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Econ. Julio Nakandakare Ashitomi
ESTADÍSTICA
HUANCAYO - PERÚ
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVASY CONTABLES
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
Educación a Distancia.
Huancayo.
Impresión Digital
SOLUCIONES GRAFICAS SAC
Jr. Puno 564 - Hyo.
Telf. 214433
8
Unidad Tematica 1Autoaprendizaje 8 horas
Unidad TematicaAutoaprendizaje 8 horas
ESTADISTICA, GENERALIDADES, ORGANIZACIÓNDE DATOS Y GRAFICOS 11
2
ESTADISTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE TENDENCIACENTRAL, DE DISPERSIÓN, DE ASIMETRÍA Y DEAPUNTAMIENTO 41
1. Definición de Estadística 112. Clases de Estadística 123. Conceptos Básicos 124. Variable y tipos 155. Regla de redondeo 186. Notación científica 197. Cifras Significativas 198. Sumatoria 209. Tabla de Frecuencia 2110.Clases de Frecuencia 2211.Tabla de Frecuencia para Variables Cualitativas 2312.Tabla de Frecuencia para Variables Cuantitativas 2413.Construcción de Intervalos o Reducción de Datos 2614.Gráficos 3215.Clases de Gráficos 3216.Análisis Exploratorio de datos 34
1. Medidas de tendencia central o de posición 412. La media o promedio aritmético 413. Mediana 434. Moda 475. Relación entre promedio aritmético, mediana, moda 516. Media Geométrica 547. MediaArmónica 568. Relaciones entre los Promedios 579. Cuartiles 5710.Deciles 5911.Percentiles 5912.Aplicación de Cuartiles, Deciles y Percentiles 5913.Medidas de Dispersión o Variabilidad. 6314.Rango. 6315.Desviación Media. 6416.Varianza. 6517.Desviación Estándar. 6718.Características de la varianza y Desviación Estándar. 6719.Coeficiente de variación. 6820.Variable estandarizada. 6821.Medida deAsimetría. 7022.Medida deApuntamiento. 72
INDICE GENERAL
Unidad Tematica 3Autoaprendizaje 8 horas
Unidad TematicaAutoaprendizaje 8 horas
PROBABILIDAD 77
4
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 111
1. Introducción a la teoría de la probabilidad 772. Concepto de Probabilidad 773. Experimento 784. Espacio Maestral 785. Evento o suceso 786. Análisis Combinatorio 847. Factorial de un Número 868. Permutación 869. Variación 8810.Combinación 8911.Diagramas de Árbol 9012.Definición clásica de Probabilidad. 9213.Probabilidad de Frecuencia relativa. 9514.Probabilidad Subjetiva. 9815.Probabilidad Frente a “Apuestas”. 9816.Probabilidades de Espacios Muestrales Finitos. 9917.Probabilidad Condicional. 10118.Sucesos Independientes. 10419.Teorema de BAYES 105
1. Variables Aleatorias 1112. Clases de Variables Aleatorias 1113. Distribución de Probabilidad 1124. Distribución Binomial 1135. Distribución de Poisson 1166. Distribución Geométrica 1187. Distribución Hipergeométrica 1218. Distribución Multinomial 1229. Distribución Normal “Z” 12410.Distribución de Student “t” 129
Unidad TematicaAutoaprendizaje 8 horas
Unidad TematicaAutoaprendizaje 6 horas
5
ESTADISTICA INFERENCIAL: MUESTREO, DISTRIBUCIÓN DEMUESTREO, ESTIMACIÓN, PRUEBA DE HIPOTESIS, PRUEBADEL CHI CUADRADO Y ANALISIS DE VARIANZA 133
6
CORRELACIÓN, REGRESIÓN, NÚMEROS INDICES YSOFTWARE ESTADÍSTICO 169
1. Muestreo 1332. Selección de un método de muestreo 1333. Ventajas y limitaciones del muestreo sobre el censo 1344. Etapas de la encuesta por muestreo 1345. Diferencias entre población y muestra 1346. Tipos de muestreo 1357. Tamaño de una muestra 1358. Terminología convencional con que se designa las
estadisticas muestrales 1369. Inferencia Estadística - Estimación 13810.Concepto de Error Estándar 13811.Teorema de Límite Central 14012.Estimación usando la Distribución Normal 14213.Intervalo de confianza para la media usando la
Distribución “t” 14414.Prueba de Hipótesis 14515.Prueba de Hipótesis para las deferencias entre
dos medias o dos proporciones 15016.La prueba Chi Cuadrado “ x ” 15217.Análisis de Varianza 15718.Análisis de Varianza para una clase o factor 15819.Análisis de Varianza para dos clases o factores 161
1. Correlación 1692. Coeficiente de correlación 1703. Regresión 1724. Serie de Tendencia Rectilínea 1725. Serie de Tendencia Parabólica 1746. Aplicación de la Ecuación Exponencial 1767. Números Índices 1788. Precio índice mediante la suma 1789. Promedio simple de precios relativos 17910.Índice ponderado de Laspeyres 18011. Índice ponderado de Paasche 18112.Índice ideal de Fishers 18213.Software Estadísticos 183
2
Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:
Define la estadística y conoce sus clases.
Conceptúa lo que es población, muestra, parámetro, estadígrafo
y dato.
Define lo que es una variable, conoce y determina sus tipos.
Aplica la regla de redondeo y las cifras significativas; así como, la
notación científica.
Resuelve problemas de sumatoria.
Organiza datos originales en una distribución de frecuencia.
Representa la distribución de frecuencia en graficas.
Interpreta las frecuencias relativas y absolutas.
Desarrolla una representación de “tallo y hoja”.
-
-
-
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Indicadores de Logro
1.DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA
Definiciones etimológicas:
La Estadística es la ciencia de la:
Sistematización, recogida, ordenación y presentación de datos referentes a un
fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico,
con el objeto de (Descriptiva)
Deducir las leyes que rigen esos fenómenos (Probabilidad)
Y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u
obtener conclusiones (Inferencia)
El origen etimológico de la palabra “estadística”, no está bien determinado.
?
?
?
ESTADISTICA, GENERALIDADES, ORGANIZACIÓNDE DATOS Y GRAFICOS
Universidad Peruana Los Andes
Excelencia Académica Estadística
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Excelencia Académica Estadística
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Para algunos viene de la voz griega STATERAque significa “Balanza, equilibrio”, otros
dicen que deriva del latín STATUS que significa “situación” mientras que algunos
autores afirman que procede del alemán STAAT cuyo significado es “Estado” por su
función de registrar: población, nacimiento, defunción, etc. Y finalmente, otros autores
dicen que proviene de una voz italiana STATISTAque significa “estadista” y que acuño
GottfriedAchenwall (1719 1772), un profesor en Marlborough y Gottingen.
2.1.ESTADÍSTICADESCRIPTIVAY DEDUCTIVA
Es la Estadística que únicamente se ocupa de describir y analizar un conjunto
determinado sin extraer ningún tipo de conclusión o inferencia sobre un
conjunto mayor.
El análisis se limita a si mismo a los datos coleccionados. Las gráficas, las
tablas y diagramas que muestran los datos y facilitan su interpretación son
ejemplos de este tipo de Estadística.
2.2.ESTADÍSTICAINFERENCIALO INDUCTIVA
Es la Estadística que estudia las condiciones bajo las cuales tales inferencias
son válidas, para cuyo estudio se requiere un alto nivel de conocimiento de
estadística descriptiva, probabilidades y matemáticas.
Comprende la teoría de estimación, prueba de hipótesis y análisis de varianza.
Aquí, la influencia estadística incluye generalizaciones y afirmaciones sobre
probabilidades de su validez.
Es el conjunto mayor o colección completa de todos los elementos que posee al
menos una característica común observable, cuyo estudio nos interesa o
acerca de los cuales se desea información.
La población puede ser según su tamaño de dos tipos:
cuando se tiene un número determinado de elementos.
. El conjunto de todos los alumnos de la UPLA
Cuando el número de elementos es indeterminado o tan
grande que pudiesen considerarse infinitos.
2.CLASES DE ESTADÍSTICA
3.CONCEPTOS BÁSICOS
3.1.POBLACIÓN
Población Finita:
Ejemplo
Población Infinita:
?
?
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Estadística
12
?Ejemplo.
Ejemplo
:
Ejemplo:
Ejemplo:
El conjunto de Insectos
El conjunto de estudiantes
es el número total de elementos que tiene la
población estudiada y se denota con la letra “N” (ene mayúscula).
3.2.MUESTRA
Es un subconjunto de la población a la cual se le efectúa la medición con el fin
de estudiar las propiedades con el fin de estudiar las propiedades de la
población de la cual es obtenida.
. Un grupo de alumnos del total de estudiantes de la UPLA.
Es el número de elementos de la muestra y se
denota con la letra “n” (ene minúscula).
3.3.PARÁMETRO
Es un número que describe alguna característica de la población o medida de
resumen de una población. Se considera como un valor verdadero de la
característica estudiada y para determinar su valor es necesario utilizar la
información poblacional completa y por lo tanto la decisión se toma con
certidumbre total.
Los parámetros se representan con letras griegas.
La media aritmética con “µ”
La desviación estándar co
3.4.ESTADÍGRAFO O ESTADISTICO
Es el número que describe alguna característica de la muestra o medida de
resumen de una muestra y la toma de decisión contiene un grado de
incertidumbre.
La estadística se representa con letras latinas.
* La media aritmética con “”
* La desviación estándar con "S"
Tamaño de la población:
Tamaño de la muestra
n “σ”
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3.5.DATO
Es el valor, respuesta o registro que adquiere una característica o
variable asociada a un elemento de la población o muestra, como resultado
de la observación, entrevista o recopilación en general. Puede ser un
símbolo, una palabra o un número.
Los datos pueden ser:
a. Consiste en números que representan conteos
o mediciones.
* El número de soldados del Perú
* La talla de los estudiantes de la UPLA
b Se pueden dividir en diferentes categorías que
se distinguen por alguna característica no numérica.
* Los grados del ejército
* Los colores del arco iris
a.Datos Primarios: Son aquellos que se obtienen directamente de la
misma realidad, sin sufrir ningún proceso de elaboración previa.
Lo que se recoge directamente de un muestreo o de un censo.
b.Datos Secundarios: Son registros escritos que proceden también de
un contacto con la práctica, pero que ya han sido recogidos y muchas
veces procesados por los investigadores.
* Lo que se obtiene de textos, revistas, etc.
A.Según su naturaleza
Datos cuantitativos:
Ejemplo.
.Datos Cualitativos:
Ejemplo.
B.Según su procedencia.
Ejemplo:
Ejemplo:
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4.VARIABLE
Tipos de Variable
4.1.Según la Naturaleza de la Variable
a)Variables Cualitativas
Ejemplo:
b)Variables Cuantitativas
Ejemplo:
Las variables cuantitativas pueden ser Discretas y Continuas
b.1.Variable Discreta
Ejemplo:
b.2.Variable Continua
Ejemplo:
Es una característica estudiada de las unidades estadísticas (elementos de la
población)
Cuando expresan una cualidad, característica o atributo, sus datos se
expresan mediante palabras, no es numérica.
Estado civil, lugar de nacimiento, profesiones, causas de accidentes,
colores, etc.
Cuando el valor de la variable se expresa por una cantidad, es de carácter
numérico. El dato o valor puede resultar de la operación de contar o medir.
Número de hijos, ingresos, talla, peso, producción, edad, utilidades,
etc.
Cuando el valor de una variable resulta de la operación de contar, su valor
está representado solo por números naturales (entero positivo).
Número de hijos, habitaciones por vivienda, población por país.
Etc.
Cuando la variable es susceptible de medirse, es toda variable cuyo valor se
obtiene por medición o comprobación con una unidad o patrón de medida.
Se expresa por cualquier número real.
Área de terreno, ingresos monetarios, peso, estatura, tiempo, etc.
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4.2.Según la relación entre variables
a)Variables Dependientes
Ejemplo:
b)Variables Independientes
Ejemplo
c)Variables intervinientes o interferentes
Ejemplo:
4.3.Según la escala de medición
a)Variables Nominales
Ejemplo:
b)Variables Ordinales
Ejemplo:
Son aquellas que se explican por otras variables, son los efectos o resultados
respecto a los cuales hay que buscar su motivo, causa o razón de ser.
El consumo. Esta variable depende de los ingresos personales.
La producción. Esta variable depende del tiempo (año, meses, etc.)
Son las variables explicativas o predictivas, cuya asociación, relación o
influencia en la variable dependiente se pretende descubrir en la investigación.
También, son causas o antecedentes.
:Los ingresos personales, relacionado con el consumo.
El tiempo, relacionado con la producción.
Son aquellas que coparticipan con la variable independiente condicionando el
comportamiento de la variable dependiente.
El caso del Presupuesto familiar que es una variable dependiente,
con relación a los ingresos que es una variable independiente y con otras
variables que serían la conducta de consumo, edad de la familia, etc. Éstos
últimos son variables intervinientes.
Son aquellas variables que establecen la distinción de los elementos en
diversas categorías, sin explicar algún orden entre ellas.
Sexo, estado civil, profesiones, lugar de nacimiento, deportes de
práctica.
Son aquellas variables que implican orden entre sus categorías, están
referidas a un orden de jerarquía, donde la categoría expresa una posición de
orden.
Grado de instrucción, clases sociales, rango de agresividad, orden
de mérito, etc.
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c)Variable de Intervalo
Ejemplo:
d)Variables de Razón
Ejemplo:
4.4.SegúnAmplitud de las Unidades de Observación
a)Variables Individuales
a.1.Variables Públicas
Ejemplo
a.2.Variables Privadas
Ejemplo
b)Variables Colectivas
Son aquellos que suponen a la vez orden y grados de distancia iguales entre
diversas categorías, pero no tienen origen natural, sino convencional, tiene un cero
relativo.
Coeficiente de inteligencia, temperatura, puntuación obtenida en una
escala, etc.
Estas variables comprenden a la vez todos los casos anteriores, distinción, orden,
distancia y origen único natural; el valor se expresa con un número real, tiene un
cero absoluto.
Accidentes de tránsito, edad, peso, ingresos, número de hijos, etc.
Son referidas a características de individuos o personas, una empresa, centro
educativo, etc. Son variables para estudio de casos, donde se pueden
subdividir en variables públicas y privadas.
Son aquellas en que los valores individuales son conocidos por otras
personas y se saben que son conocidos.
:Edad, sexo, ocupación, estado civil, etc.
Son aquellos valores individuales que pueden ser conocidos por otros, una
vez averiguados.
:Coeficiente de inteligencia, opiniones frente a la política, conducta
de consumo, etc.
Son aquellas que se refieren a características de las unidades cuando estas
son colectivas, conjuntos o grupos (ciudades, empresas, escuelas, etc.)
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Ejemplo:
5.REGLADE REDONDEO
Ejemplo:
Ejemplo:
Tasa de mortalidad, urbanización, tasa de crecimiento demográfico,
escolaridad, etc.
Las variables dependientes en un momento o caso pueden ser variables
independientes y viceversa.
* Determinar la clase de variable que nos dan los datos de las siguientes fenómenos o
hechos:
a) Temperatura.
b) Razas.
c) Nacionalidad.
d) Precio del dólar en un mes.
e) Número de habitaciones por familia.
5.1.Cuando el número que se quiere redondear le sigue una cifra mayor que 5, este
tomará el valor inmediato superior.
5.2.Cuando al número que se quiere redondear le sigue una cifra menor que 5, se
quedará en el mismo valor.
57,8 è 58 (redondear al entero)
1,036 è 1,04 (redondear a 2 decimales)
36,8079 è 36,808 (redondear a 3 decimales)
74,3 è 74 (redondear al entero)
1,254 è 1,25 (redondear a 2 decimales)
53,6182 è 53,618 (redondear a 3 decimales)
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5.3.Cuando al número que se quiere redondear le sigue una cifra igual que 5, se
tomará dos criterios:
En la práctica por lo general, cuando a la cifra que se desea redondear le
sigue 5, pasa al inmediato superior
La notación científica se utiliza cuando una información es seguida o antecedida de
ceros.
: La notación científica solo tiene un entero
Son los dígitos que no precisan una medición, se consideran como cifras significativas
los ceros a la derecha; no así los ceros a la izquierda.
a)Si la cifra es par, queda sin alterar.
Ejemplo:
b)Si la cifra es impar, pasa al inmediato superior.
Ejemplo:
Nota:
6.NOTACIÓN SISTÉMICAO CIENTÍFICA
Ejemplos:
Nota
7.CIFRAS SIGNIFICATIVAS
)(108080000000
1067,5000000567,0
108,300038,0
103,9930000000
10880000000
6
7
4
8
7
científicanotaciónesno´=
´=
´=
´=
´=
-
-
24,5 è 24 (redondear al entero)
2,385 è 2,38 (redondear a 2 decimales)
137,6125è 137,612 (redondear a 3 decimales)
85,5 è 86 (redondear al entero)
1,315 è 1,32 (redondear a 2 decimales)
57,5435 è 57,544 (redondear a 3 decimales)
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Ejemplo:
8.SUMATORIA
∑
Ejemplo
Es un operador que representa una suma de términos cuyos elementos se
encuentran formados de acuerdo a una ley dada.
NOTACIÓN: El operador sumatoria vienen representado por la letra griega sigma ( )
:
A)Desarrollar:
La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria de “a” por “x” elevado a
la “a”, variando “a” desde 4 hasta 7”.
1. Redondear al entero
a) 4,97 b) 38,49 c) 127,511d) 36,59 e) 288,71
2. Redondear a un decimal
a) 36,55 b) 123,45 c) 0,06
3. Redondear a 3 decimales
a) 0,0034 b) 137,0056 c) 0,01351
4. Realizar la notación científica de:
a) 7 000 000 b) 9 430 000c) 0,002 937 d) 0,000 005
5. Cuántas cifras significativas tienen los siguientes números:
a) 23,000 2 b) 0,23c) 90,000 00 d) 0,000 895 4
å=
+++=7
4
7654 7654a
a xxxxax
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Estadística
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b) Desarrollar:
La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria de -1 elevado a la k por x
elevado a la (k+1), variando k desde 0 hasta 4”.
c) Desarrollar:
La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria del coeficiente binómico “n”
sobre “k” por “a” elevado a la “n-k”, variando k desde 0 hasta 3”.
1. Desarrollar
2. Desarrollar
3. Desarrollar
Representación organizada de los datos que muestra el numero de
observaciones del conjunto de datos que caen dentro de cada conjunto de clases
mutuamente excluyentes
La tabla de frecuencia consta de:
ACTIVIDAD 1.3
9 TABLADE FRECUENCIA
( )å=
+-4
0
11k
kkx
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )5432
5443322
1441331221111004
0
1
1111
111111
xxxxx
xxxxx
xxxxxxk
kk
++++=
-+-+-+-+=
-+-+-+-+-=- +++++
=
+å
å=
-÷÷ø
öççè
æ3
0k
knak
n
32103
0 3210
----
=
-÷÷ø
öççè
æ+÷÷
ø
öççè
æ+÷÷
ø
öççè
æ+÷÷
ø
öççè
æ=÷÷
ø
öççè
æå nnnn
k
kn an
an
an
an
ak
n
å=
-÷÷ø
öççè
æ4
0M
xMcx
M
( )å=
---6
1
112
P
PPy
å=
9
3b
bby
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a)Clase y Marca de Clase
O
b)Frecuencia
10.CLASES DE FRECUENCIAS
a)FrecuenciaAbsoluta Simple ( )
b)FrecuenciaAbsolutaAcumulada ( )
FrecuenciaAbsolutaAcumuladaAscendente ( )
Clase
Marca de Clase
Esta constituido por números o descritos por algún atributo cualitativo o
cuantitativo de muestras de objetos. La información conforme a
características cualitativas son: raza, religión y sexo. Así mismo, puede
estar formado por intervalo de clase.
( )
Es la semisuma del limite inferior ( ) y limite superior ( ) de cada intervalo
de clase.
Los atributos cualitativos y cuantitativos deben ser exhaustivos y mutuamente
excluyentes.
Es el número de observaciones provenientes del conjunto de datos que caen
dentro de cada una de las clases. Si podemos determinar la frecuencia con
que ocurren los valores en cada clases de un conjunto de datos, estaremos
en condiciones de construir una distribución de frecuencia.
Es el número de observaciones que presentan una modalidad perteneciente a la
clase.
Representación tabular de los datos que muestra cuantas observaciones se
hallan encima o debajo de ciertos valores. Estas son ascendentes y
descendentes.
Sirven para decir si son iguales o menores.
?
Xi
Ls
2
LsLiXi
+=
Li
Fi
fi
)1(F
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22
?
?
?
FrecuenciaAbsolutaAcumuladaAscendente ( )
c) Frecuencia Relativa Simple ( )
d) Frecuencia RelativaAcumulada ( )
Frecuencia RelativaAcumuladaAscendente ( )
Frecuencia RelativaAcumulada Descendente ( )
e) Frecuencia Porcentual ( )
11.TABLADE FRECUENCIAPARAVARIABLES CUALITATIVAS
Ejemplo:
Sirven para decir si son iguales o mayores
Son datos que muestran la fracción del conjunto total de datos que caen dentro de
cada conjunto de clases mutuamente excluyente.
Es el tanto por uno de los elementos de la población que están en alguna clase y
que presentan una modalidad inferior o superior a la clase. Estas son
ascendentes y descendentes.
Nos indica la fracción de los datos que son iguales o menores.
Indica la fracción de los datos que son iguales o mayores.
Es el producto de las frecuencias relativas por 100.
Consideremos la muestra formada por 50 personas y en esta, la variable sexo. Si se
observa que hay 30 varones y 20 mujeres, podemos trasladar esta información a la
siguiente tabla de frecuencias.
