429

K-S test 0,068 K-S test 0,103

Chi cuad. test 0,874 Chi cuad. test 0,015



35

Con respecto a las pruebas realizadas se considera algunos aspectos mencionados en el

análisis de las series mensuales. El primero es que la prueba Chi cuadrado es la más sensible ante

la cantidad de datos, por consiguiente, cuanto los datos son reducidos se tiene que concluir

utilizando otras pruebas. Con respecto a la prueba de Shapiro, que en el caso anterior no se pudo

utilizar debido a la cantidad de datos, en este caso como la longitud de la serie es de 46 datos,

esta prueba se puede utilizar para concluir. La prueba K-S también funciona de manera correcta

con una serie con una reducida cantidad de datos (Sergio Cabrales, 2018). Por esta razón en este

caso se concluye a partir de las pruebas Shapiro y K-S. Sabiendo esto, como en ambas pruebas el

p-valor es mayor a una significancia del 5% no hay información suficiente para rechazar la

hipótesis nula por lo que se concluye que las series se distribuyen normal.

Autocorrelación

Con respecto a la autocorrelación de los datos lo que se espera es que esta sea mucho menor en

comparación con los datos mensuales, ya que un dato anual muy pocas veces tiene dependencia

del dato del año anterior como si pudo ser a nivel diario y mensual. Sin embargo, se procede a

realizar las pruebas pertinentes para concluir. Primero se comienza con la prueba de

autocorrelación de Pearson:

Tabla 4 Prueba de autocorrelación series anuales

Como se observa las series de máximos y mínimos no presentan autocorrelación

debido a que su p-valor es superior a la significancia por lo que se concluye que 𝜌 = 0. Sin

embargo, esto no sucede en las series de precipitación media y total anual, ya que tienen una

p-valor de aproximadamente 0,03 por lo que se rechazaría la hipótesis nula y se concluiría

que la correlación es significativa. No obstante, el 0,03 es muy cercano al 0,05 con el cual se

acepta la hipótesis nula. Debido a esta característica se procede a elaborar el diagrama de

autocorrelación para evaluar la significancia de las diferentes correlaciones con distintos

desfases.

Tipo de serie P-valor Correlación

Medias 0,028 0,326

Máximos 0,187 0,199

Mínimos 0,507 -0,101

Total 0,028 0,326



36

Gráfica 16 Diagrama de autocorrelaciones para las series anuales

A partir de los diagramas se puede observar cómo las autocorrelaciones de los máximos y

mínimos no son significativas. Con respecto a las de los valores medios y los totales, se puede

ver que están ubicadas casi en borde de la línea, dando la intuición de que son muy poco

significativas. Por esta razón en este caso se asume que no son significativas las autocorrelaciones

ya que esto facilita las pruebas que se realizan más adelante.

Tendencias y su magnitud

A partir de los resultados anteriores se procede a probar la existencia de tendencias y su respectiva

magnitud. Como la conclusión acerca de la autocorrelación de las series es que ninguna de éstas

presenta este comportamiento entonces se procede a utilizar la prueba de Mann-Kendall sin

modificación al igual que la pendiente de Sen.

Tabla 5 Prueba Mann-Kendall y pendiente de Sen series anuales

A partir de la prueba Mann-Kendall se puede concluir que las series de precipitación anual

total y media presentan tendencia debido a que se rechaza la hipótesis nula. Por otro lado,

con respecto las series de máximos y mínimos se concluye que no presentan tendencias

significativas debido a un p-valor mayor a la significancia. Para comprobar los resultados de

esta prueba se ejecuta la prueba Cox Stuart, con la cual se obtienen los siguientes resultados:

Tipo de serie P-valor Pendiente

Medias 0,00507 1,23

Máximos 0,2639 1,07

Mínimos 0,1611 0,72

Total 0,00507 14,7



37

Tabla 6 Prueba Cox Stuart series anuales

Se puede ver como a partir de esta prueba se llegan a los mismos resultados que para la prueba

de Mann-Kendall acerca de la significancia de las tendencias.

Homogeneidad

Teniendo los resultados para la significancia de las tendencias se procede a realizar las tres

respectivas pruebas para probar si la serie es homogénea. En éstas se obtienen los siguientes

resultados:

Tabla 7 Pruebas de homogeneidad series de tiempo anuales

En este caso, como los datos se distribuyen normal, se pueden tener en cuenta todos los

resultados de las pruebas. Ahora bien, se puede ver que tanto las series anuales como las totales

no son homogéneas en el tiempo ya que con el respectivo p-valor se rechaza la hipótesis nula de

todas las pruebas por lo que se concluye que la serie no es homogénea en el tiempo. Por el lado

de los máximos y mínimos se puede ver que se acepta la hipótesis nula para todas las pruebas por

lo que en este caso si se puede asumir que ambas series son homogéneas.

