esta di stica 2009 adm

Econ. Julio Nakandakare Ashitomi

ESTADÍSTICA

HUANCAYO - PERÚ

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVASY CONTABLES

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

Educación a Distancia.

Huancayo.

Impresión Digital

SOLUCIONES GRAFICAS SAC

Jr. Puno 564 - Hyo.

Telf. 214433

Unidad Tematica 1Autoaprendizaje 8 horas

Unidad TematicaAutoaprendizaje 8 horas

ESTADISTICA, GENERALIDADES, ORGANIZACIÓNDE DATOS Y GRAFICOS 11

2

ESTADISTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE TENDENCIACENTRAL, DE DISPERSIÓN, DE ASIMETRÍA Y DEAPUNTAMIENTO 41

1. Definición de Estadística 112. Clases de Estadística 123. Conceptos Básicos 124. Variable y tipos 155. Regla de redondeo 186. Notación científica 197. Cifras Significativas 198. Sumatoria 209. Tabla de Frecuencia 2110.Clases de Frecuencia 2211.Tabla de Frecuencia para Variables Cualitativas 2312.Tabla de Frecuencia para Variables Cuantitativas 2413.Construcción de Intervalos o Reducción de Datos 2614.Gráficos 3215.Clases de Gráficos 3216.Análisis Exploratorio de datos 34

1. Medidas de tendencia central o de posición 412. La media o promedio aritmético 413. Mediana 434. Moda 475. Relación entre promedio aritmético, mediana, moda 516. Media Geométrica 547. MediaArmónica 568. Relaciones entre los Promedios 579. Cuartiles 5710.Deciles 5911.Percentiles 5912.Aplicación de Cuartiles, Deciles y Percentiles 5913.Medidas de Dispersión o Variabilidad. 6314.Rango. 6315.Desviación Media. 6416.Varianza. 6517.Desviación Estándar. 6718.Características de la varianza y Desviación Estándar. 6719.Coeficiente de variación. 6820.Variable estandarizada. 6821.Medida deAsimetría. 7022.Medida deApuntamiento. 72

INDICE GENERAL

Unidad Tematica 3Autoaprendizaje 8 horas


PROBABILIDAD 77

4

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 111

1. Introducción a la teoría de la probabilidad 772. Concepto de Probabilidad 773. Experimento 784. Espacio Maestral 785. Evento o suceso 786. Análisis Combinatorio 847. Factorial de un Número 868. Permutación 869. Variación 8810.Combinación 8911.Diagramas de Árbol 9012.Definición clásica de Probabilidad. 9213.Probabilidad de Frecuencia relativa. 9514.Probabilidad Subjetiva. 9815.Probabilidad Frente a “Apuestas”. 9816.Probabilidades de Espacios Muestrales Finitos. 9917.Probabilidad Condicional. 10118.Sucesos Independientes. 10419.Teorema de BAYES 105

1. Variables Aleatorias 1112. Clases de Variables Aleatorias 1113. Distribución de Probabilidad 1124. Distribución Binomial 1135. Distribución de Poisson 1166. Distribución Geométrica 1187. Distribución Hipergeométrica 1218. Distribución Multinomial 1229. Distribución Normal “Z” 12410.Distribución de Student “t” 129



5

ESTADISTICA INFERENCIAL: MUESTREO, DISTRIBUCIÓN DEMUESTREO, ESTIMACIÓN, PRUEBA DE HIPOTESIS, PRUEBADEL CHI CUADRADO Y ANALISIS DE VARIANZA 133

6

CORRELACIÓN, REGRESIÓN, NÚMEROS INDICES YSOFTWARE ESTADÍSTICO 169

1. Muestreo 1332. Selección de un método de muestreo 1333. Ventajas y limitaciones del muestreo sobre el censo 1344. Etapas de la encuesta por muestreo 1345. Diferencias entre población y muestra 1346. Tipos de muestreo 1357. Tamaño de una muestra 1358. Terminología convencional con que se designa las

estadisticas muestrales 1369. Inferencia Estadística - Estimación 13810.Concepto de Error Estándar 13811.Teorema de Límite Central 14012.Estimación usando la Distribución Normal 14213.Intervalo de confianza para la media usando la

Distribución “t” 14414.Prueba de Hipótesis 14515.Prueba de Hipótesis para las deferencias entre

dos medias o dos proporciones 15016.La prueba Chi Cuadrado “ x ” 15217.Análisis de Varianza 15718.Análisis de Varianza para una clase o factor 15819.Análisis de Varianza para dos clases o factores 161

1. Correlación 1692. Coeficiente de correlación 1703. Regresión 1724. Serie de Tendencia Rectilínea 1725. Serie de Tendencia Parabólica 1746. Aplicación de la Ecuación Exponencial 1767. Números Índices 1788. Precio índice mediante la suma 1789. Promedio simple de precios relativos 17910.Índice ponderado de Laspeyres 18011. Índice ponderado de Paasche 18112.Índice ideal de Fishers 18213.Software Estadísticos 183

2

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante:

Define la estadística y conoce sus clases.

Conceptúa lo que es población, muestra, parámetro, estadígrafo

y dato.

Define lo que es una variable, conoce y determina sus tipos.

Aplica la regla de redondeo y las cifras significativas; así como, la

notación científica.

Resuelve problemas de sumatoria.

Organiza datos originales en una distribución de frecuencia.

Representa la distribución de frecuencia en graficas.

Interpreta las frecuencias relativas y absolutas.

Desarrolla una representación de “tallo y hoja”.

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Indicadores de Logro

1.DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA

Definiciones etimológicas:

La Estadística es la ciencia de la:

Sistematización, recogida, ordenación y presentación de datos referentes a un

fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico,

con el objeto de (Descriptiva)

Deducir las leyes que rigen esos fenómenos (Probabilidad)

Y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u

obtener conclusiones (Inferencia)

El origen etimológico de la palabra “estadística”, no está bien determinado.

?

?

?

ESTADISTICA, GENERALIDADES, ORGANIZACIÓNDE DATOS Y GRAFICOS

Universidad Peruana Los Andes

Excelencia Académica Estadística

Universidad Peruana Los AndesUniversidad Peruana Los Andes


Universidad Peruana Los Andes 11

Para algunos viene de la voz griega STATERAque significa “Balanza, equilibrio”, otros

dicen que deriva del latín STATUS que significa “situación” mientras que algunos

autores afirman que procede del alemán STAAT cuyo significado es “Estado” por su

función de registrar: población, nacimiento, defunción, etc. Y finalmente, otros autores

dicen que proviene de una voz italiana STATISTAque significa “estadista” y que acuño

GottfriedAchenwall (1719 1772), un profesor en Marlborough y Gottingen.

2.1.ESTADÍSTICADESCRIPTIVAY DEDUCTIVA

Es la Estadística que únicamente se ocupa de describir y analizar un conjunto

determinado sin extraer ningún tipo de conclusión o inferencia sobre un

conjunto mayor.

El análisis se limita a si mismo a los datos coleccionados. Las gráficas, las

tablas y diagramas que muestran los datos y facilitan su interpretación son

ejemplos de este tipo de Estadística.

2.2.ESTADÍSTICAINFERENCIALO INDUCTIVA

Es la Estadística que estudia las condiciones bajo las cuales tales inferencias

son válidas, para cuyo estudio se requiere un alto nivel de conocimiento de

estadística descriptiva, probabilidades y matemáticas.

Comprende la teoría de estimación, prueba de hipótesis y análisis de varianza.

Aquí, la influencia estadística incluye generalizaciones y afirmaciones sobre

probabilidades de su validez.

Es el conjunto mayor o colección completa de todos los elementos que posee al

menos una característica común observable, cuyo estudio nos interesa o

acerca de los cuales se desea información.

La población puede ser según su tamaño de dos tipos:

cuando se tiene un número determinado de elementos.

. El conjunto de todos los alumnos de la UPLA

Cuando el número de elementos es indeterminado o tan

grande que pudiesen considerarse infinitos.

2.CLASES DE ESTADÍSTICA

3.CONCEPTOS BÁSICOS

3.1.POBLACIÓN

Población Finita:

Ejemplo

Población Infinita:

?

?

Excelencia Académica


Estadística

12

?Ejemplo.

Ejemplo

:

Ejemplo:

Ejemplo:

El conjunto de Insectos

El conjunto de estudiantes

es el número total de elementos que tiene la

población estudiada y se denota con la letra “N” (ene mayúscula).

3.2.MUESTRA

Es un subconjunto de la población a la cual se le efectúa la medición con el fin

de estudiar las propiedades con el fin de estudiar las propiedades de la

población de la cual es obtenida.

. Un grupo de alumnos del total de estudiantes de la UPLA.

Es el número de elementos de la muestra y se

denota con la letra “n” (ene minúscula).

3.3.PARÁMETRO

Es un número que describe alguna característica de la población o medida de

resumen de una población. Se considera como un valor verdadero de la

característica estudiada y para determinar su valor es necesario utilizar la

información poblacional completa y por lo tanto la decisión se toma con

certidumbre total.

Los parámetros se representan con letras griegas.

La media aritmética con “µ”

La desviación estándar co

3.4.ESTADÍGRAFO O ESTADISTICO

Es el número que describe alguna característica de la muestra o medida de

resumen de una muestra y la toma de decisión contiene un grado de

incertidumbre.

La estadística se representa con letras latinas.

* La media aritmética con “”

* La desviación estándar con "S"

Tamaño de la población:

Tamaño de la muestra

n “σ”




3.5.DATO

Es el valor, respuesta o registro que adquiere una característica o

variable asociada a un elemento de la población o muestra, como resultado

de la observación, entrevista o recopilación en general. Puede ser un

símbolo, una palabra o un número.

Los datos pueden ser:

a. Consiste en números que representan conteos

o mediciones.

* El número de soldados del Perú

* La talla de los estudiantes de la UPLA

b Se pueden dividir en diferentes categorías que

se distinguen por alguna característica no numérica.

* Los grados del ejército

* Los colores del arco iris

a.Datos Primarios: Son aquellos que se obtienen directamente de la

misma realidad, sin sufrir ningún proceso de elaboración previa.

Lo que se recoge directamente de un muestreo o de un censo.

b.Datos Secundarios: Son registros escritos que proceden también de

un contacto con la práctica, pero que ya han sido recogidos y muchas

veces procesados por los investigadores.

* Lo que se obtiene de textos, revistas, etc.

A.Según su naturaleza

Datos cuantitativos:

Ejemplo.

.Datos Cualitativos:

Ejemplo.

B.Según su procedencia.

Ejemplo:

Ejemplo:



Estadística

14

4.VARIABLE

Tipos de Variable

4.1.Según la Naturaleza de la Variable

a)Variables Cualitativas

Ejemplo:

b)Variables Cuantitativas

Ejemplo:

Las variables cuantitativas pueden ser Discretas y Continuas

b.1.Variable Discreta

Ejemplo:

b.2.Variable Continua

Ejemplo:

Es una característica estudiada de las unidades estadísticas (elementos de la

población)

Cuando expresan una cualidad, característica o atributo, sus datos se

expresan mediante palabras, no es numérica.

Estado civil, lugar de nacimiento, profesiones, causas de accidentes,

colores, etc.

Cuando el valor de la variable se expresa por una cantidad, es de carácter

numérico. El dato o valor puede resultar de la operación de contar o medir.

Número de hijos, ingresos, talla, peso, producción, edad, utilidades,

etc.

Cuando el valor de una variable resulta de la operación de contar, su valor

está representado solo por números naturales (entero positivo).

Número de hijos, habitaciones por vivienda, población por país.

Etc.

Cuando la variable es susceptible de medirse, es toda variable cuyo valor se

obtiene por medición o comprobación con una unidad o patrón de medida.

Se expresa por cualquier número real.

Área de terreno, ingresos monetarios, peso, estatura, tiempo, etc.




4.2.Según la relación entre variables

a)Variables Dependientes

Ejemplo:

b)Variables Independientes

Ejemplo

c)Variables intervinientes o interferentes

Ejemplo:

4.3.Según la escala de medición

a)Variables Nominales

Ejemplo:

b)Variables Ordinales

Ejemplo:

Son aquellas que se explican por otras variables, son los efectos o resultados

respecto a los cuales hay que buscar su motivo, causa o razón de ser.

El consumo. Esta variable depende de los ingresos personales.

La producción. Esta variable depende del tiempo (año, meses, etc.)

Son las variables explicativas o predictivas, cuya asociación, relación o

influencia en la variable dependiente se pretende descubrir en la investigación.

También, son causas o antecedentes.

:Los ingresos personales, relacionado con el consumo.

El tiempo, relacionado con la producción.

Son aquellas que coparticipan con la variable independiente condicionando el

comportamiento de la variable dependiente.

El caso del Presupuesto familiar que es una variable dependiente,

con relación a los ingresos que es una variable independiente y con otras

variables que serían la conducta de consumo, edad de la familia, etc. Éstos

últimos son variables intervinientes.

Son aquellas variables que establecen la distinción de los elementos en

diversas categorías, sin explicar algún orden entre ellas.

Sexo, estado civil, profesiones, lugar de nacimiento, deportes de

práctica.

Son aquellas variables que implican orden entre sus categorías, están

referidas a un orden de jerarquía, donde la categoría expresa una posición de

orden.

Grado de instrucción, clases sociales, rango de agresividad, orden

de mérito, etc.



Estadística

16

c)Variable de Intervalo

Ejemplo:

d)Variables de Razón

Ejemplo:

4.4.SegúnAmplitud de las Unidades de Observación

a)Variables Individuales

a.1.Variables Públicas

Ejemplo

a.2.Variables Privadas

Ejemplo

b)Variables Colectivas

Son aquellos que suponen a la vez orden y grados de distancia iguales entre

diversas categorías, pero no tienen origen natural, sino convencional, tiene un cero

relativo.

Coeficiente de inteligencia, temperatura, puntuación obtenida en una

escala, etc.

Estas variables comprenden a la vez todos los casos anteriores, distinción, orden,

distancia y origen único natural; el valor se expresa con un número real, tiene un

cero absoluto.

Accidentes de tránsito, edad, peso, ingresos, número de hijos, etc.

Son referidas a características de individuos o personas, una empresa, centro

educativo, etc. Son variables para estudio de casos, donde se pueden

subdividir en variables públicas y privadas.

Son aquellas en que los valores individuales son conocidos por otras

personas y se saben que son conocidos.

:Edad, sexo, ocupación, estado civil, etc.

Son aquellos valores individuales que pueden ser conocidos por otros, una

vez averiguados.

:Coeficiente de inteligencia, opiniones frente a la política, conducta

de consumo, etc.

Son aquellas que se refieren a características de las unidades cuando estas

son colectivas, conjuntos o grupos (ciudades, empresas, escuelas, etc.)




Ejemplo:

5.REGLADE REDONDEO

Ejemplo:

Ejemplo:

Tasa de mortalidad, urbanización, tasa de crecimiento demográfico,

escolaridad, etc.

Las variables dependientes en un momento o caso pueden ser variables

independientes y viceversa.

* Determinar la clase de variable que nos dan los datos de las siguientes fenómenos o

hechos:

a) Temperatura.

b) Razas.

c) Nacionalidad.

d) Precio del dólar en un mes.

e) Número de habitaciones por familia.

5.1.Cuando el número que se quiere redondear le sigue una cifra mayor que 5, este

tomará el valor inmediato superior.

5.2.Cuando al número que se quiere redondear le sigue una cifra menor que 5, se

quedará en el mismo valor.

57,8 è 58 (redondear al entero)

1,036 è 1,04 (redondear a 2 decimales)







Estadística

18

5.3.Cuando al número que se quiere redondear le sigue una cifra igual que 5, se

tomará dos criterios:

En la práctica por lo general, cuando a la cifra que se desea redondear le

sigue 5, pasa al inmediato superior

La notación científica se utiliza cuando una información es seguida o antecedida de

ceros.

: La notación científica solo tiene un entero

Son los dígitos que no precisan una medición, se consideran como cifras significativas

los ceros a la derecha; no así los ceros a la izquierda.

a)Si la cifra es par, queda sin alterar.

Ejemplo:

b)Si la cifra es impar, pasa al inmediato superior.

Ejemplo:

Nota:

6.NOTACIÓN SISTÉMICAO CIENTÍFICA

Ejemplos:

Nota

7.CIFRAS SIGNIFICATIVAS

)(108080000000

1067,5000000567,0

108,300038,0

103,9930000000

10880000000

6

7

4

8

7

científicanotaciónesno´=

´=

´=

´=

´=

-

-



137,6125è 137,612 (redondear a 3 decimales)







Ejemplo:

8.SUMATORIA

∑

Ejemplo

Es un operador que representa una suma de términos cuyos elementos se

encuentran formados de acuerdo a una ley dada.

NOTACIÓN: El operador sumatoria vienen representado por la letra griega sigma ( )

:

A)Desarrollar:

La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria de “a” por “x” elevado a

la “a”, variando “a” desde 4 hasta 7”.

1. Redondear al entero

a) 4,97 b) 38,49 c) 127,511d) 36,59 e) 288,71

2. Redondear a un decimal

a) 36,55 b) 123,45 c) 0,06

3. Redondear a 3 decimales

a) 0,0034 b) 137,0056 c) 0,01351

4. Realizar la notación científica de:

a) 7 000 000 b) 9 430 000c) 0,002 937 d) 0,000 005

5. Cuántas cifras significativas tienen los siguientes números:

a) 23,000 2 b) 0,23c) 90,000 00 d) 0,000 895 4

å=

+++=7

4

7654 7654a

a xxxxax



Estadística

20

b) Desarrollar:

La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria de -1 elevado a la k por x

elevado a la (k+1), variando k desde 0 hasta 4”.

c) Desarrollar:

La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria del coeficiente binómico “n”

sobre “k” por “a” elevado a la “n-k”, variando k desde 0 hasta 3”.

1. Desarrollar

2. Desarrollar

3. Desarrollar

Representación organizada de los datos que muestra el numero de

observaciones del conjunto de datos que caen dentro de cada conjunto de clases

mutuamente excluyentes

La tabla de frecuencia consta de:

ACTIVIDAD 1.3

9 TABLADE FRECUENCIA

( )å=

+-4

0

11k

kkx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )5432

5443322

1441331221111004

0

1

1111

111111

xxxxx

xxxxx

xxxxxxk

kk

++++=

-+-+-+-+=

-+-+-+-+-=- +++++

=

+å

å=

-÷÷ø

öççè

æ3

0k

knak

n

32103

0 3210

----

=

-÷÷ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ=÷÷

ø

öççè

æå nnnn

k

kn an

an

an

an

ak

n

å=

-÷÷ø

öççè

æ4

0M

xMcx

M

( )å=

---6

1

112

P

PPy

å=

9

3b

bby




a)Clase y Marca de Clase

O

b)Frecuencia

10.CLASES DE FRECUENCIAS

a)FrecuenciaAbsoluta Simple ( )

b)FrecuenciaAbsolutaAcumulada ( )

FrecuenciaAbsolutaAcumuladaAscendente ( )

Clase

Marca de Clase

Esta constituido por números o descritos por algún atributo cualitativo o

cuantitativo de muestras de objetos. La información conforme a

características cualitativas son: raza, religión y sexo. Así mismo, puede

estar formado por intervalo de clase.

( )

Es la semisuma del limite inferior ( ) y limite superior ( ) de cada intervalo

de clase.

Los atributos cualitativos y cuantitativos deben ser exhaustivos y mutuamente

excluyentes.

Es el número de observaciones provenientes del conjunto de datos que caen

dentro de cada una de las clases. Si podemos determinar la frecuencia con

que ocurren los valores en cada clases de un conjunto de datos, estaremos

en condiciones de construir una distribución de frecuencia.

Es el número de observaciones que presentan una modalidad perteneciente a la

clase.

Representación tabular de los datos que muestra cuantas observaciones se

hallan encima o debajo de ciertos valores. Estas son ascendentes y

descendentes.

Sirven para decir si son iguales o menores.

?

Xi

Ls

2

LsLiXi

+=

Li

Fi

fi

)1(F



Estadística

22

?

?

?

FrecuenciaAbsolutaAcumuladaAscendente ( )

c) Frecuencia Relativa Simple ( )

d) Frecuencia RelativaAcumulada ( )

Frecuencia RelativaAcumuladaAscendente ( )

Frecuencia RelativaAcumulada Descendente ( )

e) Frecuencia Porcentual ( )

11.TABLADE FRECUENCIAPARAVARIABLES CUALITATIVAS

Ejemplo:

Sirven para decir si son iguales o mayores

Son datos que muestran la fracción del conjunto total de datos que caen dentro de

cada conjunto de clases mutuamente excluyente.

Es el tanto por uno de los elementos de la población que están en alguna clase y

que presentan una modalidad inferior o superior a la clase. Estas son

ascendentes y descendentes.

Nos indica la fracción de los datos que son iguales o menores.

Indica la fracción de los datos que son iguales o mayores.

Es el producto de las frecuencias relativas por 100.

Consideremos la muestra formada por 50 personas y en esta, la variable sexo. Si se

observa que hay 30 varones y 20 mujeres, podemos trasladar esta información a la

siguiente tabla de frecuencias.