)2(F
hi
Hi
)1(H
)2(H
Pi
Clase fi hi Pi (%)
mC
C
C
C
M
3
2
1
mf
f
f
f
M
3
2
1
mh
h
h
h
M
3
2
1
mP
P
P
P
M
3
2
1
Total n 1.00 100
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12.TABLADE FRECUENCIAPARAVARIABLES CUANTITATIVAS
Ejemplo: Caso cuantitativo discreto
Para estudiar la producción de artículos de una fábrica se tomaron 100 lotes de 250
artículos cada uno. El número de artículos defectuosos en cada lote fue como sigue:
Clase fi hi Pi (%)
Varón
Mujer
30
20
0.6
0.4
60
40
Total 50 1.0 100
Clase fi hi )1(F )2(F )1(H )2(H
1C 1f 1h 1
1
)1( fF = nF =1
)2( 1
1
)1( hH = 0.11
)2( =H
2C 2f 2h 21
2
)1( ffF += 1
2
)2( fnF -= 21
2
)1( hhH -= 1
2
)2( 0.1 hH -=
3C 3f 3h3
1
)1(
3
)1( fFF += 2
2
)2(
3
)2( fFF += 3
2
)1(
3
)1( hHH += 2
2
)2(
3
)2( hHH -=
M M M M M M M
mC mf mh nFm =)1( m
mfF =)2( 0.1)1( =m
H m
mhH =)2(
Total n 1.0
1 4 3 5 5 2 5 4 2 3 5 3 5
1 3 5 3 3 7 5 2 4 5 8 3 4
2 3 8 5 7 7 4 3 3 4 5 5 5
4 2 3 3 2 4 1 5 4 4 2 2 5
5 2 4 3 4 4 6 5 5 2 6 4
6 2 4 6 5 2 4 7 6 2 3 6
4 4 1 3 3 2 1 5 8 6 4 4
5 6 4 5 3 3 4 4 7 6 6 4
Excelencia Académica
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Estadística
24
Xi fi hi Pi (%)
1 5 0,05 5
2 14 0,14 14
3 18 0,18 18
4 25 0,25 25
5 20 0,20 20
6 10 0,10 10
7 5 0,05 5
8 3 0,03 3
Total 100 1.00 100
Ejemplo: Caso cuantitativo continuo
Se desea estudiar la cantidad de kilómetro que recorre un automóvil modelo A por
cada galón de gasolina que consume; para tal fin se anotaron las distancias
recorridas por 36 automóviles de tal modelo usando un galón de gasolina. Los
resultados, en kilómetros fueron así:
34,51 31,54 35,40 38,24 34,60 38,20 35,61 36,70
35,47 31,60 36,57 34,50 37,85 33,15 30,16
36,96 35,93 33,80 36,80 33,29 36,88 34,00
40,00 31,57 37,10 32,91 36,23 34,90 33,00
33,20 36,20 30,00 34,55 33,98 38,10 36,00
Distancia
RecorridaXi fi hi Pi (%)
[ 30,00 - 31,25 ] 30,6250 2 0,0556 5,6
[ 31,25 - 32,50 ] 31,8750 3 0,0833 8,3
[ 32,50 - 33,75 ] 33,1250 5 0,1389 13,9
[ 33,75 - 35,00 ] 34,3750 8 0,2222 22,2
[ 35,00 - 36,25 ] 35,6250 7 0,1944 19,4
[ 36,25 - 37,50 ] 36,8750 6 0,1667 16,7
[ 37,50 - 38,75 ] 38,1250 4 0,1111 11,1
[ 38,75 - 40,00 ] 39,3750 1 0,0278 2,8
TOTAL 36 1,0000 100
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Por convención, cada intervalo es tomado cerrado por la izquierda y abierto por la
derecha, a excepción del último, que es cerrado en ambos extremos.
Cerrado significa que incluye el límite inferior y abierto no incluye el limite superior de la
distancia recorrida de cada clase.
13.CONSTRUCCION DE INTERVALOS O REDUCCION DE DATOS
Regla:
fi = Cantidad de Autos
2
LsLiXi
+= Marca de Clase
1. Ordenamiento de datos (según magnitud) en forma creciente o decreciente.
2. Determinar
Valor máximo ( maxX )
Valor mínimo ( minX )
3. Calcular el Rango( R )
1minmax ++= XXR para variable discreta
minmax XXR += para variable continua
4. Determinar el numero de clases o intervalos (m)
Método de STURGES ( 50£n )
)log(322,31 nm +=
Método de PORTUGAL
)10050( ££ n
)log(991,38914,1 nm +=
)100( >n
)log(815,5766,2 nm +=
Método de la RAIZ
45,2 nm =
nm =
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26
m debe ser entero ( +Z ), si sale decimal se redondea.
1. Calcular la amplitud Interválica ( a )
m
Ra =
2. Corrección ( D )
RamD -= )*(
Si el resultado de D es:
Se Continua
Se rehace (En la amplitud interválica se redondea por
exceso)
3. Intervalo de Clase
aXIi += min
Ejemplo:
Se tiene las tallas de 41 alumnos de la facultad de Derecho de la UPLA
siguientes; dados en metros:
ïî
ïí
ì
<þýü
>
=
0
0
0
1,73 1,80 1,70 1,74 1,87 1,59
1,70 1,87 1,72 1,70 1,75
1,71 1,87 1,70 1,78 1,75
1,70 1,87 1,71 1,71 1,75
1,60 1,55 1,65 1,60 1,86
1,65 1,55 1,60 1,85 1,73
1,61 1,51 1,67 1,82 1,57
1,64 1,55 1,68 1,80 1,75
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A continuación vamos a aplicar la regla para construir los intervalos y elaborar
la tabla de frecuencia.
Regla:
1º. Ordenamiento de Datos
Se obvia por ser una muestra pequeña
2º. Determinar
mt1.87max =X
mt1.55min =X
3º Calcular el Rango ( R )
minmax XXR -= (variable continua).
32,055,187,1 =-=R
4º Determinar el numero de clases; ( m ) por ser n <50 aplicamos el
método de STURGES
)(6
4,6
)613,1(322,31
41log322,31
log322,31
enteroserqueTienem
m
m
m
nm
=
=
+=
+=
+=
También, se puede aplicar el método de la RAIZ, por ser muestra pequeña
)(6
4,641
enterom
m
nm
=
==
=
)(6
3,6415,2
5,2
4
4
enterom
m
nm
=
==
=
5º Calcular la Amplitud Interválica ( a )
053,0
)(053,00533,06
32,0
=
===
=
a
redondeoreglaa
m
Ra
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28
6º Corrección ( D )
)(002,0
32,0318,0
032,0)053,06(
)(
negativoserporrehaceSeD
D
D
RamD
-=
-=
-´=
-´=
Entonces se corrige 054,0=a
)(004,0
32,0324,0
32,0)054,06(
continuasepositivoesD
D
D
=
-=
-´=
El valor 0,004 se distribuye en la variable máximo y mínimo (se suma
y se resta para ampliar el rango)
-0,002
1,548 1,55
+0,002
1,87 1,872
1,548 1,872R=0,324
Teniendo los datos siguientes se elabora la tabla de frecuencia:
6
054,0
872,1max
548,1min
=
=
=
=
m
mta
mtX
mtX
7º Intervalo de Clase
602,1
054,0548,1
min
1
1
=
+=
+=
I
I
aXI i
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Talla(Intervalo) Tabulación fi hi )1(F )2(F )1(H )2(H Xi
[ 1.548 - 1.602 ] ||||| |||| 9 0.22 9 41 0.22 1.00 1.575
[ 1.602 - 1.656 ] |||| 4 0.10 13 32 0.32 0.78 1.629
[ 1.656 - 1.710 ] ||||| || 7 0.17 20 28 0.49 0.68 1.683
[ 1.710 - 1.764 ] ||||| ||||| | 11 0.27 31 21 0.76 0.51 1.737
[ 1.764 - 1.818 ] ||| 3 0.07 34 10 0.83 0.24 1.791
[ 1.818 - 1.872 ] ||||| || 7 0.17 41 7 1.00 0.17 1.845
TOTAL 41 1.00
Tabulación: es ubicar los datos de la muestra en la clase interválicacorrespondiente
1.Los hábitos de trabajo de la mano de obra( llevan trabajo a casa) en Huancayo se
muestran a continuación:
c b a b a c b c a a
a b a a a d d a b b
b a c b d b b c b b
a b b c c a c a c a
c a d b a d a d d a
Donde a= Nunca, b= Menos de una vez al mes, c= Una vez al mes, d=
todos los días. Construya un cuadro que presente la información
recolectada.
LLEVAN EL TRABAJO A CASA Nº de trabajadores
( fi )
hi pi
Nunca
Menos de una vez al mes
Una vez al mes
Todos
TOTAL
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30
2. En una muestra de 40 pequeñas empresas se recoge información a cerca del
número de trabajadores en cada una de ellas. Los datos fueron los siguientes:
16 15 14 14 14 13 13 14 14 15 12 15 16 12 12 13 14
17 15 13 14 13 13 14 14 15 17 16 18 13 13 14 14 15
16 15 14 16 15 14
Complete la siguiente tabla de frecuencias.
Número de
Trabajadores
Empresas( fi ) hi pi
12
13
14
15
16
17
18
Totales
3. En el departamento de producción de una fábrica los sueldos mensuales de los
empleados son los siguientes
440 560 335 587 613 400 424 466 565 393
453 650 407 376 470 560 321 500 528 526
570 430 618 537 409 600 550 432 591 428
224 340 558 460 560 607 382 667 512 492
450 530 501 417 660 470 364 634 580 450
574 500 462 380 518 480 625 507 645 382
Complete la siguiente tabla de frecuencias
S u e ld o
M e n s u a lX i
C o n te
o
E m p le a d
o s
fi
)1(Fih )1(H
ip iP
T O T A L
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14.GRAFICAS
15.CLASES DE GRAFICAS
15.1.Grafica de Coordenadas Ortogonales o Cartesianos
Es otra forma de presentar los datos referentes a un fenómeno.
Una grafica es el idioma universal que bien presentado e ilustrado evita la
fraseología.
En estadística se emplea una diversidad de tipos de graficas, cuya forma
dependerá de la naturaleza de los datos y de los objetivos de la presentación.Antes
de elegir el tipo de grafico conviene imaginarse de antemano, el grafico a construir
que en general debe tener rasgos simples y de fácil comprensión.
a)Diagrama de Segmentos
b)Histograma
C)Polígono de Frecuencia
0
20
40
60
80
100
0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
Marca de clase
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32
d)Polígono de FrecuenciaAcumulada u OJIVA
e)Diagrama de Barra
?
?
?
Simple
Compuesta
Agrupadas
Simple
Compuesta
Agrupadas
0
20
40
60
80
100
Soltero
Casad
o
Viudo
Divorc
iado
Can
tid
ad
0
20
40
60
80
100
120
1995 2000
Can
tid
ad Exportación
Demanda Interna
Producción
Demanda de Algodon
0
10
20
30
40
50
2000 2001
Can
tid
ad Varon
Mujer
Asistencia al Cine
0
20
40
60
80
100
0 2 4 6 8
Punto de equilibrio
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15.2.Grafica No Ortogonales
ACTIVIDAD 1.5
16.ANALISIS EXPLORATORIO DE DATOS:
EL DIAGRAMADE TALLO Y HOJA
Ejemplo:
a)De Superficie Circular o Torta
B)Pictórica
Con los problemas de las actividad 1.4 elaborar gráficas.
Un método para iniciar el análisis exploratorio de los datos, que proporcione
información rápida, visual y es relativamente nueva, es el Diagrama de Tallo y Hoja.
Esta representación de los datos a manera de grafico, pero sin llegar a ello, utilizando
las decenas y las unidades.
Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas en una prueba de Historia:
Sierra30%
Costa10%
Selva60%
10
20
40
0 10 20 30 40 50
78 93 61 100 70 83 88 74 97 72
66 73 76 81 83 64 91 70 77 86
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34
La representación del tallo y hoja se elabora de manera que las decenas se pondrán
en una columna, en forma vertical y las unidades a la derecha:
6 1 6 4
7 8 0 4 2 3 6 0 7
8 3 8 1 3 6
9 3 7 1
10 0
Para entender un poco mas, hemos de decir que le primer renglón que dice 6|1 6 4
quiere decir que entre la lista de datos se encuentran los valores 61, 66, 64.
La representación de Tallo y Hoja, donde cada renglón es una posición de tallo y cada
digito de la derecha es una hoja.
1.Dado la siguiente tabla de frecuencia que significa:
REFORZAMIENTO DEL APRENDIZAJE
a) 3f d) 4
)2(F
b)4h e) 6
)1(H
c) 5
)1(F f) 5
)2(H
TABLA DE FRECUENCIA DE SALARIOS POR TRABAJADOR
i Salario(Intervalo) fi hi )1(F )2(F )1(H )2(H
1 [ 82 - 89 ] 4 0.05 4 80 0.05 1.00
2 [ 89 - 96 ] 6 0.08 10 76 0.13 0.95
3 [ 96 - 103 ] 9 0.11 19 70 0.24 0.88
4 [ 103 - 110 ] 13 0.16 32 61 0.40 0.76
5 [ 110 - 117 ] 15 0.19 47 48 0.59 0.60
6 [ 117 - 124 ] 13 0.16 60 33 0.75 0.41
7 [ 124 - 131 ] 12 0.15 72 20 0.90 0.25
8 [ 131 - 138 ] 5 0.06 77 8 0.96 0.10
9 [ 138 - 145 ] 3 0.04 80 3 1.00 0.04
TOTAL 80 1.00
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Respuesta:
a) 3f = Hay 9 trabajadores que tienen un salario entre 96 y 103 nuevos
soles.
3f = Hay 9 trabajadores que tienen un salario de 96 a 102.99 nuevos
soles.
b) 4h = El 16% de los trabajadores ganan de 103ª 109.99 nuevos soles.
c) 5
)1(F = 47 trabajadores ganan menos de 117 nuevos soles.
d) 4
)2(F = 61 trabajadores ganan más o igual a 103 nuevos soles.
e) 6
)1(H = 75% de los trabajadores ganan menos de 124 nuevos soles.
f) 5
)2(H = 60% de los trabajadores ganan más o igual que 110 nuevos soles.
Una distribución de frecuencia consta de 5 intervalos de igual amplitud y de ella se
conoce los siguientes datos: n=110; limite inferior de la 1ª clase 12.5; f -f =10; f -f =0;
f =f ; f =f y L f =975, donde L es el limite superior de la cuarta clase.4 5 4 1
2 4 1 5 4 4 4
Elaborar la tabla de frecuencia
2.
i Intervalo fi hi %iP
1 [ 12.5 - 17.5 ] 20 0.1818 18.18
2 [ 17.5 - 22.5 ] 30 0.2727 27.27
3 [ 22.5 - 27.5 ] 10 0.0909 9.091
4 [ 27.5 - 32.5 ] 30 0.2727 27.27
5 [ 32.5 - 37.5 ] 20 0.1818 18.18
TOTAL 110 1.0000 100.00
100
10010
100
1010
14414251
54213
314134
145154
=+++Þ==
=+++Þ=
==-Þ=--
=-Þ==-
ffffffyffSi
fffffSi
ffffffSi
ffffyffSi
Entonces:
50
100)(2
10022
14
14
14
=+
=+
=+
ff
ff
ff
30
301050
224
41414
=Þ=
=Þ=-=+
fffSi
fffyffSi
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36
Luego 2051 == ff
5.3230
975975 444 ==Þ= LfLSi
Entonces
54
20
0.205.125.324
==
=-=
a
R
Luego los intervalos de clases son:
12.5 + 5 = 17.5
17.5 + 5 = 22.5
22.5 + 5 = 27.5
27.5 + 5 = 32.5
32.5 + 5 = 37.5
Bibliografía recomendada
?
?
?
?
?
?
?
AVILA., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998.
CALZADAB., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966.
CAPUÑAY C. Abelino. Sumatoria y Binomio de Newton. Editorial Ingeniería.
Lima 1984.
JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México.
1991.
MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar.
Madrid 1972.
MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991.
VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas
S.A. 2ª Edición. Lima 1993.
En el siguiente fascículo se calculara los estadígrafos de la estadística descriptiva y se
explicara las características y empleo de estas medidas.
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Excelencia Académica Estadística
Universidad Peruana Los Andes 37
1.Determinar la clase de variable que nos dan los datos de los siguientes
fenómenos o hechos:
2. De los siguientes enunciados. ¿Cuál probablemente exija el empleo de la
Estadística Descriptiva y cuál de la Estadística Inferencia?
a)En un campeonato de fútbol se desea conocer el promedio de goles de los
equipos que participan.
b)Un comité para la prevención de la contaminación del aire, analiza la
disminución del tráfico automotriz y el grado de polución.
c)Un psicólogo estudia el efecto de la asesoría personal sobre el rendimiento de
un estudiante.
d)Un Economista registra el crecimiento de la población en un área
determinada.
3.Redondear los siguientes números a las cifras significativas siguientes:
a)23,5 a 2 cifras significativas
b)0,0008532 a 1 cifra significativa
c)0,05 a un decimal y una cifra significativa
d)90000455 a 7 cifras significativas
4.Desarrollar:
NOMBRE:_______________________________________________________
APELLIDOS:______________________________ FECHA: ___/___/___
CIUDAD:__________________________________ SEMESTRE:__________
a) Colores b) Nivel de desempleo
c) Accidentes de Tránsito d) Orientación en el tiempo
a) å=
7
2a
a yabcx b) ( )å=
--5
3
23N
NNx c) å
=÷÷ø
öççè
æ6
1M
MYkY
M
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38
5.¿Por qué la Estadística es probabilística e Inferencial?
6.De 4 Ejemplos de variable discreta
7.De 4 Ejemplos de Variable continua
8.Se realiza una encuesta a los alumnos de la UPLA a cerca de la preferencia de
marcas de gaseosas, los resultados fueron los siguientes:
a) Construya una tabla de frecuencia
b) ¿Qué porcentaje de estudiantes de la UPLAprefiere Kola Real?
c) ¿Cuántos estudiantes prefieren otras gaseosas?
d) Realizar un tipo de grafico
9.) los siguientes datos muestran velocidades en km/h de 48 carros que pasaron por
un punto de control de velocidad.
PE IK KR PE PE IK IK PE CC CC
IK PE IK IK PE PE KR CC IK KR
O KR CC KR IK PE PE IK O CC
PE O PE PE CC CC KR CC PE IK
IK IK CC PE KR IK IK PE PE CC
Donde
IK= Inca Kola PE= Pepsi O= otras
CC= Coca Cola KR= Kola Real
60 30 31 60 45 34 54
38 35 27 45 40 45 83
30 40 46 105 29 102 60
82 72 63 36 70 31 81
65 80 25 70 108 24 85
45 120 65 39 83 72 60
70 100 55 50 64 61
a) Elabore una tabla de frecuencia.
b) Que significa:4f ; 5h ; 3
)1(F ; 5
)2(F ; 4
)1(H ; 5
)1(H
c) Represente la tabla mediante un polígono de frecuencia
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10.Los puntajes de un aprueba de aptitud se tabularon en una distribución defrecuencias de 6 intervalos de amplitud constante. Si las marcas de clases delsegundo y cuarto intervalo son 40 y 80, las frecuencias relativas están relacionadasde la siguiente manera: del primero es igual al sexto intervalo, la tercera y quintafrecuencia son iguales, la cuarta frecuencia es igual a 0.25, del segundo intervalo esigual al cuarto menos el primero, el tercer intervalo9 es igual al primero mas 0.10 y lafrecuencia absoluta acumulada del sexto intervalo es igual a 60.
Completar la distribución de frecuencias.
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40
1.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE POSICIÓN
2.- LAMEDIAO PROMEDIOARITMETICO
Las medidas de centralización son valores que tienden a situarse en el centro del
conjunto de datos ordenados según magnitud.
Clases de Medidas de Tendencia Central
A. Medias Fijas:
a) MediaAritmética
b) Media Geométrica
c) MediaArmónica
d) Media Cuadrática
e) Media Cúbica
B. Medias Móviles
a) Mediana
b) Moda
c) Cuatiles
d) Deciles
e) Percentiles
La media es el valor representativo de la serie; pudiera decirse que es el punto de
equilibrio o centro de gravedad de la serie.
Se representa por para una muestra y para la población
2.1.La Media simplen
xxxx
n
x
x n
n
i
i ++++==
å= K3211
x m
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Calcula e interpreta la media aritmética, la mediana y la moda.
Explica las características y propiedades de las medidas.
Relaciona la media, la mediana y la moda.
Identifica y aplica los medios geométricos y armónica.
Reconoce y calcula los conceptos de cuartil, decil y percentil.
Calcula varias medidas de dispersión para datos simples y agrupados.
Explica las características, uso de las medidas de dispersión.
Calcula y explica el uso del coeficiente de variación.
Calcula, explica y determina los coeficientes de Asimetría y Apuntamiento.
ESTADISTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL,DE DISPERSIÓN, DE ASIMETRÍA Y DE APUNTAMIENTO
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Ejemplo:
x: es la talla de 65 obreros de una empresa, se quiere saber cual es la
estatura promedia.
.68.1679.165
15.109
1
mtx
n
fx
x
n
i
ii
===
=å
=
El promedio de la estatura de los obreros de la empresa, es de 1.68 metros.
2.3.- Propiedades de la MediaAritmética
a) La media de una constante es la misma constante.
b)La media del producto de una constante por una variable es igual al producto de
la constante por la media de la variable.
c)La media de una variable mas o menos una constante, es igual a la media de la
variable mas o menos la constante.
d)La media de la suma o diferencia de dos o mas variables e igual a la suma o
diferencia de las medias de cada una de las variables.
cc =
xccx =
cxcx ±=±
yxyx ±=±
Ejemplo:x: 18, 24, 45, 12, 89, 12
33.336
128912452418=
+++++=x
2.2.La Media Ponderada
n
fx
x
n
i
iiå== 1
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42
1.Las edades de los componentes de una familia de 7 miembros, es como sigue: 52, 42,
26, 24, 13, 8 y 1 años, se pide determinar el promedio de edad de esta familia.
2.Hallar el salario promedio correspondiente a los trabajadores de cierta fabrica,
extrayendo datos de la tabla de frecuencia:
i Salario(S/.) fi ix ii fx
1 [ 70 – 80 ] 20
2 [ 80 – 90 ] 30
3 [ 90 – 100 ] 60
4 [ 100 - 110] 90
5 [ 110 - 120] 100
6 [ 120 - 130] 85
7 [ 130 - 140] 70
TOTAL
3.MEDIANA
La mediana es el punto medio de un conjunto de datos; o es aquel valor de la
variable que divide al conjunto de valores en dos partes iguales.
3.1.CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIANA
a) Localiza mejor el centro de distribución para lo cual es necesario
ordenar.
b) Su cálculo es fácil y poco sensible a los valores extremos.
c) Puede ser calculado inclusive cuando los intervalos son abiertos.
d) Pueden ser calculados cuando las variables son cualitativos,
susceptibles de ordenar de acuerdo a alguna propiedad, categoría, etc.
e) No puede ser manejada algebraicamente para cálculo posteriores.
f) Se halla inclusive cuando las amplitudes son diferentes.
3.2. La Mediana simple o No Agrupados
a) Datos Impar
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Ejemplo:
Se tiene los gastos de 7 personas siguientes:
x: s/. 120, s/. 140, s/. 100, s/. 150, s/. 145, s/. 135, s/. 160
Calcular la mediana.