Regresión lineal

En este caso, lo primero que se hace es establecer si las series cumple los supuestos

pertinentes para poder realizar el modelo. Antes se concluyó que todas las series se distribuyen

normal, por lo que con este supuesto no hay problema. Con respecto al supuesto de homogeneidad

en las series de máximos y mínimos no hay problema alguno, sin embargo, con respecto a las

series de valores medios y anuales si hay problema ya que en la sección anterior se concluyó que

no son homogéneas. No obstante, el p-valor con el que se rechazó la hipótesis nula de

homogeneidad es muy cercano al 5% de la significancia, por lo que para poder hacer el modelo

de regresión lineal se puede suponer que las series si son homogéneas. Ahora bien, se procede a

realizar el modelo de regresión para las series anuales.

Tipo de serie P-valor

Medias 0,0064

Máximos 0,233

Mínimos 0,088

Total 0,0064


Prueba P-valor Punto de cambio Prueba P-valor Punto de cambio

Pettit 0,0065 26 Pettit 0,2737 33

Buishand 0,0237 26 Buishand 0,102 33

SNHT 0,0121 33 SNHT 0,107 33


Prueba P-valor Punto de cambio Prueba P-valor Punto de cambio

Pettit 0,613 6 Pettit 0,0065 26

Buishand 0,847 6 Buishand 0,0239 26

SNHT 0,299 6 SNHT 0,0115 33



38

Tabla 8 Regresión lineal series anuales

A partir de estos resultados se puede entonces reforzar la conclusión de que la tendencia de

las series totales y medias anuales son significativas, esto debido a que el p-valor que prueba la

significancia de beta (pendiente) es menor a la significancia, por lo tanto beta es diferente de cero.

Con respecto a las otras series se refuerza la conclusión de que presentan tendencias que no son

significativas.

Evaluación de resultados

Sobre de las series anuales se pueden hacer dos conclusiones. Primero, las series de máximos

y mínimos se pueden clasificar como series que cumplen con el supuesto de estacionaridad, ya

que no presentan ninguna tendencia y además son homogéneas en el tiempo. Segundo, las series

de precipitación total y media se clasifican como series que no cumplen con el supuesto ya que

presentan tendencias significativas y sus propiedades estadísticas no son homogéneas en el

tiempo.

6. RESULTADOS Y ANÁLISIS

La metodología expuesta en la Sección 4 e implementada en la anterior sección se utilizó

para evaluar algunas de las series de precipitación del Eje Cafetero, con el objetivo de evaluar las

propiedades de las series y analizar si éstas cumplen con el supuesto de estacionaridad. Ahora

bien, a continuación, a partir de los análisis para Naranjal se presenta el formato de cómo se

documentaron los resultados para cada una de las series. La serie de El Naranjal se utilizó en la

sección anterior para explicar la aplicación detallada de la metodología. Cabe resaltar que el

modelo de documentación que se utilizó es una adaptación del utilizado por Díaz-Granados &

Camacho (2014).


Regresión Regresión

P-valor 0,00769 P-valor 0,162

Beta 1,1 Beta 1,17


Regresión Regresión

P-valor 0,204 P-valor 0,00769

Beta 0,55 Beta 13,24



39

Tabla 9 Documentación resultados

En términos de la notación utilizada la 𝑆 se refiere a que la prueba resultó significativa y la

𝑁𝑆 que la prueba dio no significativa. Por el lado de los números presentes hay diferentes

interpretaciones. Con respecto a la regresión lineal y la pendiente de Sen, los números son la

magnitud de la tendencia. Por otro lado, los números en las pruebas de homogeneidad son el

periodo en el tiempo (número de datos) en el que se presenta el punto de cambio en la serie de

tiempo.

Ahora bien, las tablas de los resultados individuales de las series se presentan en Anexo 2.

Así, se agrupó la información obtenida de las series individuales para hacer un análisis integral

de las series estudiadas.

Primero se hizo un análisis general sobre las propiedades estadísticas básicas de todas las

series. Para esto se usó un diagrama de caja y bigotes para poder hacer una mejor comparación

gráfica. En la Figura 4 se muestra la comparación de todas las estaciones.