)2(F

hi

Hi

)1(H

)2(H

Pi

Clase fi hi Pi (%)

mC

C

C

C

M

3

2

1

mf

f

f

f

M

3

2

1

mh

h

h

h

M

3

2

1

mP

P

P

P

M

3

2

1

Total n 1.00 100




12.TABLADE FRECUENCIAPARAVARIABLES CUANTITATIVAS

Ejemplo: Caso cuantitativo discreto

Para estudiar la producción de artículos de una fábrica se tomaron 100 lotes de 250

artículos cada uno. El número de artículos defectuosos en cada lote fue como sigue:

Clase fi hi Pi (%)

Varón

Mujer

30

20

0.6

0.4

60

40

Total 50 1.0 100

Clase fi hi )1(F )2(F )1(H )2(H

1C 1f 1h 1

1

)1( fF = nF =1

)2( 1

1

)1( hH = 0.11

)2( =H

2C 2f 2h 21

2

)1( ffF += 1

2

)2( fnF -= 21

2

)1( hhH -= 1

2

)2( 0.1 hH -=

3C 3f 3h3

1

)1(

3

)1( fFF += 2

2

)2(

3

)2( fFF += 3

2

)1(

3

)1( hHH += 2

2

)2(

3

)2( hHH -=

M M M M M M M

mC mf mh nFm =)1( m

mfF =)2( 0.1)1( =m

H m

mhH =)2(

Total n 1.0

1 4 3 5 5 2 5 4 2 3 5 3 5

1 3 5 3 3 7 5 2 4 5 8 3 4

2 3 8 5 7 7 4 3 3 4 5 5 5

4 2 3 3 2 4 1 5 4 4 2 2 5

5 2 4 3 4 4 6 5 5 2 6 4

6 2 4 6 5 2 4 7 6 2 3 6

4 4 1 3 3 2 1 5 8 6 4 4

5 6 4 5 3 3 4 4 7 6 6 4



Estadística

24

Xi fi hi Pi (%)

1 5 0,05 5

2 14 0,14 14

3 18 0,18 18

4 25 0,25 25

5 20 0,20 20

6 10 0,10 10

7 5 0,05 5

8 3 0,03 3

Total 100 1.00 100

Ejemplo: Caso cuantitativo continuo

Se desea estudiar la cantidad de kilómetro que recorre un automóvil modelo A por

cada galón de gasolina que consume; para tal fin se anotaron las distancias

recorridas por 36 automóviles de tal modelo usando un galón de gasolina. Los

resultados, en kilómetros fueron así:

34,51 31,54 35,40 38,24 34,60 38,20 35,61 36,70

35,47 31,60 36,57 34,50 37,85 33,15 30,16

36,96 35,93 33,80 36,80 33,29 36,88 34,00

40,00 31,57 37,10 32,91 36,23 34,90 33,00

33,20 36,20 30,00 34,55 33,98 38,10 36,00

Distancia

RecorridaXi fi hi Pi (%)

[ 30,00 - 31,25 ] 30,6250 2 0,0556 5,6

[ 31,25 - 32,50 ] 31,8750 3 0,0833 8,3

[ 32,50 - 33,75 ] 33,1250 5 0,1389 13,9

[ 33,75 - 35,00 ] 34,3750 8 0,2222 22,2

[ 35,00 - 36,25 ] 35,6250 7 0,1944 19,4

[ 36,25 - 37,50 ] 36,8750 6 0,1667 16,7

[ 37,50 - 38,75 ] 38,1250 4 0,1111 11,1

[ 38,75 - 40,00 ] 39,3750 1 0,0278 2,8

TOTAL 36 1,0000 100




Por convención, cada intervalo es tomado cerrado por la izquierda y abierto por la

derecha, a excepción del último, que es cerrado en ambos extremos.

Cerrado significa que incluye el límite inferior y abierto no incluye el limite superior de la

distancia recorrida de cada clase.

13.CONSTRUCCION DE INTERVALOS O REDUCCION DE DATOS

Regla:

fi = Cantidad de Autos

2

LsLiXi

+= Marca de Clase

1. Ordenamiento de datos (según magnitud) en forma creciente o decreciente.

2. Determinar

Valor máximo ( maxX )

Valor mínimo ( minX )

3. Calcular el Rango( R )

1minmax ++= XXR para variable discreta

minmax XXR += para variable continua

4. Determinar el numero de clases o intervalos (m)

Método de STURGES ( 50£n )

)log(322,31 nm +=

Método de PORTUGAL

)10050( ££ n

)log(991,38914,1 nm +=

)100( >n

)log(815,5766,2 nm +=

Método de la RAIZ

45,2 nm =

nm =



Estadística

26

m debe ser entero ( +Z ), si sale decimal se redondea.

1. Calcular la amplitud Interválica ( a )

m

Ra =

2. Corrección ( D )

RamD -= )*(

Si el resultado de D es:

Se Continua

Se rehace (En la amplitud interválica se redondea por

exceso)

3. Intervalo de Clase

aXIi += min

Ejemplo:

Se tiene las tallas de 41 alumnos de la facultad de Derecho de la UPLA

siguientes; dados en metros:

ïî

ïí

ì

<þýü

>

=

0

0

0

1,73 1,80 1,70 1,74 1,87 1,59

1,70 1,87 1,72 1,70 1,75

1,71 1,87 1,70 1,78 1,75

1,70 1,87 1,71 1,71 1,75

1,60 1,55 1,65 1,60 1,86

1,65 1,55 1,60 1,85 1,73

1,61 1,51 1,67 1,82 1,57

1,64 1,55 1,68 1,80 1,75




A continuación vamos a aplicar la regla para construir los intervalos y elaborar

la tabla de frecuencia.

Regla:

1º. Ordenamiento de Datos

Se obvia por ser una muestra pequeña

2º. Determinar

mt1.87max =X

mt1.55min =X

3º Calcular el Rango ( R )

minmax XXR -= (variable continua).

32,055,187,1 =-=R

4º Determinar el numero de clases; ( m ) por ser n <50 aplicamos el

método de STURGES

)(6

4,6

)613,1(322,31

41log322,31

log322,31

enteroserqueTienem

m

m

m

nm

=

=

+=

+=

+=

También, se puede aplicar el método de la RAIZ, por ser muestra pequeña

)(6

4,641

enterom

m

nm

=

==

=

)(6

3,6415,2

5,2

4

4

enterom

m

nm

=

==

=

5º Calcular la Amplitud Interválica ( a )

053,0

)(053,00533,06

32,0

=

===

=

a

redondeoreglaa

m

Ra



Estadística

28

6º Corrección ( D )

)(002,0

32,0318,0

032,0)053,06(

)(

negativoserporrehaceSeD

D

D

RamD

-=

-=

-´=

-´=

Entonces se corrige 054,0=a

)(004,0

32,0324,0

32,0)054,06(

continuasepositivoesD

D

D

=

-=

-´=

El valor 0,004 se distribuye en la variable máximo y mínimo (se suma

y se resta para ampliar el rango)

-0,002

1,548 1,55

+0,002

1,87 1,872

1,548 1,872R=0,324

Teniendo los datos siguientes se elabora la tabla de frecuencia:

6

054,0

872,1max

548,1min

=

=

=

=

m

mta

mtX

mtX

7º Intervalo de Clase

602,1

054,0548,1

min

1

1

=

+=

+=

I

I

aXI i




Talla(Intervalo) Tabulación fi hi )1(F )2(F )1(H )2(H Xi

[ 1.548 - 1.602 ] ||||| |||| 9 0.22 9 41 0.22 1.00 1.575

[ 1.602 - 1.656 ] |||| 4 0.10 13 32 0.32 0.78 1.629

[ 1.656 - 1.710 ] ||||| || 7 0.17 20 28 0.49 0.68 1.683

[ 1.710 - 1.764 ] ||||| ||||| | 11 0.27 31 21 0.76 0.51 1.737

[ 1.764 - 1.818 ] ||| 3 0.07 34 10 0.83 0.24 1.791

[ 1.818 - 1.872 ] ||||| || 7 0.17 41 7 1.00 0.17 1.845

TOTAL 41 1.00

Tabulación: es ubicar los datos de la muestra en la clase interválicacorrespondiente

1.Los hábitos de trabajo de la mano de obra( llevan trabajo a casa) en Huancayo se

muestran a continuación:

c b a b a c b c a a

a b a a a d d a b b

b a c b d b b c b b

a b b c c a c a c a

c a d b a d a d d a

Donde a= Nunca, b= Menos de una vez al mes, c= Una vez al mes, d=

todos los días. Construya un cuadro que presente la información

recolectada.

LLEVAN EL TRABAJO A CASA Nº de trabajadores

( fi )

hi pi

Nunca

Menos de una vez al mes

Una vez al mes

Todos

TOTAL



Estadística

30

2. En una muestra de 40 pequeñas empresas se recoge información a cerca del

número de trabajadores en cada una de ellas. Los datos fueron los siguientes:

16 15 14 14 14 13 13 14 14 15 12 15 16 12 12 13 14

17 15 13 14 13 13 14 14 15 17 16 18 13 13 14 14 15

16 15 14 16 15 14

Complete la siguiente tabla de frecuencias.

Número de

Trabajadores

Empresas( fi ) hi pi

12

13

14

15

16

17

18

Totales

3. En el departamento de producción de una fábrica los sueldos mensuales de los

empleados son los siguientes

440 560 335 587 613 400 424 466 565 393

453 650 407 376 470 560 321 500 528 526

570 430 618 537 409 600 550 432 591 428

224 340 558 460 560 607 382 667 512 492

450 530 501 417 660 470 364 634 580 450

574 500 462 380 518 480 625 507 645 382

Complete la siguiente tabla de frecuencias

S u e ld o

M e n s u a lX i

C o n te

o

E m p le a d

o s

fi

)1(Fih )1(H

ip iP

T O T A L




14.GRAFICAS

15.CLASES DE GRAFICAS

15.1.Grafica de Coordenadas Ortogonales o Cartesianos

Es otra forma de presentar los datos referentes a un fenómeno.

Una grafica es el idioma universal que bien presentado e ilustrado evita la

fraseología.

En estadística se emplea una diversidad de tipos de graficas, cuya forma

dependerá de la naturaleza de los datos y de los objetivos de la presentación.Antes

de elegir el tipo de grafico conviene imaginarse de antemano, el grafico a construir

que en general debe tener rasgos simples y de fácil comprensión.

a)Diagrama de Segmentos

b)Histograma

C)Polígono de Frecuencia

0

20

40

60

80

100

0

10

20

30

40

50

0

10

20

30

40

50

Marca de clase



Estadística

32

d)Polígono de FrecuenciaAcumulada u OJIVA

e)Diagrama de Barra

?

?

?

Simple

Compuesta

Agrupadas

Simple

Compuesta

Agrupadas

0

20

40

60

80

100

Soltero

Casad

o

Viudo

Divorc

iado

Can

tid

ad

0

20

40

60

80

100

120

1995 2000

Can

tid

ad Exportación

Demanda Interna

Producción

Demanda de Algodon

0

10

20

30

40

50

2000 2001

Can

tid

ad Varon

Mujer

Asistencia al Cine

0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8

Punto de equilibrio




15.2.Grafica No Ortogonales

ACTIVIDAD 1.5

16.ANALISIS EXPLORATORIO DE DATOS:

EL DIAGRAMADE TALLO Y HOJA

Ejemplo:

a)De Superficie Circular o Torta

B)Pictórica

Con los problemas de las actividad 1.4 elaborar gráficas.

Un método para iniciar el análisis exploratorio de los datos, que proporcione

información rápida, visual y es relativamente nueva, es el Diagrama de Tallo y Hoja.

Esta representación de los datos a manera de grafico, pero sin llegar a ello, utilizando

las decenas y las unidades.

Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas en una prueba de Historia:

Sierra30%

Costa10%

Selva60%

10

20

40

0 10 20 30 40 50

78 93 61 100 70 83 88 74 97 72

66 73 76 81 83 64 91 70 77 86



Estadística

34

La representación del tallo y hoja se elabora de manera que las decenas se pondrán

en una columna, en forma vertical y las unidades a la derecha:

6 1 6 4

7 8 0 4 2 3 6 0 7

8 3 8 1 3 6

9 3 7 1

10 0

Para entender un poco mas, hemos de decir que le primer renglón que dice 6|1 6 4

quiere decir que entre la lista de datos se encuentran los valores 61, 66, 64.

La representación de Tallo y Hoja, donde cada renglón es una posición de tallo y cada

digito de la derecha es una hoja.

1.Dado la siguiente tabla de frecuencia que significa:

REFORZAMIENTO DEL APRENDIZAJE

a) 3f d) 4

)2(F

b)4h e) 6

)1(H

c) 5

)1(F f) 5

)2(H

TABLA DE FRECUENCIA DE SALARIOS POR TRABAJADOR

i Salario(Intervalo) fi hi )1(F )2(F )1(H )2(H

1 [ 82 - 89 ] 4 0.05 4 80 0.05 1.00

2 [ 89 - 96 ] 6 0.08 10 76 0.13 0.95

3 [ 96 - 103 ] 9 0.11 19 70 0.24 0.88

4 [ 103 - 110 ] 13 0.16 32 61 0.40 0.76

5 [ 110 - 117 ] 15 0.19 47 48 0.59 0.60

6 [ 117 - 124 ] 13 0.16 60 33 0.75 0.41

7 [ 124 - 131 ] 12 0.15 72 20 0.90 0.25

8 [ 131 - 138 ] 5 0.06 77 8 0.96 0.10

9 [ 138 - 145 ] 3 0.04 80 3 1.00 0.04

TOTAL 80 1.00




Respuesta:

a) 3f = Hay 9 trabajadores que tienen un salario entre 96 y 103 nuevos

soles.

3f = Hay 9 trabajadores que tienen un salario de 96 a 102.99 nuevos

soles.

b) 4h = El 16% de los trabajadores ganan de 103ª 109.99 nuevos soles.

c) 5

)1(F = 47 trabajadores ganan menos de 117 nuevos soles.

d) 4

)2(F = 61 trabajadores ganan más o igual a 103 nuevos soles.

e) 6

)1(H = 75% de los trabajadores ganan menos de 124 nuevos soles.

f) 5

)2(H = 60% de los trabajadores ganan más o igual que 110 nuevos soles.

Una distribución de frecuencia consta de 5 intervalos de igual amplitud y de ella se

conoce los siguientes datos: n=110; limite inferior de la 1ª clase 12.5; f -f =10; f -f =0;

f =f ; f =f y L f =975, donde L es el limite superior de la cuarta clase.4 5 4 1

2 4 1 5 4 4 4

Elaborar la tabla de frecuencia

2.

i Intervalo fi hi %iP

1 [ 12.5 - 17.5 ] 20 0.1818 18.18

2 [ 17.5 - 22.5 ] 30 0.2727 27.27

3 [ 22.5 - 27.5 ] 10 0.0909 9.091

4 [ 27.5 - 32.5 ] 30 0.2727 27.27

5 [ 32.5 - 37.5 ] 20 0.1818 18.18

TOTAL 110 1.0000 100.00

100

10010

100

1010

14414251

54213

314134

145154

=+++Þ==

=+++Þ=

==-Þ=--

=-Þ==-

ffffffyffSi

fffffSi

ffffffSi

ffffyffSi

Entonces:

50

100)(2

10022

14

14

14

=+

=+

=+

ff

ff

ff

30

301050

224

41414

=Þ=

=Þ=-=+

fffSi

fffyffSi



Estadística

36

Luego 2051 == ff

5.3230

975975 444 ==Þ= LfLSi

Entonces

54

20

0.205.125.324

==

=-=

a

R

Luego los intervalos de clases son:

12.5 + 5 = 17.5

17.5 + 5 = 22.5

22.5 + 5 = 27.5

27.5 + 5 = 32.5

32.5 + 5 = 37.5

Bibliografía recomendada

?

?

?

?

?

?

?

AVILA., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998.

CALZADAB., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima, 1966.

CAPUÑAY C. Abelino. Sumatoria y Binomio de Newton. Editorial Ingeniería.

Lima 1984.

JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México.

1991.

MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar.

Madrid 1972.

MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991.

VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas

S.A. 2ª Edición. Lima 1993.

En el siguiente fascículo se calculara los estadígrafos de la estadística descriptiva y se

explicara las características y empleo de estas medidas.




1.Determinar la clase de variable que nos dan los datos de los siguientes

fenómenos o hechos:

2. De los siguientes enunciados. ¿Cuál probablemente exija el empleo de la

Estadística Descriptiva y cuál de la Estadística Inferencia?

a)En un campeonato de fútbol se desea conocer el promedio de goles de los

equipos que participan.

b)Un comité para la prevención de la contaminación del aire, analiza la

disminución del tráfico automotriz y el grado de polución.

c)Un psicólogo estudia el efecto de la asesoría personal sobre el rendimiento de

un estudiante.

d)Un Economista registra el crecimiento de la población en un área

determinada.

3.Redondear los siguientes números a las cifras significativas siguientes:

a)23,5 a 2 cifras significativas

b)0,0008532 a 1 cifra significativa

c)0,05 a un decimal y una cifra significativa

d)90000455 a 7 cifras significativas

4.Desarrollar:

NOMBRE:_______________________________________________________

APELLIDOS:______________________________ FECHA: ___/___/___

CIUDAD:__________________________________ SEMESTRE:__________

a) Colores b) Nivel de desempleo

c) Accidentes de Tránsito d) Orientación en el tiempo

a) å=

7

2a

a yabcx b) ( )å=

--5

3

23N

NNx c) å

=÷÷ø

öççè

æ6

1M

MYkY

M



Estadística

38

5.¿Por qué la Estadística es probabilística e Inferencial?

6.De 4 Ejemplos de variable discreta

7.De 4 Ejemplos de Variable continua

8.Se realiza una encuesta a los alumnos de la UPLA a cerca de la preferencia de

marcas de gaseosas, los resultados fueron los siguientes:

a) Construya una tabla de frecuencia

b) ¿Qué porcentaje de estudiantes de la UPLAprefiere Kola Real?

c) ¿Cuántos estudiantes prefieren otras gaseosas?

d) Realizar un tipo de grafico

9.) los siguientes datos muestran velocidades en km/h de 48 carros que pasaron por

un punto de control de velocidad.

PE IK KR PE PE IK IK PE CC CC

IK PE IK IK PE PE KR CC IK KR

O KR CC KR IK PE PE IK O CC

PE O PE PE CC CC KR CC PE IK

IK IK CC PE KR IK IK PE PE CC

Donde

IK= Inca Kola PE= Pepsi O= otras

CC= Coca Cola KR= Kola Real

60 30 31 60 45 34 54

38 35 27 45 40 45 83

30 40 46 105 29 102 60

82 72 63 36 70 31 81

65 80 25 70 108 24 85

45 120 65 39 83 72 60

70 100 55 50 64 61

a) Elabore una tabla de frecuencia.

b) Que significa:4f ; 5h ; 3

)1(F ; 5

)2(F ; 4

)1(H ; 5

)1(H

c) Represente la tabla mediante un polígono de frecuencia




10.Los puntajes de un aprueba de aptitud se tabularon en una distribución defrecuencias de 6 intervalos de amplitud constante. Si las marcas de clases delsegundo y cuarto intervalo son 40 y 80, las frecuencias relativas están relacionadasde la siguiente manera: del primero es igual al sexto intervalo, la tercera y quintafrecuencia son iguales, la cuarta frecuencia es igual a 0.25, del segundo intervalo esigual al cuarto menos el primero, el tercer intervalo9 es igual al primero mas 0.10 y lafrecuencia absoluta acumulada del sexto intervalo es igual a 60.

Completar la distribución de frecuencias.



Estadística

40

1.- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O DE POSICIÓN

2.- LAMEDIAO PROMEDIOARITMETICO

Las medidas de centralización son valores que tienden a situarse en el centro del

conjunto de datos ordenados según magnitud.

Clases de Medidas de Tendencia Central

A. Medias Fijas:

a) MediaAritmética

b) Media Geométrica

c) MediaArmónica

d) Media Cuadrática

e) Media Cúbica

B. Medias Móviles

a) Mediana

b) Moda

c) Cuatiles

d) Deciles

e) Percentiles

La media es el valor representativo de la serie; pudiera decirse que es el punto de

equilibrio o centro de gravedad de la serie.

Se representa por para una muestra y para la población

2.1.La Media simplen

xxxx

n

x

x n

n

i

i ++++==

å= K3211

x m

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Calcula e interpreta la media aritmética, la mediana y la moda.

Explica las características y propiedades de las medidas.

Relaciona la media, la mediana y la moda.

Identifica y aplica los medios geométricos y armónica.

Reconoce y calcula los conceptos de cuartil, decil y percentil.

Calcula varias medidas de dispersión para datos simples y agrupados.

Explica las características, uso de las medidas de dispersión.

Calcula y explica el uso del coeficiente de variación.

Calcula, explica y determina los coeficientes de Asimetría y Apuntamiento.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL,DE DISPERSIÓN, DE ASIMETRÍA Y DE APUNTAMIENTO




Ejemplo:

x: es la talla de 65 obreros de una empresa, se quiere saber cual es la

estatura promedia.

.68.1679.165

15.109

1

mtx

n

fx

x

n

i

ii

===

=å

=

El promedio de la estatura de los obreros de la empresa, es de 1.68 metros.

2.3.- Propiedades de la MediaAritmética

a) La media de una constante es la misma constante.

b)La media del producto de una constante por una variable es igual al producto de

la constante por la media de la variable.

c)La media de una variable mas o menos una constante, es igual a la media de la

variable mas o menos la constante.

d)La media de la suma o diferencia de dos o mas variables e igual a la suma o

diferencia de las medias de cada una de las variables.

cc =

xccx =

cxcx ±=±

yxyx ±=±

Ejemplo:x: 18, 24, 45, 12, 89, 12

33.336

128912452418=

+++++=x

2.2.La Media Ponderada

n

fx

x

n

i

iiå== 1



Estadística

42

1.Las edades de los componentes de una familia de 7 miembros, es como sigue: 52, 42,

26, 24, 13, 8 y 1 años, se pide determinar el promedio de edad de esta familia.

2.Hallar el salario promedio correspondiente a los trabajadores de cierta fabrica,

extrayendo datos de la tabla de frecuencia:

i Salario(S/.) fi ix ii fx

1 [ 70 – 80 ] 20

2 [ 80 – 90 ] 30

3 [ 90 – 100 ] 60

4 [ 100 - 110] 90

5 [ 110 - 120] 100

6 [ 120 - 130] 85

7 [ 130 - 140] 70

TOTAL

3.MEDIANA

La mediana es el punto medio de un conjunto de datos; o es aquel valor de la

variable que divide al conjunto de valores en dos partes iguales.

3.1.CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIANA

a) Localiza mejor el centro de distribución para lo cual es necesario

ordenar.

b) Su cálculo es fácil y poco sensible a los valores extremos.

c) Puede ser calculado inclusive cuando los intervalos son abiertos.

d) Pueden ser calculados cuando las variables son cualitativos,

susceptibles de ordenar de acuerdo a alguna propiedad, categoría, etc.

e) No puede ser manejada algebraicamente para cálculo posteriores.

f) Se halla inclusive cuando las amplitudes son diferentes.