PASOS:
1º.En la mediana se ordenan los datos:
x: s/. 100, s/. 120, s/. 135, s/. 140, s/. 145, s/. 150, s/. 160
2º.En datos impar se toma el valor central de acuerdo a la formula.
Interpretación: el 50% gastan menos de s/140 y el otro 50% restante gasta más de
s/140
b) Datos Par
Solución
2
1+= nxMe
140./
4
2
17
2
1
S
n xxxMe ==== ++
÷÷ø
öççè
æ+= +
2
2
22
1nn xxMe
Ejemplo:
Se tiene los pesos de 8 personas siguientes:
x: 70, 65, 83, 62, 94, 75, 79, 86 kg
Calcular la mediana.
PASOS:
1º. Se ordenan los datos
x: 62, 65, 70, 75, 79, 83, 86, 94 kg
Solución
Excelencia Académica
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Estadística
44
2º. Se aplica la formula
Interpretación: el 50% de personas pesan menos de 77kg y el restante 50% pesan mas
de 77kg.
3.3. La MedianaAgrupada o Ponderado
PASOS PARAHALLAR LAMEDIANA
1º.Determinar la clase mediana, a través del cociente de cuyo resultado se la ubica
en la frecuencia acumulada absoluta ascendente ,
que le contenga más próximo.
2º.determinar la amplitud del Intervalo “ ”, restando el Limite superior menos el Limite
inferior de la clase mediana.
O si se tuviera la marca de clase, restar una de ella con respecto al siguiente inmediato.
3º.Determinar en la clase mediana el Límite inferior del intervalo o clase.
Si solo tuviera la marca de clase entonces el límite inferior seria:
= valor de la marca de clase de la clase mediana.
= amplitud del intervalo
( ) ( )
K gM e
xxM e
xxxxM e nn
772
154
79752
1
2
1
2
1
2
1
54
2
28
2
8
2
2
2
==
+=+=
÷÷ø
öççè
æ+=÷÷
ø
öççè
æ+= ++
k
k
f
Fn
aLiMe
)1(
12
--+=
2
n
)1(F
LiLsa -=
ii XXa -= + 1
[ [LsLi -
Li = limite inferior de la clase medianaa = intervalo de clasen = número de elementos (tamaño de la muestra)
)1(
1-kF = frecuencia absoluta acumulada ascendente anterior a la clase
mediana.
kf = frecuencia absoluta de la clase mediana.
a
ix
ix
a
2
aXiLi -=
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4º.Determinar la Frecuencia Acumulada Absoluta ascendente anterior a la clase
mediana
5º.Determinar la frecuencia absoluta simple de la clase mediana
6º.Remplazar los valores en la formula de la mediana.
Ejemplo:
Se tiene la tabulación de los pesos en kg., de 110 obreros de una fábrica se pide
determinar la mediana.
)1(
1-kF
kf
Peso
ixif )1(F
50 5 5
55 15 20
60 28 48 ¬ )1(
1-kF
65 22 70 ¬Clase
mediana
70 19 89
75 11 100
80 10 110
110
k
k
f
Fn
aLiMe
)1(
12
--+=
PASOS
552
110
2==
n
55 esta contenido este determina la clase mediana.
121111 xxxxxxa ii -=-=-= ++
55055 =-=a
2
axLi i -=
F = 71,(1)
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Estadística
46
5.2652
565 -=-=Li
KgLi 5.62=
48)1(
1 =-kF
22=kf
22
485555.62
-+=Me
KgMe 1.6409.64 ==
Interpretación: el 50% de los obreros pesan menos de 64.1 kg y el
otro 50% de los obreros pesan mas de 64.1 kg
ACTIVIDAD 2.2
1. Hallar la mediana de los salarios mensuales de 6 trabajadores:
s/1000, s/1300, s/1100, s/1150, s/1200, s/970
2. hallar la mediana de las alturas de 100 alumnos de la UPLA
Altura (m)
Intervaloif )1(F
[ 1.57 - 1.61 [ 4
[ 1.61 - 1.65 [ 28
[ 1.65 - 1.69 [ 43
[ 1.69 - 1.73 [ 18
[ 1.73 - 1.77 ] 7
TOTAL 100
4. LA MODA
La moda es el valor de la variable que mayor veces se repite o con mayor frecuencia
sucede.
Un grupo de datos puede tener una moda, dos modas, etc. En tales casos la
distribución se llama, respectivamente, unimodal, bimodal, etc. También, la moda
puede no existir, en caso de haber valores que se repitan.
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4.2. La Moda serie Simple
Ejemplo:
Hallar la moda de los números: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7
El número que más veces se repite es 5. Por consiguiente, 5 es la moda
(unimodal).
Ejemplo:
Hallar la moda de los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Ningún número se repite más que los otros. Por consiguiente, no hay moda.
Ejemplo:
Las calificaciones de un estudiante en 8 asignaturas fueron: 6, 5, 7, 6, 8, 5,
9, 10.
Hallar la moda de las calificaciones.
Las calificaciones que más veces se repiten son 5 y 6. Por consiguiente, 5 y
6 son las calificaciones moda (bimodal)
4.2. La Moda serie Ponderada o agrupada:
= Limite inferior de la clase modal
= Amplitud del intervalo de clase
= Variación 1
= Variación 2
1º.Determinar la clase modal, a través de la frecuencia absoluta simple mayor.
2º.Determinar la amplitud del intervalo “ ” restando el limite superior menos el limite
inferior de la clase modal.
O si se tuviera la marca de clase, restar una de ella con respecto al siguiente
inmediato.
PASOS PARA HALLAR LA MODA
21
1
D+DD
+= aLiMo
Li
a
1D
2D
a
LiLsa -=
LiLsa -=
ii XXa -= + 1
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3º.Determinar en la clase modal el limite inferior de la clase.
Si solo tuviera la marca de clase X entonces el límite inferior seria:
= valor de la marca de clase de la clase mediana.
= amplitud del intervalo
4º.Determinar la variación 1, , restando el valor de la frecuencia absoluta simple de la
clase modal menos la frecuencia de la clase anterior inmediata.
5º.Determinar la variación 2, , restando el valor de la frecuencia absoluta simple de
la clase modal menos la frecuencia de la clase posterior inmediata.
6º.Remplazar los valores en la fórmula.
Ejemplo:
Las temperaturas tomadas en la ciudad de Huancayo, cada semana, durante un
año, hallar la temperatura Moda.
1
[ [LsLi -
2
aXiLi -=
ix
a
1D
11 --=D MoMo ff
12 +-=D MoMo ff
Temperaturas
(ºC)if
5 12
10 8
15 16 ¬Clase modal
20 7
25 5
30 4
21
1
D+DD
+= aLiMo
1D
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PASOS
343131 xxxxxxa ii -=-=-= ++
51520 =-=a
2
axLi i -=
5.2152
515 -=-=Li
CLi º5.12=
11 --=D MoMo ff
8161 -=D
81 =D
12 +-=D MoMo ff
7162 -=D
92 =D
CMo
Mo
º85.14
98
855.12
=+
+=
1º. La clase modal queda determinada por la frecuencia absoluta simple que masveces se repite, en este caso es 16.
2º.
3º.
4º.
5º.
6º. Reemplazando en la fórmula
Interpretación: la temperatura que mayor veces se repite en el año es 14.85ºC
Cuando en una frecuencia absoluta simple (f) existen 2 o más frecuencias mayores
iguales, se toma cualquiera para determinar la clase modal.
1. Al finalizar sus estudios de Derecho, 60 estudiantes tenían 22 años, 50 tenían 23
años, 17 tenían 24años, y 8 tenían 25 años. Hallar la moda de las edades.
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50
2.Hallar la moda del cuadro siguiente:
Intervalo if
[ 220 - 240 [ 48
[ 240 - 260 [ 60
[ 260 - 280 [ 60
[ 280 - 300 ] 30
TOTAL 198
10 38 30 16 25 30 30 18 23 25 38
13 21 14 27 14 13 18 30 25 18 37
12 10 15 20 28 26 10 17 26 28
17 14 19 22 11 15 20 39 23 38
5.RELACION ENTRE EL PROMEDIO ARITMETICO, MEDIANA Y MODA
REFORZAMIENTO DE APRENDIZAJE
a)Para curvas de frecuencias unimodales que sean ligeramente asimétricas,
se tiene la siguiente relación empírica:
b)Cuando la curva de frecuencia es unimodal y simétrica:
c)La Mediana aritmética esta influenciada por los valores extremos, en cambio
la Mediana y la Moda no lo están.
d)Una curva de distribución sólo tiene una X y una He , pero puede tener mas
de una .
1. La inversión anual ( en niveles de soles) de un grupo de pequeñas empresas de la
ciudad fueron:
X - Mo = 3 (X - Me)
X = Me = Mo
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Calcular:
a) Media
b) Mediana
c) Moda
Tenemos que desarrollar una tabla de frecuencia
Solución
1º. minmax XXR -=
291039 =-=R
2º. nm log322.31+=
42log322.31+=m
64.6 ==m
3º.6
29==
m
Ra
83.4=a
4º. RamD -´= )(
29)83.46( -´=D
02.02998.28 -=-=D
Por ser negativo se rehace
Entonces 84.4=a
29)84.46( -´=D
îíì
+
-=-=
02.0
02.004.02904.29D
-0,002
9.98 10
+0,002
39 39.02
Resumen:
6
84.4
02.39max
98.9min
=
=
=
=
m
a
X
X
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52
Tabla de FrecuenciaIntervalo Tabulación fi )1(F Xi ii fX
[ 9.98 - 14.82 [ ||||| ||||| 10 10 12.40 124.00
[ 14.82 - 19.66 [ ||||| |||| 9 19 17.24 155.16
[ 19.66 - 24.5 [ ||||| | 6 25 22.08 132.48
[ 24.5 - 29.34 [ ||||| ||| 8 33 26.92 215.36
[ 29.34 - 34.18 [ |||| 4 37 31.76 127.04
[ 34.18 - 39.02 ] ||||| 5 42 36.60 183.00
TOTAL 42 937.04
Luego, calculamos:
a) La Media
En la tabla determinamos
Interpretación: la inversión anual de las pequeñas empresas de la ciudad
fue de 22.31 (miles de soles) = s/22,310.00
B)La Mediana
Determina la clase mediana en de la tabla que es 25
Interpretación: el 50% de las pequeñas empresas invierten menos de
s/21,270.00 y el otro 50% invierten más de s/21,270.00
n
fx
x
n
i
iiå== 1
å ii fx
solesdemilesx
x
31.22
42
04.937
=
=
k
k
f
Fn
aLiMe
)1(
12
--+=
212
42
2==
n
6
19
66.19
84.4
)1(
1
=
=
=
=
-
fk
F
Li
a
k
Me = 19,66 + 4,84
Me = 21,27 miles de Nuevos Soles
21 - 196
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c) La Moda
Determinamos la clase modas en F mayor = 10
Interpretación: la inversión mas frecuente es de 14.38 (miles de soles) =
s/14,380.00
El promedio geométrico se usa cuando hay que promediar razones o
proporciones. Asimismo, se aplica cuando en la serie interviene el factor tiempo,
como sucede en el cómputo de intereses; en el cálculo de números índices y en
series que presentan una progresión geométrica.
La media geométrica de una serie de n números es la raíz enésima del producto
de dichos números.
Ejemplo:
Hallar la media geométrica de los números 3, 9 y 27
Para simplificar los cálculos es necesario aplicar logaritmos (recuérdense que
con logaritmos, la multiplicación se transforma en suma y la raíz en división).
1
6..MEDIA GEOMETRICA
21
1
D+DD
+= aLiMo
1910
10010
98.9
84.4
2
1
=-=D
=-=D
=
=
Li
a
solesdemilesMo
Mo
38.14
110
1084.498.9
=+
+=
nnxxxxgX K´´´= 321
9
729
2793
3
3
=
=
´´=
gX
gX
gX
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54
6.1.Media Geométrica Serie Simple
Ejemplo:
x: 2, 4, 6, 8, 10
n
x
antigX
n
i
iå== 1
log
log
ix ixlog
2 0.30103
4 0.60206
6 0.77815
8 0.90309
10 1.00000
Total 3.58433
21.5
71687.0log
5
58433,3log
=
=
=
gX
antigX
antigX
6.2.La Media Geométrica serie Ponderada
n
fx
antigX
n
i
iiå== 1
)(log
log
Ejemplo:
En un examen de Psicología, 6 alumnos obtuvieron un 3; 8 obtuvieron un 4; 13 un
5; 8 un 6; 5 un 7; 3 un 8 y 1 un 9.
Hallar la media geométrica.
Calificación
ix
Alumnos
ifixlog ii fx )(log
3 6 0.47712 2.86272
4 8 0.60206 4.81648
5 13 0.69897 9.08661
6 8 0.77815 6.22520
7 5 0.84510 4.22550
8 3 0.90309 2.70927
9 1 0.95424 0.95424
Total 44 30.88002
Universidad Peruana Los Andes
Excelencia Académica Estadística
Universidad Peruana Los Andes 55
5
70182.0log
44
88002.30log
=
=
=
gX
antigX
antigX
1.Las velocidades de 100 metros planos de 6 estudiantes de una clase son: 11.6; 12.4;
11.8; 13.5; 13.0; 12.8 segundos. Hallar la media geométrica de las velocidades.
2.Cuatro grupos de estudiantes, formados por 2, 10, 12, 10 alumnos, registraron una
media de pesos de 65, 70, 75 y 80kg, respectivamente. Hallar la media geométrica de
los pesos de los estudiantes.
3.En una fábrica hay 50 empleados, 30 de los cuales son casados y 20 solteros. Si el
salario mensual de un empleado casado es de s/1200 y el de un soltero s/1000 ¿Cuál es
la media geométrica del salario de un empleado de la fábrica?
Es el reciproco del promedio aritmético de los recíprocos de los valores de la serie.
Se utiliza para promediar velocidades y cuando los datos de la serie siguen una
progresión armónica.
7.1. La MediaArmónica Serie Simple
7.MEDIAARMONICA
1
1
1
-
=
-
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=å
n
x
aX
n
i
i
Ejemplo:
x: 2, 4, 6, 8, 10
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Estadística
56
7.2. La Media Armónica Serie Ponderada
1
1
1
-
=
-
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=å
n
fx
aX
n
i
ii
Ejemplo
ix if 1-ix ii fx 1-
3 8 0.333 2.664
6 22 0.167 3.674
9 30 0.111 3.330
12 25 0.083 2.075
15 5 0.067 0.335
Total 90 12.078
45.7
078.12
90
90
078.121
=
=
úûù
êëé=
-
aX
aX
aX
Hallar la media armónica de los problemas de la actividad 2.4
El promedio aritmético esta más influenciado por los elementos grandes de la serie,
que el promedio geométrico y el promedio armónico.
Los tres promedios quedan ordenados por su magnitud del siguiente modo.
Los cuartiles, son tres valores que dividen la distribución (ordenada en forma
creciente) en cuatro grupos de igual número de términos. El primer valor se denomina
primer cuartil (Q ) y los otros segundo cuartil ( ) y el tercer cuartil ( ). El segundo
cuartil es igual a la mediana.
8. RELACIONES ENTRE LOS PROMEDIOS
9. CUARTILES
1 Q Q2 3
aXgXx >>
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9.1.Cuartiles Serie Simple
a) Primer Cuartil
es el número de términos
b) Segundo Cuartel
c) Tercer Cuartel
Ejemplo:
x: 2, 5, 6, 8, 11, 14, 15, 17, 21, 24, 26
= 3º término de la serie
= 6º término de la serie
= 9º término de la serie
9.2. Cuartiles Serie Ponderada
a) Primer Cuartil
1Q
4
11
-=
nQ
n
2
12
+=
nQ
4
)1(33
+=
nQ
4
1111
+=Q
61 =Q
2
1112
+=Q
142 =Q
4
)111(33
+=Q
213 =Q
k
k
f
Fn
aLiQ
)1(
1
14
--+=
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Estadística
58
b) Segundo Cuartil (Mediana)
C) Tercer Cuartil
Los pasos de solución de los problemas de cuartiles, son iguales a los aplicados para
obtener la mediana.
Llámese deciles a 9 valores que se dividen la distribución (ordenada en forma
creciente) en 10 grupos de igual número de términos.
Para Deciles de serie ponderada, la formula es:
La solución es igual a los pasos de la Mediana
Los percentiles son 99 valores que se dividen la distribución (ordenada en forma
creciente) en 100 grupos de igual numero de términos.
Para percentiles de serie ponderada la formula es:
La solución es igual a los pasos de la Mediana
Se tiene los sueldos mensuales de 60 empleados del departamento de ventas de una
compañía de seguros, cuya Tabla de Frecuencia es:
10.DECILES
11.PERCENTILES
12.APLICACIÓN DE CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
k
k
f
Fn
aLiQ
)1(
1
22
--+=
fk
Fn
aLiQk
)1(
1
34
3--
+=
D = Li + ad
dn10 Fk-1
(1)
Fk
P = Li + ap
Pn100 Fk-1
(1)
Fk
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Sueldo Mensual
(S/.)ix
if )1(F
[ 319 - 369 [ 344 4 4
[ 369 - 419 [ 394 8 12
[ 419 - 469 [ 444 12 24
[ 469 - 519 [ 494 11 35
[ 519 - 569 [ 544 10 45
[ 569 - 619 [ 594 9 54
[ 619 - 669 ] 644 6 60
TOTAL 60
Halla:
a) Cuartil 1
b) Cuartil 3
c) Decil 3
d) Decil 8
e) Percentil 27
f) Percentil 83
g) Percentil 1
a)
La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 15
Solución
Hallamos la clase cuartil 1
- 154
60
4==
n
12
12
419
50
)1(
1
=
=
=
=
-
k
k
f
F
Li
a
solesNuevosQ
Q
f
Fn
aLiQk
k
50.431
12
124
60
50419
4
1
1
)1(
1
1
=
-+=
-+=
-
Excelencia Académica
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Estadística
60
B) Cuartil 3
Hallamos la clase cuartil 3
La clase se ubica en la frecuencia acumulada 45 por contener a 45
C)Decil 3
Hallamos la clase decil 3
La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 18
a)decil 8
Hallamos la clase decil 8
La clase se ubica en la frecuencia acumulada 54 por contener a 48
-
-
-
454
)60(3
4
3==
n
10
35
519
50
)1(
1
=
=
=
=
-
k
k
f
F
Li
a
solesnuevosQ
Q
fk
Fn
aLiQk
00.569
10
354
)60(3
50519
4
3
3
3
)1(
1
3
=
-+=
-+=
-
1810
)60(3
10
3==
n
12
12
419
50
)1(
1
=
=
=
=
-
k
k
f
F
Li
a
solesNuevosD
D
f
Fn
aLiDk
k
d
00.444
12
1210
)60(3
50419
10
3
3
3
)1(
1
=
-+=
-+=
-
4810
)60(8
10==
dn
9
45
569
50
)1(
1
=
=
=
=
-
k
k
f
F
Li
a
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e) Percentil 27
Hallamos la clase percentil 27
La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 16.20
F) Percentil 83
Hallamos la clase percentil 83
La clase se ubica en la frecuencia acumulada 54 por contener a 49.80
G) Percentil 1
Hallamos la clase percentil 1
-
-
-
solesNuevosD
D
f
Fdn
aLiDk
k
d
67.585
9
4510
)60(8
50569
10
8
8
)1(
1
=
-+=
-+=
-
20.16100
)60(27
100==
pn
12
12
419
50
)1(
1
=
=
=
=
-
k
k
f
F
Li
a
solesNuevosP
P
f
Fpn
aLiPk
k
p
50.436
12
12100
)60(27
50419
100
27
27
)1(
1
=
-+=
-+=
-
80.49100
)60(83
100==
pn
9
45
569
50
)1(
1
=
=
=
=
-
k
k
f
F
Li
a
solesNuevosP
P
f
Fpn
aLiPk
k
p
67.595
9
45100
)60(83
50569
100
83
83
)1(
1
=
-+=
-+=
-
60.0100
)60(1
100==
pn
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Estadística
62
La clase se ubica en la frecuencia acumulada 4 por contener a 0.60
Las medidas de dispersión dan idea de la separación de los datos numéricos
alrededor de un valor medio (estadígrafos de posición), i mide el grado de
concentración o dispersión de los valores.
Clases de Medidas de Dispersión que estudiaremos:
A.Dispersión Absoluta
a) Rango
b) desviación Media
c) Varianza
d) Desviación estándar
B.Dispersión Relativa
a) Coeficiente de Variación
b) Variable Estandarizada
El rango o recorrido es la diferencia entre los valores extremos, máximo y mínimo.
Ejemplo:
Hallar el rango de la siguiente serie de números: 4, 5, 7, 9.9, 10, 12, 15
13.- MEDIDAS DE DISPERSION O VARIABILIDAD
14. RANGO (R)
4
0
319
50
)1(
1
=
=
=
=
-
k
k
f
F
Li
a
solesNuevosP
P
f
Fpn
aLiPk
k
p
50.326
4
0100
)60(1
50319
100
1
1
)1(
1
=
-+=
-+=
-
minmax XXR -=
11
415
=
-=
R
R
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La dispersión de los datos será mayor cuanto mayor sea el recorrido. El rango no es
una buena medida de dispersión, puesto que basta con que un dato se aleje mucho de
la media para que el rango resulte muy afectado, ya que únicamente depende de dos
valores, sin que influyan para nada los datos restantes.
La desviación media es una buena medida de dispersión.
15.1. Desviación Media Simple
= elementos o la observación
= media
= número de elementos
Ejemplo:
Hallar la desviación media de las tallas 1.47; 1.58; 1.60; 1.62; 1.53 metros.
Hallamos:
15.2. Desviación Media Ponderada
15. DESVIACION MEDIA(DM)
n
xx
DM
n
i
iå=
-= 1
(Valor Absoluto)
ix
x
n
56.1
5
53.162.160.158.147.1
=
++++=
x
x
metrosDM
DM
DM
DM
048.0
5
24.0
5
03.006.004.002.009.0
5
03.006.004.002.009.0
5
56.153.156.162.156.160.156.158.156.147.1
=
=++++
=
-++++-=
-+-+-+-+-=
n
fxx
DMi
n
i
iå=
-= 1
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64
Ejemplo:
KgpesoXi = if ii fx xxi - ii fxx -
40 4 160 5.88 23.52
43 5 215 2.88 14.40
46 8 368 0.12 0.96
49 6 294 3.12 18.72
52 3 156 6.12 18.36
Total 26 1193 75.96
Hallamos:
Kgx
n
fx
x
n
i
ii
88.4526
1193
1
==
=å
=
KgDM
DM
n
fxx
DMi
n
i
i
92.2
26
96.75
1
=
=
-=
å=
1·
2·
16.- VARIANZA
16.1.Varianza Simple
a) Varianza de una Población
B) Varianza de una Muestra
Ejemplo:
Calcular la varianza de 4, 5, 6, y 7.