Figura 4 Comparación precipitación mensual

Serie Mensual Residuos IMF mens. Med. Mensual Serie Anual Max. Mensual Min. Mensual

Mann-Kendall S S NS NS

Mann-Kendall Modificado S S

Cox and Stuart S S S S NS NS

Prueba pend. de Sen S S S S NS NS

Pendiente de Sen Modif 1,18 0,96 1,23 14,76 1,07 0,726

Resgresión Lineal S(1,1) s(13,24) NS(1,17) NS(0,55)

Autocorrelación Autocorrelación S S S NS NS

Pettit S(315) S(312) S(26) S(26) NS NS

Buishand S(315) S(329) S(26) S(26) NS NS

SNHT S(315) S(348) S(33) S(33) NS NS

Pruebas estadisticas

Naranjal 1972- 2017

Homogenidad

Tendencia



40

Como se puede ver en la gráfica las precipitaciones son muy similares, con una media

mensual de alrededor de 200 milímetros. Se puede ver también que la estación con mayor

precipitación es la de Naranjal con 235 mm y la de menor es la estación La Bella con 181

mm. Además, se puede evidenciar que las varianzas entre todas éstas son similares (amplitud

de las cajas). Para un análisis más detallado se procede a graficar las estaciones por

departamento:

Figura 5 Comparación estaciones Caldas

Figura 6 Comparación estaciones Quindío



41

Figura 7 Comparación estaciones Risaralda

Sobre estas tres gráficas se pueden observar varios aspectos. El primero es que la región con

niveles de precipitación mensual más bajos es la de Risaralda seguido por Quindío y Caldas que

parecen tener un nivel similar de precipitación mensual. En términos numéricos el departamento

de Caldas cuenta con una precipitación media mensual de 203 mm, el departamento de Risaralda

con 206 mm y finalmente el departamento de Quindío con un valor medio de 187 mm. Se puede

decir también que la información utilizada es consistente debido a que los promedios mensuales

de las estaciones por departamento son muy similares, al igual que su varianza.

Ahora bien, después de la anterior contextualización se presentan los resultados de la

evaluación de estacionaridad en las diferentes series de precipitación. Como bien se ha

mencionado este análisis se realizó para seis tipos de series, sin embargo, después de hacer un

análisis preliminar se concluyó que estas series se pueden agrupar en cuatro tipos que son: serie

mensual, total anual y mínimos y máximos anuales. Debido a esto, la presente sección se divide

en el análisis de los diferentes tipos de series y se concluye con una comparación de todos los

resultados obtenidos.

6.1. Series mensuales

A continuación, se presentan los resultados para las series mensuales de precipitación. Cabe

relatar que para agrupar estos resultados se tuvieron en cuenta tanto los resultados de las series

mensuales sin modificaciones, así como de los de las series residuales obtenidas a partir de la

descomposición modal empírica, adoptando los criterios establecidos a lo largo del proyecto.



42

Tabla 10 Resultados series de precipitaciones mensuales

A partir de estos resultados se pueden apreciar ciertos patrones entre departamentos. Por

ejemplo, en el departamento de Caldas ninguna de las series mensuales presentó un

comportamiento homogéneo en el tiempo, mientras que en Quindío si es homogénea. En el caso

de las tendencias, en las series del Quindío se clasificaron como tendencias parciales ya que entre

las pruebas realizadas no se llegó a una única conclusión por lo que no se pudo concluir con un

100% de certeza. Se puede concluir que 4 de las 10 estaciones de precipitación mensual fueron

clasificadas como series que no siguen el supuesto de estacionaridad, 6 cumplían parcialmente el

supuesto; sin embargo, ninguna fue clasificada como una serie completamente estacionaria.

Finalmente, se puede evidenciar cómo el departamento del Quindío presenta en dos de sus series

una tendencia negativa, aunque es relativamente baja.