3.2. La Mediana simple o No Agrupados

a) Datos Impar




Ejemplo:

Se tiene los gastos de 7 personas siguientes:

x: s/. 120, s/. 140, s/. 100, s/. 150, s/. 145, s/. 135, s/. 160

Calcular la mediana.

PASOS:

1º.En la mediana se ordenan los datos:

x: s/. 100, s/. 120, s/. 135, s/. 140, s/. 145, s/. 150, s/. 160

2º.En datos impar se toma el valor central de acuerdo a la formula.

Interpretación: el 50% gastan menos de s/140 y el otro 50% restante gasta más de

s/140

b) Datos Par

Solución

2

1+= nxMe

140./

4

2

17

2

1

S

n xxxMe ==== ++

÷÷ø

öççè

æ+= +

2

2

22

1nn xxMe

Ejemplo:

Se tiene los pesos de 8 personas siguientes:

x: 70, 65, 83, 62, 94, 75, 79, 86 kg

Calcular la mediana.

PASOS:

1º. Se ordenan los datos

x: 62, 65, 70, 75, 79, 83, 86, 94 kg

Solución



Estadística

44

2º. Se aplica la formula

Interpretación: el 50% de personas pesan menos de 77kg y el restante 50% pesan mas

de 77kg.

3.3. La MedianaAgrupada o Ponderado

PASOS PARAHALLAR LAMEDIANA

1º.Determinar la clase mediana, a través del cociente de cuyo resultado se la ubica

en la frecuencia acumulada absoluta ascendente ,

que le contenga más próximo.

2º.determinar la amplitud del Intervalo “ ”, restando el Limite superior menos el Limite

inferior de la clase mediana.

O si se tuviera la marca de clase, restar una de ella con respecto al siguiente inmediato.

3º.Determinar en la clase mediana el Límite inferior del intervalo o clase.

Si solo tuviera la marca de clase entonces el límite inferior seria:

= valor de la marca de clase de la clase mediana.

= amplitud del intervalo

( ) ( )

K gM e

xxM e

xxxxM e nn

772

154

79752

1

2

1

2

1

2

1

54

2

28

2

8

2

2

2

==

+=+=

÷÷ø

öççè

æ+=÷÷

ø

öççè

æ+= ++

k

k

f

Fn

aLiMe

)1(

12

--+=

2

n

)1(F

LiLsa -=

ii XXa -= + 1

[ [LsLi -

Li = limite inferior de la clase medianaa = intervalo de clasen = número de elementos (tamaño de la muestra)

)1(

1-kF = frecuencia absoluta acumulada ascendente anterior a la clase

mediana.

kf = frecuencia absoluta de la clase mediana.

a

ix

ix

a

2

aXiLi -=




4º.Determinar la Frecuencia Acumulada Absoluta ascendente anterior a la clase

mediana

5º.Determinar la frecuencia absoluta simple de la clase mediana

6º.Remplazar los valores en la formula de la mediana.

Ejemplo:

Se tiene la tabulación de los pesos en kg., de 110 obreros de una fábrica se pide

determinar la mediana.

)1(

1-kF

kf

Peso

ixif )1(F

50 5 5

55 15 20

60 28 48 ¬ )1(

1-kF

65 22 70 ¬Clase

mediana

70 19 89

75 11 100

80 10 110

110

k

k

f

Fn

aLiMe

)1(

12

--+=

PASOS

552

110

2==

n

55 esta contenido este determina la clase mediana.

121111 xxxxxxa ii -=-=-= ++

55055 =-=a

2

axLi i -=

F = 71,(1)



Estadística

46

5.2652

565 -=-=Li

KgLi 5.62=

48)1(

1 =-kF

22=kf

22

485555.62

-+=Me

KgMe 1.6409.64 ==

Interpretación: el 50% de los obreros pesan menos de 64.1 kg y el

otro 50% de los obreros pesan mas de 64.1 kg

ACTIVIDAD 2.2

1. Hallar la mediana de los salarios mensuales de 6 trabajadores:

s/1000, s/1300, s/1100, s/1150, s/1200, s/970

2. hallar la mediana de las alturas de 100 alumnos de la UPLA

Altura (m)

Intervaloif )1(F

[ 1.57 - 1.61 [ 4

[ 1.61 - 1.65 [ 28

[ 1.65 - 1.69 [ 43

[ 1.69 - 1.73 [ 18

[ 1.73 - 1.77 ] 7

TOTAL 100

4. LA MODA

La moda es el valor de la variable que mayor veces se repite o con mayor frecuencia

sucede.

Un grupo de datos puede tener una moda, dos modas, etc. En tales casos la

distribución se llama, respectivamente, unimodal, bimodal, etc. También, la moda

puede no existir, en caso de haber valores que se repitan.




4.2. La Moda serie Simple

Ejemplo:

Hallar la moda de los números: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

El número que más veces se repite es 5. Por consiguiente, 5 es la moda

(unimodal).

Ejemplo:

Hallar la moda de los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Ningún número se repite más que los otros. Por consiguiente, no hay moda.

Ejemplo:

Las calificaciones de un estudiante en 8 asignaturas fueron: 6, 5, 7, 6, 8, 5,

9, 10.

Hallar la moda de las calificaciones.

Las calificaciones que más veces se repiten son 5 y 6. Por consiguiente, 5 y

6 son las calificaciones moda (bimodal)

4.2. La Moda serie Ponderada o agrupada:

= Limite inferior de la clase modal

= Amplitud del intervalo de clase

= Variación 1

= Variación 2

1º.Determinar la clase modal, a través de la frecuencia absoluta simple mayor.

2º.Determinar la amplitud del intervalo “ ” restando el limite superior menos el limite

inferior de la clase modal.

O si se tuviera la marca de clase, restar una de ella con respecto al siguiente

inmediato.

PASOS PARA HALLAR LA MODA

21

1

D+DD

+= aLiMo

Li

a

1D

2D

a

LiLsa -=

LiLsa -=

ii XXa -= + 1



Estadística

48

3º.Determinar en la clase modal el limite inferior de la clase.

Si solo tuviera la marca de clase X entonces el límite inferior seria:

= valor de la marca de clase de la clase mediana.

= amplitud del intervalo

4º.Determinar la variación 1, , restando el valor de la frecuencia absoluta simple de la

clase modal menos la frecuencia de la clase anterior inmediata.

5º.Determinar la variación 2, , restando el valor de la frecuencia absoluta simple de

la clase modal menos la frecuencia de la clase posterior inmediata.

6º.Remplazar los valores en la fórmula.

Ejemplo:

Las temperaturas tomadas en la ciudad de Huancayo, cada semana, durante un

año, hallar la temperatura Moda.

1

[ [LsLi -

2

aXiLi -=

ix

a

1D

11 --=D MoMo ff

12 +-=D MoMo ff

Temperaturas

(ºC)if

5 12

10 8

15 16 ¬Clase modal

20 7

25 5

30 4

21

1

D+DD

+= aLiMo

1D




PASOS

343131 xxxxxxa ii -=-=-= ++

51520 =-=a

2

axLi i -=

5.2152

515 -=-=Li

CLi º5.12=

11 --=D MoMo ff

8161 -=D

81 =D

12 +-=D MoMo ff

7162 -=D

92 =D

CMo

Mo

º85.14

98

855.12

=+

+=

1º. La clase modal queda determinada por la frecuencia absoluta simple que masveces se repite, en este caso es 16.

2º.

3º.

4º.

5º.

6º. Reemplazando en la fórmula

Interpretación: la temperatura que mayor veces se repite en el año es 14.85ºC

Cuando en una frecuencia absoluta simple (f) existen 2 o más frecuencias mayores

iguales, se toma cualquiera para determinar la clase modal.

1. Al finalizar sus estudios de Derecho, 60 estudiantes tenían 22 años, 50 tenían 23

años, 17 tenían 24años, y 8 tenían 25 años. Hallar la moda de las edades.



Estadística

50

2.Hallar la moda del cuadro siguiente:

Intervalo if

[ 220 - 240 [ 48

[ 240 - 260 [ 60

[ 260 - 280 [ 60

[ 280 - 300 ] 30

TOTAL 198

10 38 30 16 25 30 30 18 23 25 38

13 21 14 27 14 13 18 30 25 18 37

12 10 15 20 28 26 10 17 26 28

17 14 19 22 11 15 20 39 23 38

5.RELACION ENTRE EL PROMEDIO ARITMETICO, MEDIANA Y MODA

REFORZAMIENTO DE APRENDIZAJE

a)Para curvas de frecuencias unimodales que sean ligeramente asimétricas,

se tiene la siguiente relación empírica:

b)Cuando la curva de frecuencia es unimodal y simétrica:

c)La Mediana aritmética esta influenciada por los valores extremos, en cambio

la Mediana y la Moda no lo están.

d)Una curva de distribución sólo tiene una X y una He , pero puede tener mas

de una .

1. La inversión anual ( en niveles de soles) de un grupo de pequeñas empresas de la

ciudad fueron:

X - Mo = 3 (X - Me)

X = Me = Mo




Calcular:

a) Media

b) Mediana

c) Moda

Tenemos que desarrollar una tabla de frecuencia

Solución

1º. minmax XXR -=

291039 =-=R

2º. nm log322.31+=

42log322.31+=m

64.6 ==m

3º.6

29==

m

Ra

83.4=a

4º. RamD -´= )(

29)83.46( -´=D

02.02998.28 -=-=D

Por ser negativo se rehace

Entonces 84.4=a

29)84.46( -´=D

îíì

+

-=-=

02.0

02.004.02904.29D

-0,002

9.98 10

+0,002

39 39.02

Resumen:

6

84.4

02.39max

98.9min

=

=

=

=

m

a

X

X



Estadística

52

Tabla de FrecuenciaIntervalo Tabulación fi )1(F Xi ii fX

[ 9.98 - 14.82 [ ||||| ||||| 10 10 12.40 124.00

[ 14.82 - 19.66 [ ||||| |||| 9 19 17.24 155.16

[ 19.66 - 24.5 [ ||||| | 6 25 22.08 132.48

[ 24.5 - 29.34 [ ||||| ||| 8 33 26.92 215.36

[ 29.34 - 34.18 [ |||| 4 37 31.76 127.04

[ 34.18 - 39.02 ] ||||| 5 42 36.60 183.00

TOTAL 42 937.04

Luego, calculamos:

a) La Media

En la tabla determinamos

Interpretación: la inversión anual de las pequeñas empresas de la ciudad

fue de 22.31 (miles de soles) = s/22,310.00

B)La Mediana

Determina la clase mediana en de la tabla que es 25

Interpretación: el 50% de las pequeñas empresas invierten menos de

s/21,270.00 y el otro 50% invierten más de s/21,270.00

n

fx

x

n

i

iiå== 1

å ii fx

solesdemilesx

x

31.22

42

04.937

=

=

k

k

f

Fn

aLiMe

)1(

12

--+=

212

42

2==

n

6

19

66.19

84.4

)1(

1

=

=

=

=

-

fk

F

Li

a

k

Me = 19,66 + 4,84

Me = 21,27 miles de Nuevos Soles

21 - 196




c) La Moda

Determinamos la clase modas en F mayor = 10

Interpretación: la inversión mas frecuente es de 14.38 (miles de soles) =

s/14,380.00

El promedio geométrico se usa cuando hay que promediar razones o

proporciones. Asimismo, se aplica cuando en la serie interviene el factor tiempo,

como sucede en el cómputo de intereses; en el cálculo de números índices y en

series que presentan una progresión geométrica.

La media geométrica de una serie de n números es la raíz enésima del producto

de dichos números.

Ejemplo:

Hallar la media geométrica de los números 3, 9 y 27

Para simplificar los cálculos es necesario aplicar logaritmos (recuérdense que

con logaritmos, la multiplicación se transforma en suma y la raíz en división).

1

6..MEDIA GEOMETRICA

21

1

D+DD

+= aLiMo

1910

10010

98.9

84.4

2

1

=-=D

=-=D

=

=

Li

a

solesdemilesMo

Mo

38.14

110

1084.498.9

=+

+=

nnxxxxgX K´´´= 321

9

729

2793

3

3

=

=

´´=

gX

gX

gX



Estadística

54

6.1.Media Geométrica Serie Simple

Ejemplo:

x: 2, 4, 6, 8, 10

n

x

antigX

n

i

iå== 1

log

log

ix ixlog

2 0.30103

4 0.60206

6 0.77815

8 0.90309

10 1.00000

Total 3.58433

21.5

71687.0log

5

58433,3log

=

=

=

gX

antigX

antigX

6.2.La Media Geométrica serie Ponderada

n

fx

antigX

n

i

iiå== 1

)(log

log

Ejemplo:

En un examen de Psicología, 6 alumnos obtuvieron un 3; 8 obtuvieron un 4; 13 un

5; 8 un 6; 5 un 7; 3 un 8 y 1 un 9.

Hallar la media geométrica.

Calificación

ix

Alumnos

ifixlog ii fx )(log

3 6 0.47712 2.86272

4 8 0.60206 4.81648

5 13 0.69897 9.08661

6 8 0.77815 6.22520

7 5 0.84510 4.22550

8 3 0.90309 2.70927

9 1 0.95424 0.95424

Total 44 30.88002




5

70182.0log

44

88002.30log

=

=

=

gX

antigX

antigX

1.Las velocidades de 100 metros planos de 6 estudiantes de una clase son: 11.6; 12.4;

11.8; 13.5; 13.0; 12.8 segundos. Hallar la media geométrica de las velocidades.

2.Cuatro grupos de estudiantes, formados por 2, 10, 12, 10 alumnos, registraron una

media de pesos de 65, 70, 75 y 80kg, respectivamente. Hallar la media geométrica de

los pesos de los estudiantes.

3.En una fábrica hay 50 empleados, 30 de los cuales son casados y 20 solteros. Si el

salario mensual de un empleado casado es de s/1200 y el de un soltero s/1000 ¿Cuál es

la media geométrica del salario de un empleado de la fábrica?

Es el reciproco del promedio aritmético de los recíprocos de los valores de la serie.

Se utiliza para promediar velocidades y cuando los datos de la serie siguen una

progresión armónica.

7.1. La MediaArmónica Serie Simple

7.MEDIAARMONICA

1

1

1

-

=

-

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=å

n

x

aX

n

i

i

Ejemplo:

x: 2, 4, 6, 8, 10



Estadística

56

7.2. La Media Armónica Serie Ponderada

1

1

1

-

=

-

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=å

n

fx

aX

n

i

ii

Ejemplo

ix if 1-ix ii fx 1-

3 8 0.333 2.664

6 22 0.167 3.674

9 30 0.111 3.330

12 25 0.083 2.075

15 5 0.067 0.335

Total 90 12.078

45.7

078.12

90

90

078.121

=

=

úûù

êëé=

-

aX

aX

aX

Hallar la media armónica de los problemas de la actividad 2.4

El promedio aritmético esta más influenciado por los elementos grandes de la serie,

que el promedio geométrico y el promedio armónico.

Los tres promedios quedan ordenados por su magnitud del siguiente modo.

Los cuartiles, son tres valores que dividen la distribución (ordenada en forma

creciente) en cuatro grupos de igual número de términos. El primer valor se denomina

primer cuartil (Q ) y los otros segundo cuartil ( ) y el tercer cuartil ( ). El segundo

cuartil es igual a la mediana.

8. RELACIONES ENTRE LOS PROMEDIOS

9. CUARTILES

1 Q Q2 3

aXgXx >>




9.1.Cuartiles Serie Simple

a) Primer Cuartil

es el número de términos

b) Segundo Cuartel

c) Tercer Cuartel

Ejemplo:

x: 2, 5, 6, 8, 11, 14, 15, 17, 21, 24, 26

= 3º término de la serie



9.2. Cuartiles Serie Ponderada

a) Primer Cuartil

1Q

4

11

-=

nQ

n

2

12

+=

nQ

4

)1(33

+=

nQ

4

1111

+=Q

61 =Q

2

1112

+=Q

142 =Q

4

)111(33

+=Q

213 =Q

k

k

f

Fn

aLiQ

)1(

1

14

--+=



Estadística

58

b) Segundo Cuartil (Mediana)

C) Tercer Cuartil

Los pasos de solución de los problemas de cuartiles, son iguales a los aplicados para

obtener la mediana.

Llámese deciles a 9 valores que se dividen la distribución (ordenada en forma

creciente) en 10 grupos de igual número de términos.

Para Deciles de serie ponderada, la formula es:

La solución es igual a los pasos de la Mediana

Los percentiles son 99 valores que se dividen la distribución (ordenada en forma

creciente) en 100 grupos de igual numero de términos.

Para percentiles de serie ponderada la formula es:

La solución es igual a los pasos de la Mediana

Se tiene los sueldos mensuales de 60 empleados del departamento de ventas de una

compañía de seguros, cuya Tabla de Frecuencia es:

10.DECILES

11.PERCENTILES

12.APLICACIÓN DE CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

k

k

f

Fn

aLiQ

)1(

1

22

--+=

fk

Fn

aLiQk

)1(

1

34

3--

+=

D = Li + ad

dn10 Fk-1

(1)

Fk

P = Li + ap

Pn100 Fk-1

(1)

Fk




Sueldo Mensual

(S/.)ix

if )1(F

[ 319 - 369 [ 344 4 4

[ 369 - 419 [ 394 8 12

[ 419 - 469 [ 444 12 24

[ 469 - 519 [ 494 11 35

[ 519 - 569 [ 544 10 45

[ 569 - 619 [ 594 9 54

[ 619 - 669 ] 644 6 60

TOTAL 60

Halla:

a) Cuartil 1

b) Cuartil 3

c) Decil 3

d) Decil 8

e) Percentil 27

f) Percentil 83

g) Percentil 1

a)

La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 15

Solución

Hallamos la clase cuartil 1

- 154

60

4==

n

12

12

419

50

)1(

1

=

=

=

=

-

k

k

f

F

Li

a

solesNuevosQ

Q

f

Fn

aLiQk

k

50.431

12

124

60

50419

4

1

1

)1(

1

1

=

-+=

-+=

-



Estadística

60

B) Cuartil 3

Hallamos la clase cuartil 3


C)Decil 3

Hallamos la clase decil 3


a)decil 8

Hallamos la clase decil 8


-

-

-

454

)60(3

4

3==

n

10

35

519

50

)1(

1

=

=

=

=

-

k

k

f

F

Li

a

solesnuevosQ

Q

fk

Fn

aLiQk

00.569

10

354

)60(3

50519

4

3

3

3

)1(

1

3

=

-+=

-+=

-

1810

)60(3

10

3==

n

12

12

419

50

)1(

1

=

=

=

=

-

k

k

f

F

Li

a

solesNuevosD

D

f

Fn

aLiDk

k

d

00.444

12

1210

)60(3

50419

10

3

3

3

)1(

1

=

-+=

-+=

-

4810

)60(8

10==

dn

9

45

569

50

)1(

1

=

=

=

=

-

k

k

f

F

Li

a




e) Percentil 27

Hallamos la clase percentil 27

La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 16.20

F) Percentil 83



G) Percentil 1


-

-

-

solesNuevosD

D

f

Fdn

aLiDk

k

d

67.585

9

4510

)60(8

50569

10

8

8

)1(

1

=

-+=

-+=

-

20.16100

)60(27

100==

pn

12

12

419

50

)1(

1

=

=

=

=

-

k

k

f

F

Li

a

solesNuevosP

P

f

Fpn

aLiPk

k

p

50.436

12

12100

)60(27

50419

100

27

27

)1(

1

=

-+=

-+=

-

80.49100

)60(83

100==

pn

9

45

569

50

)1(

1

=

=

=

=

-

k

k

f

F

Li

a

solesNuevosP

P

f

Fpn

aLiPk

k

p

67.595

9

45100

)60(83

50569

100

83

83

)1(

1

=

-+=

-+=

-

60.0100

)60(1

100==

pn



Estadística

62


Las medidas de dispersión dan idea de la separación de los datos numéricos

alrededor de un valor medio (estadígrafos de posición), i mide el grado de

concentración o dispersión de los valores.

Clases de Medidas de Dispersión que estudiaremos:

A.Dispersión Absoluta

a) Rango

b) desviación Media

c) Varianza

d) Desviación estándar

B.Dispersión Relativa

a) Coeficiente de Variación

b) Variable Estandarizada

El rango o recorrido es la diferencia entre los valores extremos, máximo y mínimo.

Ejemplo:

Hallar el rango de la siguiente serie de números: 4, 5, 7, 9.9, 10, 12, 15

13.- MEDIDAS DE DISPERSION O VARIABILIDAD

14. RANGO (R)

4

0

319

50

)1(

1

=

=

=

=

-

k

k

f

F

Li

a

solesNuevosP

P

f

Fpn

aLiPk

k

p

50.326

4

0100

)60(1

50319

100

1

1

)1(

1

=

-+=

-+=

-

minmax XXR -=

11

415

=

-=

R

R




La dispersión de los datos será mayor cuanto mayor sea el recorrido. El rango no es

una buena medida de dispersión, puesto que basta con que un dato se aleje mucho de

la media para que el rango resulte muy afectado, ya que únicamente depende de dos

valores, sin que influyan para nada los datos restantes.

La desviación media es una buena medida de dispersión.

15.1. Desviación Media Simple

= elementos o la observación

= media

= número de elementos

Ejemplo:

Hallar la desviación media de las tallas 1.47; 1.58; 1.60; 1.62; 1.53 metros.