´
( )
N
xN
i
iå=
-= 1
2
2
ms
( )
n
xx
S
n
i
iå=
-== 1
2
2
n
xx
iå=
5.54
22
4
7654==
+++=x
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16.2. Varianza Ponderada
a)Varianza de Una Población
b)Varianza de Una Muestra
Ejemplo:
( )
n
xx
S
n
i
iå=
-== 1
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
25.1
3
5
4
25.225.025.025.2
4
5.575.565.555.54
2
2
2222
2
=
=+++
=
-+-+-+-=
S
S
S
( )
N
fxN
i
iiå=
-== 1
2
2
ms
( )
( )30
1
30
1
2
2
1
2
2
<-
-==
³-=
=
å
å
=
=
nparan
fxx
S
nparan
fxx
S
n
i
ii
n
i
ii
Talla(mts)
ixif ii fx xxi - ( )2
xxi - ( ) ii fxx2
-
1.52 3 4.56 -0.08 0.0064 0.0192
1.56 5 7.80 -0.04 0.0016 0.0080
1.60 9 14.40 0 0 0
1.64 6 9.84 0.04 0.0016 0.0096
1.68 4 6.72 0.08 0.0064 0.0256
Total 27 43.32 0.0624
60.127
32.431 ===å
=
n
fx
x
n
i
ii
( )
metrosS
S
nserporn
fxx
S
n
i
ii
0024.0
26
0624.0
127
0624.0
301
2
2
1
2
2
=
=-
=
<-
-==
å=
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66
17.DESVIACION ESTANDAR
18.CARACTERISTICAS DE LA VARIANZA Y DESVIACIÓN
ESTANDAR.
Es la Raíz cuadrada positiva de la varianza; una medida de la
dispersión, expresada en las mismas unidades que los datos
originales y no en las unidades cuadradas de la varianza.
En general, la Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
para
Para población
Ejemplo: (de los ejemplos de la varianza)
Ejemplo:
Las fórmulas de las Desviación Estándar son iguales a la
Varianza pero aplicándole la raíz cuadrada.
a)Son siempre un valor positivo.
b)Son influenciado por todos los valores de la muestra o población.
c)Mayor influencia ejercen los valores extremos que los que están
próximo a los promedios.
d)Si en una distribución normal se levanta una ordenada a uno y
otro lado del promedio a una distancia igual a la desviación
estándar.
muestra
2ss =
2SS =
12.1
25.1
2
=
=
=
S
S
SS
metrosS
S
SS
049.0
0024.0
2
=
=
=
%73.993
%46.952
%26.68
=±
=±
=±
Sx
Sx
Sx
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El porcentaje de esos valores quedan incluidos dentro de estos límites.
e)La varianza y la desviación estándar de una constante es cero.
f) La desviación estándar del producto de una constante por una variable, es igual
al producto de la constante tomada en valor absoluto por las desviación estándar
de la variable.
g)La varianza del producto de una constante por una variable, es igual al
cuadrado de la constante por la varianza de las variables.
h)La desviación estándar de la suma de una variable y una constante, es igual a
la desviación estándar de las variables.
i) La varianza de una función lineal, es igual a la constante al cuadrado por la
varianza de la variable.
Es una medida relativa de dispersión, semejante entre las distribuciones, que
expresa la desviación estándar en un porcentaje de la media.
para población
Para muestra
Ejemplo:
Si la desviación estándar de la población P es 5 y media población es 40 el
coeficiente de variación es:
La variable estandarizada se calcula:
Para población
para muestra
19.COEFICIENTE DE VARIACION (CV)
20.VARIABLE ESTANDARIZADA
( )100ms
=CV
( )100x
SCV =
( )
%5.12
10040
5
=
=
CV
CV
sm-
= ii
xZ
S
xxZ i
i
-=
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68
Ejemplo:
En un examen de Estadística, la nota media fue de catorce y la desviación
estándar de 1.6. Determinar las variables estandarizadas para los valores
o notas de X: 12, 17, 20, 13
La variable estandarizada se aplica en la probabilidad de la Distribución Normal.
1)Las ventas diarias (miles de dólares) de una tienda de artefactos
eléctricos es:
sm-
= ii
xZ
25.16.1
2
6.1
14121 -=
-=
-=Z
87.16.1
3
6.1
14172 ==
-=Z
7.36.1
6
6.1
14203 ==
-=Z
625.06.1
1
6.1
14131 -=
-=
-=Z
Ventas
ix
Dias
if
[ 20 - 24 ] 9
[ 24 - 28 ] 12
[ 28 - 32 ] 8
[ 32 - 36 ] 3
[ 36 - 40 ] 3
[ 40 - 44 ] 2
TOTAL 37
Calcular:
a) Rango
b) Desviación Media
c) Desviación Estándar
d) Varianza
e) coeficiente de Variación
if
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2)Las estaturas de 12 estudiantes de una clase son: 165, 160, 164, 155, 160 y162cm.
Calcular:
a) Rango
b) Desviación Estándar
a) Coeficiente de Variación
La medida o estadígrafo de asimetría indica el grado de deformación de la curva de
frecuencia, puede ser inclinada a la derecha o izquierda. La curva de frecuencia
puede ser simétrica, caso determinado por la posición de la media, mediana y moda
( )
21.1.Tipo de Medida deAsimetría.
a) Curva asimétrica positiva o con cola a la derecha, hay predominio de los valores
menores.
21.MEDIDADEASIMETRIA
MoMex ==
b) Curva asimétrica negativa o con cola a la izquierda, indica predominio de los
valores mayores.
c) Curva simétrica o campana de GAUSS (curva teórica de análisis).
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15
Excelencia Académica
Universidad Peruana Los Andes
Estadística
70
21.2.- Coeficiente de Asimetría de PEARSON
a) En función de la moda.
= Media aritmética
= Moda
= desviación estandar
Resultados:
Si el valor es cero, la curva es simétrica.
Si el valor es igual a , la curva es asimétrica moderada positiva o
negativa.
Si el valor es igual a , la curva es asimétrica muy marcada positiva o
negativa.
Si el valor es igual a , la curva es asimétrica máxima positiva o
negativa.
Ejemplo:
La media de los salarios es s/.109.50, la moda s/.108.30 y su desviación estándar
s/.400, calcular el coeficiente de asimetría
Como el valor es positivo es una curva asimétrica positiva muy marcada.
b) En Función de la Mediana
-
-
-
-
S
MoxAs
-=1
x
Mo
S
1.0±
3.0±
1±
3.0
00.4
30.10850.109
1
1
=
-=
As
As
S
MexAs
)(32
-=
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 20
Universidad Peruana Los Andes
Excelencia Académica Estadística
Universidad Peruana Los Andes 71
= Media aritmética
= Mediana
= desviación estandar
Resultados:
Si el valor es igual a cero, la curva es simétrica.
Si el valor es mayor que cero, la curva es asimétrica positiva.
Si el valor es menor que cero, la curva es asimétrica negativa.
Ejemplo:
La media de los pesos de los trabajadores de una fabrica es de 68kg, la mediana
71kg y la desviación estándar de 3.5kg. Calcular el coeficiente de asimetría.
Como el valor es menor que cero, la curva es asimétrica negativa.
La medida de apuntamiento o estadígrafo de Kurtosis es el grado de deformación
vertical de una curva de distribución de frecuencia. Se analiza comparando la curva
de distribución con una curva normal o campana de Gauss.
22.1. Tipos de Curvas de Distribución
a)Leptokurticas (LK)
Es cuando su elevación es muy pronunciada o sea superior a la curva
normal. Se presenta cuando la desviación estándar de dicha distribución es
mínima.
b)Mesokurticas (MK)
Es cuando la elevación es la de una curva normal.
c)Platikurticas (PK)
Es cuando la elevación es inferior o queda por debajo de una curva normal,
se presentan cuando la desviación estándar de la distribución es
relativamente grande.
-
-
-
22.- MEDIDA DE APUNTAMIENTO
x
Me
S
57.2
5.3
9
5.3
)7168(3
2
2
-=
-=
-=
As
As
Excelencia Académica
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Estadística
72
22.2. Coeficiente de Kurtosis
= Cuantil 3
= Cuantil 2
= Percentil 90
= Percentil 10
Resultados
El valor de K no pasa de 1 tampoco puede ser negativo.
Si K esta de cero a1/8 la curva es platikurtica
Si K esta de 1/8 a 3/8 la curva es mesokurtica
Si K esta de 3/8 a1/2 la curva es leptokurtica
Ejemplo:
Se tienen las tallas de los estudiantes de la UPLA, cuyos cuartiles 1 y 3 son 1.575 y
1.725 metros, respectivamente, y los percentiles calculados son: = 1.77m y
=1.53m Calcular el coeficiente de kurtosis.
El valor se encuentra en intervalo de mesokurtosis
( )1090
13
2 PP
QQK
--
=
3Q3Q
90P
90P
10P
10P
83
210 8
14
1
PK MK LK
( )3125.0
48.0
15.0
53.177.12
575.17525.1
=
=--
=
K
K
0
20
40
60
80
100
120
140
0 5 10 15 20
LK
MK
PK
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Universidad Peruana Los Andes 73
La inversión anual (miles de dólares) de un grupo de empresarios de
Huancayo, fueron:
12 10 16 28 32 18 40
14 16 27 13 19 38 18
13 32 22 31 10 37
18 15 24 14 23 36
42 14 27 28 21 37
22 19 15 17 29 25
Determinar e interpretar.
a) Coeficiente de Kurtosis
b) Coeficiente de Pearson
Por la moda
Por la mediana
-
-
Actividad 2.7
Bibliografía recomendada
AVILA., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998.
CALZADA B., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima,1966.
JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición.México. 1991.
MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. EditorialAguilar. Madrid 1972.
MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991.
VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios CopiasGraficas S.A. 2ª Edición. Lima 1993.
En el siguiente fascículo iniciamos el estudio de la teoría de laprobabilidad, conceptos básicos, análisis combinatorio, diagrama deárbol, el método Clásico, método de la frecuencia relativa, métodosubjetivo y probabilidades frente a apuestas, espacios muestrales finitos,probabilidad condicional y Teorema de Bayes.
Excelencia Académica
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Estadística
74
NOMBRE:_______________________________________________________
APELLIDOS:______________________________ FECHA: ___/___/___
CIUDAD:_________________________________ SEMESTRE:___________
1. En el departamento de producción de una fábrica tienen lossiguientes sueldos hasta fines del mes de julio.
Sueldo Mensual
(S/.)Empleados
485 - 585 15
585 - 685 25
685 - 785 30
785 - 885 20
885 - 985 5
985 - 1085 5
TOTAL
Calcular e interpretar:
a) La Media
b) La Mediana
c) La Moda
2. Los siguientes datos dan las cantidades gastadas (en nuevos soles)en alimentación de una muestra de familia.
22.7 7.6 29.5 15.19 31.9
19.9 26.6 16.2 27.9 23.2
24.6 30.9 5.0 32.1 4.0
47.4 24.0 17.0 15.1 18.8
29.9 34.2 43.4 57.0 12.3
33.7 27.1 36.3 25.0
17.7 27.9 20.5 32.5
27.8 42.9 18.1 32.0
29.7 19.2 10.0 30.3
23.5 11.6 29.4 33.5
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Calcular e interpretar:
a) La Media
b) La Mediana
c) La Moda
3. De un total de 100 números, 15 eran 4; 45 eran 5; 25 eran 6; 15 eran 7
Calcular:
a) La Media
b) La Moda
c) La Mediana
4. Dado la distribución de frecuencia de alturas de 449 plantas en
centímetros.Clases if
[ 45 - 50 ] 2
[ 50 - 55 ] 7
[ 55 - 60 ] 18
[ 60 - 65 ] 36
[ 65 - 70 ] 59
[ 70 - 75 ] 74
[ 75 - 80 ] 88
[ 80 - 85 ] 72
[ 85 - 90 ] 44
[ 90 - 95 ] 30
[ 95 – 100 ] 11
[ 100 – 105 ] 5
[ 105 – 110 ] 3
TOTAL 449
if
A)Media geométrica
b)Media armónica
c)Media aritmética
d)Cuartil 1
e)Cuartil 3
f)Decil 4
g)Decil 7
h)Percentil 2
i)Percentil 93
j)La Moda y Cuartil 2
K)Rango
l) Desviación Media
m) Varianza
n) Desviación Estándar.
o) Coeficiente de Variación
p) Coeficiente de Asimetría de
Pearson
q) Coeficiente de Kurtosis
En forma hipotética calcular:
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76
1. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD
2. CONCEPTO DE PROBABILIDAD
Jacob Bernoulli, Abraham de Moure, Thomas Bayes y Joseph Lagrange inventaron
fórmulas y técnicas de probabilidad. En el siglo XIX Pierre Simon, Marques de
Laplace, unificó esas primeras ideas y formuló la primera teoría general de la
probabilidad.
La teoría de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de
juegos y, lo que es mas importante para nuestro estudio con el tiempo, también se
aplicó a otros problemas socioeconómicos. La teoría matemática de la probabilidad
constituye el fundamento de las aplicaciones estadísticas tanto en la investigación
social como en la toma de decisiones.
La probabilidad es la posibilidad de que ocurra algo. Las probabilidades se expresan
como fracciones o como decimales entre 0 y 1. Asignar una probabilidad de cero
significa que algo nunca ocurrirá; una probabilidad de 1 indica que algo sucederá
siempre.
La noción de probabilidad viene de la necesidad de medir de alguna manera la
certeza o la duda de que algún suceso ocurra o no.
El fin de la teoría de probabilidades es examinar las formas y los medios de obtener
esas medidas de certeza, así como encontrar los métodos para combinarlos
cuandointervienen varios sucesos en un experimento.
- Define lo que es probabilidad.
Explica los términos experimento, espacio maestral y evento.
Maneja los principios de probabilidad.
Cuenta el número de subconjunto que se puede armar a partir de un conjunto.
Analiza y calcula problemas de permutación, variación y combinación.
Describe los enfoques clásicos de frecuencia relativa y subjetiva para
probabilidad.
Define los términos de probabilidad condicional, frente a apuestas y de
espacios muestrales finitos.
Calcula posibilidades utilizando el teorema de Bayes.
-
-
-
-
-
-
-
PROBABILIDAD
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3.EXPERIMENTO
4. ESPACIO MUESTRAL (
5.EVENTO O SUCESO (A)
Experimento es la prueba, ensayo u observación de un hecho o fenómeno.
Los experimentos pueden ser
3.1.Experimento Determinístico
Es cuando anticipadamente sabemos lo que va a ocurrir, o sea donde entra la
voluntad del hombre, el resultado puede determinarlo, la persona.
Ejemplos:
Cuando se lanza una flecha hacia arriba, se sabe que va a caer.
Cuando se suma números pares, el resultado será también un número par.
3.2.ExperimentoAleatorio
Son aquellos cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización.
Son experimentos que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las
mismas condiciones. En este experimento no funciona la voluntad del hombre.
Ejemplos:
Cuando lanzamos un dado, no sabemos que numero va a salir.
Predecir la duración de una conversación telefónica.
Lanzar un proyectil hacia un blanco determinado, no sabemos si dará en el
blanco.
Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio.
Ejemplo:
Experimento E: lanzar un dado
Espacio Muestral S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E: lanzar dos monedas
S:{(cara, cara), (sello, sello), (cara, sello), (sello, cara)}
E: elegir una persona en la calle, en cuanto a su estado civil
S:{casado, soltero, viudo, divorciado, conviviente}
El evento o suceso es el resultado de cada una de las realizaciones del
experimento aleatorio; o sea, un resultado que presenta cierto atributo o
característica que nos interesa para su análisis.
-
-
-
-
-
-
-
-
) (Ω)S
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Estadística
78
El evento o suceso es un subconjunto del Espacio Muestral.
Al lanzar una moneda y un dado, obtener cara y un numero par.
SucesoA= {(c, 2), (c, 4), (c, 6)}
Al lanzar dos dados, dé como resultado 7.
A= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
De un grupo de personas A, B; C; D, elegir una comisión de tres personas en el que
esteA. A= {(ABC), (ABD), (ACD)}
De cuatro librosA, B, C, D, se quieren guardar en un estante, donde C siempre este
ultimo.
A= {ABCD,ADBC, DABC, BADC, BDAC, DBAC}
Cualquier suceso que sea igual al conjunto vació se llama
, y por tanto, será un suceso que no se produce nunca. Cualquier
suceso que sea igual al espacio muestral se llama (es el
suceso que ocurre siempre).
Ejemplos:
En el lanzamiento de una moneda:
Obtener cara y sello es un suceso imposible.
Obtener cara o sello es un suceso seguro.
En el lanzamiento de un dado:
Obtener un número negativo es un suceso imposible
Obtener un número menor que siete es un suceso seguro.
* Realizar 10 ejemplos de experimentos aleatorios con un suceso y determinar su
espacio muestral y el suceso o evento por extensión.
5.1.
En el conjuntote todos los eventos o sucesos del espacio muestral, se pueden
definir operaciones entre los eventos.
Ejemplos:
OPERACIONES CON EVENTOS O SUCESOS
-
-
-
-
-
-
suceso
imposible
suceso seguro
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a)
Es designado por A B, es el evento que esta formado por los elementos del
espacio muestral que están en A, en B o en ambos eventos a la vez.
)
Es la designación por A B o AB, es el evento formado por los elementos
comunes a A y B.
El complemento de a se denota con ,A' o , se define con el evento formado
por los elementos del espacio muestral que no están en A.
El evento se realiza cuando el evento A no se realiza.
Ejemplos:
En el experimento aleatorio lanzar un dado, sean los sucesos:
K: obtener número par
L: obtener múltiplo de 3
K= {2, 4, 6}
L= {3, 6}
Reunión o Unión de Eventos
b Intersección de Eventos
c)Complemento de un Evento
Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
È
A È B
A B
A Ç B
BA
A ,A’ o cA
A
Ç
A
A
cA
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80
Se tiene:
Decimos que dos sucesos A y B son incompatibles si no pueden verificarse
simultáneamente, es decir, si
5.2. PROPIEDADES
a)Asociatividad
b)Conmutatividad
c)Simplificación
d)de Impotencia
e) Complementación
f) Universal e Ínfimo
g) Distributiva
K È L = {2, 3, 4, 6}
K ÇL = {6}
K =K’ = {1, 3, 5}
L = L’ = {1, 2, 4, 5}
A È (B È C) = (A È B) È C
A Ç (B Ç C) = (A Ç B) ÇC
A È B = B È A
A Ç B = B Ç A
A È (B Ç A) = A
A Ç (B ÈA) = A
A È A = A
A Ç A = A
A È A’= Ω
A ÇA’= Ø
A È Ω = Ω
A ÇΩ = A
A ÈØ = A
A Ç Ø = Ø
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A ÈC)
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h) Leyes de Morgan
Se lanzan 2 monedas. Sean:
A = {salgan 2caras}
B = {salgan 2 sellos}
C = {salgan una cara y un sello}
Obtener los siguientes sucesos:
a)Inclusión de Suceso
Diremos que el suceso A esta incluido en B si todas las ocurrencias de A
esta incluido en B si todas las ocurrencias de A son también ocurrencias
de B, se escribe
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b)Suceso Mutuamente Excluyente
Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando no tiene
ocurrencias comunes. Se escribe:
Ejemplo:
No puede ocurrir que un abogado sea analfabeto.
Abogados y analfabetos son sucesos excluyentes.
5.3. RELACIONES ENTRE SUCESOS O EVENTOS
a) A È B b) A Ç C c) A-Bd) A’ e) C’ f) (A ÈB)’g) A È B È C h) A Ç B Ç C
(A È B)’=A’ Ç B’
(A ÇB)’=A’ ÈB’
Actividad 3.2
A Ì B
A Ç B = Ø
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82
c)Suceso Mutuamente Exhaustivo
d)Partición de Sucesos
Dos sucesos A y B son mutuamente exhaustivos cuando son a la vez
mutuamente excluyentes y complementarios. Entonces diremos:
Diremos que el espacio muestral esta particionado en A A ,A etc. .Sí solo sí
cumple las siguientes condiciones:
e) Potencia de un Suceso o Algebra de Elemento (2 )
Ejemplo:
Experimento= {lanzar una moneda}
1, 2 3,
5
A y B son mutuamente exhaustivos sí solo sí: A Ç B = Ø Ù A È B =
Ω
1º A1 ? Ø, A2 ? Ø, A3 ? Ø, …
Esto quiere decir que tiene ocurrencias2º A1 Ç A2 = Ø, A1 Ç A3 = Ø, A2 Ç A3 = Ø, …
O sea que no comparten ocurrencias, no tienen elementoscomunes.
3º A1 È A2 È A3…= ΩEs la unión de todos al unir todos los elementos y dar comoresultado el espacio muestral.
{ }scS ,=W=
422 2 ==S
{}{}{ }{ }scscS ,,,,2 Æ=Þ
{ }SS Ì= AA2
A1 A2
A3A4 …
Ω
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6.ANALISIS COMBINATORIO
PRINCIPIOS
Es una parte del algebra que estudia los distintos grupos que se pueden formar con
cierto numero de objetos, atendiendo a determinados criterios.
a)Principio de Adición
Consiste en que dado dos o más sucesos mutuamente excluyente puede ocurrir de
la primera o segunda forma.
Ocurrencia de A o B = m+n maneras
Ejemplos:
Se viaja de Lima a Huancayo, hay 2 compañías aéreas y 12 empresas
terrestres. m = 2, n = 12
Hay 14 formas de viajar (son excluyentes o mutuamente excluyentes).
Para ir de un punto de la ciudad a otro hay avenidas y jirones que son
excluyentes.
Si hay 5 avenidas y 2 jirones de cuantas maneras se puede desplazar.
Avenidas m = 5
Jirones n = 2
m+n = 5+2 = 7 maneras
b) Principio de Multiplicación
#A = m y #B = n
Ocurrencia de A y B = m
Ejemplos:
Se quiere combinar 4 chompas y 2 faldas de diferentes colores, donde:
A = 4 chompas (azul, negra, blanca, verde)
B = 2 faldas (roja, marrón)
m × n = 4 × 2 = 8 formas diferentes de combinar
-
-
-
A B
#A = m #B = n
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-
-
Cuantos números pares de 3 cifras diferentes, se pueden formar con los
dígitos 2, 3, 4, 5, y 6.