6.2. Series totales anuales

La evaluación de las series anuales mostró un comportamiento en particular. Cundo se

realizaron las pruebas estadísticas en las series de precipitación media anual y total anual las

conclusiones eran las mismas, difiriendo solo en las las magnitudes. Dado esto y teniendo en

cuenta que puede ser de mayor importancia tener en cuenta magnitudes anuales totales en vez de

medias se decidió presentar los resultados para las series totales. Sin embargo, la conclusión es

la misma en cuando al supuesto de estacionaridad. A continuación, se presentan los respectivos

resultados:

Tendencia Magnitud Heterogeneidad Conclusion

Santagueda NO 0,68 SI Potencialmente no estacionaria

Cenicafe SI 0,609 SI No estacionaria

Naranjal SI 1,18 SI No estacionaria

Luker NO 0,26 SI Potencialmente no estacionaria

La Bella Parcial -0,609 NO Potencialmente no estacionaria

Paranguacito Parcial -0,033 NO Potencialmente no estacionaria

Maracay Parcial 0,48 NO Potencialmente no estacionaria

El Jazmin SI 0,819 SI No estacionaria

La Catalina SI 1,08 SI No estacionaria

El Cedral Parcial -0,66 NO Potencialmente no estacionaria

Caldas

Quindio

Risaralda

Series Mensuales



43

Tabla 11 Resultados series totales anuales

A diferencia de los resultados mensuales, en este caso hay 6 series que cumplen con el supuesto

de estacionaridad y solo 2 que no lo cumplen. En Quindío todas las series se clasificaron como

estacionarias, a diferencia de las series de los otros departamentos en donde los resultados fueron

muy variables. Como es de esperarse, el valor de la magnitud de las tendencias es

significativamente mayor que en los anteriores casos, y esto se debe a que se están tratando las

sumas de todos los meses del año. Como conclusión, en términos de series anuales medias y

totales de las estaciones del departamento del Quindío se pueden clasificar como unas en las que

se cumple el supuesto de estacionaridad. Con respecto a las estaciones de los otros dos

departamentos no se tiene ninguna conclusión concreta, sin embargo, existe la posibilidad de que

éstas violen el supuesto.

6.3. Mínimos anuales Se presentan a continuación los resultados para las diferentes series de mínimos anuales en

las estaciones del Eje Cafetero:

Tabla 12 Resultados series de mínimos anuales

En este caso ninguna de las series viola el supuesto de estacionaridad, en ninguna de las series

de mínimos anuales se presenta una tendencia significativa, ni tampoco un cambio significativo

en las propiedades estadísticas.


Santagueda NO 4,58 SI Potencialmente no estacionaria

Cenicafe NO 7,69 NO Estacionaria

Naranjal SI 14,76 SI No estacionaria

Luker NO 3,1 NO Estacionaria

La Bella NO 0,62 NO Estacionaria

Paranguacito NO 2,08 NO Estacionaria

Maracay NO 8,25 NO Estacionaria

El Jazmin NO 9,35 SI Potencialmente no estacionaria


El Cedral NO -6,7 NO Estacionaria

Series Totales anuales

Caldas

Quindio

Risaralda


Santagueda NO 0,22 NO Estacionaria


Naranjal NO 0,72 NO Estacionaria

Luker NO 0,15 NO Estacionaria

La Bella NO -0,16 NO Estacionaria


Maracay NO 0,14 NO Estacionaria

El Jazmin NO 0,34 NO Estacionaria

La Catalina NO 0,65 NO Estacionaria

El Cedral NO 0,055 NO Estacionaria

Serie mínimos anuales

Caldas

Quindio

Risaralda



44

6.4. Máximos anuales A continuación, se presentan los resultados para las series de precipitación de máximos

anuales para 10 diferentes estaciones del Eje Cafetero colombiano:

Tabla 13 Resultados series de máximos anuales

En este caso se da un resultado similar al obtenido con las series de mínimos, ya que 9 de 10

estaciones cumplen con el supuesto de estacionaridad. Acerca de la estación que no cumple se

podrían llegar a concluir dos cosas, la primera es si efectivamente ésta presenta una tendencia

significativa y no es homogénea en el tiempo, o la inconsistencia de los datos de la misma.

6.5. Comparación resultados

Es pertinente ahora proceder a comparar los resultados obtenidos. Como bien se pudo

evidenciar en las series mensuales se presentan más casos de series que no cumplen con el

supuesto de estacionaridad en comparación con las series anuales. Y dentro de las series anuales,

los máximos y mínimos tienden a presentar propiedades estacionarias mientras que en los valores

medios o totales tienden a presentar propiedades que si violan el supuesto. Es importante

mencionar que esto puede suceder por muchas razones, una de éstas es la localización de las

estaciones, sin embargo, es un resultado con sentido ya que las series mensuales son mucho más

sensibles que las series anuales por lo que identificar propiedades como tendencias y

heterogeneidad en alguno de sus parámetros es más fácil. Otro comportamiento identificado es

que las series anuales en la mayoría de los casos se distribuyeron normal y además no presentaron

problemas de autocorrelación, como si lo hacen las series mensuales.