Hallamos:

15.2. Desviación Media Ponderada

15. DESVIACION MEDIA(DM)

n

xx

DM

n

i

iå=

-= 1

(Valor Absoluto)

ix

x

n

56.1

5

53.162.160.158.147.1

=

++++=

x

x

metrosDM

DM

DM

DM

048.0

5

24.0

5

03.006.004.002.009.0

5

03.006.004.002.009.0

5

56.153.156.162.156.160.156.158.156.147.1

=

=++++

=

-++++-=

-+-+-+-+-=

n

fxx

DMi

n

i

iå=

-= 1



Estadística

64

Ejemplo:

KgpesoXi = if ii fx xxi - ii fxx -

40 4 160 5.88 23.52

43 5 215 2.88 14.40

46 8 368 0.12 0.96

49 6 294 3.12 18.72

52 3 156 6.12 18.36

Total 26 1193 75.96

Hallamos:

Kgx

n

fx

x

n

i

ii

88.4526

1193

1

==

=å

=

KgDM

DM

n

fxx

DMi

n

i

i

92.2

26

96.75

1

=

=

-=

å=

1·

2·

16.- VARIANZA

16.1.Varianza Simple

a) Varianza de una Población

B) Varianza de una Muestra

Ejemplo:

Calcular la varianza de 4, 5, 6, y 7.

´

( )

N

xN

i

iå=

-= 1

2

2

ms

( )

n

xx

S

n

i

iå=

-== 1

2

2

n

xx

iå=

5.54

22

4

7654==

+++=x




16.2. Varianza Ponderada

a)Varianza de Una Población

b)Varianza de Una Muestra

Ejemplo:

( )

n

xx

S

n

i

iå=

-== 1

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

25.1

3

5

4

25.225.025.025.2

4

5.575.565.555.54

2

2

2222

2

=

=+++

=

-+-+-+-=

S

S

S

( )

N

fxN

i

iiå=

-== 1

2

2

ms

( )

( )30

1

30

1

2

2

1

2

2

<-

-==

³-=

=

å

å

=

=

nparan

fxx

S

nparan

fxx

S

n

i

ii

n

i

ii

Talla(mts)

ixif ii fx xxi - ( )2

xxi - ( ) ii fxx2

-

1.52 3 4.56 -0.08 0.0064 0.0192

1.56 5 7.80 -0.04 0.0016 0.0080

1.60 9 14.40 0 0 0

1.64 6 9.84 0.04 0.0016 0.0096

1.68 4 6.72 0.08 0.0064 0.0256

Total 27 43.32 0.0624

60.127

32.431 ===å

=

n

fx

x

n

i

ii

( )

metrosS

S

nserporn

fxx

S

n

i

ii

0024.0

26

0624.0

127

0624.0

301

2

2

1

2

2

=

=-

=

<-

-==

å=



Estadística

66

17.DESVIACION ESTANDAR

18.CARACTERISTICAS DE LA VARIANZA Y DESVIACIÓN

ESTANDAR.

Es la Raíz cuadrada positiva de la varianza; una medida de la

dispersión, expresada en las mismas unidades que los datos

originales y no en las unidades cuadradas de la varianza.

En general, la Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

para

Para población

Ejemplo: (de los ejemplos de la varianza)

Ejemplo:

Las fórmulas de las Desviación Estándar son iguales a la

Varianza pero aplicándole la raíz cuadrada.

a)Son siempre un valor positivo.

b)Son influenciado por todos los valores de la muestra o población.

c)Mayor influencia ejercen los valores extremos que los que están

próximo a los promedios.

d)Si en una distribución normal se levanta una ordenada a uno y

otro lado del promedio a una distancia igual a la desviación

estándar.

muestra

2ss =

2SS =

12.1

25.1

2

=

=

=

S

S

SS

metrosS

S

SS

049.0

0024.0

2

=

=

=

%73.993

%46.952

%26.68

=±

=±

=±

Sx

Sx

Sx




El porcentaje de esos valores quedan incluidos dentro de estos límites.

e)La varianza y la desviación estándar de una constante es cero.

f) La desviación estándar del producto de una constante por una variable, es igual

al producto de la constante tomada en valor absoluto por las desviación estándar

de la variable.

g)La varianza del producto de una constante por una variable, es igual al

cuadrado de la constante por la varianza de las variables.

h)La desviación estándar de la suma de una variable y una constante, es igual a

la desviación estándar de las variables.

i) La varianza de una función lineal, es igual a la constante al cuadrado por la

varianza de la variable.

Es una medida relativa de dispersión, semejante entre las distribuciones, que

expresa la desviación estándar en un porcentaje de la media.

para población

Para muestra

Ejemplo:

Si la desviación estándar de la población P es 5 y media población es 40 el

coeficiente de variación es:

La variable estandarizada se calcula:

Para población

para muestra

19.COEFICIENTE DE VARIACION (CV)

20.VARIABLE ESTANDARIZADA

( )100ms

=CV

( )100x

SCV =

( )

%5.12

10040

5

=

=

CV

CV

sm-

= ii

xZ

S

xxZ i

i

-=



Estadística

68

Ejemplo:

En un examen de Estadística, la nota media fue de catorce y la desviación

estándar de 1.6. Determinar las variables estandarizadas para los valores

o notas de X: 12, 17, 20, 13

La variable estandarizada se aplica en la probabilidad de la Distribución Normal.

1)Las ventas diarias (miles de dólares) de una tienda de artefactos

eléctricos es:

sm-

= ii

xZ

25.16.1

2

6.1

14121 -=

-=

-=Z

87.16.1

3

6.1

14172 ==

-=Z

7.36.1

6

6.1

14203 ==

-=Z

625.06.1

1

6.1

14131 -=

-=

-=Z

Ventas

ix

Dias

if

[ 20 - 24 ] 9

[ 24 - 28 ] 12

[ 28 - 32 ] 8

[ 32 - 36 ] 3

[ 36 - 40 ] 3

[ 40 - 44 ] 2

TOTAL 37

Calcular:

a) Rango

b) Desviación Media

c) Desviación Estándar

d) Varianza

e) coeficiente de Variación

if




2)Las estaturas de 12 estudiantes de una clase son: 165, 160, 164, 155, 160 y162cm.

Calcular:

a) Rango

b) Desviación Estándar

a) Coeficiente de Variación

La medida o estadígrafo de asimetría indica el grado de deformación de la curva de

frecuencia, puede ser inclinada a la derecha o izquierda. La curva de frecuencia

puede ser simétrica, caso determinado por la posición de la media, mediana y moda

( )

21.1.Tipo de Medida deAsimetría.

a) Curva asimétrica positiva o con cola a la derecha, hay predominio de los valores

menores.

21.MEDIDADEASIMETRIA

MoMex ==

b) Curva asimétrica negativa o con cola a la izquierda, indica predominio de los

valores mayores.

c) Curva simétrica o campana de GAUSS (curva teórica de análisis).

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15



Estadística

70

21.2.- Coeficiente de Asimetría de PEARSON

a) En función de la moda.

= Media aritmética

= Moda

= desviación estandar

Resultados:

Si el valor es cero, la curva es simétrica.

Si el valor es igual a , la curva es asimétrica moderada positiva o

negativa.

Si el valor es igual a , la curva es asimétrica muy marcada positiva o

negativa.

Si el valor es igual a , la curva es asimétrica máxima positiva o

negativa.

Ejemplo:

La media de los salarios es s/.109.50, la moda s/.108.30 y su desviación estándar

s/.400, calcular el coeficiente de asimetría

Como el valor es positivo es una curva asimétrica positiva muy marcada.

b) En Función de la Mediana

-

-

-

-

S

MoxAs

-=1

x

Mo

S

1.0±

3.0±

1±

3.0

00.4

30.10850.109

1

1

=

-=

As

As

S

MexAs

)(32

-=

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20




= Media aritmética

= Mediana

= desviación estandar

Resultados:

Si el valor es igual a cero, la curva es simétrica.

Si el valor es mayor que cero, la curva es asimétrica positiva.

Si el valor es menor que cero, la curva es asimétrica negativa.

Ejemplo:

La media de los pesos de los trabajadores de una fabrica es de 68kg, la mediana

71kg y la desviación estándar de 3.5kg. Calcular el coeficiente de asimetría.

Como el valor es menor que cero, la curva es asimétrica negativa.

La medida de apuntamiento o estadígrafo de Kurtosis es el grado de deformación

vertical de una curva de distribución de frecuencia. Se analiza comparando la curva

de distribución con una curva normal o campana de Gauss.

22.1. Tipos de Curvas de Distribución

a)Leptokurticas (LK)

Es cuando su elevación es muy pronunciada o sea superior a la curva

normal. Se presenta cuando la desviación estándar de dicha distribución es

mínima.

b)Mesokurticas (MK)

Es cuando la elevación es la de una curva normal.

c)Platikurticas (PK)

Es cuando la elevación es inferior o queda por debajo de una curva normal,

se presentan cuando la desviación estándar de la distribución es

relativamente grande.

-

-

-

22.- MEDIDA DE APUNTAMIENTO

x

Me

S

57.2

5.3

9

5.3

)7168(3

2

2

-=

-=

-=

As

As



Estadística

72

22.2. Coeficiente de Kurtosis

= Cuantil 3

= Cuantil 2

= Percentil 90

= Percentil 10

Resultados

El valor de K no pasa de 1 tampoco puede ser negativo.

Si K esta de cero a1/8 la curva es platikurtica

Si K esta de 1/8 a 3/8 la curva es mesokurtica

Si K esta de 3/8 a1/2 la curva es leptokurtica

Ejemplo:

Se tienen las tallas de los estudiantes de la UPLA, cuyos cuartiles 1 y 3 son 1.575 y

1.725 metros, respectivamente, y los percentiles calculados son: = 1.77m y

=1.53m Calcular el coeficiente de kurtosis.

El valor se encuentra en intervalo de mesokurtosis

( )1090

13

2 PP

QQK

--

=

3Q3Q

90P

90P

10P

10P

83

210 8

14

1

PK MK LK

( )3125.0

48.0

15.0

53.177.12

575.17525.1

=

=--

=

K

K

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20

LK

MK

PK




La inversión anual (miles de dólares) de un grupo de empresarios de

Huancayo, fueron:

12 10 16 28 32 18 40

14 16 27 13 19 38 18

13 32 22 31 10 37

18 15 24 14 23 36

42 14 27 28 21 37

22 19 15 17 29 25

Determinar e interpretar.

a) Coeficiente de Kurtosis

b) Coeficiente de Pearson

Por la moda

Por la mediana

-

-

Actividad 2.7



CALZADA B., José. Estadística General. Editorial Jurídica S.A., Lima,1966.

JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición.México. 1991.

MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. EditorialAguilar. Madrid 1972.

MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991.

VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios CopiasGraficas S.A. 2ª Edición. Lima 1993.

En el siguiente fascículo iniciamos el estudio de la teoría de laprobabilidad, conceptos básicos, análisis combinatorio, diagrama deárbol, el método Clásico, método de la frecuencia relativa, métodosubjetivo y probabilidades frente a apuestas, espacios muestrales finitos,probabilidad condicional y Teorema de Bayes.



Estadística

74

NOMBRE:_______________________________________________________

APELLIDOS:______________________________ FECHA: ___/___/___

CIUDAD:_________________________________ SEMESTRE:___________

1. En el departamento de producción de una fábrica tienen lossiguientes sueldos hasta fines del mes de julio.

Sueldo Mensual

(S/.)Empleados

485 - 585 15

585 - 685 25

685 - 785 30

785 - 885 20

885 - 985 5

985 - 1085 5

TOTAL

Calcular e interpretar:

a) La Media

b) La Mediana

c) La Moda

2. Los siguientes datos dan las cantidades gastadas (en nuevos soles)en alimentación de una muestra de familia.

22.7 7.6 29.5 15.19 31.9

19.9 26.6 16.2 27.9 23.2

24.6 30.9 5.0 32.1 4.0

47.4 24.0 17.0 15.1 18.8

29.9 34.2 43.4 57.0 12.3

33.7 27.1 36.3 25.0

17.7 27.9 20.5 32.5

27.8 42.9 18.1 32.0

29.7 19.2 10.0 30.3

23.5 11.6 29.4 33.5




Calcular e interpretar:

a) La Media

b) La Mediana

c) La Moda

3. De un total de 100 números, 15 eran 4; 45 eran 5; 25 eran 6; 15 eran 7

Calcular:

a) La Media

b) La Moda

c) La Mediana

4. Dado la distribución de frecuencia de alturas de 449 plantas en

centímetros.Clases if

[ 45 - 50 ] 2

[ 50 - 55 ] 7

[ 55 - 60 ] 18

[ 60 - 65 ] 36

[ 65 - 70 ] 59

[ 70 - 75 ] 74

[ 75 - 80 ] 88

[ 80 - 85 ] 72

[ 85 - 90 ] 44

[ 90 - 95 ] 30

[ 95 – 100 ] 11

[ 100 – 105 ] 5

[ 105 – 110 ] 3

TOTAL 449

if

A)Media geométrica

b)Media armónica

c)Media aritmética

d)Cuartil 1

e)Cuartil 3

f)Decil 4

g)Decil 7

h)Percentil 2

i)Percentil 93

j)La Moda y Cuartil 2

K)Rango

l) Desviación Media

m) Varianza

n) Desviación Estándar.

o) Coeficiente de Variación

p) Coeficiente de Asimetría de

Pearson

q) Coeficiente de Kurtosis

En forma hipotética calcular:



Estadística

76

1. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD

2. CONCEPTO DE PROBABILIDAD

Jacob Bernoulli, Abraham de Moure, Thomas Bayes y Joseph Lagrange inventaron

fórmulas y técnicas de probabilidad. En el siglo XIX Pierre Simon, Marques de

Laplace, unificó esas primeras ideas y formuló la primera teoría general de la

probabilidad.

La teoría de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de

juegos y, lo que es mas importante para nuestro estudio con el tiempo, también se

aplicó a otros problemas socioeconómicos. La teoría matemática de la probabilidad

constituye el fundamento de las aplicaciones estadísticas tanto en la investigación

social como en la toma de decisiones.

La probabilidad es la posibilidad de que ocurra algo. Las probabilidades se expresan

como fracciones o como decimales entre 0 y 1. Asignar una probabilidad de cero

significa que algo nunca ocurrirá; una probabilidad de 1 indica que algo sucederá

siempre.

La noción de probabilidad viene de la necesidad de medir de alguna manera la

certeza o la duda de que algún suceso ocurra o no.

El fin de la teoría de probabilidades es examinar las formas y los medios de obtener

esas medidas de certeza, así como encontrar los métodos para combinarlos

cuandointervienen varios sucesos en un experimento.

- Define lo que es probabilidad.

Explica los términos experimento, espacio maestral y evento.

Maneja los principios de probabilidad.

Cuenta el número de subconjunto que se puede armar a partir de un conjunto.

Analiza y calcula problemas de permutación, variación y combinación.

Describe los enfoques clásicos de frecuencia relativa y subjetiva para

probabilidad.

Define los términos de probabilidad condicional, frente a apuestas y de

espacios muestrales finitos.

Calcula posibilidades utilizando el teorema de Bayes.

-

-

-

-

-

-

-

PROBABILIDAD




3.EXPERIMENTO

4. ESPACIO MUESTRAL (

5.EVENTO O SUCESO (A)

Experimento es la prueba, ensayo u observación de un hecho o fenómeno.

Los experimentos pueden ser

3.1.Experimento Determinístico

Es cuando anticipadamente sabemos lo que va a ocurrir, o sea donde entra la

voluntad del hombre, el resultado puede determinarlo, la persona.

Ejemplos:

Cuando se lanza una flecha hacia arriba, se sabe que va a caer.

Cuando se suma números pares, el resultado será también un número par.

3.2.ExperimentoAleatorio

Son aquellos cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización.

Son experimentos que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las

mismas condiciones. En este experimento no funciona la voluntad del hombre.

Ejemplos:

Cuando lanzamos un dado, no sabemos que numero va a salir.

Predecir la duración de una conversación telefónica.

Lanzar un proyectil hacia un blanco determinado, no sabemos si dará en el

blanco.

Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento

aleatorio.

Ejemplo:

Experimento E: lanzar un dado

Espacio Muestral S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E: lanzar dos monedas

S:{(cara, cara), (sello, sello), (cara, sello), (sello, cara)}

E: elegir una persona en la calle, en cuanto a su estado civil

S:{casado, soltero, viudo, divorciado, conviviente}

El evento o suceso es el resultado de cada una de las realizaciones del

experimento aleatorio; o sea, un resultado que presenta cierto atributo o

característica que nos interesa para su análisis.

-

-

-

-

-

-

-

-

) (Ω)S



Estadística

78

El evento o suceso es un subconjunto del Espacio Muestral.

Al lanzar una moneda y un dado, obtener cara y un numero par.

SucesoA= {(c, 2), (c, 4), (c, 6)}

Al lanzar dos dados, dé como resultado 7.

A= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

De un grupo de personas A, B; C; D, elegir una comisión de tres personas en el que

esteA. A= {(ABC), (ABD), (ACD)}

De cuatro librosA, B, C, D, se quieren guardar en un estante, donde C siempre este

ultimo.

A= {ABCD,ADBC, DABC, BADC, BDAC, DBAC}

Cualquier suceso que sea igual al conjunto vació se llama

, y por tanto, será un suceso que no se produce nunca. Cualquier

suceso que sea igual al espacio muestral se llama (es el

suceso que ocurre siempre).

Ejemplos:

En el lanzamiento de una moneda:

Obtener cara y sello es un suceso imposible.

Obtener cara o sello es un suceso seguro.

En el lanzamiento de un dado:

Obtener un número negativo es un suceso imposible

Obtener un número menor que siete es un suceso seguro.

* Realizar 10 ejemplos de experimentos aleatorios con un suceso y determinar su

espacio muestral y el suceso o evento por extensión.

5.1.

En el conjuntote todos los eventos o sucesos del espacio muestral, se pueden

definir operaciones entre los eventos.

Ejemplos:

OPERACIONES CON EVENTOS O SUCESOS

-

-

-

-

-

-

suceso

imposible

suceso seguro




a)

Es designado por A B, es el evento que esta formado por los elementos del

espacio muestral que están en A, en B o en ambos eventos a la vez.

)

Es la designación por A B o AB, es el evento formado por los elementos

comunes a A y B.

El complemento de a se denota con ,A' o , se define con el evento formado

por los elementos del espacio muestral que no están en A.

El evento se realiza cuando el evento A no se realiza.

Ejemplos:

En el experimento aleatorio lanzar un dado, sean los sucesos:

K: obtener número par

L: obtener múltiplo de 3

K= {2, 4, 6}

L= {3, 6}

Reunión o Unión de Eventos

b Intersección de Eventos

c)Complemento de un Evento

Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

È

A È B

A B

A Ç B

BA

A ,A’ o cA

A

Ç

A

A

cA



Estadística

80

Se tiene:

Decimos que dos sucesos A y B son incompatibles si no pueden verificarse

simultáneamente, es decir, si

5.2. PROPIEDADES

a)Asociatividad

b)Conmutatividad

c)Simplificación

d)de Impotencia

e) Complementación

f) Universal e Ínfimo

g) Distributiva

K È L = {2, 3, 4, 6}

K ÇL = {6}

K =K’ = {1, 3, 5}

L = L’ = {1, 2, 4, 5}

A È (B È C) = (A È B) È C

A Ç (B Ç C) = (A Ç B) ÇC

A È B = B È A

A Ç B = B Ç A

A È (B Ç A) = A

A Ç (B ÈA) = A

A È A = A

A Ç A = A

A È A’= Ω

A ÇA’= Ø

A È Ω = Ω

A ÇΩ = A

A ÈØ = A

A Ç Ø = Ø

A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A ÈC)




h) Leyes de Morgan

Se lanzan 2 monedas. Sean:

A = {salgan 2caras}

B = {salgan 2 sellos}

C = {salgan una cara y un sello}

Obtener los siguientes sucesos:

a)Inclusión de Suceso

Diremos que el suceso A esta incluido en B si todas las ocurrencias de A

esta incluido en B si todas las ocurrencias de A son también ocurrencias

de B, se escribe

Ejemplo:

A = {1, 2, 3}

B= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b)Suceso Mutuamente Excluyente

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes cuando no tiene

ocurrencias comunes. Se escribe:

Ejemplo:

No puede ocurrir que un abogado sea analfabeto.

Abogados y analfabetos son sucesos excluyentes.

5.3. RELACIONES ENTRE SUCESOS O EVENTOS

a) A È B b) A Ç C c) A-Bd) A’ e) C’ f) (A ÈB)’g) A È B È C h) A Ç B Ç C

(A È B)’=A’ Ç B’

(A ÇB)’=A’ ÈB’

Actividad 3.2

A Ì B

A Ç B = Ø



Estadística

82

c)Suceso Mutuamente Exhaustivo

d)Partición de Sucesos

Dos sucesos A y B son mutuamente exhaustivos cuando son a la vez

mutuamente excluyentes y complementarios. Entonces diremos:

Diremos que el espacio muestral esta particionado en A A ,A etc. .Sí solo sí

cumple las siguientes condiciones:

e) Potencia de un Suceso o Algebra de Elemento (2 )

Ejemplo:

Experimento= {lanzar una moneda}

1, 2 3,

5

A y B son mutuamente exhaustivos sí solo sí: A Ç B = Ø Ù A È B =

Ω

1º A1 ? Ø, A2 ? Ø, A3 ? Ø, …

Esto quiere decir que tiene ocurrencias2º A1 Ç A2 = Ø, A1 Ç A3 = Ø, A2 Ç A3 = Ø, …

O sea que no comparten ocurrencias, no tienen elementoscomunes.

3º A1 È A2 È A3…= ΩEs la unión de todos al unir todos los elementos y dar comoresultado el espacio muestral.

{ }scS ,=W=

422 2 ==S

{}{}{ }{ }scscS ,,,,2 Æ=Þ

{ }SS Ì= AA2

A1 A2

A3A4 …

Ω




6.ANALISIS COMBINATORIO

PRINCIPIOS

Es una parte del algebra que estudia los distintos grupos que se pueden formar con

cierto numero de objetos, atendiendo a determinados criterios.

a)Principio de Adición

Consiste en que dado dos o más sucesos mutuamente excluyente puede ocurrir de

la primera o segunda forma.

Ocurrencia de A o B = m+n maneras

Ejemplos:

Se viaja de Lima a Huancayo, hay 2 compañías aéreas y 12 empresas

terrestres. m = 2, n = 12

Hay 14 formas de viajar (son excluyentes o mutuamente excluyentes).

Para ir de un punto de la ciudad a otro hay avenidas y jirones que son

excluyentes.

Si hay 5 avenidas y 2 jirones de cuantas maneras se puede desplazar.