La cantidad de número de 3 cifras diferentes es: 3 × 4 × 3 = 36
Dado los dígitos 0, 1, 3, 5, 6, 8:
Cuantos números de 4 cifras se pueden escribir
Cuantos números de 4 cifras múltiplos de 5 se pueden escribir
* Cuantos números de 4 cifras impares se pueden escribir
1. Con los 10 dígitos (0, 1… 9)
a) Cuantos números de 3 cifras se pueden escribir.b) Cuantos números de 3 cifras múltiples de 5 se pueden escribir.
2.Un producto se vende en 3 mercados: en el primer mercado se tiene disponible 5tiendas, en el segundo mercado 4 y en el tercer mercado 6 tiendas, ¿De cuantasmaneras puede venderse el producto?
*
*
3 4 3
Dígitos pares
Restamos un dígito (Un dígito par se ubica al
final)
Restamos dos dígitos del total
El cero no
puede ubicarse
5 6 6 6
5 × 6 × 6 × 6 =1080
El cero no
puede ubicarse
5 6 6 2
5 × 6 × 6 × 2 =360
2 dígitos múltiplo
de 5 (el 0 y 5)
El cero no
puede ubicarse
5 6 6 3
Ubicación de los
impares
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3.Una persona puede viajar de una ciudad A a otra B de 5 formas y de B a C de 6formas diferentes. ¿De cuantas formas puede ir deAa C pasando por B?
Se llama factorial de un numero “m” o “m factorial” al producto de los m factoresdecrecientes a partir de m hasta 1.
Se designa por: !m factorial= m!
Ejemplo:5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 1203! = 3 × 2 × 1 = 6
0!=1
Calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos loselementos de un grupo, por lo tanto, se distingue de los otros en el orden.
Ejemplo:Calcular las posibles formas en que se pueden ordenar a, b y cHay 6 posibles agrupaciones: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (c, a, b), (c, b, a)
Ejemplos:
Cuantos números de 4 cifras diferentes se pueden escribir con los dígitos3, 4, 5 y 6
P = 4! = 4 × 3 × 2 × 1P = 24
De cuantas maneras diferentes pueden colocarse, en un estante 5 librosdiferentes de Estadística y tres de Biología.
a)Si no hay ninguna condición sobre las ubicaciones.b)Si los libros de cada curso deben estar juntos.c)Si solo los libros de Biología deben estar juntos.
Solución:a) P = m!
P = 8! = 8 × 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1P = 40320 maneras
b) Libros de EstadísticaP (bloque)Libros de BiologíaP (bloque)
Entre grupos de libros de Estadística y de Biología. P
7.- FACTORIAL DE UN NÚMERO
8.- PERMUTACION
8.1.- PERMUTACION ORDINARIA
-
-
4
4
m
8
8
5
3
2
P = m!m
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P × P × P = 5! 3! 2! = 120 × 6 × 2 = 1440
c) Los libros de Biología permutan entre 3 y forman un solo bloque P
Los libros de Estadística permuta entre los 5 y también permuta con elbloque de Biología. P
P × P = 3! 6! = 6 × 720 = 4320
Se refiere al cambio de posición pero en una circunferencia.Se toma cualquier punto de referencia por que no hay centro.
Ejemplo:De cuantas formas diferentes pueden sentarse 10 ministros alrededor de unamesa si:
a) Si pueden sentarse de cualquier forma.b) Dos ministros determinados deben estar juntos.c) Dos ministros determinados no deben estar juntos.
Solucióna) P C = P C = (10-1)! = 9! = 362880 formas
b) Dos ministros siempre juntos se considera como 1. Pero permutan enellos P y luego permutan con los 8 restantes formando como si fueran 9ministros.
c)
5 3 2
3
6
3 6
m 10
2
8.1.PERMUTACION CIRCULAR
8.3. PERMUTACION CON REPETICION
P C = (m-1)!m
formasPCP 80640!2!8!2)!19(29 ==´-=´
a) ( ) 282240806403628802910 =-=´- PCPCP
!!
!
2121 mm
mPm
mm =
m = total de elementos
Repetición: Por que los elementos pueden entrar varias veces en lasagrupaciones.
Ejemplo:- Cuantos numeros de cuatro cifras se pueden escribir con dos5 y
dos 7
manerasPPm
mm 64
24
!2!2
!44
2,2, 21====
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Por extensión:5 7 7 5 7 5 5 75 7 5 7 7 5 7 55 5 7 7 7 7 5 5
-Cuantos signos diferentes, cada una de 6 banderas, colocadas en línea verticalpueda formarse con un conjunto de 4 banderas rojas y 2 banderas blancas.
manerasP 1548
720
224
720
!2!4
!66
2,4 ==´
==
9. VARIACIONEs una forma de permutación, en el cual no interviene todos los elementos.
9.1. VARIACION SIMPLE O GENERAL
)!(
!
nm
mV m
n -=
mn
= todos los elementos= parte de m
Ejemplos:- De cuantas maneras diferentes se pueden presentar a, b, c y d
tomados de dos en dos.
manerasV 122
24
)!24(
!44
2 ==-
=
- De un conjunto de 6 candidatos, de cuantas maneras se puedenelegir 3, Presidente, secretario y tesorero.
manerasV 1206
720
)!36(
!66
3 ==-
=
9.2.- VARIACION CON REPETICION
nm
n mrV =
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Ejemplos:- De cuantas maneras diferentes pueden presentarse a, b, y c
tomados de dos en dos con repetición.9323
2 ==rV maneras
- Cuantos números de dos cifras, con repetición se pueden escribircon 5, 6, 7 y 8
16424
2 ==rV maneras
10. COMBINACIONSon ciertos arreglos que se hacen con una parte del total de elementos, en el cualno interesa el orden, o sea un grupo del otro se diferencia de elemento enelemento.
10.1. COMBINACIÓN SIMPLE O GENERAL
)!(!
!
nmn
mC m
n -=
m = total de elementosn = parte de m
Ejemplos:
En una reunión hay 15 personas. Cuantos apretones de manos sedarán al saludarse todos ellos entre sí.
-
K
K
´´´´´´
==-
=1312
131415
!13!2
!15
)!215(!2
!1515
2C
(se puede simplificar)
= 2105
105 apretones=
- En una reunión hay 10 varones y 6 damas. De cuantas maneraspueden colocarse en una fila de grupo de 5; de los cuales 3 seanvarones y 2 mujeres.
Solución:Forma de escoger varones 10
3C
Forma de escoger damas 6
2C
En al fila se pueden permutar entre 5 5P
Total de maneras = !5
6
2
10
3 PCC ´´
= !5)!26(!2
!6
)!310(!3
!10´
-´
-
= 21600012015120 =´´Universidad Peruana Los Andes
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10.2. COMBINACION CON REPETICIO
!)!1(
)!1(
nm
nmrC m
n --+
=
Ejemplo:- Cuantas combinaciones con repetición, obtendremos dados 4
símbolos diferentes, tomados de tres en tres.
nescombinacio
rC
20
36
720
!3!3
!6
!3)!14(
)!134(4
3
=
==-
++=
11. DIAGRAMAS DE ARBOL
Un diagrama de árbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados
posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder
en un número finito de maneras. La construcción de diagramas de árbol se ilustra en
los siguientes ejemplos.
Ejemplo:
Marcos y Enrique intervienen en un torneo de tenis. La primera persona que gane
dos juegos seguidos o que complete tres gana el torneo. El diagrama siguiente
muestra los posibles resultados del torneo.
M
E
M
M
M
M
M
M
M
M
E
E
E
E
E
E
E
E
Nótese que hay 10 puntos finales que corresponden a los 10 resultados posibles
del torneo:
MM, MEMM, MEMEM, MEMEE, MEE, EMM, EMEMM, EMEME, EMEE, EE
El recorrido desde el principio del árbol a los puntos finales indica quién ganó
cada juego en el torneo individual.
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1. Auna reunión asistieron, 2 damas y 3 caballeros.
A) ¿De qué maneras pueden sentarse en una fila?
b) ¿De cuántas maneras se pueden sentar alrededor de una mesa circular?
c) ¿De cuántas maneras pueden sentarse si las damas se sientan juntas y los
caballeros también?
d) ¿De cuántas maneras pueden sentarse si las damas se sientan juntas y los
caballeros también, pero alrededor de una mesa circular?
e) ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si las damas siempre están
juntas?
2. En una carrera de caballos participan 19 ejemplares, si se trata de que usted acierte
los tres primeros puestos en la clasificación final. ¿De entre cuantas posibilidades
tendría que escoger una?
3. Con 6 consonantes y 5 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras pueden formarse, que
consta de tres consonantes y tres vocales?. NO interesando que las palabras así
formadas tengan significado.
4. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.
a) ¿De cuantas maneras tiene que escoger?
b) ¿De cuantas maneras, si las tres primeras son obligatorias?
a) ¿De cuantas maneras, si tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?
5. De un total de 5 preguntas teóricas y 7 preguntas prácticas, un estudiante debe
resolver 2 de teoría y 3 de práctica.
a) ¿De cuantas formas puede escoger?
b) ¿De cuantas formas si debe resolver obligatorio una pregunta practica?
c) ¿De cuantas maneras debe escoger si dos preguntas teóricas determinadas no
deben resolver?
1. Se corre una carrera en la que dan premios a los dos primeros participantes que
crucen la línea de la meta. Si hay cuatro corredores (K, L, M, N)
¿De cuantas maneras diferentes pueden repartirse las copas los participantes?
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12. DEFINICION CLASICADE PROBABILIDADES
Si un espacio muestral tiene n eventos sencillos o elementales, todos igualmente
factibles, posibles o equiprobables entonces las probabilidad del evento A es igual al
número de casos favorables (elementos de A) sobre el numero de casos posibles
(elementos del espacio muestral)
Ejemplo:
Al lanzar un dado cual es la probabilidad de obtener un número par.
#S = 6
A = {2, 4, 6} #A= 3
En una urna hay 3 bolas negras y 4 bolas rojas. Si se extrae una bola al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que esta sea roja?
S= {N, N, N, R, R, R, R}
A= {R}
12.1. Axiomas de Probabilidad
a) La probabilidad de cualquier evento es un número no negativo
b) La probabilidad del espacio muestral es 1
c) La probabilidad de un evento vacío es igual a cero
d) SiAy B son dos eventos mutuamente excluyentes; esto es si:
-
-
Ω = S = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}
( ) W==
#
# A
posiblescasosdeNúmero
favorablescasosdeNúmeroP A
( ) 5.02
1
6
3
#
#ó
S
AP A ===
( ) 57.07
4
#
#ó
S
AP A ==
)(0 AP£
1)( =SP
0)( =ÆP
Æ=Ç BA
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Entonces:
12.2. Teoremas de Probabilidad.
a) La probabilidad del complementote un evento es igual a unión menos la
probabilidad de dicho evento.
b) Si y (algebra de los elementos) yAB entonces:
c) entonces
d) SiAy B entonces
Ejemplos:
SeanAy B, dos eventos que no sean mutuamente excluyentes, tal que:
A B 2
SiAy B
E5
E
E
2
2
5
5
-
)()()( BPAPBAP +=È
)(1)'( APAP -=
)()( APBP ³
)()()( BAPAPBAP Ç-=-
)()()()( BAPBPAPBAP Ç-+=È
10.0)(
30.0)(
20.0)(
=Ç
=
=
BAP
BP
AP
A B
0.100.10
0.20
S
Hallar:
a) )'(AP
b) )''( BAP Ç
c) )''( BAP È
d) )'( BAP Ç
e) )'( BAP Ç
f) )'( BAP È
Solución:
a)
80.0
20.01
)(1)'(
=
-=
-= APAP
)''( BAP Ç
b)
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De la ley de Morgan
)'('' BABA È=Ç
)'()''( BAPBAP È=ÇÞ
Pero de:
60.0
40.01
)(1)'(
=
-=
È-=È BAPBAP
)''( BAP È
90.0
60.070.080.0
)''()'()'()''(
=
-+=
Ç-+=È BAPBPAPBAP
C)
d)
e)
e)
Otra forma de obtener:
De la ley de Morgan
90.0
10.01
)(1
)'()''(
=
-=
Ç-=
Ç=È
BAP
BAPBAP
)'( BAP Ç
20.0
10.030.0
)()()(
)'()'(
=
-=
Ç-=-=
=Ç
teoremaBAPBPABP
igualessignificaBAPBAP
)'( BAP Ç
10.0
10.020.0
)()()()'(
=
-=
Ç-=-=Ç BAPAPBAPBAP
)'( BAP È
90.0
20.030.080.0
)'()()'()'(
=
-+=
Ç-+=È BAPBPAPBAP
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94
SeanAy B cualesquiera, tal que:
Hallar:
Cuando nos planteamos ciertas preguntas
¿Cuál es la Probabilidad de vender 2 cocinas en esta semana o de vender una
cocina y una refrigeradora?
¿Cuál es la probabilidad de que Rubén apruebe la asignatura de Estadística?
Para contestar estas dos preguntas no nos sirve la definición clásica, en este caso
necesitamos más información, para lo cual recurrimos a otros tipos de definiciones,
por ejemplo, a la definición por frecuencia relativa, la cual se define de la siguiente
manera:
Sea
Apertenecer al algebra de elementos.
La frecuencia absoluta ( ) es el número de veces que ocurre este evento en una
serie de n repeticiones similares del experimento y denotamos por , entonces la
frecuencia relativa ( ) del evento esta dado por:
Luego:
1º
2º La frecuencia relativa de todo el espacio muestral será:
13. PROBABILIDAD DE FRECUENCIARELATIVA
A
41
32
43
)(
)'(
)(
=Ç
=
=È
BAP
AP
BAP
a) )(BP
b) )'( BAP Ç
c) )''( BAP Ç
d) )'( BAP È
SA 2Î
fi
Af
ih
10 ££ Ah
h =A
fhA
= P (A)
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Universidad Peruana Los Andes 95
1===n
n
n
fh S
S
BABA hhh +=È
i Salario if ih
1 [ 319 – 369 ] 4 0.06
2 [ 369 – 419 ] 6 0.08
3 [ 419 – 469 ] 9 0.13
4 [ 469 – 519 ] 13 0.18
5 [ 519 – 569 ] 15 0.21
6 [ 569 – 619 ] 13 0.18
7 [ 619 – 669 ] 12 0.17
TOTAL 72 1
%3939.0
21.018.0
)()()(
54
5454
@=
+=
+=
I+I=IÈI
hh
PPP
La probabilidad de encontrar un trabajador que ganes de s/205 a s/233 es del
39%
El siguiente cuadro contiene la clasificación de 321 obreros de una empresa
respecto a dos características:
1º El numero de años que están trabajando en la empresa.
2º Su respuesta a la pregunta “Desea usted ir a la huelga para obtener un
aumento de salario”.
-
Ejemplos:
- Al escoger al azar un trabajador de la tabla ¿ Cuál es laprobalidad de que estegane de S/. 205 a S/. 233 ?
Tabla de Frecuencia de Salarios de Trabajadores
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Estadística
96
Número de Años de la Empresa
RespuestaMenos
de 1
año
1 a 3 4 a 10Más de
10
Total
Si 27 54 137 28 246
No 14 18 34 3 69
No se 3 2 1 0 6
Total 44 74 172 31 321
A B C D
¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar:
a) Tenga de 1 a 3 años en la empresa.
b) Haya contestado “si” a la pregunta.
c) Contesto “si” y esta trabajando en la empresa de 1 a 3 años
d) Contesta “si” y pertenece por lo menos 4 años a la empresa.
Para facilitar la solución ponemos letras mayúsculas a las filas y columnas.
Solución:
a) %05.232305.0321
74)( ===BP
b) %777663.0321
246)( ===MP
c) %171682.0321
54)( ===Ç BMP
d)
( )[ ] ( ) ( )[ ]
%4.51514.0321
165
321
28
321
137
)()(
===
+=
Ç+Ç=
ÇÈÇ=ÈÇ
DMPCMP
DMCMPDCMP
MNÑ
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Universidad Peruana Los Andes 97
En una encuesta se determino que la probabilidad de que una persona consuma el
producto A es 0.5, que consuma B es 0.37, que consuma el producto C es 0.3, que
consuma A y B es 0.12 que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma
solamente B y C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15 ¿Calcular la
probabilidad de que una persona escogida al azar consuma:
a) Solamente consuma el producto B
b) Por lo menos dos de los productos
c) Exactamente dos productos
d) Que consumaAo B pero no C
En la vida diaria hay ciertas preguntas que se hacen ciertos especialistas.
Ejemplo:
a) Un medico investigador dirá que al termino de esta década se va a obtener
una vacuna contra el SIDA.
b) Un ingeniero de la NASA dirá que dentro de 20 años estaremos viajando a
Venus.
Este tipo de probabilidad no se puede contestar con la definición clásica ni con la
de frecuencia relativa, porque no dió anteriormente e le enfoque es subjetivo por
que hay una sola oportunidad de ocurrencia de este evento.
La probabilidad subjetiva de la ocurrencia de un evento A es un numero
asignado por un individuo de acuerdo a las evidencias que dispone otra persona
con otras evidencias podría asignar a la ocurrencia del mismo evento A, otra
probabilidad diferente (número diferente al anterior).
Sea A un evento cualquiera. Si las a apuestas a favor de A son de 5 a 3, esto
significa que la probabilidad deAes:
5 a 3 a favor deA
Interpretación: de 8 ocurrencias, 5 es a favor deA.
14.- PROBABILIDAD SUBJETIVA
15.- PROBABILIDAD FRENTE A APUESTAS
P(A) =5
6 + 358
=
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98
Ejemplo:En una carrera de caballos, el caballoAtiene la apuesta 3 a 5, mientras que el caballo
B tiene 1 a 4 ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de estos dos caballos gane?.
Pero como son mutuamente excluyentes
En una carrera de autos, el auto K tiene las apuestas 5 a 1 en su contra, mientras que
el auto M las tiene 9 a 1 en su contra. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de
estos autos gane?
Otro método para asignar probabilidades en espacios muestrales finitos.
donde =finito
Se asigna a cada una Wi probabilidad Pi , tal que la probabilidad de,
la suma de las probabilidades asignados a los elementos y espacio muestral es la
unidad, además cada uno es mutuamente excluyente y relativamente exhaustivo.
Ejemplo:
En el hipódromo los caballosA, B, C, D compiten en una carrera.A tiene 2 veces mas
probabilidad de ganar que B; B tiene 2 veces mas probabilidad que C y C tiene 2
veces mas probabilidad que D.
a) Cuales son las probabilidades de ganar de cada uno de los caballos.b) Cual es la probabilidad de que B o C gane.
1. PROBABILIDADES DE ESPACIOS FINITOS
5
1
41
1)(
8
3
53
3)(
=+
=
=+
=
BP
AP
%5.57575.040
23
5
1
8
3
)()()(
===
+=
+=È BPAPBAP
{ }nWWWWS K,,, 321=
11
=÷ø
öçè
æå
=
n
i
iWP
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S= {ganaA, gana B, gana C, gana D}
Este espacio muestral lo reemplazamos por:
S= { }
a)
Pero
Todos tienen la misma capacidad de ganar, así tenemos:
b)
4321 ,,, WWWW
1)()()()( 4321 =+++ WPWPWPWP
xWP
xWP
xWP
xWP
8)(
4)(
2)(
)(
1
2
3
4
=
=
=
=
15
1
115
1842
=
=
=+++
x
x
xxxx
( )( )( ) %5353.088)(
%2727.044)(
%1313.022)(
%7067.015
1)(
152
151
1
152
151
2
152
151
3
4
=====
=====
=====
===
xWP
xWP
xWP
WP
%404.015
6
152
154
)()()( 3232
===
+=
+=È WPWPWWP
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Estadística
100
En una competencia participan 3 jóvenes 4 señoritas y 2 niños. Si los jóvenes tienen
el doble de habilidad de las señoritas y estas el triple de habilidad de los niños.
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Gane un joven
b) Gane una señorita
c) Gane un niño
d) Gane un niño o una señorita
Mide la proposición de veces que ocurre B de entre las que ha ocurrido A.
Sea A un suceso cuya probabilidad es distinta de cero; y sea B cualquier suceso: se
llama probabilidad de B condicionado a A al cociente:
6.1.- Axiomas
I) Para cualquier suceso E
Por ser cociente de números no negativos.
II) Sean B y C dos sucesos incompatibles (B C = O ). Entonces:
17. PROBABILIDAD CONDICIONAL
( ))(
)(
AP
BAPA
BPÇ
=
( ) 0)(
)(³
Ç=
AP
AEPA
EP
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )A
CPA
BP
AP
ACABP
AP
ACBPA
CBP
+=
ÇÈÇ=
ÇÈ=È
)(
)(
Actividad 3.9
U
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III)
Por ser
6.2. Probabilidad de la Intersección de dos sucesos.
Consecuencia:
Ejemplo:
En una encuesta que se hace a 112 personas sobre el color de los ojos se obtiene
la siguiente tabla de resultado.
( ) ( )1
)(
)(
)(==
ÇW=W
AP
AP
AP
APA
P
AA =ÇW
( ) ( )A
BPAPBAP ´=Ç )(
Asunto Ojos Azules
(A)
Ojos Negros
(N)
Total
Varones (V) 20 30 50
Mujeres (M) 22 40 62
Total 42 70 112
Si la elección se hace sin condiciones, la probabilidad de elegir una
persona con los ojos azules es:
De elegir una persona con los ojos negros será:
Sin embargo, si la elección la hacemos solo entre los varones, la
probabilidad de ojos azules y los ojos negros respectivamente son:
Y
Lo anterior se denota que son probabilidades calculadas sobre el
conjunto de los varones, se escribe P que se lee “Probabilidad de A
condicionada a V”; por lo tanto, las condicionadas son:
Considerando lo anterior se dan otras probabilidades condicionadas,
ejemplo:
8
3
112
42)( ==AP
8
5
112
70)( ==NP
5
2
50
20)( ==AP
5
3
50
30)( ==NP
( )( )
5
3
5
2
=
=
VNP
VAP
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102
Luego, podemos ver:
Entonces:
Se extraen dos cartas de una baraja de 52. Calcular la probabilidad de que
ambas cartas sean reyes.
Solución:
Hacemos A al evento que “la primera carta es un rey” y B al evento que “la
segunda carta es un rey”, nos piden calcular que o sea “ambas cartas son
reyes”.
La probabilidad es de
-
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18. SUCESOS INDEPENDIENTES
1. Una urna contiene 10 bolas rojas y 6 negras. Se sacan dos bolas sin posibilidad
de reemplazarlo. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea negra si
se sabe que la primera ha sido negra?