Ahora bien, algo interesante de analizar sobre la presencia o ausencia de homogeneidad en

las series es el punto de cambio. Como lo mencionan Díaz-Granados & Camacho (2014) en

algunos casos la no estacionaridad puede ser causada por variaciones climáticas asociadas a

fenómenos macro climáticos como El Niño y La Niña. Relacionando esto con el punto de cambio,

entonces, es interesante analizar si éste se presenta con la presencia de alguno de estos eventos

de la hidrología colombiana. Al realizar las pruebas mencionadas, y concluir que la serie es

heterogénea el punto de cambio de éstas fue casi el mismo. En otras palabras, el punto de cambio

en las propiedades estadísticas se presentó casi en el mismo lugar en el tiempo. El punto de

cambio de las series heterogéneas se daba entre el año 1998 y 1999. Al cruzar la fecha donde se

presenta el cambio con un fenómeno macro climático como los fue la ola invernal de 2010-2011


Santagueda NO 0,3 NO Estacionaria


Naranjal NO 1 NO Estacionaria

Luker NO -0,78 NO Estacionaria

La Bella NO 1,5 NO Estacionaria


Maracay NO -0,59 NO Estacionaria

El Jazmin NO 1,5 NO Estacionaria


El Cedral NO -0,02 NO Estacionaria

Quindio

Risaralda

Series máximos anuales

Caldas



45

(Díaz-granados & Camacho, 2014), se puede evidenciar el cambio del parámetro estadístico

(heterogeneidad) no se dio gracias a este fenómeno climático.

Otro análisis importante en el presente proyecto es el que surge de la pregunta propuesta por

Carmona y Poveda (2014), de si las tendencias identificadas en investigaciones pasadas se siguen

presentando o si son parte de una oscilación climática de baja frecuencia. Para esto entonces se

necesitaría información sobre las tendencias en el Eje Cafetero colombiano. Sin embargo, hoy en

día no hay estudios específicos sobre este tema en la zona de estudio. No obstante, Carmona y

Poveda (2014) hacen un análisis de tendencias geoespacial, en donde se puede identificar una

tendencia creciente por la zona donde está ubicado el Eje Cafetero. Por consiguiente, a partir de

la comparación con los resultados obtenidos en el presente proyecto se podría concluir que la

tendencia creciente en las series de precipitación mensual se sigue presentando en la presente

zona de estudio.

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

A partir del desarrollo del presente trabajo se puede concluir que la aproximación

metodológica propuesta funciona de manera correcta al evaluar el supuesto de no estacionaridad

en una serie hidroclimatológica. Aplicando ésta a un caso particular en una zona de alta

importancia en Colombia como el Eje Cafetero, se puede llegar a la conclusión de que a nivel

mensual se presentan tendencias significativas positivas en las estaciones de Risaralda y Caldas

y tendencias significativas negativas las del Quindío. Sin embargo, en las series anuales se puede

concluir que la significancia de las tendencias a nivel general no es muy fuerte. Estos resultados

son de gran importancia al momento de desarrollar pronósticos o hacer algún tipo de planeación,

ya que si se quiere hacer un análisis a nivel mensual se tienen que considerar modelos que

incluyen distribuciones no estacionarias como lo puede ser los modelos lineales generalizados

(Serinaldi & Kilsby, 2015). Por consiguiente, ésta es una propiedad de alta importancia que se

podría tener en cuenta los análisis hidrológicos de hoy en día. Sin embargo, si no se tiene una

clara comprensión sobre las dinámicas físicas del sistema, no habría una justificación fuerte para

cambiar un modelo simple estacionario a un modelo más complejo no estacionario y concluir que

tiene un mejor desempeño (Serinaldi & Kilsby, 2015).

Se puede concluir que los análisis de punto de cambio para la detección de no homogeneidad

son una buena estrategia para el análisis en el tiempo de las series climatológicas, debido a que

dan un punto de partida para la investigación de posibles razones por las cuales se presenta la no

estacionaridad de la serie. Sobre esto también se puede decir que para variables como caudales,

algún tipo de contaminante u otras variables que se relacionen más con la actividad humana este

análisis de punto de cambio es de más utilidad que para el de series de precipitación. Esto se debe

a que este punto puede representar la violación de una norma o el exceso de consumo de algún

recurso.