Avenidas m = 5

Jirones n = 2

m+n = 5+2 = 7 maneras

b) Principio de Multiplicación

#A = m y #B = n

Ocurrencia de A y B = m

Ejemplos:

Se quiere combinar 4 chompas y 2 faldas de diferentes colores, donde:

A = 4 chompas (azul, negra, blanca, verde)

B = 2 faldas (roja, marrón)

m × n = 4 × 2 = 8 formas diferentes de combinar

-

-

-

A B

#A = m #B = n



Estadística

84

-

-

Cuantos números pares de 3 cifras diferentes, se pueden formar con los

dígitos 2, 3, 4, 5, y 6.

La cantidad de número de 3 cifras diferentes es: 3 × 4 × 3 = 36

Dado los dígitos 0, 1, 3, 5, 6, 8:

Cuantos números de 4 cifras se pueden escribir

Cuantos números de 4 cifras múltiplos de 5 se pueden escribir

* Cuantos números de 4 cifras impares se pueden escribir

1. Con los 10 dígitos (0, 1… 9)

a) Cuantos números de 3 cifras se pueden escribir.b) Cuantos números de 3 cifras múltiples de 5 se pueden escribir.

2.Un producto se vende en 3 mercados: en el primer mercado se tiene disponible 5tiendas, en el segundo mercado 4 y en el tercer mercado 6 tiendas, ¿De cuantasmaneras puede venderse el producto?

*

*

3 4 3

Dígitos pares

Restamos un dígito (Un dígito par se ubica al

final)

Restamos dos dígitos del total

El cero no

puede ubicarse

5 6 6 6

5 × 6 × 6 × 6 =1080

El cero no

puede ubicarse

5 6 6 2

5 × 6 × 6 × 2 =360

2 dígitos múltiplo

de 5 (el 0 y 5)

El cero no

puede ubicarse

5 6 6 3

Ubicación de los

impares




3.Una persona puede viajar de una ciudad A a otra B de 5 formas y de B a C de 6formas diferentes. ¿De cuantas formas puede ir deAa C pasando por B?

Se llama factorial de un numero “m” o “m factorial” al producto de los m factoresdecrecientes a partir de m hasta 1.

Se designa por: !m factorial= m!

Ejemplo:5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 1203! = 3 × 2 × 1 = 6

0!=1

Calcula las posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos loselementos de un grupo, por lo tanto, se distingue de los otros en el orden.

Ejemplo:Calcular las posibles formas en que se pueden ordenar a, b y cHay 6 posibles agrupaciones: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (c, a, b), (c, b, a)

Ejemplos:

Cuantos números de 4 cifras diferentes se pueden escribir con los dígitos3, 4, 5 y 6

P = 4! = 4 × 3 × 2 × 1P = 24

De cuantas maneras diferentes pueden colocarse, en un estante 5 librosdiferentes de Estadística y tres de Biología.

a)Si no hay ninguna condición sobre las ubicaciones.b)Si los libros de cada curso deben estar juntos.c)Si solo los libros de Biología deben estar juntos.

Solución:a) P = m!

P = 8! = 8 × 7 × 6 ×5 × 4 × 3 × 2 × 1P = 40320 maneras

b) Libros de EstadísticaP (bloque)Libros de BiologíaP (bloque)

Entre grupos de libros de Estadística y de Biología. P

7.- FACTORIAL DE UN NÚMERO

8.- PERMUTACION

8.1.- PERMUTACION ORDINARIA

-

-

4

4

m

8

8

5

3

2

P = m!m



Estadística

86

P × P × P = 5! 3! 2! = 120 × 6 × 2 = 1440

c) Los libros de Biología permutan entre 3 y forman un solo bloque P

Los libros de Estadística permuta entre los 5 y también permuta con elbloque de Biología. P

P × P = 3! 6! = 6 × 720 = 4320

Se refiere al cambio de posición pero en una circunferencia.Se toma cualquier punto de referencia por que no hay centro.

Ejemplo:De cuantas formas diferentes pueden sentarse 10 ministros alrededor de unamesa si:

a) Si pueden sentarse de cualquier forma.b) Dos ministros determinados deben estar juntos.c) Dos ministros determinados no deben estar juntos.

Solucióna) P C = P C = (10-1)! = 9! = 362880 formas

b) Dos ministros siempre juntos se considera como 1. Pero permutan enellos P y luego permutan con los 8 restantes formando como si fueran 9ministros.

c)

5 3 2

3

6

3 6

m 10

2

8.1.PERMUTACION CIRCULAR

8.3. PERMUTACION CON REPETICION

P C = (m-1)!m

formasPCP 80640!2!8!2)!19(29 ==´-=´

a) ( ) 282240806403628802910 =-=´- PCPCP

!!

!

2121 mm

mPm

mm =

m = total de elementos

Repetición: Por que los elementos pueden entrar varias veces en lasagrupaciones.

Ejemplo:- Cuantos numeros de cuatro cifras se pueden escribir con dos5 y

dos 7

manerasPPm

mm 64

24

!2!2

!44

2,2, 21====




Por extensión:5 7 7 5 7 5 5 75 7 5 7 7 5 7 55 5 7 7 7 7 5 5

-Cuantos signos diferentes, cada una de 6 banderas, colocadas en línea verticalpueda formarse con un conjunto de 4 banderas rojas y 2 banderas blancas.

manerasP 1548

720

224

720

!2!4

!66

2,4 ==´

==

9. VARIACIONEs una forma de permutación, en el cual no interviene todos los elementos.

9.1. VARIACION SIMPLE O GENERAL

)!(

!

nm

mV m

n -=

mn

= todos los elementos= parte de m

Ejemplos:- De cuantas maneras diferentes se pueden presentar a, b, c y d

tomados de dos en dos.

manerasV 122

24

)!24(

!44

2 ==-

=

- De un conjunto de 6 candidatos, de cuantas maneras se puedenelegir 3, Presidente, secretario y tesorero.

manerasV 1206

720

)!36(

!66

3 ==-

=

9.2.- VARIACION CON REPETICION

nm

n mrV =



Estadística

88

Ejemplos:- De cuantas maneras diferentes pueden presentarse a, b, y c

tomados de dos en dos con repetición.9323

2 ==rV maneras

- Cuantos números de dos cifras, con repetición se pueden escribircon 5, 6, 7 y 8

16424

2 ==rV maneras

10. COMBINACIONSon ciertos arreglos que se hacen con una parte del total de elementos, en el cualno interesa el orden, o sea un grupo del otro se diferencia de elemento enelemento.

10.1. COMBINACIÓN SIMPLE O GENERAL

)!(!

!

nmn

mC m

n -=

m = total de elementosn = parte de m

Ejemplos:

En una reunión hay 15 personas. Cuantos apretones de manos sedarán al saludarse todos ellos entre sí.

-

K

K

´´´´´´

==-

=1312

131415

!13!2

!15

)!215(!2

!1515

2C

(se puede simplificar)

= 2105

105 apretones=

- En una reunión hay 10 varones y 6 damas. De cuantas maneraspueden colocarse en una fila de grupo de 5; de los cuales 3 seanvarones y 2 mujeres.

Solución:Forma de escoger varones 10

3C

Forma de escoger damas 6

2C

En al fila se pueden permutar entre 5 5P

Total de maneras = !5

6

2

10

3 PCC ´´

= !5)!26(!2

!6

)!310(!3

!10´

-´

-

= 21600012015120 =´´Universidad Peruana Los Andes



10.2. COMBINACION CON REPETICIO

!)!1(

)!1(

nm

nmrC m

n --+

=

Ejemplo:- Cuantas combinaciones con repetición, obtendremos dados 4

símbolos diferentes, tomados de tres en tres.

nescombinacio

rC

20

36

720

!3!3

!6

!3)!14(

)!134(4

3

=

==-

++=

11. DIAGRAMAS DE ARBOL

Un diagrama de árbol es el dibujo que se usa para enumerar todos los resultados

posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder

en un número finito de maneras. La construcción de diagramas de árbol se ilustra en

los siguientes ejemplos.

Ejemplo:

Marcos y Enrique intervienen en un torneo de tenis. La primera persona que gane

dos juegos seguidos o que complete tres gana el torneo. El diagrama siguiente

muestra los posibles resultados del torneo.

M

E

M

M

M

M

M

M

M

M

E

E

E

E

E

E

E

E

Nótese que hay 10 puntos finales que corresponden a los 10 resultados posibles

del torneo:

MM, MEMM, MEMEM, MEMEE, MEE, EMM, EMEMM, EMEME, EMEE, EE

El recorrido desde el principio del árbol a los puntos finales indica quién ganó

cada juego en el torneo individual.



Estadística

90

1. Auna reunión asistieron, 2 damas y 3 caballeros.

A) ¿De qué maneras pueden sentarse en una fila?

b) ¿De cuántas maneras se pueden sentar alrededor de una mesa circular?

c) ¿De cuántas maneras pueden sentarse si las damas se sientan juntas y los

caballeros también?

d) ¿De cuántas maneras pueden sentarse si las damas se sientan juntas y los

caballeros también, pero alrededor de una mesa circular?

e) ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si las damas siempre están

juntas?

2. En una carrera de caballos participan 19 ejemplares, si se trata de que usted acierte

los tres primeros puestos en la clasificación final. ¿De entre cuantas posibilidades

tendría que escoger una?

3. Con 6 consonantes y 5 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras pueden formarse, que

consta de tres consonantes y tres vocales?. NO interesando que las palabras así

formadas tengan significado.

4. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.

a) ¿De cuantas maneras tiene que escoger?

b) ¿De cuantas maneras, si las tres primeras son obligatorias?

a) ¿De cuantas maneras, si tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas?

5. De un total de 5 preguntas teóricas y 7 preguntas prácticas, un estudiante debe

resolver 2 de teoría y 3 de práctica.

a) ¿De cuantas formas puede escoger?

b) ¿De cuantas formas si debe resolver obligatorio una pregunta practica?

c) ¿De cuantas maneras debe escoger si dos preguntas teóricas determinadas no

deben resolver?

1. Se corre una carrera en la que dan premios a los dos primeros participantes que

crucen la línea de la meta. Si hay cuatro corredores (K, L, M, N)

¿De cuantas maneras diferentes pueden repartirse las copas los participantes?




12. DEFINICION CLASICADE PROBABILIDADES

Si un espacio muestral tiene n eventos sencillos o elementales, todos igualmente

factibles, posibles o equiprobables entonces las probabilidad del evento A es igual al

número de casos favorables (elementos de A) sobre el numero de casos posibles

(elementos del espacio muestral)

Ejemplo:

Al lanzar un dado cual es la probabilidad de obtener un número par.

#S = 6

A = {2, 4, 6} #A= 3

En una urna hay 3 bolas negras y 4 bolas rojas. Si se extrae una bola al azar.

¿Cuál es la probabilidad de que esta sea roja?

S= {N, N, N, R, R, R, R}

A= {R}

12.1. Axiomas de Probabilidad

a) La probabilidad de cualquier evento es un número no negativo

b) La probabilidad del espacio muestral es 1

c) La probabilidad de un evento vacío es igual a cero

d) SiAy B son dos eventos mutuamente excluyentes; esto es si:

-

-

Ω = S = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}

( ) W==

#

# A

posiblescasosdeNúmero

favorablescasosdeNúmeroP A

( ) 5.02

1

6

3

#

#ó

S

AP A ===

( ) 57.07

4

#

#ó

S

AP A ==

)(0 AP£

1)( =SP

0)( =ÆP

Æ=Ç BA



Estadística

92

Entonces:

12.2. Teoremas de Probabilidad.

a) La probabilidad del complementote un evento es igual a unión menos la

probabilidad de dicho evento.

b) Si y (algebra de los elementos) yAB entonces:

c) entonces

d) SiAy B entonces

Ejemplos:

SeanAy B, dos eventos que no sean mutuamente excluyentes, tal que:

A B 2

SiAy B

E5

E

E

2

2

5

5

-

)()()( BPAPBAP +=È

)(1)'( APAP -=

)()( APBP ³

)()()( BAPAPBAP Ç-=-

)()()()( BAPBPAPBAP Ç-+=È

10.0)(

30.0)(

20.0)(

=Ç

=

=

BAP

BP

AP

A B

0.100.10

0.20

S

Hallar:

a) )'(AP

b) )''( BAP Ç

c) )''( BAP È

d) )'( BAP Ç

e) )'( BAP Ç

f) )'( BAP È

Solución:

a)

80.0

20.01

)(1)'(

=

-=

-= APAP

)''( BAP Ç

b)




De la ley de Morgan

)'('' BABA È=Ç

)'()''( BAPBAP È=ÇÞ

Pero de:

60.0

40.01

)(1)'(

=

-=

È-=È BAPBAP

)''( BAP È

90.0

60.070.080.0

)''()'()'()''(

=

-+=

Ç-+=È BAPBPAPBAP

C)

d)

e)

e)

Otra forma de obtener:

De la ley de Morgan

90.0

10.01

)(1

)'()''(

=

-=

Ç-=

Ç=È

BAP

BAPBAP

)'( BAP Ç

20.0

10.030.0

)()()(

)'()'(

=

-=

Ç-=-=

=Ç

teoremaBAPBPABP

igualessignificaBAPBAP

)'( BAP Ç

10.0

10.020.0

)()()()'(

=

-=

Ç-=-=Ç BAPAPBAPBAP

)'( BAP È

90.0

20.030.080.0

)'()()'()'(

=

-+=

Ç-+=È BAPBPAPBAP



Estadística

94

SeanAy B cualesquiera, tal que:

Hallar:

Cuando nos planteamos ciertas preguntas

¿Cuál es la Probabilidad de vender 2 cocinas en esta semana o de vender una

cocina y una refrigeradora?

¿Cuál es la probabilidad de que Rubén apruebe la asignatura de Estadística?

Para contestar estas dos preguntas no nos sirve la definición clásica, en este caso

necesitamos más información, para lo cual recurrimos a otros tipos de definiciones,

por ejemplo, a la definición por frecuencia relativa, la cual se define de la siguiente

manera:

Sea

Apertenecer al algebra de elementos.

La frecuencia absoluta ( ) es el número de veces que ocurre este evento en una

serie de n repeticiones similares del experimento y denotamos por , entonces la

frecuencia relativa ( ) del evento esta dado por:

Luego:

1º

2º La frecuencia relativa de todo el espacio muestral será:

13. PROBABILIDAD DE FRECUENCIARELATIVA

A

41

32

43

)(

)'(

)(

=Ç

=

=È

BAP

AP

BAP

a) )(BP

b) )'( BAP Ç

c) )''( BAP Ç

d) )'( BAP È

SA 2Î

fi

Af

ih

10 ££ Ah

h =A

fhA

= P (A)




1===n

n

n

fh S

S

BABA hhh +=È

i Salario if ih

1 [ 319 – 369 ] 4 0.06

2 [ 369 – 419 ] 6 0.08

3 [ 419 – 469 ] 9 0.13

4 [ 469 – 519 ] 13 0.18

5 [ 519 – 569 ] 15 0.21

6 [ 569 – 619 ] 13 0.18

7 [ 619 – 669 ] 12 0.17

TOTAL 72 1

%3939.0

21.018.0

)()()(

54

5454

@=

+=

+=

I+I=IÈI

hh

PPP

La probabilidad de encontrar un trabajador que ganes de s/205 a s/233 es del

39%

El siguiente cuadro contiene la clasificación de 321 obreros de una empresa

respecto a dos características:

1º El numero de años que están trabajando en la empresa.

2º Su respuesta a la pregunta “Desea usted ir a la huelga para obtener un

aumento de salario”.

-

Ejemplos:

- Al escoger al azar un trabajador de la tabla ¿ Cuál es laprobalidad de que estegane de S/. 205 a S/. 233 ?

Tabla de Frecuencia de Salarios de Trabajadores



Estadística

96

Número de Años de la Empresa

RespuestaMenos

de 1

año

1 a 3 4 a 10Más de

10

Total

Si 27 54 137 28 246

No 14 18 34 3 69

No se 3 2 1 0 6

Total 44 74 172 31 321

A B C D

¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar:

a) Tenga de 1 a 3 años en la empresa.

b) Haya contestado “si” a la pregunta.

c) Contesto “si” y esta trabajando en la empresa de 1 a 3 años

d) Contesta “si” y pertenece por lo menos 4 años a la empresa.

Para facilitar la solución ponemos letras mayúsculas a las filas y columnas.

Solución:

a) %05.232305.0321

74)( ===BP

b) %777663.0321

246)( ===MP

c) %171682.0321

54)( ===Ç BMP

d)

( )[ ] ( ) ( )[ ]

%4.51514.0321

165

321

28

321

137

)()(

===

+=

Ç+Ç=

ÇÈÇ=ÈÇ

DMPCMP

DMCMPDCMP

MNÑ




En una encuesta se determino que la probabilidad de que una persona consuma el

producto A es 0.5, que consuma B es 0.37, que consuma el producto C es 0.3, que

consuma A y B es 0.12 que consuma solamente A y C es 0.08, que consuma

solamente B y C es 0.05 y que consuma solamente C es 0.15 ¿Calcular la

probabilidad de que una persona escogida al azar consuma:

a) Solamente consuma el producto B

b) Por lo menos dos de los productos

c) Exactamente dos productos

d) Que consumaAo B pero no C

En la vida diaria hay ciertas preguntas que se hacen ciertos especialistas.

Ejemplo:

a) Un medico investigador dirá que al termino de esta década se va a obtener

una vacuna contra el SIDA.

b) Un ingeniero de la NASA dirá que dentro de 20 años estaremos viajando a

Venus.

Este tipo de probabilidad no se puede contestar con la definición clásica ni con la

de frecuencia relativa, porque no dió anteriormente e le enfoque es subjetivo por

que hay una sola oportunidad de ocurrencia de este evento.

La probabilidad subjetiva de la ocurrencia de un evento A es un numero

asignado por un individuo de acuerdo a las evidencias que dispone otra persona

con otras evidencias podría asignar a la ocurrencia del mismo evento A, otra

probabilidad diferente (número diferente al anterior).

Sea A un evento cualquiera. Si las a apuestas a favor de A son de 5 a 3, esto

significa que la probabilidad deAes:

5 a 3 a favor deA

Interpretación: de 8 ocurrencias, 5 es a favor deA.

14.- PROBABILIDAD SUBJETIVA

15.- PROBABILIDAD FRENTE A APUESTAS

P(A) =5

6 + 358

=



Estadística

98

Ejemplo:En una carrera de caballos, el caballoAtiene la apuesta 3 a 5, mientras que el caballo

B tiene 1 a 4 ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de estos dos caballos gane?.

Pero como son mutuamente excluyentes

En una carrera de autos, el auto K tiene las apuestas 5 a 1 en su contra, mientras que

el auto M las tiene 9 a 1 en su contra. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de

estos autos gane?

Otro método para asignar probabilidades en espacios muestrales finitos.

donde =finito

Se asigna a cada una Wi probabilidad Pi , tal que la probabilidad de,

la suma de las probabilidades asignados a los elementos y espacio muestral es la

unidad, además cada uno es mutuamente excluyente y relativamente exhaustivo.

Ejemplo:

En el hipódromo los caballosA, B, C, D compiten en una carrera.A tiene 2 veces mas

probabilidad de ganar que B; B tiene 2 veces mas probabilidad que C y C tiene 2

veces mas probabilidad que D.

a) Cuales son las probabilidades de ganar de cada uno de los caballos.b) Cual es la probabilidad de que B o C gane.

1. PROBABILIDADES DE ESPACIOS FINITOS

5

1

41

1)(

8

3

53

3)(

=+

=

=+

=

BP

AP

%5.57575.040

23

5

1

8

3

)()()(

===

+=

+=È BPAPBAP

{ }nWWWWS K,,, 321=

11

=÷ø

öçè

æå

=

n

i

iWP




S= {ganaA, gana B, gana C, gana D}

Este espacio muestral lo reemplazamos por:

S= { }

a)

Pero

Todos tienen la misma capacidad de ganar, así tenemos:

b)

4321 ,,, WWWW

1)()()()( 4321 =+++ WPWPWPWP

xWP

xWP

xWP

xWP

8)(

4)(

2)(

)(

1

2

3

4

=

=

=

=

15

1

115

1842

=

=

=+++

x

x

xxxx

( )( )( ) %5353.088)(

%2727.044)(

%1313.022)(

%7067.015

1)(

152

151

1

152

151

2

152

151

3

4

=====

=====

=====

===

xWP

xWP

xWP

WP

%404.015

6

152

154

)()()( 3232

===

+=

+=È WPWPWWP



Estadística

100

En una competencia participan 3 jóvenes 4 señoritas y 2 niños. Si los jóvenes tienen

el doble de habilidad de las señoritas y estas el triple de habilidad de los niños.

¿Cuál es la probabilidad de que:

a) Gane un joven

b) Gane una señorita

c) Gane un niño

d) Gane un niño o una señorita

Mide la proposición de veces que ocurre B de entre las que ha ocurrido A.

Sea A un suceso cuya probabilidad es distinta de cero; y sea B cualquier suceso: se

llama probabilidad de B condicionado a A al cociente:

6.1.- Axiomas

I) Para cualquier suceso E

Por ser cociente de números no negativos.

II) Sean B y C dos sucesos incompatibles (B C = O ). Entonces:

17. PROBABILIDAD CONDICIONAL

( ))(

)(

AP

BAPA

BPÇ

=

( ) 0)(

)(³

Ç=

AP

AEPA

EP

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )A

CPA

BP

AP

ACABP

AP

ACBPA

CBP

+=

ÇÈÇ=

ÇÈ=È

)(

)(

Actividad 3.9

U




III)

Por ser

6.2. Probabilidad de la Intersección de dos sucesos.

Consecuencia:

Ejemplo:

En una encuesta que se hace a 112 personas sobre el color de los ojos se obtiene

la siguiente tabla de resultado.