2. Calcular la probabilidad de obtener cuatro 2 al lanzar cuatro dados.
Se dice que un suceso B es independiente de otro A cuando
es decir, el suceso A no influya en B por lo tanto: diremos que A y B son
independientes cuando ocurre que:
Ejemplo:
Se extraen sucesivamente y con devolución dos bolas de una bolsa que
contiene 4 bolas enumeradas del 1 al 4. Sea A el suceso de “obtener
numero par en la primera extracción” y B el suceso “de extraer la segunda
bola sea impar” ¿Son A y B independientes?
Se tiene que verificar que:
Los casos favorables de “par en la primera e impar en la segunda” es:
Solución:
( ) ( )BPA
BP =
BAÇ
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104
En total son 4 casos de un total de
casos posibles, por tanto
luego
Los sucesos son independientes.
El teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al teorema de
probabilidad total.
El teorema de Bayes dice:
Donde:
Son sucesos tales que
, siendo el espacio muestral
Y donde si , y V es un suceso del que se conocen las
probabilidades condicionales , además de conocerse las
probabilidades .
Ejemplo:
El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de
semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%
b) Que nieva: probabilidad de 30%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente 20%
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra
un accidente es la siguiente:
a) si llueve: probabilidad de accidente 10%
b) si nieva: probabilidad de accidente 20%
19. TEOREMA DE BAYES
E
ni AAA ,,, 2 K
EAAA n =ÈÈÈ K21
Æ=Ç ji AA
÷øö
çèæ
iABP
( )iAP
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c) si hay niebla: probabilidad de accidente 5%
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la
ciudad no sabemos que tiempo hizo. El teorema de Bayes nos permite
calcular estas posibilidades.
1) Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido
un accidente se denomina “Probabilidad a priori” (lluvia con el 60%, nieve
con el 30% y niebla con el 10%).
2) Una ves que incorporamos la información de que ha ocurrido un
accidente, las probabilidades del suceso a cambian, son probabilidades
condicionadas P (A/B) que se denominan “Probabilidades a posteriori”.
Solución:
Aplicamos la formula:
a) La probabilidad de que estuviera lloviendo
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del
accidente (probabilidad posteriori) es del 71.4%
b) Probabilidad de que estuviera nevando
La probabilidad de que estuviera nevando es 21.4%
c) Probabilidad de que hubiera niebla
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106
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7.1%
Un laboratorio somete a los choferes que cometen accidentes de tránsito a
un test de “dopaje etílico”. Se ha determinado que:
Cuando el chofer está ebrio, el test proporciona resultado positivo en el
95% de los casos.
Cuando el chofer no está ebrio, el test proporciona resultado negativo en
el 94% de los casos.
El 2% de los conductores que cometen accidentes manejan ebrios.
¿Cuál es la probabilidad de que el chofer esté ebrio dado que el resultado
fue positivo?
-
-
-
AVILAA., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998.
CALZADAB., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966.
GALDOS, L. Dominando las Matemáticas: Calculo y Estadística II y III, tomo 15 y 16,Edición El Popular, Lima-Perú, 2005.
LIPSCHUTZ, S. Probabilidad. Editorial McGraw Hill. Colección Serie Schaum.Colombia. 1970
MOYA, Rufino y SARAVIA, G. Probabilidad e Inferencia Estadística. Editorial SanMarcos. 2ª edición, Lima.
TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. Editorial Addison Wesley Longman. 7ª Edición,México 2000.
VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ªEdición. Lima 1993.
En el siguiente fascículo, estudiaremos las mas importantes Distribuciones deProbabilidad, tanto de variables discreta como de variables continuas.
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NOMBRE:_______________________________________________________
APELLIDOS:________________________________ FECHA: ___/___/___
CIUDAD:___________________________________ SEMESTRE:_________
1. El testigo de un atropello recuerda que la placa del auto tiene 6 dígitos
diferentes y solamente ha memorizado los tres primeros que son: 3, 4, 7,… ¿
Cuántos números de placas diferentes tendrá que investigar la policía?
2. Siete varones y cinco mujeres van a formar comités de 6 personas. ¿De
cuantas maneras pueden formarse si:
a) En el comité hay tres mujeres?
b) Cuándo cómo mínimo 3 mujeres?
3. En un examen de Estadística, un estudiante debe responder 6 preguntas de 10
dadas. ¿De cuántas maneras diferentes debe escoger si debe responder por lo
menos 2 de las 5 primeras preguntas?
4. Un club de voley cuenta con 12 jugadoras. ¿De cuantas maneras diferentes
puede formar un equipo el entrenador, sabiendo que siempre tiene que estar Rosa
que es la preparadora?
5. En una reunión hay tres jóvenes y tres señoritas.
a) ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse en una banca, tanto los
jóvenes como las señoritas si deben estar juntos?
b) ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse si solamente las señoritas
deben estar juntas?
C) ¿de cuantas maneras diferentes pueden sentarse en una banca si los jóvenes
ocupan los lugares pares?
6. Una joven tiene 6 amigas, de las cuales invitara para sus cumpleaños solamente
a tres
a) ¿De cuantas maneras debe hacer la invitación si dos de sus amigas están
enemistadas y no pueden asistir juntas?
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108
a) )''( BAP Ç
b) )'( BAP È x
b) ¿de cuantas maneras debe hacer la invitación, si dos de ellas
solamente pueden asistir juntas?
7. Tres señoritas Maria, Magna y Maritza, compiten en un curso de belleza. Los
premios solamente son otorgados a olas que ocupen el primer y segundo lugar.
a) Liste los elementos del espacio muestral correspondiente al
experimento al “Elegir las dos ganadoras”
b) Liste el Evento o suceso “Magna y Maria ganan los premios”.
8. 10 libros son colocados aleatoriamente en un estante. Determinar la probabilidad
que 4 libros determinados sean colocados juntos.
9. En una carrera de caballos, el caballo que tiene la apuesta 7 a 2 , en su contra,
mientras que el cabalo R 8 a 5, en su contra¿ Cual es la probabilidad que cualquiera
de esto gane?
10. Una clase consta de 10 varones y 20 mujeres de los cuales, la mitad de los
varones y la mitad de las mujeres viven en Huancayo. Hallar la probabilidad que una
persona escogida al azar sea un varón o sea de Huancayo.
.11. Sean los eventosAy B
Hallar:
12.Una compañía comercial tiene 130 sucursales localizados en las tres regiones
naturales del país, se dedican a la venta de diversos artículos, tales como aparece
en el cuadro.
Se selecciona al azar una sucursal para colocar en el mercado un nuevo producto
que puede ser vendido por cualquiera de las sucursales.
Hallar la probabilidad que las sucursales seleccionadas no esten localizada en la
selva o vendan repuestos
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Universidad Peruana Los Andes 109
1. - VARIABLES ALEATORIAS
2.- CLASES DE VARIABLESALEATORIAS
Una variable aleatoria es una variable que tiene un solo valor numérico, determinado
por el azar, para cada resultado de un experimento. Es representada por lo general por
la x.
Ejemplos:
x = El número de señoritas entre 30 empleados controlados.
x = El peso en kg de un niño escogido al azar.
x = El número de accidentes de motocicletas de entre 20 accidentes de carretera,
seleccionadas al azar.
a) VariableAleatoria Discreta
Es aquella que tiene un número finito de valor o un número de valores susceptibles
de contarse.
Ejemplo:
- El número de personas que entran al estadio a ver un partido de fútbol, es un
número entero y se obtiene por conteo.
b) VariableAleatoria Continua
Es aquella que tiene un número infinito de valores y se obtiene por mediciones en
una escala continua.
Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante
Define lo que son variables aleatorias y conoce sus clases
Define lo que es la Distribución de Probabilidad y conoce sus clases
Calcula e interpreta las Distribuciones de Probabilidad Discreta como: La
binomial, la de Poisson, la Geométrica, la Hipergeométrica, y la Multinomial
Calcula e interpreta las distribuciones de probabilidad continua como: La normal
“Z” y la de Student “t”
Calcula y conoce los parámetros de la Distribución de Probabilidad.
-
-
-
-
-
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
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Ejemplo:
- La medida de tallas de un grupo de estudiantes de la UPLA. La talla se obtiene por
medición y cuyos valores son enteros y decimales o números quebrados.
Colección de valores de una variable aleatoria junto con sus correspondientes
probabilidades. O sea, da la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria.
a) La suma de las probabilidades individuales debe ser igual a 1 y se basa en la regla de
la suma para sucesos mutuamente excluyentes.
Donde x asume todos los valores posibles
b) Para cualquier suceso implica que la probabilidad individual debe estar entre 0 y 1 para
cualquier valor de la variable aleatoria.
Para todos los valores de x
Ejemplo:
- Determina si es una distribución de probabilidad: donde x puede ser 0, 1 o 2
Solución:
Para la función vemos que:
Si se trata de una distribución de probabilidad debe cumplir con los requisitos:
a)
b) Cada uno de los valores de esta entre 0 y 1
Respuesta
Cumple con los requisitos, por lo tanto es una distribución de probabilidad.
3.- DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
A.- REQUISITOS DE UNADISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
å =1)( xP
10 )( ££ xP
3)(xP x =
)( xP
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112
B. CLASES DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
4.- DISTRIBUCION BINOMIAL
a) Distribuciones de Probabilidad Discreta Importantes
- Distribución Binomial
- Distribución de Poisson
- Distribución Geométrica
- Distribución Hipergeometrica
- Distribución Multinomial
b) Distribuciones de Probabilidad Continua Importantes
- Distribución Normal o Gauss “z”
- Distribución de student “t”
- Distribución chi cuadrado “”
- Distribución “F”
Es el conjunto de todos los valores posibles de una variable discreta y las
probabilidades que le son asociadas.
La Distribución Binomial se usa para encontrar la probabilidad de x números de
ocurrencias de un suceso, en n ensayos del mismo experimento cuando:
1º Solamente hay dos resultados posibles y mutuamente excluyentes: éxito y fracaso ó
acierto y no acierto.
2º Los n ensayos son independientes.
3º La probabilidad de ocurrencia permanece constante en cada ensayo.
= número de experimento o ensayo
= probabilidad de acierto o éxito
= probabilidad de no acierto o fracaso
= suceso que se busca
)( xP
n
p
q
x
1=+ qp
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Toda Distribución Binomial tiene:
- Media o Esperanza Matemática o Valor Esperado
- Varianza
- Desviación estándar
Ejemplo:
- Un matrimonio planifica el nacimiento de 4 hijos. Hallar la probabilidad que:
a) haya un varón
b) 3 sean varones
c) ningún varón
d) a lo mas 2 varones
e) sean 2 o 3 varones
f) hallar la media y la desviación estandar
Solución
n=4 hijos
p=1/2 = 0.5
q=1 p = 1 0.5 = 0.5
a)
La probabilidad de que haya un varón es del 25%
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114
b)
La probabilidad de que ninguno sea varón es del 25%.
c)
La probabilidad de que ninguno sea varón es del 6.25%.
d)
Aprobabilidad que a lo más sean 2 varones es del 68.75%
e)
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La probabilidad que a lo mas seas 2 ó 3 varones es del 62.5%
f) La media o valor esperado
La desviación estándar
A. Se ha calculado que el 9% de la producción de una planta de lapiceros es defectuosa.
a) Calcular la probabilidad de obtener 3 lapiceros defectuosos en una muestra de 8
lapiceros.
b) Hallar la media y la desviación estándar.
B. El 20% de fluorescentes en cierto lote es defectuosa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 fluorescentes defectuosos por docena?
b) Hallar el valor esperado y la varianza.
Es una distribución de probabilidad discreta que se aplica a ocurrencias de algún suceso
dentro de un intervalo especificado. La variable aleatoria es el número de ocurrencias del
suceso en el intervalo. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna
unidad similar.
La distribución de Poisson es una distribución binomial cuyo suceso es raro, o sea:
n tiende al
p tiende a 0
q tiende a 1
np 5
5.- DISTRIBUCION DE POISSON
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116
La formula es:
e=2.71828…
X= es el suceso que se busca.
La distribución de Poisson tiene los siguientes parámetros:
- Media o Esperanza Matemática
- Varianza
- Desviación estándar
Ejemplo:
- Si el 3% de las lámparas producidas por una fabrica son defectuosas. Hallar la
probabilidad de que de una muestra de 60 lámparas sean exactamente:
a) ninguna defectuosa
b) sean 2 defectuosas
c) menos de 3 defectuosas
Solución:
n= 60 lámparas
p= 0.03 = 3%
q= 0.97 = 97%
p+q=1
a)
np
x
eP
x
x
=
=-
l
l l
!)(
lm == )( xE
ls == )(
2
)( xx V
ls =)( x
!)0(
x
eP
x
defectuosax
ll -
= =
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Universidad Peruana Los Andes 117
La probabilidad de que ninguna lámpara sea defectuosa es del 16.53%
b)
La probabilidad de que 2 lámparas sean defectuosas es del 26.78%
c)
La probabilidad de que menos de 3 lámparas sean defectuosas es del 73.064%.
A. Si tenemos = 4.2 en una distribución de Poisson encuentre:
a)
b)
c)
B. Un proceso de fabricación produce 10 artículos defectuosos por hora. Encuentre
la probabilidad de que 4 artículos defectuosos o menos provengan de la producción
de una hora dada escogida al azar usando la distribución de Poisson.
La distribución geométrica esta relacionada con un proceso e Bernoulli, excepto que
el número de ensayos no es fijo (hasta obtener el éxito)
6. DISTRIBUCION GEOMETRICA
)2( £XP
)5( ³XP
)8( =XP
Actividad 4.2
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118
La distribución Geométrica tiene los siguientes parámetros:
- Media o Valor esperado
- Varianza
- Desviación Estándar
Ejemplo:
1.La probabilidad de éxito al lanzar un cohete es 0.8 suponga que el ensayo del
lanzamiento ha ocurrido.
¿Cuál es la probabilidad que exactamente sean necesarios 6 ensayos?
p = 0,8
q = 0,2
x = 6
La probabilidad de que sean 6 ensayos es 0.03%
2. Los 2/3 de los niños de un colegio están ausentes por causa de una epidemia. En
una clase de 25 estudiantes, el profesor pasa lista.
a) Cual es la probabilidad que el décimo niño llamado sea el primero que
responda presente.
b) Calcular
c) Determine y desviación estándar
)2(,)2( ³£ xPxP
)( xE s
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Universidad Peruana Los Andes 119
a) Solución:
La probabilidad de que el décimo niño sea el primero que responda
presente es de 0.87%
b)
La probabilidad de que sea x ≤ 2 es del 55.6%
La probabilidad de que sea x ≥ 2 es del 66.7%
c)
La media es de 3 niños
La desviación Estándar es de 2 niños.
Se dispone de un aparato que fabrica objetos de plásticos. Este aparato se utiliza
hasta que aparece el primer objeto defectuoso. Se sabe que la probabilidad que el
objeto sea no defectuoso es , la probabilidad que el objeto sea defectuoso es .
Determinar la distribución de probabilidad.
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120
Se dispone de un aparato que fabrica objetos de plásticos. Este aparato se utiliza hasta
que aparece el primer objeto defectuoso. Se sabe que la probabilidad que el objeto sea
no defectuoso es , la probabilidad que el objeto sea defectuoso es . Determinar la
distribución de probabilidad.
Cuando una población finita con N elementos dividido en dos clases. Una con M
elementos (M<N) y la otra con N-M elementos. Llamaremos éxito a la primera clase y
fracaso a la segunda.
X=0, 1, 2, … min (n, M)
n= tamaño de la muestra sin reemplazamiento
N= población finita
x= lo que se busca
La distribución Hipergeométrica tiene los siguientes parámetros:
- Media o Esperanza matemática o Valor esperado
- Varianza
- Desviación Estándar
Ejemplo:
En una urna contiene 5 bolas blancas y 6 rojas. Se extraen 4 bolas de la urna sin
reposición.
a) Hallar la distribución de probabilidad del número de bolas rojas extraídas.
b) Cual es la probabilidad de extraer exactamente 3 bolas rojas.
c) Cual es el número esperado de bolas rojas extraídas.
N=6+5=11
M=6
n=4
7.- DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
Solución:
91
98
Actividad 4.3
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a)
b)
La probabilidad de extraer 3 bolas rojas es de 30.3%
c)
El número esperado de bolas rojas extraídas es 2
En cierta clínica has 20 enfermos de los cuales se sabe que el 30% tienen cáncer, se
extrae aleatoriamente 4 pacientes para el despistaje de cáncer.
a) Cual es la probabilidad que al menos uno tenga cáncer.
b) Cual es el número esperado de pacientes con cáncer.
La distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de
que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples
resultados. Siendo:
Donde:
8.- DISTRIBUCION MULTINOMIAL
18.211
24
11
64 ==÷
ø
öçè
æ=m
Actividad 4.4
å=
=k
i
i nx1
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122
La distribución multinomial tiene los siguientes parámetros:
- Media o Esperanza matemática o valor esperado
- Varianza
- Desviación Estándar
Ejemplo
Las posibilidades que una declaración de impuestos sea llenada correctamente es
0.60, que contenga un error que favorezca al declarante 0.20, que lleve un error que
favorezca al fisco 0.10 y que contenga ambos tipos de errores 0.10. Se escoge al azar
10 de tales declaraciones de impuestos para una auditoria.
¿Cuál es la probabilidad que 5 estén correctos, 3 tengan error que favorezcan al
declarante, una lleve un error que favorezca al fisco y una contenga ambos tipos de
errores?
1º Definir los siguientes eventos
Una declaración de impuestos llevada correctamente
Una declaración de impuestos en error que favorezca al declarante
Una declaración de impuestos en error que favorezca al fisco
Una declaración de impuesto que contengan ambos tipos de error
2º
=1E
=1E
=1E
=1E
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Universidad Peruana Los Andes 123
La probabilidad de que ocurran todos los eventos es de 3.2%
En cada población grande el 70$ de las personas son derechos; el 20% izquierdos y
10% ambidiestros. Se escogen 10 personas aleatoriamente de la población ¿Cual es
la posibilidad?
a) Todos sean derechos
b) 7 sean derecho, 2 zurdos, 1 ambidiestro
La Distribución Normal es una distribución de probabilidad continua y es la más común
que se usa en el análisis estadístico.
La curva Normal tiene forma de campana y es simétrica con respecto a su media, pero
la mayor parte del área (probabilidad) está concentrada alrededor de la media.
9. DISTRIBUCION NORMAL “Z”
La Distribución Normal Estándar es una distribución con una media de 0 ( ) y una
desviación estándar de 1 ( ).
Cualquiera distribución normal (escala de x) se puede convertir a una distribución
normal estándar estableciendo que M=O y expresando las desviaciones de M en
unidades de desviación estándar (Escala de Z), también llamada variable
estandarizada.
Para encontrar probabilidades (áreas) para problemas de distribución normal,
primero se convierte el valor de x a su correspondiente valor en Z
M=O1=s
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124
Luego se localiza al valor de Z en la tabla de área para la distribución normal
estándar.
Ejemplo:
En un examen de Estadística la media fue de 14 y la desviación estándar de 1.6.
Determinar las variables estandarizadas (Zi) para valores de x: 12, 17, 20, 13, 16
? USO DE LA TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR (Z)
La tabla de distribución normal Z solamente tabula el 50% de la Campana de Gauss
y por su parte interna.
sm-
=x
Z
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El área bajo la distribución normal estándar de probabilidad, entre la media y el valor
sucesivo de Z, está determinada por la intersección de los valores de la variable
estandarizada, de la primera columna y primera fila de la tabla de la distribución
normal.
Ejemplo
Si Z es 1.36, en la primera columna de Z se buscaría en 1.3 y con la primera fila en
0.06, cuya intersección daría 0.4131 de área. Cuya probabilidad representa el
41.31%
Ejemplo de la distribución Normal “Z”
Si la talla de 300 estudiantes se distribuye normalmente y pulgadas y
pulgadas, hallar la probabilidad para los estudiantes:
a) Entre 64 y 72 pulgadas
b) Mayor de 72 pulgadas
c) Menor o igual a 64 pulgadas
d) Cuántos estudiantes tienen tallas mayores a 72 pulgadas
Solución
68=m 3=s
68=m pulgadas
3=s pulgadas
300=n estudiantes
a) )7264( ££ xP = )( 21 ZZZP ££
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126
( )1ZZP >)72( >xPb)
3º Hallamos la variable estadarizada
33.13
687221 =
-=
-=
smx
Z
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4º Hallamos el área a través de la tabla de la normal
1.33 = 0.4082
La probabilidad de que las tallas sean mayores a 72 pulgadas es del 9.18%
La tabla Z, al tabular solamente el 50% de la Campana de Gauss, para éste caso se
le resta el área interna de que es de 0.4082.
0918.04082.05000.0)33.1( =-=>ZP
)64( £xPC) Reducir Tamaño
3º Hallamos la variable estadarizada
4º Hallamos el área a través de la tabla de la normal
1.33 = 0.4082
33.13
686421 -=
-=
-=
smx
Z
0918.04082.05000.0)33.1( =-=-£ZP
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128
La probabilidad de que las tallas sean menores o igual a 64 pulgadas es del 9.18%
El numero de estudiantes que tienen talla mayor a 72 pulgadas son 28.
A. Hallar el área bajo la curva normal.
a) A la izquierda de Z = -1.78
b) A la izquierda de Z = 0.56
c) A la derecha de Z =-1.45
d) Correspondiente a Z ≥ 2.16
e) Correspondiente a -0.80 ≤ Z ≤ 1.53
f) A la izquierda de Z = -2.52 y a la derecha de Z = 1.83
B. Hallar el valor de Z tal que:
a) El área a la derecha de Z sea 0.2266
b) El área a la izquierda de Z sea 0.0314
c) El área entre -0.23 y Z sea 0.5722
d) El área entre 1.15 y Z sea 0.0730
e) El área entre Z y Z sea 0.9000
Se utiliza la distribución “t” en la estimación.
- Cuando el tamaño de la muestra es 30 o menos
- Se desconoce la desviación estándar de la población
- Se supone que la población es normal o aproximadamente normal
1. DISTRIBUCION DE STUDENT “t”
d) )( )(xPnK =
)(300 xPK =
0918.04082.05000.0)33.1()()72( 1)( =-=>=³=>= ZPZZPxPP x
2854.270918.0300 @=´=\K Estudiantes
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?
?
Grado de Libertad
Uso de la Tabla de distribución “t”
Numero de valores de una muestra que podemos especificar libremente, una
vez que sepamos algo de ella.