Siguiendo con esta línea de reflexiones, es de alta importancia realizar este tipo de análisis

para diferentes variables como humedad, radiación solar, días de lluvia, caudales,

evapotranspiración, temperaturas, tasas de deforestación, cambio en el uso de la tierra entre otras

y así poder llegar a tener una conclusión más sólida acerca del cambio climático y la implicación

de no estacionaridad en éste. Así como el análisis simple de esas variables de forma individual,

también sería interesante evaluar el efecto de unas con respecto a las otras, introduciéndolas como

covariables y evaluando las dependencias de unas con respecto a las otras.



46

En cuanto al trabajo futuro un análisis interesante sería la evaluación de incertidumbre que

agregaría la no estacionaridad en los modelos hidrológicos. Como bien se mencionó, las variables

hidrometeológicas por ser mediciones de variables naturales tienen una incertidumbre asociada.

Por esta razón sería interesante evaluar cómo se comporta esta incertidumbre o variabilidad al

momento de hacer modelos estacionarios y no estacionarios.

8. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Bates, B. C., Chandler, R. E., & Bowman, A. W. (2012). Trend estimation and change point detection in individual climatic series using flexible regression methods. 117(July), 1–9. https://doi.org/10.1029/2011JD017077

Bernal, N., Barrios, J., Ramos, M., Velásquez, C., & Ibarra, Y. (2012). Propuesta Metodológica para la Homogenización de Series de Tiempo de Precipitación Mensual y su utilidad en procesos de toma de decisiones , estudio de caso Región Climatológica del Bajo Magdalena. XXII Simposio Internacional de Estadística, 1, 1–41.

Cafetero, E., Manizales, S. M. P., Manizales, S., Ortiz, D., Amig, L., Corporaci, L., … Programa, E. (n.d.). Explorando el territorio Estas tierras mediterráneas del centro occidente de Colombia, que ligan cordilleras con volcanes nevados y valles intertropicales, y que marcan los plegamientos de los Andes más *.

Cantor Gomez, D. (2011). Evaluacion y analisis espaciotemporal de tendencias de largo plazo en la hidroclimatologia Colombiana. 83. Retrieved from http://www.bdigital.unal.edu.co/9375/

Carmona, A. M., & Poveda, G. (2014). Detection of long-term trends in monthly hydro-climatic series of Colombia through Empirical Mode Decomposition. Climatic Change, 123(2), 301–313. https://doi.org/10.1007/s10584-013-1046-3

Cepeda Cuervo, E., Achcar, J. A., & Andrade, M. G. (2018). Seasonal hydrological and meteorological time series. Earth Sciences Research Journal, 22(2), 83–90. https://doi.org/10.15446/esrj.v22n2.65577

Cepeda, E. R. (2016). XXVII CONGRESO LATINOAMERICANO DE HIDRÁULICA SEÑALES DE CAMBIO CLIMÁTICO EN BOGOTÁ - COLOMBIA. (2001).

Clark, M. P., Nijssen, B., Lundquist, J. D., Kavetski, D., Rupp, D. E., Woods, R. A., … Rasmussen, R. M. (2015). Towar understanding nonstationaroty in climate and hydrology through ring proxy records. 2498–2514. https://doi.org/10.1002/2015WR017200.A

Collapse, T., Due, S. H., Change, C., Variability, C., & Design, H. E. (2012). El colapso de la hipótesis de estacionariedad por cambio y variabilidad climática: implicaciones para el diseño hidrológico en ingeniería/The Collapse of the Stationarity Hypothesis due to Climate Change and Climate Variability: Implications for Hydrologi. Revista de Ingeniería, (36), 65–76. https://doi.org/10.16924/riua.v0i36.137

Díaz-Granados. (2018). Aspectos Estadísticos en la Modelación en Hidrología. Aspectos Estadísticos



47

En La Modelación En Hidrología, 152. Bogotá.

Díaz-granados, & Camacho, L. A. (2014). VALORACIÓN DE LA VARIACIÓN HIDROLÓGICA EN LA CUENCA ALTA Y MEDIA DEL RÍO BOGOTÁ - COLOMBIA.

Guenni, L., Degryze, E., & Alvarado, K. (2008). Análisis de la tendencia y la estacionalidad de la precipitación mensual en Venezuela. Revista Colombiana de Estadistica, 31(1), 41–65.