( ) ( )1

)(

)(

)(==

ÇW=W

AP

AP

AP

APA

P

AA =ÇW

( ) ( )A

BPAPBAP ´=Ç )(

Asunto Ojos Azules

(A)

Ojos Negros

(N)

Total

Varones (V) 20 30 50

Mujeres (M) 22 40 62

Total 42 70 112

Si la elección se hace sin condiciones, la probabilidad de elegir una

persona con los ojos azules es:

De elegir una persona con los ojos negros será:

Sin embargo, si la elección la hacemos solo entre los varones, la

probabilidad de ojos azules y los ojos negros respectivamente son:

Y

Lo anterior se denota que son probabilidades calculadas sobre el

conjunto de los varones, se escribe P que se lee “Probabilidad de A

condicionada a V”; por lo tanto, las condicionadas son:

Considerando lo anterior se dan otras probabilidades condicionadas,

ejemplo:

8

3

112

42)( ==AP

8

5

112

70)( ==NP

5

2

50

20)( ==AP

5

3

50

30)( ==NP

( )( )

5

3

5

2

=

=

VNP

VAP



Estadística

102

Luego, podemos ver:

Entonces:

Se extraen dos cartas de una baraja de 52. Calcular la probabilidad de que

ambas cartas sean reyes.

Solución:

Hacemos A al evento que “la primera carta es un rey” y B al evento que “la

segunda carta es un rey”, nos piden calcular que o sea “ambas cartas son

reyes”.

La probabilidad es de

-




18. SUCESOS INDEPENDIENTES

1. Una urna contiene 10 bolas rojas y 6 negras. Se sacan dos bolas sin posibilidad

de reemplazarlo. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea negra si

se sabe que la primera ha sido negra?

2. Calcular la probabilidad de obtener cuatro 2 al lanzar cuatro dados.

Se dice que un suceso B es independiente de otro A cuando

es decir, el suceso A no influya en B por lo tanto: diremos que A y B son

independientes cuando ocurre que:

Ejemplo:

Se extraen sucesivamente y con devolución dos bolas de una bolsa que

contiene 4 bolas enumeradas del 1 al 4. Sea A el suceso de “obtener

numero par en la primera extracción” y B el suceso “de extraer la segunda

bola sea impar” ¿Son A y B independientes?

Se tiene que verificar que:

Los casos favorables de “par en la primera e impar en la segunda” es:

Solución:

( ) ( )BPA

BP =

BAÇ



Estadística

104

En total son 4 casos de un total de

casos posibles, por tanto

luego

Los sucesos son independientes.

El teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al teorema de

probabilidad total.

El teorema de Bayes dice:

Donde:

Son sucesos tales que

, siendo el espacio muestral

Y donde si , y V es un suceso del que se conocen las

probabilidades condicionales , además de conocerse las

probabilidades .

Ejemplo:

El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de

semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%

b) Que nieva: probabilidad de 30%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente 20%

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra

un accidente es la siguiente:

a) si llueve: probabilidad de accidente 10%

b) si nieva: probabilidad de accidente 20%

19. TEOREMA DE BAYES

E

ni AAA ,,, 2 K

EAAA n =ÈÈÈ K21

Æ=Ç ji AA

÷øö

çèæ

iABP

( )iAP




c) si hay niebla: probabilidad de accidente 5%

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la

ciudad no sabemos que tiempo hizo. El teorema de Bayes nos permite

calcular estas posibilidades.

1) Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido

un accidente se denomina “Probabilidad a priori” (lluvia con el 60%, nieve

con el 30% y niebla con el 10%).

2) Una ves que incorporamos la información de que ha ocurrido un

accidente, las probabilidades del suceso a cambian, son probabilidades

condicionadas P (A/B) que se denominan “Probabilidades a posteriori”.

Solución:

Aplicamos la formula:

a) La probabilidad de que estuviera lloviendo

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del

accidente (probabilidad posteriori) es del 71.4%

b) Probabilidad de que estuviera nevando

La probabilidad de que estuviera nevando es 21.4%

c) Probabilidad de que hubiera niebla



Estadística

106

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7.1%

Un laboratorio somete a los choferes que cometen accidentes de tránsito a

un test de “dopaje etílico”. Se ha determinado que:

Cuando el chofer está ebrio, el test proporciona resultado positivo en el

95% de los casos.

Cuando el chofer no está ebrio, el test proporciona resultado negativo en

el 94% de los casos.

El 2% de los conductores que cometen accidentes manejan ebrios.

¿Cuál es la probabilidad de que el chofer esté ebrio dado que el resultado

fue positivo?

-

-

-

AVILAA., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998.


GALDOS, L. Dominando las Matemáticas: Calculo y Estadística II y III, tomo 15 y 16,Edición El Popular, Lima-Perú, 2005.

LIPSCHUTZ, S. Probabilidad. Editorial McGraw Hill. Colección Serie Schaum.Colombia. 1970

MOYA, Rufino y SARAVIA, G. Probabilidad e Inferencia Estadística. Editorial SanMarcos. 2ª edición, Lima.

TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. Editorial Addison Wesley Longman. 7ª Edición,México 2000.

VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ªEdición. Lima 1993.

En el siguiente fascículo, estudiaremos las mas importantes Distribuciones deProbabilidad, tanto de variables discreta como de variables continuas.




NOMBRE:_______________________________________________________

APELLIDOS:________________________________ FECHA: ___/___/___

CIUDAD:___________________________________ SEMESTRE:_________

1. El testigo de un atropello recuerda que la placa del auto tiene 6 dígitos

diferentes y solamente ha memorizado los tres primeros que son: 3, 4, 7,… ¿

Cuántos números de placas diferentes tendrá que investigar la policía?

2. Siete varones y cinco mujeres van a formar comités de 6 personas. ¿De

cuantas maneras pueden formarse si:

a) En el comité hay tres mujeres?

b) Cuándo cómo mínimo 3 mujeres?

3. En un examen de Estadística, un estudiante debe responder 6 preguntas de 10

dadas. ¿De cuántas maneras diferentes debe escoger si debe responder por lo

menos 2 de las 5 primeras preguntas?

4. Un club de voley cuenta con 12 jugadoras. ¿De cuantas maneras diferentes

puede formar un equipo el entrenador, sabiendo que siempre tiene que estar Rosa

que es la preparadora?

5. En una reunión hay tres jóvenes y tres señoritas.

a) ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse en una banca, tanto los

jóvenes como las señoritas si deben estar juntos?

b) ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse si solamente las señoritas

deben estar juntas?

C) ¿de cuantas maneras diferentes pueden sentarse en una banca si los jóvenes

ocupan los lugares pares?

6. Una joven tiene 6 amigas, de las cuales invitara para sus cumpleaños solamente

a tres

a) ¿De cuantas maneras debe hacer la invitación si dos de sus amigas están

enemistadas y no pueden asistir juntas?



Estadística

108

a) )''( BAP Ç

b) )'( BAP È x

b) ¿de cuantas maneras debe hacer la invitación, si dos de ellas

solamente pueden asistir juntas?

7. Tres señoritas Maria, Magna y Maritza, compiten en un curso de belleza. Los

premios solamente son otorgados a olas que ocupen el primer y segundo lugar.

a) Liste los elementos del espacio muestral correspondiente al

experimento al “Elegir las dos ganadoras”

b) Liste el Evento o suceso “Magna y Maria ganan los premios”.

8. 10 libros son colocados aleatoriamente en un estante. Determinar la probabilidad

que 4 libros determinados sean colocados juntos.

9. En una carrera de caballos, el caballo que tiene la apuesta 7 a 2 , en su contra,

mientras que el cabalo R 8 a 5, en su contra¿ Cual es la probabilidad que cualquiera

de esto gane?

10. Una clase consta de 10 varones y 20 mujeres de los cuales, la mitad de los

varones y la mitad de las mujeres viven en Huancayo. Hallar la probabilidad que una

persona escogida al azar sea un varón o sea de Huancayo.

.11. Sean los eventosAy B

Hallar:

12.Una compañía comercial tiene 130 sucursales localizados en las tres regiones

naturales del país, se dedican a la venta de diversos artículos, tales como aparece

en el cuadro.

Se selecciona al azar una sucursal para colocar en el mercado un nuevo producto

que puede ser vendido por cualquiera de las sucursales.

Hallar la probabilidad que las sucursales seleccionadas no esten localizada en la

selva o vendan repuestos




1. - VARIABLES ALEATORIAS

2.- CLASES DE VARIABLESALEATORIAS

Una variable aleatoria es una variable que tiene un solo valor numérico, determinado

por el azar, para cada resultado de un experimento. Es representada por lo general por

la x.

Ejemplos:

x = El número de señoritas entre 30 empleados controlados.

x = El peso en kg de un niño escogido al azar.

x = El número de accidentes de motocicletas de entre 20 accidentes de carretera,

seleccionadas al azar.

a) VariableAleatoria Discreta

Es aquella que tiene un número finito de valor o un número de valores susceptibles

de contarse.

Ejemplo:

- El número de personas que entran al estadio a ver un partido de fútbol, es un

número entero y se obtiene por conteo.

b) VariableAleatoria Continua

Es aquella que tiene un número infinito de valores y se obtiene por mediciones en

una escala continua.

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante

Define lo que son variables aleatorias y conoce sus clases

Define lo que es la Distribución de Probabilidad y conoce sus clases

Calcula e interpreta las Distribuciones de Probabilidad Discreta como: La

binomial, la de Poisson, la Geométrica, la Hipergeométrica, y la Multinomial

Calcula e interpreta las distribuciones de probabilidad continua como: La normal

“Z” y la de Student “t”

Calcula y conoce los parámetros de la Distribución de Probabilidad.

-

-

-

-

-

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD




Ejemplo:

- La medida de tallas de un grupo de estudiantes de la UPLA. La talla se obtiene por

medición y cuyos valores son enteros y decimales o números quebrados.

Colección de valores de una variable aleatoria junto con sus correspondientes

probabilidades. O sea, da la probabilidad para cada valor de la variable aleatoria.

a) La suma de las probabilidades individuales debe ser igual a 1 y se basa en la regla de

la suma para sucesos mutuamente excluyentes.

Donde x asume todos los valores posibles

b) Para cualquier suceso implica que la probabilidad individual debe estar entre 0 y 1 para

cualquier valor de la variable aleatoria.

Para todos los valores de x

Ejemplo:

- Determina si es una distribución de probabilidad: donde x puede ser 0, 1 o 2

Solución:

Para la función vemos que:

Si se trata de una distribución de probabilidad debe cumplir con los requisitos:

a)

b) Cada uno de los valores de esta entre 0 y 1

Respuesta

Cumple con los requisitos, por lo tanto es una distribución de probabilidad.

3.- DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

A.- REQUISITOS DE UNADISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

å =1)( xP

10 )( ££ xP

3)(xP x =

)( xP



Estadística

112

B. CLASES DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

4.- DISTRIBUCION BINOMIAL

a) Distribuciones de Probabilidad Discreta Importantes

- Distribución Binomial

- Distribución de Poisson

- Distribución Geométrica

- Distribución Hipergeometrica

- Distribución Multinomial

b) Distribuciones de Probabilidad Continua Importantes

- Distribución Normal o Gauss “z”

- Distribución de student “t”

- Distribución chi cuadrado “”

- Distribución “F”

Es el conjunto de todos los valores posibles de una variable discreta y las

probabilidades que le son asociadas.

La Distribución Binomial se usa para encontrar la probabilidad de x números de

ocurrencias de un suceso, en n ensayos del mismo experimento cuando:

1º Solamente hay dos resultados posibles y mutuamente excluyentes: éxito y fracaso ó

acierto y no acierto.

2º Los n ensayos son independientes.

3º La probabilidad de ocurrencia permanece constante en cada ensayo.

= número de experimento o ensayo

= probabilidad de acierto o éxito

= probabilidad de no acierto o fracaso

= suceso que se busca

)( xP

n

p

q

x

1=+ qp




Toda Distribución Binomial tiene:

- Media o Esperanza Matemática o Valor Esperado

- Varianza

- Desviación estándar

Ejemplo:

- Un matrimonio planifica el nacimiento de 4 hijos. Hallar la probabilidad que:

a) haya un varón

b) 3 sean varones

c) ningún varón

d) a lo mas 2 varones

e) sean 2 o 3 varones

f) hallar la media y la desviación estandar

Solución

n=4 hijos

p=1/2 = 0.5

q=1 p = 1 0.5 = 0.5

a)

La probabilidad de que haya un varón es del 25%



Estadística

114

b)

La probabilidad de que ninguno sea varón es del 25%.

c)

La probabilidad de que ninguno sea varón es del 6.25%.

d)

Aprobabilidad que a lo más sean 2 varones es del 68.75%

e)




La probabilidad que a lo mas seas 2 ó 3 varones es del 62.5%

f) La media o valor esperado

La desviación estándar

A. Se ha calculado que el 9% de la producción de una planta de lapiceros es defectuosa.

a) Calcular la probabilidad de obtener 3 lapiceros defectuosos en una muestra de 8

lapiceros.

b) Hallar la media y la desviación estándar.

B. El 20% de fluorescentes en cierto lote es defectuosa.

a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 2 fluorescentes defectuosos por docena?

b) Hallar el valor esperado y la varianza.

Es una distribución de probabilidad discreta que se aplica a ocurrencias de algún suceso

dentro de un intervalo especificado. La variable aleatoria es el número de ocurrencias del

suceso en el intervalo. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna

unidad similar.

La distribución de Poisson es una distribución binomial cuyo suceso es raro, o sea:

n tiende al

p tiende a 0

q tiende a 1

np 5

5.- DISTRIBUCION DE POISSON



Estadística

116

La formula es:

e=2.71828…

X= es el suceso que se busca.

La distribución de Poisson tiene los siguientes parámetros:

- Media o Esperanza Matemática

- Varianza

- Desviación estándar

Ejemplo:

- Si el 3% de las lámparas producidas por una fabrica son defectuosas. Hallar la

probabilidad de que de una muestra de 60 lámparas sean exactamente:

a) ninguna defectuosa

b) sean 2 defectuosas

c) menos de 3 defectuosas

Solución:

n= 60 lámparas

p= 0.03 = 3%

q= 0.97 = 97%

p+q=1

a)

np

x

eP

x

x

=

=-

l

l l

!)(

lm == )( xE

ls == )(

2

)( xx V

ls =)( x

!)0(

x

eP

x

defectuosax

ll -

= =




La probabilidad de que ninguna lámpara sea defectuosa es del 16.53%

b)

La probabilidad de que 2 lámparas sean defectuosas es del 26.78%

c)

La probabilidad de que menos de 3 lámparas sean defectuosas es del 73.064%.

A. Si tenemos = 4.2 en una distribución de Poisson encuentre:

a)

b)

c)

B. Un proceso de fabricación produce 10 artículos defectuosos por hora. Encuentre

la probabilidad de que 4 artículos defectuosos o menos provengan de la producción

de una hora dada escogida al azar usando la distribución de Poisson.

La distribución geométrica esta relacionada con un proceso e Bernoulli, excepto que

el número de ensayos no es fijo (hasta obtener el éxito)

6. DISTRIBUCION GEOMETRICA

)2( £XP

)5( ³XP

)8( =XP

Actividad 4.2



Estadística

118

La distribución Geométrica tiene los siguientes parámetros:

- Media o Valor esperado

- Varianza

- Desviación Estándar

Ejemplo:

1.La probabilidad de éxito al lanzar un cohete es 0.8 suponga que el ensayo del

lanzamiento ha ocurrido.

¿Cuál es la probabilidad que exactamente sean necesarios 6 ensayos?

p = 0,8

q = 0,2

x = 6

La probabilidad de que sean 6 ensayos es 0.03%

2. Los 2/3 de los niños de un colegio están ausentes por causa de una epidemia. En

una clase de 25 estudiantes, el profesor pasa lista.

a) Cual es la probabilidad que el décimo niño llamado sea el primero que

responda presente.

b) Calcular

c) Determine y desviación estándar

)2(,)2( ³£ xPxP

)( xE s




a) Solución:

La probabilidad de que el décimo niño sea el primero que responda

presente es de 0.87%

b)

La probabilidad de que sea x ≤ 2 es del 55.6%

La probabilidad de que sea x ≥ 2 es del 66.7%

c)

La media es de 3 niños

La desviación Estándar es de 2 niños.

Se dispone de un aparato que fabrica objetos de plásticos. Este aparato se utiliza

hasta que aparece el primer objeto defectuoso. Se sabe que la probabilidad que el

objeto sea no defectuoso es , la probabilidad que el objeto sea defectuoso es .

Determinar la distribución de probabilidad.



Estadística

120

Se dispone de un aparato que fabrica objetos de plásticos. Este aparato se utiliza hasta

que aparece el primer objeto defectuoso. Se sabe que la probabilidad que el objeto sea

no defectuoso es , la probabilidad que el objeto sea defectuoso es . Determinar la

distribución de probabilidad.

Cuando una población finita con N elementos dividido en dos clases. Una con M

elementos (M<N) y la otra con N-M elementos. Llamaremos éxito a la primera clase y

fracaso a la segunda.

X=0, 1, 2, … min (n, M)

n= tamaño de la muestra sin reemplazamiento

N= población finita

x= lo que se busca

La distribución Hipergeométrica tiene los siguientes parámetros:

- Media o Esperanza matemática o Valor esperado

- Varianza


Ejemplo:

En una urna contiene 5 bolas blancas y 6 rojas. Se extraen 4 bolas de la urna sin

reposición.

a) Hallar la distribución de probabilidad del número de bolas rojas extraídas.

b) Cual es la probabilidad de extraer exactamente 3 bolas rojas.

c) Cual es el número esperado de bolas rojas extraídas.

N=6+5=11

M=6

n=4

7.- DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

Solución:

91

98

Actividad 4.3




a)

b)

La probabilidad de extraer 3 bolas rojas es de 30.3%

c)

El número esperado de bolas rojas extraídas es 2

En cierta clínica has 20 enfermos de los cuales se sabe que el 30% tienen cáncer, se

extrae aleatoriamente 4 pacientes para el despistaje de cáncer.

a) Cual es la probabilidad que al menos uno tenga cáncer.

b) Cual es el número esperado de pacientes con cáncer.

La distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de

que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples

resultados. Siendo:

Donde:

8.- DISTRIBUCION MULTINOMIAL

18.211

24

11

64 ==÷

ø

öçè

æ=m

Actividad 4.4

å=

=k

i

i nx1



Estadística

122

La distribución multinomial tiene los siguientes parámetros:

- Media o Esperanza matemática o valor esperado

- Varianza


Ejemplo

Las posibilidades que una declaración de impuestos sea llenada correctamente es

0.60, que contenga un error que favorezca al declarante 0.20, que lleve un error que

favorezca al fisco 0.10 y que contenga ambos tipos de errores 0.10. Se escoge al azar

10 de tales declaraciones de impuestos para una auditoria.

¿Cuál es la probabilidad que 5 estén correctos, 3 tengan error que favorezcan al

declarante, una lleve un error que favorezca al fisco y una contenga ambos tipos de

errores?

1º Definir los siguientes eventos

Una declaración de impuestos llevada correctamente

Una declaración de impuestos en error que favorezca al declarante

Una declaración de impuestos en error que favorezca al fisco

Una declaración de impuesto que contengan ambos tipos de error

2º

=1E

=1E

=1E

=1E




La probabilidad de que ocurran todos los eventos es de 3.2%

En cada población grande el 70$ de las personas son derechos; el 20% izquierdos y

10% ambidiestros. Se escogen 10 personas aleatoriamente de la población ¿Cual es

la posibilidad?

a) Todos sean derechos

b) 7 sean derecho, 2 zurdos, 1 ambidiestro

La Distribución Normal es una distribución de probabilidad continua y es la más común

que se usa en el análisis estadístico.

La curva Normal tiene forma de campana y es simétrica con respecto a su media, pero

la mayor parte del área (probabilidad) está concentrada alrededor de la media.

9. DISTRIBUCION NORMAL “Z”

La Distribución Normal Estándar es una distribución con una media de 0 ( ) y una

desviación estándar de 1 ( ).

Cualquiera distribución normal (escala de x) se puede convertir a una distribución

normal estándar estableciendo que M=O y expresando las desviaciones de M en

unidades de desviación estándar (Escala de Z), también llamada variable

estandarizada.

Para encontrar probabilidades (áreas) para problemas de distribución normal,

primero se convierte el valor de x a su correspondiente valor en Z

M=O1=s



Estadística

124

Luego se localiza al valor de Z en la tabla de área para la distribución normal

estándar.

Ejemplo:

En un examen de Estadística la media fue de 14 y la desviación estándar de 1.6.

Determinar las variables estandarizadas (Zi) para valores de x: 12, 17, 20, 13, 16

? USO DE LA TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR (Z)

La tabla de distribución normal Z solamente tabula el 50% de la Campana de Gauss

y por su parte interna.

sm-

=x

Z




El área bajo la distribución normal estándar de probabilidad, entre la media y el valor

sucesivo de Z, está determinada por la intersección de los valores de la variable

estandarizada, de la primera columna y primera fila de la tabla de la distribución

normal.

Ejemplo

Si Z es 1.36, en la primera columna de Z se buscaría en 1.3 y con la primera fila en

0.06, cuya intersección daría 0.4131 de área. Cuya probabilidad representa el

41.31%

Ejemplo de la distribución Normal “Z”

Si la talla de 300 estudiantes se distribuye normalmente y pulgadas y

pulgadas, hallar la probabilidad para los estudiantes:

a) Entre 64 y 72 pulgadas

b) Mayor de 72 pulgadas

c) Menor o igual a 64 pulgadas

d) Cuántos estudiantes tienen tallas mayores a 72 pulgadas

Solución

68=m 3=s

68=m pulgadas

3=s pulgadas

300=n estudiantes

a) )7264( ££ xP = )( 21 ZZZP ££



Estadística

126

( )1ZZP >)72( >xPb)

3º Hallamos la variable estadarizada

33.13

687221 =

-=

-=

smx

Z




4º Hallamos el área a través de la tabla de la normal

1.33 = 0.4082

La probabilidad de que las tallas sean mayores a 72 pulgadas es del 9.18%

La tabla Z, al tabular solamente el 50% de la Campana de Gauss, para éste caso se

le resta el área interna de que es de 0.4082.