Para calcular el valor t correspondiente a un área de un determinado nivel de
significación, se busca en la columna de grados de libertad y en la fila de los niveles de
significación, cuya intersección determina el valor de “t”
Ejemplo
Halle el valor de t para 29 grados de libertad, para las siguientes áreas que caen
dentro de la cola derecha de la distribución t
a) 10%
b) 5%
c) 2.5%
Respuesta
Con estos datos buscar en la tabla “t”
a) t = 1.311
b) t = 1.699
c) t = 2.045
1-= ngl
AVILA., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998.
CALZADAB., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966.
GALDOS, L. Dominando las Matemáticas: Calculo y Estadística II y III, tomo 15 y 16,
Edición El Popular, Lima-Perú, 2005.
JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991.
LEVIN, Richard. Estadística para Administradores, Editorial, Prentice Hall. 2ª edición.
Mexico 1988.
LIPSCHUTZ, S. Probabilidad. Editorial McGraw Hill. Colección Serie Schaum.
Bibliografía recomendada
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Estadística
130
En el siguiente Fascículo estudiaremos la teoría del muestreo, Lainferencia estadística a través de la estimación y la prueba de hipótesis.Así como la prueba de Chi cuadrado y el análisis de varianza.
MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid1972.
MOYA, Rufino y SARAVIA, G. Probabilidad e Inferencia Estadística. Editorial SanMarcos. 2ª edición, Lima.
TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. Editorial Addison Wesley Longman. 7ªEdición, México 2000.
VELIZ C., Carlos. Estadística:Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A.2ª Edición. Lima 1993.
MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid
1972.
MOYA, Rufino y SARAVIA, G. Probabilidad e Inferencia Estadística. Editorial San
Marcos. 2ª edición, Lima.
TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. Editorial Addison Wesley Longman. 7ª
Edición, México 2000.
VELIZ C., Carlos. Estadística:Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A.
2ª Edición. Lima 1993.
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1. Si el 20% de los estudiantes que entran a estudios superiores se retiran antes derecibir sus diplomas, encuentre la probabilidad de que de 20 estudiantes elegidos alazar entre un gran número de estudiantes que ingresan a estudios superiores, menosde 3 se retiren.
2. La experiencia histórica muestra que 0.003 de la fuerza laboral nacional se enferma
gravemente durante un año. Si 1000 personas son seleccionadas al azar de la fuerza
laboral nacional:
a) Cuál es el número esperado de trabajadores que se enferman durante un año.
b) Cuál es la probabilidad de que 5 trabajadores se enfermen durante un año.
3. Suponga que las lecturas de los termómetros tiene una distribución normal con
media de 0º y desviación estándar de 100º. Se selecciona al azar un termómetro y se
prueba.
a) haga un dibujo y encuentre la probabilidad de cada lectura en grados de entre -
2.22 y 1.11
b) Encuentre la probabilidad indicada donde Z es la lectura en grados
4. En una población grande, el 25 % de las personas tienen ojos azules. Escogemos
aleatóriamente voluntarios de esta población, una cada vez, hasta escoger un
voluntario con ojos azules.
a) Cual es la probabilidad que la quinta persona es la primera que tiene ojos azules.
b) Cual es el número esperado de personas escogidas.
5. Se extraen al azar 13 cartas sin reemplazo de una baraja de 52 cartas.
a) Cual es la función de probabilidad para el número de cartas rojas en la muestra.
b) cual es la media y la varianza del número de naipes negras.
6. Halle el valor de t para n=16 para las siguientes áreas:
a) que caen dentro la cola derecha de la dist. t al 0.05%
b) que caen dentro la cola izquierda de la dist. t a 2.5%
c) que caen dentro la cola izquierda de al dist. t al 10%
NOMBRE:_______________________________________________________
APELLIDOS:________________________________ FECHA: ___/___/___
CIUDAD:___________________________________ SEMESTRE:_________
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132
1.- MUESTREO
2.- SELECCIÓN DE UN MÉTODO DE MUESTREO
Tiene por objeto seleccionar de tal manera una fracción de la población, que la
muestra obtenida represente a la población entera.
El muestreo estadístico, es un enfoque sistemático para seleccionar unos cuantos
elementos (una muestra) de un grupo de datos (una población), a fin de hacer
algunas inferencias sobre el grupo total.
El método que se elija debe ser objetivo y basado en las leyes del azar. Se debe
tener en cuenta:
a) Los resultados que se pretende obtener
b) El tipo de población por muestrear
c) La seguridad requerida
d) El costo de muestreo
e) Los recursos disponibles
- Conoce el concepto del muestreo, selección, ventajas y limitaciones
- Conoce las etapas de la encuesta por muestreo y tipos de muestreo
- Conoce las diferencias entre población y muestras
- Calcula el tamaño de una muestra
- Conoce lo que es inferencia Estadística y Estimación
- Conoce y calcula el error estándar de la media y de la proporción
- Conoce y aplica el teorema del Limite central
- Conoce, calcula y estima usando las distribuciones Normal y Student
- Aplica y calcula Prueba de Hipótesis sobre la media de la población y la
proporción
- Aplica y calcula Prueba de Hipótesis para las diferencias de medias y
proporciones
- Conoce, aplica y calcula la distribución Chi Cuadrado “”
- Aplica, conoce y calcula el análisis de Varianza con uno y dos factores
ESTADISTICA INFERENCIAL: MUESTREO, DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO,ESTIMACIÓN, PRUEBA DE HIPOTESIS, PRUEBA DEL CHI CUADRADO Y
ANALISIS DE VARIANZA
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3.- VENTAJAS Y LIMITACIONES DEL MUESTREO SOBRE EL CENSO
4.-ETAPAS DE LA ENCUESTA POR MUESTREO
5.-DIFERENCIAS ENTRE POBLACIÓN Y MUESTRA
Los estadísticos usan la palabra para designar no sólo a las personas,
sino todos los elementos que han sido escogidos para ser estudiados.
La aplicación de un cuestionario a la población se llama censo.
Los estadísticos usan la palabra para describir una porción elegida de la
población. La aplicación de un cuestionario a una muestra se llama muestreo.
A. Las ventajas
a) Mayor economía
b) Mayor rapidez en la recolección y análisis de la información
c) Menor personal
d) El personal puede ser mejor entrenado
e) Mayor información en el contenido
B. Las Limitaciones
a) Errores en el muestreo
b) Limitación en la medición
c) Limitación en el tiempo disponible
d) Límites en la información personal
e) Limitaciones en el estudio de las relaciones sociales
f) Tiempo y costo
a) Planeamiento
b) Selección de la muestra
c) Desarrollo de los cuestionarios
d) Trabajo de campo
e) Preparación del material para el análisis
f) Procesamiento de la información obtenida
g) Preparación del informe
población
muestra
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134
6. TIPOS DE MUESTREO
7. TAMAÑO DE UNA MUESTRA
A. Muestreo Aleatorio o probabilística
a) Al azar simple
- Con reemplazo (no exhaustiva)
- Sin reemplazo (si exhaustivo)
b) Al azar sistemático
c) Al azar con estratificación
- Sin proporcional
- No proporcional a los estratos
d) Al azar de conglomerados
- De igual tamaño
- Se desigual tamaño
e) Al azar en etapas sucesivas
- Bietápico
- Trietápico
f) Al azar por experimentación
B. Muestreo no aleatorio o de juicio o no probabilístico
a) Basado en criterio de expertos
b) Basado en juzgamiento de unidades tipo
c) Basado en cuotas
d) Basado en el acaso
Desarrollar en forma resumida los conceptos y dar ejemplos correspondientes a los
tipos de muestra
Corresponde al número de elementos u observaciones que integran una muestra.
Actividad 5.1
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A. Obtención del tamaño de una muestra para estimar proporciones
B. Tamaño de una muestra considerando un tamaño provisional
n = tamaño de la muestra
N = población
E = error
P = Probabilidad de acierto
Q = Probabilidad de no acierto
Z = distribución normal a un nivel de confianza
Ejemplo
Los alumnos que usan o concurren a INTERNET, según características socio
familiares, del colegio Secundario “San Andres” que tiene 880 alumnos distribuidos
en 15 secciones. Cual es la muestra representativa con un error del 5% y un nivel de
confianza del 95%
Nivel de confianza del 95% Z = 1.96.
Tamaño provisional de la Muestra ()
?
5.0
5.0
05.0
880
=
=
=
=
=
n
Q
P
E
N
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136
Donde:
= Tamaño de la muestra
= Tamaño de la población
= error estándar
= Varianza de la población =
= Varianza de la muestra =
Ejemplo
Conociendo los siguientes datos determinar el tamaño de la muestra
1234 empresas
0.015
0.9
Empresas
El nivel de confianza ( ) más el nivel de significación ( ) siempre es igual al 100%
o 1.
Ejemplo:
Si 0.05 ó 5%, 0.95 ó 95%
Hallar el tamaño de una muestra, por los dos métodos de un distrito de la provincia
donde reside.
s
V 2s
)()1( QPPP =-
b a
abba -=-= 11 ó
=a =b
n
N
V2
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8. TERMINOLOGIACONVENCIONAL CON QUE SE DESIGNALAS
ESTADISTICAS .
9. INFERENCIA ESTADÍSTICA - ESTIMACIÓN
10. - CONCEPTO DE ERROR ESTÁNDAR
A. ERROR ESTÁNDAR DE LAMEDIA
La inferencia estadística es uno de los aspectos mas importantes y cruciales en el
proceso de toma de decisiones, en la economía la administración y en las ciencias.
La inferencia estadística se refiere a la estimación y la prueba de hipótesis.
La estimación es el proceso de inferir o estimar un parámetro de población (tales como
y ) del correspondiente estadístico de una muestra extraída de la población.
Es la desviación estándar de la distribución de un estadístico muestral
Error estándar de la media
Error estándar de la proporción
Es la distribución de probabilidad, cuando se mide la media de cada muestra
aleatoria9de una población y se encuentra que la mayoría de estas medias
muestrales ( ), difiere una de otra
-
-
Cuando queremos referirnos a: Usamos el término convencional :
Desviación estándar de la distribución de lasmedias muestrales
Desviación estándar de la distribución de lasproporciones muestrales
Desviación estándar de la distribución de lasmedias muestrales
Desviación estándar de la distribución deintervalos muestrales
- Error estándar de la media
- Error estándar de la proporcion
- Error estándar de la mediana
- Error estándar del intervalo
-
-
-
-
x
xs
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138
Media
Desviación Estándar o error estándar
Error estándar de la media para población infinita
Error estándar de la media para población finita o sea
cuando
Población Finita : Es la población que posee un tamaño formulado o limitado
Población Infinita: oblación que teóricamente es imposible observar todos sus
elementos
Ejemplo
Una población tiene 740 elementos con una media de 13 unidades y una desviación
estándar de 9.
a) Cuanto es la media y el error estándar de la distribución muestral de la media
para un tamaño de muestra de 25.
B) Si la muestra , es 49 en vez de 25
Entonces se aplica:
Nn 05.0³
n
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B. ERROR ESTÁNDAR DE LAPROPORCIÓN
11.TEOREMADE LÍMITE CENTRAL
(Proporción de sucesos en la población)
(Error estándar de la población)
Ejemplo:
En un estudio se encuentra que en una muestra aleatoria de 100 estudiantes que
asistieron a la universidad, 40 recibieron un grado universitario. Encontrar la
proporción y el error estándar de la esa población.
La proporción es:
El Error Estándar es:
Cuando tiende al la distribución muestral de la media se aproxima a la
distribución normal, cualquiera que sea la forma de la población original.
La aproximación es suficientemente buena para n 30
n µ
³
0
20
40
60
80
100
120
140
0 5 10 15 20
Distr. Muestral de la media, n=2
Dist. Muestral de la media, n=5
Población original
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Cuanto mayor es , mas pequeña es la amplitud o error estándar de la median xs
El teorema del Límite Central es el resultado del incremento del tamaño de la muestra
1. La media de la distribución muestral de la media, será igual a la media
poblacional, prescindiendo del tamaño de la muestra.
2. La distribución muestral de la media se acercará a la normalidad.
Garantiza que la distribución muestral de la media se acerque a la distribución
normal a medida que crece e tamaño de la muestra.
Nos permite usar el estadístico muestral para hacer inferencias sobre los
parámetros de la población, sin conocer nada sobre la forma de la distribución de
frecuencia de esa población, salvo la información que logremos recabar de la
muestra.
Ejemplo.
La distribución de las ganancias anuales de todos los cajeros de un banco con 5 años
de experiencia tiene un sesgo negativo, según se advierte en la figura. Esta
distribución tienen una media de S/. 15000 y una desviación estándar de S/. 2000. Si
extraemos una muestra aleatoria de 30 cajeros ¿Cuál es la probabilidad de que sus
ganancias promedien mas de S/. 15750 al año?.
Importancia del teorema del Límite Central
-
-
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 2015000 15750
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15
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1. Calcular el error Estándar
2. Distribución Normal Estándar para =15780
Respuesta
Hay un poco mas del 2% de probabilidad de que las ganancias promedio
asciendan a mas de S/. 15750 al año en un grupo de 30 cajeros.
* Con los datos del ejemplo anterior, determinar la probabilidad si fueran 70
cajeros de una población de 800 cajeros.
Se puede obtener:
- Una estimación puntual
- Una estimación de intervalo de un parámetro de la población.
Es un número simple. Es insesgado si en muestras aleatorias repetidas de la
población, el valor esperado o medio del estadístico correspondiente es igual al
parámetro de población.
Ejemplo
La media muestral ( ) es una estimación puntual insesgada de la media
poblacional ( ) por que , donde es el valor esperado . La
desviación estándar de la muestra es una estimación insesgada de , y la
proporción de la muestra es una estimación insesgada de (la proporción
de la población con una característica dada).
12.ESTIMACIÓN USANDO LADISTRIBUCIÓN NORMAL
A.Estimación Puntual
xm mm =x x
m
x
S s
P P
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142
B. Estimación de Intervalo
Se refiere a la amplitud de valores junto con la probabilidad o nivel de confianza, de
que el intervalo incluya el parámetro de población desconocida.
Nivel de confianza usado frecuentemente, para n 30
90% = 1.64
95% = 1.96
99% = 2.58
O para el Nivel de significación:
10% = 1.64
5% = 1.96
1% = 2.58
La tabla anterior se utiliza cuando no se puede hallar “Z” o variable estandarizada.
Un intervalo de confianza se puede construir de modo semejante para la proporción
de la población.
Ejemplo:
Se toma una muestra aleatoria de 14 con una media de 100 y una desviación
estándar de 60, de una población de 1000. El intervalo de confianza al 95% para la
media de población desconocida es:
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Respuesta
La M esta entre 90.89 y 109.11 con un grado de 95% de confianza
Ejemplo.
Un grupo de investigadores encuentra que en una muestra aleatoria de 100
personas que asistieron a la universidad, 40 recibieron un grado universitario.
Encontrar el intervalo de confianza al 99% para la proporción de graduados
universitarios; del total de personas que asistieron a la universidad,
Respuesta
La proporción de graduados P esta entre 0.27 y 0.53 con un nivel de 99% de
confianza
Cuando la población tiene distribución normal pero no se conoce y n<30 se
empleará la distribución “t”
Donde
Ejemplo:
Una muestra aleatoria de n = 10 pilas de Cadmio con una vida media de
operación de horas y una desviación estándar muestral de hora,
se escoge de una compañía conocida, que produce pilas con vida de operación,
normalmente distribuidos y nivel de confianza del 95%. Encontrar el intervalo de
confianza
13.INTERVALO DE CONFIANZAPARALAMEDIAUSANDO LADISTRIBUCION
“t”
s
x = 5 s = 1
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144
262.2±=t
Respuesta:
El intervalo de confianza está entre 4.29 y 5.71 horas, con un grado del 95% de
confianza.
Halle el valor de “t” para 27 grados de libertad para las siguientes áreas que caen dentro
de la cola (derecha) de la distribución t.
a) Al 10%
b) 5%
c) 2.5%
En la prueba de hipótesis comenzamos haciendo una suposición respecto de una
característica poblacional desconocida. Luego tomamos y sobre la base de la
característica muestral correspondiente aceptamos o rechazamos la hipótesis con
un grado particular de confianza.
14.- PRUEBADE HIPOTESIS
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A.TIPOS DE ERRORESAL PROBAR UNAHIPÓTESIS
B.-LOS PASOS ESTABLECIDOS PARALAPRUEBADE HIPÓTESIS
a)
Sobre la base de la información muestral podemos rechazar una
hipótesis que indudablemente es verdadera.
b)
Cuando aceptamos una hipótesis falsa
ón.
a prueba
Los pasos formales establecidos para la prueba de hipótesis sobre la media
de la población o sobre una proporción son los siguientes:
1º.- Suponer que es igual a algún valor hipotético , esto se representa
por:
2º. Decidir sobre el nivel de significación de la prueba (generalmente 5%
pero a veces 1%) y definir la región de aceptación y la región de rechazo
para la prueba usando la distribución apropiada.
3º. Tomar una muestra aleatoria de la población y calcular , “ ”, o “ ”. Si
ellos caen en la región de aceptación, se acepta ; de lo contrario, se
rechaza a favor de
Error del tipo I (α)
Error tipo II (β)
α se le denomina nivel de
significaci
1-α es el nivel de confianza de l
00 : mm =H
0H se denomina hipótesis nula.
01 : mm ¹H
1H se denomina hipótesis alternativa.
01
01
:
:
mm
mm
<
>
H
H(dependiendo del problema))
m 0m
x Z t
0H
0H1H
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146
Ejemplo 1:
Una compañía quiere probar si puede garantizar que los focos que producen
duran 1000 horas de operación útil. La compañía toma una muestra aleatoria de
n=100 de sus focos y halla que la media muestral =980 horas y la desviación
estándar muestral S = 80 horas.
La compañía quiere conducir la prueba al nivel de simplificación del 5%
Como n>30 la distribución muestral de la media es aproximadamente normal
La región de aceptación de la prueba al nivel de significación del 5% esta dentro
de ±1.96 bajo la curva normal y la región de rechazo está afuera.
Puesto que la región de rechazo esta en ambas colas, tenemos una prueba de
dos colas
Como la Z calculada cae en la región de rechazo la compañía debe rechazar
que y acepta a nivel de significación del 5%.
Ejemplo 2:
Una empresa quiere saber con un nivel de confianza del 95% si puede
garantizar que las cajas de jabones que vende contienen más de 500 gr. del
producto. Por experiencia la empresa sabe que la cantidad de jabones en
las cajas tiene distribución normal. La firma toma una muestra aleatoria de
1º Paso
2º Paso
3º Paso
1000:
1000:
1
0
¹
=
m
m
H
H
0H 1000=m iH 1000¹m
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n= 25 y halla que gr y gr.
La firma quiere probar si gr
Como la distribución de población es normal, pero n < 30 y no se conoce,
de debe usar la distribución t (con n 1 = 24 grado de libertad)
Para definir la región de rechazo de la prueba a nivel dignificación 5% se
busca en la tabla. Este es “Prueba de cola derecha”
Ejemplo 3:
En el pasado, 60% de los estudiantes que ingresaron a una facultad de la
Universidad recibieron su grado al cabo de 4 años. Para la clase que
ingreso en 1999, solamente 15 de los 36 que iniciaron recibieron sus grados
en 2003. Probar si la clase de 1999 se desempeñó peor que las clases
anteriores a un nivel de significación del 5%.
Notamos primero que este problema involucra la distribución binomial.
Puesto que n > 30 y np y n(1-p)>5 podemos utilizar la distribución normal,
por p=0.60
1º Paso
2º Paso
3º Paso
-
-
520=x 75=S
500>m
s
33.1=t cae en la región de aceptación, aceptan la 0H que 500=m gr a
nivel de dignificación del 5%.
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148
Tenemos:
Esta es una “prueba de cola izquierda”
3º Paso
-2.25 cae en la región de rechazo. Rechazamos la H
Al nivel de significación del 5% la clase de 1999 se desempeña peor que las
clases anteriores.
Un fabricante de avionetas necesita comprar láminas de aluminio de 0.05
pulgadas de espesor. Las láminas más delgadas no serían apropiadas y las más
gruesas serían demasiado pesadas. El fabricante toma una muestra aleatoria de
100 láminas de un proveedor y halla que su grosor promedio es 0.048 pulgadas y
su desviación estándar es 0.01 pulgadas. Debe el fabricante comprar las láminas
de aluminio a ese proveedor si quiere tomar la decisión a nivel de significación del
5%.
1º Paso:
2º Paso
o
60.0:
60.0:
1
0
<
=
pH
pH
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15. PRUEBADE HIPÓTESIS PARALAS DEFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS O
DOS PROPORCIONES
En muchas situaciones de toma de decisiones, es importante determinar si las
medias o proporciones de dos poblaciones son o no las mismas.
Para hacer esto, tomamos una muestra aleatoria de cada población y solo si las
diferencias en las medias muestrales o proporciones se pueden atribuir al azar
aceptamos la hipótesis de que las dos poblaciones tienen iguales medias o
proporciones
Si las dos poblaciones están normalmente distribuidas o si como entonces las
distribuciones son también normal con el error estándar dado:
Ejemplo 1:
Un gerente quiere determinar al nivel de significación del 5% si los salarios
horarios para trabajadores semicalificados son los mismos en dos ciudades.
Con el fin de hacer esto toma una muestra aleatoria de salarios por hora en
ambas ciudades y halla que , ,
y para y respectivamente.
Las hipótesis que deben probar son:
Esta es una prueba de dos colas y la región de aceptación para se sitúa entre
±1.96 bajo la curva normal estando:
6$
1=x , 40.5$
2 =x , 2$
1 =S y 80.1$
2 =S
401 =n y 542 =n
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150
Ejemplo 2:
Una empresa quiere determinar al nivel de significación del 1% si la proporción
de componentes electrónicos aceptables de un proveedor extranjero, , es mayor
que para un proveedor nacional, . La empresa toma una muestra aleatoria para
el embarque de cada proveedor y encuentra que
Las hipótesis serian:
Esto es una prueba de cola derecha.
Y la región de rechazo de se sitúa a la derecha de 2.33 bajo la curva normal
estándar.