Haimberger, L. (2007). Homogenization of radiosonde temperature time series using innovation statistics. Journal of Climate, 20(7), 1377–1403. https://doi.org/10.1175/JCLI4050.1

Hamed, K. H., & Ramachandra Rao, A. (1998). A modified Mann-Kendall trend test for autocorrelated data. Journal of Hydrology, 204(1–4), 182–196. https://doi.org/10.1016/S0022-1694(97)00125-X

Hanson, R. T., Dettinger, M. D., & Newhouse, M. W. (2006). Relations between climatic variability and hydrologic time series from four alluvial basins across the southwestern United States. Hydrogeology Journal, 14(7), 1122–1146. https://doi.org/10.1007/s10040-006-0067-7

Kallache, M., Rust, H. W., & Kropp, J. (2005). Nonlinear Processes in Geophysics Trend assessment : applications for hydrology and climate research. 201–210.

Kang, H. M., & Yusof, F. (2012). Homogeneity Tests on Daily Rainfall Series in Peninsular Malaysia. 7(1), 9–22.

Karmeshu, N. (2012). Trend Detection in Annual Temperature & Precipitation using the Mann Kendall Test – A Case Study to Assess Climate Change on Select States in the Northeastern United States.

Koutsoyiannis, D. (2006). Nonstationarity versus scaling in hydrology. Journal of Hydrology, 324(1–4), 239–254. https://doi.org/10.1016/j.jhydrol.2005.09.022

Libiseller, C., & Grimvall, A. (2002). Performance of partial Mann-Kendall tests for trend detection in the presence of covariates. Environmetrics, 13(1), 71–84. https://doi.org/10.1002/env.507

Liu, L., Chen, X., Xu, G., & Shu, L. (2011). Use of hydrologic time-series data for identification of hydrodynamic function and behavior in a karstic water system in China. Hydrogeology Journal, 19(8), 1577–1585. https://doi.org/10.1007/s10040-011-0774-6

Lluvia, R. A. D. E., El, P., & Café, C. D. E. (2010). Rangos adecuados de lluvia para el cultivo de café en colombia.

Maintainer, T. P., & Pohlert, T. (2018). Non-Parametric Trend Tests and Change-Point Detection. 1–18.

Republica, B. de la R. (2019). BOLETÍN ECONÓMICO REGIONAL.

Ruiz, N. E., & Vargas, W. M. (1998). Statistical relationship between aerological data and daily precipitation at Buenos Aires. Meteorological Applications, 5(3), 271–275. https://doi.org/10.1017/S1350482798000929

Sergio Cabrales. (2018). Clase Simulación De Eventos Discretos.

Serinaldi, F., & Kilsby, C. G. (2015). Stationarity is undead: Uncertainty dominates the distribution of extremes. Advances in Water Resources, 77, 17–36.



48

https://doi.org/10.1016/j.advwatres.2014.12.013

Valencia, C. (2019). Modelos Estadisticos Lineales. Análisis de Supuestos Para Una Regresión. Bogotá.

Valle, U., & Valle, U. (2010). Análisis De Tendencia Y Homogeneidad De Series Climatológicas. Ingeniería de Recursos Naturales y Del Ambiente, (9), 15–25.

9. ANEXOS

Anexo 1



49

Anexo 2

Serie Mensual Residuos IMF mens. Serie Anual Med. Mensual Max. Mensual Min. Mensual

Mann-Kendall - NS NS NS NS

Mann-Kendall Modificado NS NS

Cox and Stuart S S NS NS NS NS

Prueba pend. de Sen S S NS NS NS NS

Pendiente de Sen Modif 0,686 0.285 4,58 0,382 0.3 0.225

Regresión Lineal NS(7,9) NS(0,66) NS(0,24) NS(0,23)

Autocorrelación Autocorrelación S S S S S NS

Pettit S(322) S(336) S(27) S(27) NS NS

Buishand S(322) S(333) S(27) S(27) S(32) NS

SNHT S(322) S(74) S(27) S(27) NS NS


Homogenidad

1973- 2017Santagueda

Tendencia



50


Mann-Kendall - NS NS NS NS

Mann-Kendall Modificado NS S

Cox and Stuart NS S S S NS NS


Pendiente de Sen Modif 0,609 0.974 0,641 7,69 0,912 0,506

Regresión Lineal NS(0,66) NS(7,99) NS(0,56) NS(0,90)

Autocorrelación Autocorrelación S NS NS NS NS

Pettit S(278) S(334) NS NS NS NS

Buishand NS S(356) NS NS NS NS

SNHT S(549) S(382) NS NS NS NS

Cenicafe 1972- 2017


Homogenidad

Tendencia


Mann-Kendall NS NS NS NS

Mann-Kendall Modificado NS S(-)