0918.04082.05000.0)33.1( =-=>ZP

)64( £xPC) Reducir Tamaño

3º Hallamos la variable estadarizada

4º Hallamos el área a través de la tabla de la normal

1.33 = 0.4082

33.13

686421 -=

-=

-=

smx

Z

0918.04082.05000.0)33.1( =-=-£ZP



Estadística

128

La probabilidad de que las tallas sean menores o igual a 64 pulgadas es del 9.18%

El numero de estudiantes que tienen talla mayor a 72 pulgadas son 28.

A. Hallar el área bajo la curva normal.

a) A la izquierda de Z = -1.78

b) A la izquierda de Z = 0.56

c) A la derecha de Z =-1.45

d) Correspondiente a Z ≥ 2.16

e) Correspondiente a -0.80 ≤ Z ≤ 1.53

f) A la izquierda de Z = -2.52 y a la derecha de Z = 1.83

B. Hallar el valor de Z tal que:

a) El área a la derecha de Z sea 0.2266

b) El área a la izquierda de Z sea 0.0314

c) El área entre -0.23 y Z sea 0.5722

d) El área entre 1.15 y Z sea 0.0730

e) El área entre Z y Z sea 0.9000

Se utiliza la distribución “t” en la estimación.

- Cuando el tamaño de la muestra es 30 o menos

- Se desconoce la desviación estándar de la población

- Se supone que la población es normal o aproximadamente normal

1. DISTRIBUCION DE STUDENT “t”

d) )( )(xPnK =

)(300 xPK =

0918.04082.05000.0)33.1()()72( 1)( =-=>=³=>= ZPZZPxPP x

2854.270918.0300 @=´=\K Estudiantes




?

?

Grado de Libertad

Uso de la Tabla de distribución “t”

Numero de valores de una muestra que podemos especificar libremente, una

vez que sepamos algo de ella.

Para calcular el valor t correspondiente a un área de un determinado nivel de

significación, se busca en la columna de grados de libertad y en la fila de los niveles de

significación, cuya intersección determina el valor de “t”

Ejemplo

Halle el valor de t para 29 grados de libertad, para las siguientes áreas que caen

dentro de la cola derecha de la distribución t

a) 10%

b) 5%

c) 2.5%

Respuesta

Con estos datos buscar en la tabla “t”

a) t = 1.311

b) t = 1.699

c) t = 2.045

1-= ngl



GALDOS, L. Dominando las Matemáticas: Calculo y Estadística II y III, tomo 15 y 16,

Edición El Popular, Lima-Perú, 2005.

JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991.

LEVIN, Richard. Estadística para Administradores, Editorial, Prentice Hall. 2ª edición.

Mexico 1988.

LIPSCHUTZ, S. Probabilidad. Editorial McGraw Hill. Colección Serie Schaum.




Estadística

130

En el siguiente Fascículo estudiaremos la teoría del muestreo, Lainferencia estadística a través de la estimación y la prueba de hipótesis.Así como la prueba de Chi cuadrado y el análisis de varianza.

MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid1972.

MOYA, Rufino y SARAVIA, G. Probabilidad e Inferencia Estadística. Editorial SanMarcos. 2ª edición, Lima.

TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. Editorial Addison Wesley Longman. 7ªEdición, México 2000.

VELIZ C., Carlos. Estadística:Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A.2ª Edición. Lima 1993.

MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid

1972.

MOYA, Rufino y SARAVIA, G. Probabilidad e Inferencia Estadística. Editorial San

Marcos. 2ª edición, Lima.

TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. Editorial Addison Wesley Longman. 7ª

Edición, México 2000.

VELIZ C., Carlos. Estadística:Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A.

2ª Edición. Lima 1993.




1. Si el 20% de los estudiantes que entran a estudios superiores se retiran antes derecibir sus diplomas, encuentre la probabilidad de que de 20 estudiantes elegidos alazar entre un gran número de estudiantes que ingresan a estudios superiores, menosde 3 se retiren.

2. La experiencia histórica muestra que 0.003 de la fuerza laboral nacional se enferma

gravemente durante un año. Si 1000 personas son seleccionadas al azar de la fuerza

laboral nacional:

a) Cuál es el número esperado de trabajadores que se enferman durante un año.

b) Cuál es la probabilidad de que 5 trabajadores se enfermen durante un año.

3. Suponga que las lecturas de los termómetros tiene una distribución normal con

media de 0º y desviación estándar de 100º. Se selecciona al azar un termómetro y se

prueba.

a) haga un dibujo y encuentre la probabilidad de cada lectura en grados de entre -

2.22 y 1.11

b) Encuentre la probabilidad indicada donde Z es la lectura en grados

4. En una población grande, el 25 % de las personas tienen ojos azules. Escogemos

aleatóriamente voluntarios de esta población, una cada vez, hasta escoger un

voluntario con ojos azules.

a) Cual es la probabilidad que la quinta persona es la primera que tiene ojos azules.

b) Cual es el número esperado de personas escogidas.

5. Se extraen al azar 13 cartas sin reemplazo de una baraja de 52 cartas.

a) Cual es la función de probabilidad para el número de cartas rojas en la muestra.

b) cual es la media y la varianza del número de naipes negras.

6. Halle el valor de t para n=16 para las siguientes áreas:

a) que caen dentro la cola derecha de la dist. t al 0.05%

b) que caen dentro la cola izquierda de la dist. t a 2.5%

c) que caen dentro la cola izquierda de al dist. t al 10%

NOMBRE:_______________________________________________________

APELLIDOS:________________________________ FECHA: ___/___/___

CIUDAD:___________________________________ SEMESTRE:_________



Estadística

132

1.- MUESTREO

2.- SELECCIÓN DE UN MÉTODO DE MUESTREO

Tiene por objeto seleccionar de tal manera una fracción de la población, que la

muestra obtenida represente a la población entera.

El muestreo estadístico, es un enfoque sistemático para seleccionar unos cuantos

elementos (una muestra) de un grupo de datos (una población), a fin de hacer

algunas inferencias sobre el grupo total.

El método que se elija debe ser objetivo y basado en las leyes del azar. Se debe

tener en cuenta:

a) Los resultados que se pretende obtener

b) El tipo de población por muestrear

c) La seguridad requerida

d) El costo de muestreo

e) Los recursos disponibles

- Conoce el concepto del muestreo, selección, ventajas y limitaciones

- Conoce las etapas de la encuesta por muestreo y tipos de muestreo

- Conoce las diferencias entre población y muestras

- Calcula el tamaño de una muestra

- Conoce lo que es inferencia Estadística y Estimación

- Conoce y calcula el error estándar de la media y de la proporción

- Conoce y aplica el teorema del Limite central

- Conoce, calcula y estima usando las distribuciones Normal y Student

- Aplica y calcula Prueba de Hipótesis sobre la media de la población y la

proporción

- Aplica y calcula Prueba de Hipótesis para las diferencias de medias y

proporciones

- Conoce, aplica y calcula la distribución Chi Cuadrado “”

- Aplica, conoce y calcula el análisis de Varianza con uno y dos factores

ESTADISTICA INFERENCIAL: MUESTREO, DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO,ESTIMACIÓN, PRUEBA DE HIPOTESIS, PRUEBA DEL CHI CUADRADO Y

ANALISIS DE VARIANZA




3.- VENTAJAS Y LIMITACIONES DEL MUESTREO SOBRE EL CENSO

4.-ETAPAS DE LA ENCUESTA POR MUESTREO

5.-DIFERENCIAS ENTRE POBLACIÓN Y MUESTRA

Los estadísticos usan la palabra para designar no sólo a las personas,

sino todos los elementos que han sido escogidos para ser estudiados.

La aplicación de un cuestionario a la población se llama censo.

Los estadísticos usan la palabra para describir una porción elegida de la

población. La aplicación de un cuestionario a una muestra se llama muestreo.

A. Las ventajas

a) Mayor economía

b) Mayor rapidez en la recolección y análisis de la información

c) Menor personal

d) El personal puede ser mejor entrenado

e) Mayor información en el contenido

B. Las Limitaciones

a) Errores en el muestreo

b) Limitación en la medición

c) Limitación en el tiempo disponible

d) Límites en la información personal

e) Limitaciones en el estudio de las relaciones sociales

f) Tiempo y costo

a) Planeamiento

b) Selección de la muestra

c) Desarrollo de los cuestionarios

d) Trabajo de campo

e) Preparación del material para el análisis

f) Procesamiento de la información obtenida

g) Preparación del informe

población

muestra



Estadística

134

6. TIPOS DE MUESTREO

7. TAMAÑO DE UNA MUESTRA

A. Muestreo Aleatorio o probabilística

a) Al azar simple

- Con reemplazo (no exhaustiva)

- Sin reemplazo (si exhaustivo)

b) Al azar sistemático

c) Al azar con estratificación

- Sin proporcional

- No proporcional a los estratos

d) Al azar de conglomerados

- De igual tamaño

- Se desigual tamaño

e) Al azar en etapas sucesivas

- Bietápico

- Trietápico

f) Al azar por experimentación

B. Muestreo no aleatorio o de juicio o no probabilístico

a) Basado en criterio de expertos

b) Basado en juzgamiento de unidades tipo

c) Basado en cuotas

d) Basado en el acaso

Desarrollar en forma resumida los conceptos y dar ejemplos correspondientes a los

tipos de muestra

Corresponde al número de elementos u observaciones que integran una muestra.

Actividad 5.1




A. Obtención del tamaño de una muestra para estimar proporciones

B. Tamaño de una muestra considerando un tamaño provisional

n = tamaño de la muestra

N = población

E = error

P = Probabilidad de acierto

Q = Probabilidad de no acierto

Z = distribución normal a un nivel de confianza

Ejemplo

Los alumnos que usan o concurren a INTERNET, según características socio

familiares, del colegio Secundario “San Andres” que tiene 880 alumnos distribuidos

en 15 secciones. Cual es la muestra representativa con un error del 5% y un nivel de

confianza del 95%

Nivel de confianza del 95% Z = 1.96.

Tamaño provisional de la Muestra ()

?

5.0

5.0

05.0

880

=

=

=

=

=

n

Q

P

E

N



Estadística

136

Donde:

= Tamaño de la muestra

= Tamaño de la población

= error estándar

= Varianza de la población =

= Varianza de la muestra =

Ejemplo

Conociendo los siguientes datos determinar el tamaño de la muestra

1234 empresas

0.015

0.9

Empresas

El nivel de confianza ( ) más el nivel de significación ( ) siempre es igual al 100%

o 1.

Ejemplo:

Si 0.05 ó 5%, 0.95 ó 95%

Hallar el tamaño de una muestra, por los dos métodos de un distrito de la provincia

donde reside.

s

V 2s

)()1( QPPP =-

b a

abba -=-= 11 ó

=a =b

n

N

V2




8. TERMINOLOGIACONVENCIONAL CON QUE SE DESIGNALAS

ESTADISTICAS .

9. INFERENCIA ESTADÍSTICA - ESTIMACIÓN

10. - CONCEPTO DE ERROR ESTÁNDAR

A. ERROR ESTÁNDAR DE LAMEDIA

La inferencia estadística es uno de los aspectos mas importantes y cruciales en el

proceso de toma de decisiones, en la economía la administración y en las ciencias.

La inferencia estadística se refiere a la estimación y la prueba de hipótesis.

La estimación es el proceso de inferir o estimar un parámetro de población (tales como

y ) del correspondiente estadístico de una muestra extraída de la población.

Es la desviación estándar de la distribución de un estadístico muestral

Error estándar de la media

Error estándar de la proporción

Es la distribución de probabilidad, cuando se mide la media de cada muestra

aleatoria9de una población y se encuentra que la mayoría de estas medias

muestrales ( ), difiere una de otra

-

-

Cuando queremos referirnos a: Usamos el término convencional :

Desviación estándar de la distribución de lasmedias muestrales

Desviación estándar de la distribución de lasproporciones muestrales

Desviación estándar de la distribución de lasmedias muestrales

Desviación estándar de la distribución deintervalos muestrales

- Error estándar de la media

- Error estándar de la proporcion

- Error estándar de la mediana

- Error estándar del intervalo

-

-

-

-

x

xs



Estadística

138

Media

Desviación Estándar o error estándar

Error estándar de la media para población infinita

Error estándar de la media para población finita o sea

cuando

Población Finita : Es la población que posee un tamaño formulado o limitado

Población Infinita: oblación que teóricamente es imposible observar todos sus

elementos

Ejemplo

Una población tiene 740 elementos con una media de 13 unidades y una desviación

estándar de 9.

a) Cuanto es la media y el error estándar de la distribución muestral de la media

para un tamaño de muestra de 25.

B) Si la muestra , es 49 en vez de 25

Entonces se aplica:

Nn 05.0³

n




B. ERROR ESTÁNDAR DE LAPROPORCIÓN

11.TEOREMADE LÍMITE CENTRAL

(Proporción de sucesos en la población)

(Error estándar de la población)

Ejemplo:

En un estudio se encuentra que en una muestra aleatoria de 100 estudiantes que

asistieron a la universidad, 40 recibieron un grado universitario. Encontrar la

proporción y el error estándar de la esa población.

La proporción es:

El Error Estándar es:

Cuando tiende al la distribución muestral de la media se aproxima a la

distribución normal, cualquiera que sea la forma de la población original.

La aproximación es suficientemente buena para n 30

n µ

³

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20

Distr. Muestral de la media, n=2

Dist. Muestral de la media, n=5

Población original



Estadística

140

Cuanto mayor es , mas pequeña es la amplitud o error estándar de la median xs

El teorema del Límite Central es el resultado del incremento del tamaño de la muestra

1. La media de la distribución muestral de la media, será igual a la media

poblacional, prescindiendo del tamaño de la muestra.

2. La distribución muestral de la media se acercará a la normalidad.

Garantiza que la distribución muestral de la media se acerque a la distribución

normal a medida que crece e tamaño de la muestra.

Nos permite usar el estadístico muestral para hacer inferencias sobre los

parámetros de la población, sin conocer nada sobre la forma de la distribución de

frecuencia de esa población, salvo la información que logremos recabar de la

muestra.

Ejemplo.

La distribución de las ganancias anuales de todos los cajeros de un banco con 5 años

de experiencia tiene un sesgo negativo, según se advierte en la figura. Esta

distribución tienen una media de S/. 15000 y una desviación estándar de S/. 2000. Si

extraemos una muestra aleatoria de 30 cajeros ¿Cuál es la probabilidad de que sus

ganancias promedien mas de S/. 15750 al año?.

Importancia del teorema del Límite Central

-

-

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 2015000 15750

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15




1. Calcular el error Estándar

2. Distribución Normal Estándar para =15780

Respuesta

Hay un poco mas del 2% de probabilidad de que las ganancias promedio

asciendan a mas de S/. 15750 al año en un grupo de 30 cajeros.

* Con los datos del ejemplo anterior, determinar la probabilidad si fueran 70

cajeros de una población de 800 cajeros.

Se puede obtener:

- Una estimación puntual

- Una estimación de intervalo de un parámetro de la población.

Es un número simple. Es insesgado si en muestras aleatorias repetidas de la

población, el valor esperado o medio del estadístico correspondiente es igual al

parámetro de población.

Ejemplo

La media muestral ( ) es una estimación puntual insesgada de la media

poblacional ( ) por que , donde es el valor esperado . La

desviación estándar de la muestra es una estimación insesgada de , y la

proporción de la muestra es una estimación insesgada de (la proporción

de la población con una característica dada).

12.ESTIMACIÓN USANDO LADISTRIBUCIÓN NORMAL

A.Estimación Puntual

xm mm =x x

m

x

S s

P P



Estadística

142

B. Estimación de Intervalo

Se refiere a la amplitud de valores junto con la probabilidad o nivel de confianza, de

que el intervalo incluya el parámetro de población desconocida.

Nivel de confianza usado frecuentemente, para n 30

90% = 1.64

95% = 1.96

99% = 2.58

O para el Nivel de significación:

10% = 1.64

5% = 1.96

1% = 2.58

La tabla anterior se utiliza cuando no se puede hallar “Z” o variable estandarizada.

Un intervalo de confianza se puede construir de modo semejante para la proporción

de la población.

Ejemplo:

Se toma una muestra aleatoria de 14 con una media de 100 y una desviación

estándar de 60, de una población de 1000. El intervalo de confianza al 95% para la

media de población desconocida es:




Respuesta

La M esta entre 90.89 y 109.11 con un grado de 95% de confianza

Ejemplo.

Un grupo de investigadores encuentra que en una muestra aleatoria de 100

personas que asistieron a la universidad, 40 recibieron un grado universitario.

Encontrar el intervalo de confianza al 99% para la proporción de graduados

universitarios; del total de personas que asistieron a la universidad,

Respuesta

La proporción de graduados P esta entre 0.27 y 0.53 con un nivel de 99% de

confianza

Cuando la población tiene distribución normal pero no se conoce y n<30 se

empleará la distribución “t”

Donde

Ejemplo:

Una muestra aleatoria de n = 10 pilas de Cadmio con una vida media de

operación de horas y una desviación estándar muestral de hora,

se escoge de una compañía conocida, que produce pilas con vida de operación,

normalmente distribuidos y nivel de confianza del 95%. Encontrar el intervalo de

confianza

13.INTERVALO DE CONFIANZAPARALAMEDIAUSANDO LADISTRIBUCION

“t”

s

x = 5 s = 1



Estadística

144

262.2±=t

Respuesta:

El intervalo de confianza está entre 4.29 y 5.71 horas, con un grado del 95% de

confianza.

Halle el valor de “t” para 27 grados de libertad para las siguientes áreas que caen dentro

de la cola (derecha) de la distribución t.

a) Al 10%

b) 5%

c) 2.5%

En la prueba de hipótesis comenzamos haciendo una suposición respecto de una

característica poblacional desconocida. Luego tomamos y sobre la base de la

característica muestral correspondiente aceptamos o rechazamos la hipótesis con

un grado particular de confianza.

14.- PRUEBADE HIPOTESIS




A.TIPOS DE ERRORESAL PROBAR UNAHIPÓTESIS

B.-LOS PASOS ESTABLECIDOS PARALAPRUEBADE HIPÓTESIS

a)

Sobre la base de la información muestral podemos rechazar una

hipótesis que indudablemente es verdadera.

b)

Cuando aceptamos una hipótesis falsa

ón.

a prueba

Los pasos formales establecidos para la prueba de hipótesis sobre la media

de la población o sobre una proporción son los siguientes:

1º.- Suponer que es igual a algún valor hipotético , esto se representa

por:

2º. Decidir sobre el nivel de significación de la prueba (generalmente 5%

pero a veces 1%) y definir la región de aceptación y la región de rechazo

para la prueba usando la distribución apropiada.

3º. Tomar una muestra aleatoria de la población y calcular , “ ”, o “ ”. Si

ellos caen en la región de aceptación, se acepta ; de lo contrario, se

rechaza a favor de

Error del tipo I (α)

Error tipo II (β)

α se le denomina nivel de

significaci

1-α es el nivel de confianza de l

00 : mm =H

0H se denomina hipótesis nula.

01 : mm ¹H

1H se denomina hipótesis alternativa.

01

01

:

:

mm

mm

<

>

H

H(dependiendo del problema))

m 0m

x Z t

0H

0H1H



Estadística

146

Ejemplo 1:

Una compañía quiere probar si puede garantizar que los focos que producen

duran 1000 horas de operación útil. La compañía toma una muestra aleatoria de

n=100 de sus focos y halla que la media muestral =980 horas y la desviación

estándar muestral S = 80 horas.

La compañía quiere conducir la prueba al nivel de simplificación del 5%

Como n>30 la distribución muestral de la media es aproximadamente normal

La región de aceptación de la prueba al nivel de significación del 5% esta dentro

de ±1.96 bajo la curva normal y la región de rechazo está afuera.

Puesto que la región de rechazo esta en ambas colas, tenemos una prueba de

dos colas

Como la Z calculada cae en la región de rechazo la compañía debe rechazar

que y acepta a nivel de significación del 5%.

Ejemplo 2:

Una empresa quiere saber con un nivel de confianza del 95% si puede

garantizar que las cajas de jabones que vende contienen más de 500 gr. del

producto. Por experiencia la empresa sabe que la cantidad de jabones en

las cajas tiene distribución normal. La firma toma una muestra aleatoria de

1º Paso

2º Paso

3º Paso

1000:

1000:

1

0

¹

=

m

m

H

H

0H 1000=m iH 1000¹m




n= 25 y halla que gr y gr.

La firma quiere probar si gr

Como la distribución de población es normal, pero n < 30 y no se conoce,

de debe usar la distribución t (con n 1 = 24 grado de libertad)

Para definir la región de rechazo de la prueba a nivel dignificación 5% se

busca en la tabla. Este es “Prueba de cola derecha”

Ejemplo 3:

En el pasado, 60% de los estudiantes que ingresaron a una facultad de la

Universidad recibieron su grado al cabo de 4 años. Para la clase que

ingreso en 1999, solamente 15 de los 36 que iniciaron recibieron sus grados

en 2003. Probar si la clase de 1999 se desempeñó peor que las clases

anteriores a un nivel de significación del 5%.

Notamos primero que este problema involucra la distribución binomial.

Puesto que n > 30 y np y n(1-p)>5 podemos utilizar la distribución normal,

por p=0.60

1º Paso

2º Paso

3º Paso

-

-

520=x 75=S

500>m

s

33.1=t cae en la región de aceptación, aceptan la 0H que 500=m gr a

nivel de dignificación del 5%.



Estadística

148

Tenemos:

Esta es una “prueba de cola izquierda”

3º Paso

-2.25 cae en la región de rechazo. Rechazamos la H

Al nivel de significación del 5% la clase de 1999 se desempeña peor que las

clases anteriores.

Un fabricante de avionetas necesita comprar láminas de aluminio de 0.05

pulgadas de espesor. Las láminas más delgadas no serían apropiadas y las más

gruesas serían demasiado pesadas. El fabricante toma una muestra aleatoria de

100 láminas de un proveedor y halla que su grosor promedio es 0.048 pulgadas y

su desviación estándar es 0.01 pulgadas. Debe el fabricante comprar las láminas

de aluminio a ese proveedor si quiere tomar la decisión a nivel de significación del

5%.