1.5 esta en la región de aceptación. Se acepta 0H
(Si 1n como 302 <n y se supone que 2
2
2
1 ss < pero desconocidos entonces
la distribución muestral de la diferencia de medias tendría una distribución t
con 121 -+ nn gl)
9.01 =p y 7.02 =p para 1001 =n y 802 =n
211
210 :
ppH
ppH
>=
=
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A. Una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitario indica que el 15%
se casa durante el primer año, mientras el 30% se casa durante el
segundo año. Determine si aceptar la hipótesis que la proporción de
estudiantes casados en primer año es menor que la del segundo año.
a) Al nivel de significación del 5%
b) Al nivel de significación del 1%
B. Una firma de consultores quiere decidir, al nivel de significación del 5%, si
los salarios de los trabajadores de construcción civil difieren entre Trujillo y
Arequipa. Una muestra aleatoria de 110 trabajadores e construcción civil
en Trujillo tiene un salario promedio mensual de 900 nuevos soles con una
desviación estándar de 100 nuevos soles. En Arequipa, una muestra
aleatoria de 80 trabajadores, tiene un salario promedio mensual 810
nuevos soles, con una desviación estándar 80 nuevos soles. ¿Hay
diferencia significativa entre los salarios de los trabajadores de
construcción civil en Trujillo yArequipa?
Se usa para probar:
a) Si las frecuencias observadas difieren significativamente de las
frecuencias esperadas cuando son posibles más de dos resultados.
b) Si dos variables son independientes o no.
16.LAPRUEBACHI-CUADRADO “ ”
A. EL ESTADÍSTICO “ ” CALCULADO DE LOS DATOS MUESTRALES
Rechazamos 0H y aceptamos la hipótesis de que 21 pp > al nivel de
significación del 1%.
2X
2X
å-
=e
e
f
ffX
2
02 )(
=0f frecuencias observadas
=ef frecuencias esperadas
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152
Partir de estadísticos muestrales.
b) Para pruebas de independencia o pruebas de tabla de contingencia
gl = (r - 1) (c - 1)
r = número de filas de la tabla de contingencia
c = número de columnas
Intersección de una tabla de contingencia
La proporción del área de la distribución Chi cuadrada queda determinada por
la intersección de los niveles de significación y confianza con los grados de
libertad.
B. GRADOS DE LIBERTAD DEL “ ”
c. FRECUENCIAESPERADAPARACADACELDA
d. USO DE LATABLADE CHI CUADRADO
a) Si “2X ” calculado es mayor “
2X ” tabulado, al nivel de significación
especificado y los grados de libertad. La hipótesis nula 0H se rechaza a
favor de la hipótesis alternativa 1H
b) 02
0 =Þ= Xff e
2X
a) Para pruebas de bondad de ajuste
n
crfe
å å=
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Ejemplo 1:
En el pasado, 30% de los refrigeradores vendidos por una tienda eran de 10 pies ,
40% eran de 12 pies y 30% de 15 pies , con el fin de determinar el inventario que
debe para mantenerse de cada tipo de aparato, el gerente toma una muestra
aleatoria de 100 compras recientes y halla que 20 son de 10 pies , 40 de 12 pies y
40 de 15 pies . Probar al nivel de significación del 5%, la hipótesis que el patrón
anterior de ventas , todavía tiene vigencia.
3
3 3
3 3
3
Comprar observadas y esperadas de refrigeradores por capacidad.
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154
Ejemplo 2:
Un vendedor de motocicletas ha recolectado los datos que se muestran en la tabla
sobre el número de motocicletas importadas y nacionales comprados por clientes
menores de 30 años y de 30 años en adelante. Para probar el nivel de significación
del 1% si el tipo de motocicletas adquiridas es independiente de la edad del
comprador.
Tabla de contingencia para compradores de automóviles
Tabla de frecuencia esperada para las frecuencias observadas
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2º Hallamos el grado de libertad
Donde
r = numero de fila = 2
c = numero de columnas = 2
gl = (r-1) (c-1) = (2-1) (2-1) = 1
3º Hallamos el Chi cuadrado calculado
4º Hallamos el Chi cuadrado tabulado en la tabla
tabulado = 6.63
Respuesta
calculado = 9.44 es mayor que tabulado = 6.63, rechazamos porque la edad
no es un factor en el tipo de motocicleta comprada (Los jóvenes están mas
inclinados a comprar motocicletas importadas)
A. En la tabla se indica la frecuencia observada y esperada de 4 enfermedades
poco comunes (A, B, C, D) en una ciudad. ¿Es significativa la diferencia entre la
frecuencia observada y esperada de las enfermedades al nivel del 10%?
Frecuencias observadas y esperadas de enfermedades varias A, B, C, D
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156
B.- El número de ataques cardiacos sufridos por hombres y mujeres de varios grupos deedades en una ciudad esta dado por la tabla de contingencia. Pruebe al nivel designificación del 1% la hipótesis de que la edad y el sexo son independientes en laocurrencia de ataque cardiaco.
Número de ataques cardiacos de hombres y mujeres en varios grupos de
edades en una ciudad.
17.- ANALISIS DE VARIANZA
Se emplea para probar la hipótesis de que las medias de más de dos poblaciones son
iguales o diferentes cuando las poblaciones están normalmente distribuidas con
igual varianza. (ANOVA,ANDEVA)
Pasos
1. Estimar la varianza de población partiendo de la varianza entre las medidas
muestrales (MSA).
2. Estimarla varianza de población partiendo de la varianza dentro de las muestras
(MSE).
a) Calcular la relación F
MSE
MSA
muestraslasdedentroVarianza
muestralesmedidaslasentreVarianzaF ==
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b) Si la relación F calculada es mayor que el valor tabulado de F al nivel de significaciónespecificada y grados de libertad, la hipótesis nula , de medias de población iguales serechaza a favor de la hipótesis alternativa .
18. ANÁLISIS DE VARIANZAPARAUNACLASE O FACTOR
TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA DE UNA CLASE O FACTOR
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USO DE LATABLA
En la tabla
(el número superior)
(El número inferior o en negrita)
para cada grado de libertad
gl del numerador = c-1
c = número de muestras
gl del denominador = (r-1)c
r = número de observaciones en cada muestra
Ejemplo:
Una compañía vende jabón idéntico en 3 envolturas diferentes al mismo precio.
Las ventas de 5 meses se presentan en la tabla. Los datos de las ventas tienen
distribución normal con igual varianza. Probar al nivel de significación del 5% si
las ventas medias de jabón para cada envoltura son iguales o no.
05.0µ=01.0µ=
Tabla venta de 5 meses de jabón en las envolturas 1, 2 y 3
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Tabla de análisis de Varianza para envoltura de Jabón
F calculado = 7.09
F calculado = 3.88
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gl del numerador = 2
gl del denominador = 1205.0µ=
Respuesta:
Como la relación F calculada es mayor que el valor tabulado de F a nivel de
significación del 5%, se rechaza la hipótesis nula 0H a favor de la hipótesis
alternativa1H
19.ANÁLISIS DE VARIANZA PARA DOS CLASES O FACTORES
TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA DE 2 CLASES O 2 FACTORES
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Ejemplo:
En la tabla se da los rendimientos de una granja experimental que usó 4 fertilizantes y 3
pesticidas, de modo que cada parcela del terreno tenia una probabilidad igual de recibir
cada combinación de fertilizantes-pesticidas (diseño experimental completamente
aleatorio).
Hallar la relación de F y probar las hipótesis a nivel de significación del 1%
Tabla Rendimiento con 4 Fertilizantes y 3 Pesticida
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A. El número de ataques cardíacos sufridos para hombres y mujeres de varios grupos
de edades en la ciudad de Piura esta dado por la tabla de contingencia siguiente:
Pruebe al nivel de significación del 1% la hipótesis de que la edad y el sexo son
independientes en la ocurrencia de ataques cardíacos.
Número de ataques cardíacos de hombres y
mujeres en varios grupos de edades en la ciudad de
Piura
B. La tabla siguiente da la producción para 8 años de una granja experimental que uso 4tipos de abonos diferentes. Supóngase que la producción con cada abono tienedistribución normal con igual varianza. Pruebe la hipótesis de que las medias depoblación son las mismas a nivel de significación del 5%
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Tabla de Producción de 8 años con 4 tipos de abonos
Bibliografía recomendada
AVILA., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998.
CALZADAB., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966.
GALDOS, L. Dominando las Matemáticas: Calculo y Estadística II y III, tomo 15 y 16,
Edición El Popular, Lima-Perú, 2005.
JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991.
LEVIN, Richard. Estadística para Administradores, Editorial, Prentice Hall. 2ª edición.
Mexico 1988.
LIPSCHUTZ, S. Probabilidad. Editorial McGraw Hill. Colección Serie Schaum.
Colombia. 1970
MOOD,Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. EditorialAguilar. Madrid 1972.
MOYA, Rufino y SARAVIA, G. Probabilidad e Inferencia Estadística. Editorial San
Marcos. 2ª edición, Lima.
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Estadística
166
TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. EditorialAddison Wesley Longman. 7ª Edición,
México 2000.
VELIZ C., Carlos. Estadística:Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª
Edición. Lima 1993.
En el siguiente Fascículo estudiaremos las relaciones que existen entre variables, los
ajustes de curva para poder inferenciar y los números índices de Laspeyres, Paasche
y Fishers.
AUTOEVALUACIÓN FORMATIVA
ESTADÍSTICA – FASCICULO Nº 5
Autoevaluación formativa
1. Una agencia gubernamental recibe muchas quejas de consumidores de que las cajas dedetergentes vendidas por una compañía contiene menos de las 20 onzas de detergenteanunciadas. Para verificar las quejas de los consumidores, la agencia adquiere 9 cajas dedetergente y encuentra que X=18 onzas y s=3 onzas. ¿ Como puede conducir la agencia laprueba a nivel de significación del 5% si sabe que la cantidad de detergente en las cajas tienedistribución normal?.
2. Una muestra aleatoria de 21 jugadores de fútbol del SC tiene un peso medio de 265 libras
con una desviación estándar de 30 libras, mientras una muestra aleatoria de 11 jugadores de la
U tiene un peso medio de 240 libras con una desviación estándar de 20 libras. ¿ Es el peso
medio de los jugadores de fútbol del SC mayor que el de los jugadores de la U al nivel de
confianza del 99%?.
3. La tabla de contingencia muestra el número de componentes electrónicos aceptables y no
aceptables producidos a diversas horas de la mañana en una muestra aleatoria de la
producción de una planta. ¿Debe aceptarse o rechazarse al nivel de significación del 5%, la
hipótesis de que la producción de componentes aceptables es independiente de la hora de la
mañana en la cual se producen?
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TABLA
Componentes aceptables y no aceptables producidos según la hora de la
mañana
4. Una urna contiene bolas de 4 colores: verde, blanco, rojo y azul. Se escoge una bola
de la urna y se anota su color. Se coloca de nuevo en la urna; se mezcla bien, y se
escoge otra bola. El proceso se repite 18 veces con el resultado que se escoge 8
veces una bola verde, una blanca, 7 veces; una bola roja una vez, y una bola azul,
dos veces. ¿Contiene la urna un igual número de bolas verdes, blancas, y rojas o
azules?. Pruebe la hipótesis al nivel de significación del 5%. (Chi)
5. La Tabla da los datos de venta de jabón con 3 envolturas y 4 formulas diferentes en
un diseño experimental totalmente aleatorio. ¿Debe aceptarse la hipótesis al nivel
de significación del 5% de que las medias de población son las mismas para cada :
a) Envoltura? b) Fórmula?
TABLA
VENTA DE JABON PARA ENVOLTURAS Y FORMULAS
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1. CORRELACION
Se llama correlación entre las variables a la relación que existe entre las variables de una
distribución bidimensional.
Dependiendo de esta aproximación de la nube de puntos a la recta de regresión,
tendremos tres clases de correlación.
a) Correlación Positiva
Es cuando al aumentar una variable, la otra también aumenta. La recta de regresión
en este caso es una recta creciente.
´
b) Correlación negativa
Es cuando aumentan una de las variables, la otra disminuye. En este caso la recta de
regresión es decreciente.
- Define, calcula e interpreta al coeficiente de correlación.
- Calcula, interpreta e infiere las tendencias de las variables o características.
- Calcula e interpreta la aplicación de la ecuación exponencial.
- Calcula e interpreta los índices de Laspeyres, Paasche y Fishers
- Conoce la aplicación de algunos software estadísticos.
CORRELACIÓN, REGRESIÓN, NÚMEROS INDICES YSOFTWARE ESTADÍSTICO
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c) Correlación Nula
Se da cuando no hay dependencia de ningún tipo entre las variables.
Trata de determinar matemáticamente la existencia de la relación entre dos factores o
fenómenos, averiguar si uno de ellos influye en el otro o si no hay ninguna relación o
dependencia entre un hecho y el otro.
Ejemplo:
Se trata de establecer si están relacionados:
El alcoholismo y la criminalidad
El analfabetismo y el bajo ingreso.
La temperatura veraniega y enfermedades intestinales.
La edad y la presión arterial.
Resultados:
El coeficiente de correlación varía de los valores para la correlación perfecta al valor
cero, para ausencia absoluta de correlación.
Ejemplo:
Hallar la correlación entre los siguientes datos referentes a edades y presión sanguínea
de un grupo de mujeres.
2.- COEFICIENTE DE CORRELACION
-
-
-
-
1±
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170
Interpretación: existe una fuerte relación entre la edad y la presión
sanguínea por que 0.896 esta cerca de 1
ACTIVIDAD 6.1
Experimentalmente se han encontrado las siguientes cifras, durante el proceso de estudio
del secado de cierta madera por el método del vapor recalentado, el tiempo ha sido medido
en medias horas.
Calcular e interpretar el coeficiente de correlación.
Aplicando la formula
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3. REGRESION
Regresión Lineal
4. SERIES DE TENDENCIARECTILINEA
Proceso general de predecir una variable a partir de otra con medios estadísticos,
usando datos anteriores.
Línea ajustada a un conjunto de puntos de datos para estimar la relación entre dos
variables.
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172
Como se denota en el cuadro:
Al 2001 le corresponde el 4
Al 2002 le corresponde el 5
Al 2003 le corresponde el 6
Al 2004 seria el 7
Al 1005 es el 8 18)8(222005 =+=y
Interpretación: las ventas al 2005 seria de 18 millones de soles.
-
-
-
Los años con la finalidad de reducir números grandes se remplaza por la serie
correlativa de 1 al…, siempre que los años seas correlativo de 1 en 1.
Definir siempre, que variable es dependiente e independiente.
Graficar los datos, con la finalidad de determinar la tendencia de la serie.
Para encontrar los parámetros a y b determinamos los componentes de las formulas en el
cuadro y luego planteamos la ecuación general.
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5. SERIE DE TENDENCIA PARABOLICA
Si después de graficar una serie estadística en un plano coordenado y unir los
diversos puntos, observamos que ha formado una figura parabólica, la ecuación de
ajuste será.
Ejemplo:
Las paredes de un horno de una ladrillera varia de espesor y con el auxilio de un
pirómetro se han encontrado las siguientes temperaturas.
Es una parábola
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174
2º Aplicamos la ecuación
2cxbxay ++=
3º Hallamos los parámetros a, b y c, a partir de los datos y componentes de
las ecuaciones.
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Luego
222.02.11.1 xxy ++=
Ahora si queremos saber cuanto seria la temperatura en una pared de 9dm.
72.29
82.178.101.1
)9(22.0)9(2.11.1 2
=
++=
++=
y
y
y
Interpretación: en un horno de 9 dm. De grosor de la pared, la temperatura
se elevaría a 29.72 centenares de ºc
La densidad del agua “d” varia con la temperatura “t” (en grados centígrados), tal
como se muestra en el cuadro.
6.APLICACIÓN DE LA ECUACION EXPONENCIAL
6.1.Caso PoblacióDeducción de Formulas
10
-= tt
P
Pr
)1log(
loglog
r
PPt ot
+
-=
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176
La tasa de crecimiento medio r puede ser negativo, si una ciudad baja su población.
6.1. Caso de Interés Compuesto
Ejemplo:
La población del departamento de Junín hipotéticamente en 1983 fue 849300
habitantes y en 1998 fue de 1010700 habitantes. ¿Cuánto seria la población en
el 2005?
1º Hallamos la tasa de crecimiento medio.
2º Proyectamos
0117.0
1010700
719982005
=
=
=-=
o
t
P
P
t
( )( )habitantes1096439
0117.011010700
1
2005
7
2005
=
+=
+=
P
P
rPPt
ot Luego, la población crece a 1.17%
promedio anual y en el 2005, Junín
tendría 109643 habitantes.
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7. NUMEROS INDICES
Resultan al relacionar por cociente diferentes datos, relativos a un mismo asunto, durante
diversos periodos de tiempo, usando uno de los datos como elemento de comparación.
Ejemplo:
Interpretación:
En 2001 se exporto 1,11 veces de lo exportado en 2000
En 2002 se exporto 1,28 veces de lo exportado en 2000
8. PRECIO ÍNDICE MEDIANTE LASUMA
Este precio índice se encuentra dividiendo la suma de los precios de ciertos artículos
en determinado período, entre la suma de los precios de los mismos durante el
período que se desea usar como término de comparación, la siguiente fórmula
sintetiza lo expresado.
åå=
0p
pI
n (si se multiplica por 100 da en porcentaje)
=I número índice
=np precio dado en cierto período
=0p precio base a usase como término de comparación
Ejemplo:
Para los siguientes artículos alimenticios, expresar mediante un número índice la
variación que han experimentado sus precios (hipotético), usando los precios del
año 1999 como términos de comparación.
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178
El aumento de precios de 2003 respecto a 1999 ha sido de 2.08 veces mas, o sea
208.4%
Expresar mediante número índice la variación que han experimentado sus precios los
rubros del cuadro siguiente, usando los precios del año 2000 como término de
comparación.
9. PROMEDIO SIMPLE DE PRECIOS RELATIVOS
Este tipo de índice se encuentra dividiendo la suma de los precios relativos entre el
número de objetos considerados y multiplicado el cociente por cien, entendiéndose por
precio relativo al cociente de cada precio entre el precio que tuvo el objeto durante el
período tomado como base, expresado mediante una fórmula resulta lo siguiente:
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Ejemplo
Sea el siguiente cuadro:
Con los datos del cuadro de la actividad 6.3 determinar, el índice del promedio simple de
precios relativos
Este índice es más cercano a la realidad que los dos índices considerados
anteriormente, en los cuales no se toma para nada en cuenta la cantidad relativa de
cada sustancia consumida, lo cual conduciría a errores graves si es el caso que para
efecto de hallar el número índice se incluyen sustancias de muy poco consumo y que
hayan subido desproporcionadamente de precio, por ejemplo, el “chorizo especial”,
este producto no es de consumo masivo, sino de raro empleo dentro de las clases
pudientes, por lo cual no influiría su carestía en una subida real del índice general de
precios, el índice de Laspeyres representa el cociente de:
10. INDICE PONDERADO DE LASPEYRES
básicoperíodoelenartículosdecantidadciertaengastadodinero
períodocualquierenartículosdecantidadciertaengastadodinero=LI
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180
Lo cual se traduciría en la siguiente formula:
åå=
00
0
QP
QPI
n
L(Si se multiplica por 100 da en porcentaje)
=LI número índice de Laspeyres
=nP precio unitario en cierto periodo
=0P precio unitario base
=0Q cantidad de cada objeto consumido durante el periodo base.
Ejemplo:
11. INDICE PONDERADO DE PAASCHE
Solamente difiere del índice de Laspeyres en que éste índice considera los gastos
individuales actuales, o sea, la relación entre “lo que se gasta hoy de acuerdo a
consumos actuales, entre lo que se hubiera gastado ayer consumiendo hoy”, de donde
la fórmula toma la siguiente forma:
åå=
)(
)(
0 n
nn
PQP
QPI (Si se multiplica por 100 da en porcentaje)
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12.- INDICE IDEAL DE FISHERS
El índice ideal de Fishers, se encuentra tomando la raíz cuadrada al producto de
los índices de Laspeyres y de Paasche, o sea:
Considerando el cuadro hipotético siguiente determinar el índice de Fishers
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182
13. SOFTWARE STADISTICOS
SPSS
Las computadoras desempeñan actualmente un papel importante en casi todos
los aspectos del análisis estadístico, la amplia disponibilidad de computadoras y
paquetes de software no solo ha hecho posible el uso de la estadística por parte de
personas con muy distintos niveles de conocimientos matemáticos.
A.- STATDISK
Este software tiene dos ventajas importantes
a) Es un programa fácil de usar,
b) Es gratuito para las universidades
B.- MINITAB
Es un paquete estadístico de más alto nivel, pero también es relativamente fácil de
usar.
El minitab como el statdisk, pueden realizar las operaciones mas importantes de la
estadística
C.- SPSS
El ) es un programa
estadístico informático muy usado en las ciencias sociales y empresas de
investigación de mercado.
Originalmente SPSS era el acrónimo de "Statistical Package for the Social
Sciences". En la actualidad la sigla designa tanto el programa como la empresa
que lo produce
( tatistical ackage for the ocial ciencesS P S S
Bibliografía recomendada
AVILA., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998.
CALZADAB., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966.
GALDOS, L. Dominando las Matemáticas: Calculo y Estadística II y III, tomo 15 y 16,
Edición El Popular, Lima-Perú, 2005.
JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991.
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Excelencia Académica Estadística
Universidad Peruana Los Andes 183
LEVIN, Richard. Estadística para Administradores, Editorial, Prentice Hall. 2ª edición.
Mexico 1988.
LIPSCHUTZ, S. Probabilidad. Editorial McGraw Hill. Colección Serie Schaum.
Colombia. 1970
MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid
1972.
MOYA, Rufino y SARAVIA, G. Probabilidad e Inferencia Estadística. Editorial San
Marcos. 2ª edición, Lima.
TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. Editorial Addison Wesley Longman. 7ª Edición,
Mexico 2000.
VELIZ C., Carlos. Estadística:Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª
Edición. Lima 1993.
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NOMBRE:_______________________________________________________
APELLIDOS:________________________________ FECHA: ___/___/___
CIUDAD:___________________________________ SEMESTRE:_________
1. Los gastos de publicidad de una empresa y las ventas efectuadasvienen dadas por la siguiente tabla(los datos están expresados enmillones de nuevos soles).
a) Obtenerla recta de regresión.
b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación.
c) Calcular las ventas estimadas si se invierten 10 millones de
nuevos soles en posibilidad.
2. Demostrar que la correlación es perfecta entre el tiempo y el capital de
s/100 impuesto a una tasa de interés del 6% anual a interés compuesto.
3. La población de Jauja hipotéticamente fue de 42350 habitantes en1993 y para el año 2000 tuvo 38970 habitantes.
a) ¿Cuánto ha sido su tasa de crecimiento medio anual?
b) ¿Cuánto seria la población en el año 2006?
4.- Dado el siguiente cuadro hipotético:
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Hallar los índices de Laspeyres, Paasche, y Fishers
5. Dado el siguiente cuadro hipotético
a) Hallar el precio índice mediante la suma
b) El promedio simple de precio relativo
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