Cox and Stuart NS S NS NS NS NS

Prueba pend. de Sen NS S(-) NS NS NS NS

Pendiente de Sen Modif 0,266 -0,468 0,259 3,108 -0,789 0,154

Resgresión lineal NS(0,21) NS(2,59) NS(-0,59) NS(0,21)


Pettit S(332) S(282) NS NS NS NS


SNHT S(10) S(311) NS NS NS NS

Luker 1971- 2017

Tendencia


Homogenidad


Mann-Kendall S S NS NS


Cox and Stuart S S S S NS NS



Resgresión Lineal S(1,1) s(13,24) NS(1,17) NS(0,55)


Pettit S(315) S(312) S(26) S(26) NS NS


SNHT S(315) S(348) S(33) S(33) NS NS


Naranjal 1972- 2017

Homogenidad

Tendencia



Mann-Kendall Modificado NS S NS NS NS NS

Cox and Stuart NS S

Prueba pend. de Sen NS S NS NS NS NS

Pendiente de Sen Modif -0,033 0,235 0,173 2,08 0,481 0,1

Refresión Lineal NS(1,9) NS(0,16) NS(0,711) NS(0,04)

Autocorrelación Autocorrelación S NS NS S(-) NS

Pettit NS S(225) NS NS NS NS


SNHT NS S(171) NS NS NS NS

Paranguacito 1972- 2017


Tendencia

Homogenidad




Cox and Stuart NS S NS NS S NS


Pendiente de Sen Modif 0,067 -0,609 0,052 0,62 1,5 -0,16

Regresión Lineal NS(3) NS(0,25) NS(1,6) NS(-0,20)



Buishand S(405) S(263) NS NS NS NS


Homogenidad

Tendencia

La Bella 1972- 2017




51



Mann-Kendall Modificado S NS

Cox and Stuart S S NS NS NS NS



Regresión Lineal S(9,7) S(0,8) NS(1,5) NS(0,38)


Pettit S(315) S(357) S(26) S(26) NS NS


SNHT S(374) S(377) S(31) S(31) S(35) NS

Jazmin 1972- 2017


Homogenidad

Tendencia



Mann-Kendall Modificado NS S

Cox and Stuart NS S NS NS NS NS


Pendiente de Sen Modif 0,35 0,48 0,68 8,25 -0,59 0,2

Regresión Lineal NS(0,29) NS(4,7) NS(-0,17) NS(0,14)





Maracay 1982- 2017


Tendencia

Homogenidad


Mann-Kendall S S S NS


Cox and Stuart S S S S S NS



Regresión Lineal S(1,33) S(16) S(2,7) NS(0,77)


Pettit S(254) S(193) S(21) S(21) NS S(21)

Buishand S(254) S(180) S(21) S(21) S(21) NS

SNHT S(254) S(157) S(21) S(21) S(21) NS

La Catalina 1977- 2017


Tendencia

Homogenidad




Cox and Stuart NS S(-) NS NS NS NS

Prueba pend. de Sen NS S(-) NS NS NS NS

Pendiente de Sen Modif -0,24 -0,66 -0,55 -6,7 -0,022 0,055

Regresión Lineal NS(-0,2) NS(-2,8) NS(-0,06) NS(-0,16)





El Cedral 1973- 2017


Tendencia

Homogenidad



52



53

Citas

(Haimberger, 2007)

(Bernal et al., 2012)

(Maintainer & Pohlert, 2018)

(Hanson, Dettinger, & Newhouse, 2006)

(Koutsoyiannis, 2006)

(Libiseller & Grimvall, 2002)

(Valle & Valle, 2010)

(Guenni, Degryze, & Alvarado, 2008)

(Cantor Gomez, 2011)

(Bates et al., 2012)

(Collapse, Due, Change, Variability, & Design, 2012)

(Carmona & Poveda, 2014)

(Díaz-granados & Camacho, 2014)

(Cepeda, 2016)

(Lluvia, El, & Café, 2010)

(Serinaldi & Kilsby, 2015)

(Ruiz & Vargas, 1998)

(Cepeda Cuervo et al., 2018)

(Republica, 2019)

(Cafetero et al., n.d.)

(Liu, Chen, Xu, & Shu, 2011)

(Hamed & Ramachandra Rao, 1998)

evaluación de no estacionaridad de series de tiempo

Documents