1º Paso:

2º Paso

o

60.0:

60.0:

1

0

<

=

pH

pH




15. PRUEBADE HIPÓTESIS PARALAS DEFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS O

DOS PROPORCIONES

En muchas situaciones de toma de decisiones, es importante determinar si las

medias o proporciones de dos poblaciones son o no las mismas.

Para hacer esto, tomamos una muestra aleatoria de cada población y solo si las

diferencias en las medias muestrales o proporciones se pueden atribuir al azar

aceptamos la hipótesis de que las dos poblaciones tienen iguales medias o

proporciones

Si las dos poblaciones están normalmente distribuidas o si como entonces las

distribuciones son también normal con el error estándar dado:

Ejemplo 1:

Un gerente quiere determinar al nivel de significación del 5% si los salarios

horarios para trabajadores semicalificados son los mismos en dos ciudades.

Con el fin de hacer esto toma una muestra aleatoria de salarios por hora en

ambas ciudades y halla que , ,

y para y respectivamente.

Las hipótesis que deben probar son:

Esta es una prueba de dos colas y la región de aceptación para se sitúa entre

±1.96 bajo la curva normal estando:

6$

1=x , 40.5$

2 =x , 2$

1 =S y 80.1$

2 =S

401 =n y 542 =n



Estadística

150

Ejemplo 2:

Una empresa quiere determinar al nivel de significación del 1% si la proporción

de componentes electrónicos aceptables de un proveedor extranjero, , es mayor

que para un proveedor nacional, . La empresa toma una muestra aleatoria para

el embarque de cada proveedor y encuentra que

Las hipótesis serian:

Esto es una prueba de cola derecha.

Y la región de rechazo de se sitúa a la derecha de 2.33 bajo la curva normal

estándar.

1.5 esta en la región de aceptación. Se acepta 0H

(Si 1n como 302 <n y se supone que 2

2

2

1 ss < pero desconocidos entonces

la distribución muestral de la diferencia de medias tendría una distribución t

con 121 -+ nn gl)

9.01 =p y 7.02 =p para 1001 =n y 802 =n

211

210 :

ppH

ppH

>=

=




A. Una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitario indica que el 15%

se casa durante el primer año, mientras el 30% se casa durante el

segundo año. Determine si aceptar la hipótesis que la proporción de

estudiantes casados en primer año es menor que la del segundo año.

a) Al nivel de significación del 5%

b) Al nivel de significación del 1%

B. Una firma de consultores quiere decidir, al nivel de significación del 5%, si

los salarios de los trabajadores de construcción civil difieren entre Trujillo y

Arequipa. Una muestra aleatoria de 110 trabajadores e construcción civil

en Trujillo tiene un salario promedio mensual de 900 nuevos soles con una

desviación estándar de 100 nuevos soles. En Arequipa, una muestra

aleatoria de 80 trabajadores, tiene un salario promedio mensual 810

nuevos soles, con una desviación estándar 80 nuevos soles. ¿Hay

diferencia significativa entre los salarios de los trabajadores de

construcción civil en Trujillo yArequipa?

Se usa para probar:

a) Si las frecuencias observadas difieren significativamente de las

frecuencias esperadas cuando son posibles más de dos resultados.

b) Si dos variables son independientes o no.

16.LAPRUEBACHI-CUADRADO “ ”

A. EL ESTADÍSTICO “ ” CALCULADO DE LOS DATOS MUESTRALES

Rechazamos 0H y aceptamos la hipótesis de que 21 pp > al nivel de

significación del 1%.

2X

2X

å-

=e

e

f

ffX

2

02 )(

=0f frecuencias observadas

=ef frecuencias esperadas



Estadística

152

Partir de estadísticos muestrales.

b) Para pruebas de independencia o pruebas de tabla de contingencia

gl = (r - 1) (c - 1)

r = número de filas de la tabla de contingencia

c = número de columnas

Intersección de una tabla de contingencia

La proporción del área de la distribución Chi cuadrada queda determinada por

la intersección de los niveles de significación y confianza con los grados de

libertad.

B. GRADOS DE LIBERTAD DEL “ ”

c. FRECUENCIAESPERADAPARACADACELDA

d. USO DE LATABLADE CHI CUADRADO

a) Si “2X ” calculado es mayor “

2X ” tabulado, al nivel de significación

especificado y los grados de libertad. La hipótesis nula 0H se rechaza a

favor de la hipótesis alternativa 1H

b) 02

0 =Þ= Xff e

2X

a) Para pruebas de bondad de ajuste

n

crfe

å å=




Ejemplo 1:

En el pasado, 30% de los refrigeradores vendidos por una tienda eran de 10 pies ,

40% eran de 12 pies y 30% de 15 pies , con el fin de determinar el inventario que

debe para mantenerse de cada tipo de aparato, el gerente toma una muestra

aleatoria de 100 compras recientes y halla que 20 son de 10 pies , 40 de 12 pies y

40 de 15 pies . Probar al nivel de significación del 5%, la hipótesis que el patrón

anterior de ventas , todavía tiene vigencia.

3

3 3

3 3

3

Comprar observadas y esperadas de refrigeradores por capacidad.



Estadística

154

Ejemplo 2:

Un vendedor de motocicletas ha recolectado los datos que se muestran en la tabla

sobre el número de motocicletas importadas y nacionales comprados por clientes

menores de 30 años y de 30 años en adelante. Para probar el nivel de significación

del 1% si el tipo de motocicletas adquiridas es independiente de la edad del

comprador.

Tabla de contingencia para compradores de automóviles

Tabla de frecuencia esperada para las frecuencias observadas




2º Hallamos el grado de libertad

Donde

r = numero de fila = 2

c = numero de columnas = 2

gl = (r-1) (c-1) = (2-1) (2-1) = 1

3º Hallamos el Chi cuadrado calculado

4º Hallamos el Chi cuadrado tabulado en la tabla

tabulado = 6.63

Respuesta

calculado = 9.44 es mayor que tabulado = 6.63, rechazamos porque la edad

no es un factor en el tipo de motocicleta comprada (Los jóvenes están mas

inclinados a comprar motocicletas importadas)

A. En la tabla se indica la frecuencia observada y esperada de 4 enfermedades

poco comunes (A, B, C, D) en una ciudad. ¿Es significativa la diferencia entre la

frecuencia observada y esperada de las enfermedades al nivel del 10%?

Frecuencias observadas y esperadas de enfermedades varias A, B, C, D



Estadística

156

B.- El número de ataques cardiacos sufridos por hombres y mujeres de varios grupos deedades en una ciudad esta dado por la tabla de contingencia. Pruebe al nivel designificación del 1% la hipótesis de que la edad y el sexo son independientes en laocurrencia de ataque cardiaco.

Número de ataques cardiacos de hombres y mujeres en varios grupos de

edades en una ciudad.

17.- ANALISIS DE VARIANZA

Se emplea para probar la hipótesis de que las medias de más de dos poblaciones son

iguales o diferentes cuando las poblaciones están normalmente distribuidas con

igual varianza. (ANOVA,ANDEVA)

Pasos

1. Estimar la varianza de población partiendo de la varianza entre las medidas

muestrales (MSA).

2. Estimarla varianza de población partiendo de la varianza dentro de las muestras

(MSE).

a) Calcular la relación F

MSE

MSA

muestraslasdedentroVarianza

muestralesmedidaslasentreVarianzaF ==




b) Si la relación F calculada es mayor que el valor tabulado de F al nivel de significaciónespecificada y grados de libertad, la hipótesis nula , de medias de población iguales serechaza a favor de la hipótesis alternativa .

18. ANÁLISIS DE VARIANZAPARAUNACLASE O FACTOR

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA DE UNA CLASE O FACTOR



Estadística

158

USO DE LATABLA

En la tabla

(el número superior)

(El número inferior o en negrita)

para cada grado de libertad

gl del numerador = c-1

c = número de muestras

gl del denominador = (r-1)c

r = número de observaciones en cada muestra

Ejemplo:

Una compañía vende jabón idéntico en 3 envolturas diferentes al mismo precio.

Las ventas de 5 meses se presentan en la tabla. Los datos de las ventas tienen

distribución normal con igual varianza. Probar al nivel de significación del 5% si

las ventas medias de jabón para cada envoltura son iguales o no.

05.0µ=01.0µ=

Tabla venta de 5 meses de jabón en las envolturas 1, 2 y 3




Tabla de análisis de Varianza para envoltura de Jabón

F calculado = 7.09

F calculado = 3.88



Estadística

160

gl del numerador = 2

gl del denominador = 1205.0µ=

Respuesta:

Como la relación F calculada es mayor que el valor tabulado de F a nivel de

significación del 5%, se rechaza la hipótesis nula 0H a favor de la hipótesis

alternativa1H

19.ANÁLISIS DE VARIANZA PARA DOS CLASES O FACTORES

TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA DE 2 CLASES O 2 FACTORES




Ejemplo:

En la tabla se da los rendimientos de una granja experimental que usó 4 fertilizantes y 3

pesticidas, de modo que cada parcela del terreno tenia una probabilidad igual de recibir

cada combinación de fertilizantes-pesticidas (diseño experimental completamente

aleatorio).

Hallar la relación de F y probar las hipótesis a nivel de significación del 1%

Tabla Rendimiento con 4 Fertilizantes y 3 Pesticida



Estadística

162



Estadística

164

A. El número de ataques cardíacos sufridos para hombres y mujeres de varios grupos

de edades en la ciudad de Piura esta dado por la tabla de contingencia siguiente:

Pruebe al nivel de significación del 1% la hipótesis de que la edad y el sexo son

independientes en la ocurrencia de ataques cardíacos.

Número de ataques cardíacos de hombres y

mujeres en varios grupos de edades en la ciudad de

Piura

B. La tabla siguiente da la producción para 8 años de una granja experimental que uso 4tipos de abonos diferentes. Supóngase que la producción con cada abono tienedistribución normal con igual varianza. Pruebe la hipótesis de que las medias depoblación son las mismas a nivel de significación del 5%




Tabla de Producción de 8 años con 4 tipos de abonos








Mexico 1988.


Colombia. 1970

MOOD,Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. EditorialAguilar. Madrid 1972.





Estadística

166

TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. EditorialAddison Wesley Longman. 7ª Edición,

México 2000.

VELIZ C., Carlos. Estadística:Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª

Edición. Lima 1993.

En el siguiente Fascículo estudiaremos las relaciones que existen entre variables, los

ajustes de curva para poder inferenciar y los números índices de Laspeyres, Paasche

y Fishers.

AUTOEVALUACIÓN FORMATIVA

ESTADÍSTICA – FASCICULO Nº 5

Autoevaluación formativa

1. Una agencia gubernamental recibe muchas quejas de consumidores de que las cajas dedetergentes vendidas por una compañía contiene menos de las 20 onzas de detergenteanunciadas. Para verificar las quejas de los consumidores, la agencia adquiere 9 cajas dedetergente y encuentra que X=18 onzas y s=3 onzas. ¿ Como puede conducir la agencia laprueba a nivel de significación del 5% si sabe que la cantidad de detergente en las cajas tienedistribución normal?.

2. Una muestra aleatoria de 21 jugadores de fútbol del SC tiene un peso medio de 265 libras

con una desviación estándar de 30 libras, mientras una muestra aleatoria de 11 jugadores de la

U tiene un peso medio de 240 libras con una desviación estándar de 20 libras. ¿ Es el peso

medio de los jugadores de fútbol del SC mayor que el de los jugadores de la U al nivel de

confianza del 99%?.

3. La tabla de contingencia muestra el número de componentes electrónicos aceptables y no

aceptables producidos a diversas horas de la mañana en una muestra aleatoria de la

producción de una planta. ¿Debe aceptarse o rechazarse al nivel de significación del 5%, la

hipótesis de que la producción de componentes aceptables es independiente de la hora de la

mañana en la cual se producen?




TABLA

Componentes aceptables y no aceptables producidos según la hora de la

mañana

4. Una urna contiene bolas de 4 colores: verde, blanco, rojo y azul. Se escoge una bola

de la urna y se anota su color. Se coloca de nuevo en la urna; se mezcla bien, y se

escoge otra bola. El proceso se repite 18 veces con el resultado que se escoge 8

veces una bola verde, una blanca, 7 veces; una bola roja una vez, y una bola azul,

dos veces. ¿Contiene la urna un igual número de bolas verdes, blancas, y rojas o

azules?. Pruebe la hipótesis al nivel de significación del 5%. (Chi)

5. La Tabla da los datos de venta de jabón con 3 envolturas y 4 formulas diferentes en

un diseño experimental totalmente aleatorio. ¿Debe aceptarse la hipótesis al nivel

de significación del 5% de que las medias de población son las mismas para cada :

a) Envoltura? b) Fórmula?

TABLA

VENTA DE JABON PARA ENVOLTURAS Y FORMULAS



Estadística

168

1. CORRELACION

Se llama correlación entre las variables a la relación que existe entre las variables de una

distribución bidimensional.

Dependiendo de esta aproximación de la nube de puntos a la recta de regresión,

tendremos tres clases de correlación.

a) Correlación Positiva

Es cuando al aumentar una variable, la otra también aumenta. La recta de regresión

en este caso es una recta creciente.

´

b) Correlación negativa

Es cuando aumentan una de las variables, la otra disminuye. En este caso la recta de

regresión es decreciente.

- Define, calcula e interpreta al coeficiente de correlación.

- Calcula, interpreta e infiere las tendencias de las variables o características.

- Calcula e interpreta la aplicación de la ecuación exponencial.

- Calcula e interpreta los índices de Laspeyres, Paasche y Fishers

- Conoce la aplicación de algunos software estadísticos.

CORRELACIÓN, REGRESIÓN, NÚMEROS INDICES YSOFTWARE ESTADÍSTICO




c) Correlación Nula

Se da cuando no hay dependencia de ningún tipo entre las variables.

Trata de determinar matemáticamente la existencia de la relación entre dos factores o

fenómenos, averiguar si uno de ellos influye en el otro o si no hay ninguna relación o

dependencia entre un hecho y el otro.

Ejemplo:

Se trata de establecer si están relacionados:

El alcoholismo y la criminalidad

El analfabetismo y el bajo ingreso.

La temperatura veraniega y enfermedades intestinales.

La edad y la presión arterial.

Resultados:

El coeficiente de correlación varía de los valores para la correlación perfecta al valor

cero, para ausencia absoluta de correlación.

Ejemplo:

Hallar la correlación entre los siguientes datos referentes a edades y presión sanguínea

de un grupo de mujeres.

2.- COEFICIENTE DE CORRELACION

-

-

-

-

1±



Estadística

170

Interpretación: existe una fuerte relación entre la edad y la presión

sanguínea por que 0.896 esta cerca de 1

ACTIVIDAD 6.1

Experimentalmente se han encontrado las siguientes cifras, durante el proceso de estudio

del secado de cierta madera por el método del vapor recalentado, el tiempo ha sido medido

en medias horas.

Calcular e interpretar el coeficiente de correlación.

Aplicando la formula




3. REGRESION

Regresión Lineal

4. SERIES DE TENDENCIARECTILINEA

Proceso general de predecir una variable a partir de otra con medios estadísticos,

usando datos anteriores.

Línea ajustada a un conjunto de puntos de datos para estimar la relación entre dos

variables.



Estadística

172

Como se denota en el cuadro:

Al 2001 le corresponde el 4



Al 2004 seria el 7

Al 1005 es el 8 18)8(222005 =+=y

Interpretación: las ventas al 2005 seria de 18 millones de soles.

-

-

-

Los años con la finalidad de reducir números grandes se remplaza por la serie

correlativa de 1 al…, siempre que los años seas correlativo de 1 en 1.

Definir siempre, que variable es dependiente e independiente.

Graficar los datos, con la finalidad de determinar la tendencia de la serie.

Para encontrar los parámetros a y b determinamos los componentes de las formulas en el

cuadro y luego planteamos la ecuación general.




5. SERIE DE TENDENCIA PARABOLICA

Si después de graficar una serie estadística en un plano coordenado y unir los

diversos puntos, observamos que ha formado una figura parabólica, la ecuación de

ajuste será.

Ejemplo:

Las paredes de un horno de una ladrillera varia de espesor y con el auxilio de un

pirómetro se han encontrado las siguientes temperaturas.

Es una parábola



Estadística

174

2º Aplicamos la ecuación

2cxbxay ++=

3º Hallamos los parámetros a, b y c, a partir de los datos y componentes de

las ecuaciones.




Luego

222.02.11.1 xxy ++=

Ahora si queremos saber cuanto seria la temperatura en una pared de 9dm.

72.29

82.178.101.1

)9(22.0)9(2.11.1 2

=

++=

++=

y

y

y

Interpretación: en un horno de 9 dm. De grosor de la pared, la temperatura

se elevaría a 29.72 centenares de ºc

La densidad del agua “d” varia con la temperatura “t” (en grados centígrados), tal

como se muestra en el cuadro.

6.APLICACIÓN DE LA ECUACION EXPONENCIAL

6.1.Caso PoblacióDeducción de Formulas

10

-= tt

P

Pr

)1log(

loglog

r

PPt ot

+

-=



Estadística

176

La tasa de crecimiento medio r puede ser negativo, si una ciudad baja su población.

6.1. Caso de Interés Compuesto

Ejemplo:

La población del departamento de Junín hipotéticamente en 1983 fue 849300

habitantes y en 1998 fue de 1010700 habitantes. ¿Cuánto seria la población en

el 2005?

1º Hallamos la tasa de crecimiento medio.

2º Proyectamos

0117.0

1010700

719982005

=

=

=-=

o

t

P

P

t

( )( )habitantes1096439

0117.011010700

1

2005

7

2005

=

+=

+=

P

P

rPPt

ot Luego, la población crece a 1.17%

promedio anual y en el 2005, Junín

tendría 109643 habitantes.




7. NUMEROS INDICES

Resultan al relacionar por cociente diferentes datos, relativos a un mismo asunto, durante

diversos periodos de tiempo, usando uno de los datos como elemento de comparación.

Ejemplo:

Interpretación:

En 2001 se exporto 1,11 veces de lo exportado en 2000

En 2002 se exporto 1,28 veces de lo exportado en 2000

8. PRECIO ÍNDICE MEDIANTE LASUMA

Este precio índice se encuentra dividiendo la suma de los precios de ciertos artículos

en determinado período, entre la suma de los precios de los mismos durante el

período que se desea usar como término de comparación, la siguiente fórmula

sintetiza lo expresado.

åå=

0p

pI

n (si se multiplica por 100 da en porcentaje)

=I número índice

=np precio dado en cierto período

=0p precio base a usase como término de comparación

Ejemplo:

Para los siguientes artículos alimenticios, expresar mediante un número índice la

variación que han experimentado sus precios (hipotético), usando los precios del

año 1999 como términos de comparación.



Estadística

178

El aumento de precios de 2003 respecto a 1999 ha sido de 2.08 veces mas, o sea

208.4%

Expresar mediante número índice la variación que han experimentado sus precios los

rubros del cuadro siguiente, usando los precios del año 2000 como término de

comparación.

9. PROMEDIO SIMPLE DE PRECIOS RELATIVOS

Este tipo de índice se encuentra dividiendo la suma de los precios relativos entre el

número de objetos considerados y multiplicado el cociente por cien, entendiéndose por

precio relativo al cociente de cada precio entre el precio que tuvo el objeto durante el

período tomado como base, expresado mediante una fórmula resulta lo siguiente:




Ejemplo

Sea el siguiente cuadro:

Con los datos del cuadro de la actividad 6.3 determinar, el índice del promedio simple de

precios relativos

Este índice es más cercano a la realidad que los dos índices considerados

anteriormente, en los cuales no se toma para nada en cuenta la cantidad relativa de

cada sustancia consumida, lo cual conduciría a errores graves si es el caso que para

efecto de hallar el número índice se incluyen sustancias de muy poco consumo y que

hayan subido desproporcionadamente de precio, por ejemplo, el “chorizo especial”,

este producto no es de consumo masivo, sino de raro empleo dentro de las clases

pudientes, por lo cual no influiría su carestía en una subida real del índice general de

precios, el índice de Laspeyres representa el cociente de:

10. INDICE PONDERADO DE LASPEYRES

básicoperíodoelenartículosdecantidadciertaengastadodinero

períodocualquierenartículosdecantidadciertaengastadodinero=LI



Estadística

180

Lo cual se traduciría en la siguiente formula:

åå=

00

0

QP

QPI

n

L(Si se multiplica por 100 da en porcentaje)

=LI número índice de Laspeyres

=nP precio unitario en cierto periodo

=0P precio unitario base

=0Q cantidad de cada objeto consumido durante el periodo base.

Ejemplo:

11. INDICE PONDERADO DE PAASCHE

Solamente difiere del índice de Laspeyres en que éste índice considera los gastos

individuales actuales, o sea, la relación entre “lo que se gasta hoy de acuerdo a

consumos actuales, entre lo que se hubiera gastado ayer consumiendo hoy”, de donde

la fórmula toma la siguiente forma:

åå=

)(

)(

0 n

nn

PQP

QPI (Si se multiplica por 100 da en porcentaje)




12.- INDICE IDEAL DE FISHERS

El índice ideal de Fishers, se encuentra tomando la raíz cuadrada al producto de

los índices de Laspeyres y de Paasche, o sea:

Considerando el cuadro hipotético siguiente determinar el índice de Fishers



Estadística

182

13. SOFTWARE STADISTICOS

SPSS

Las computadoras desempeñan actualmente un papel importante en casi todos

los aspectos del análisis estadístico, la amplia disponibilidad de computadoras y

paquetes de software no solo ha hecho posible el uso de la estadística por parte de

personas con muy distintos niveles de conocimientos matemáticos.

A.- STATDISK

Este software tiene dos ventajas importantes

a) Es un programa fácil de usar,

b) Es gratuito para las universidades

B.- MINITAB

Es un paquete estadístico de más alto nivel, pero también es relativamente fácil de

usar.

El minitab como el statdisk, pueden realizar las operaciones mas importantes de la

estadística

C.- SPSS

El ) es un programa

estadístico informático muy usado en las ciencias sociales y empresas de

investigación de mercado.

Originalmente SPSS era el acrónimo de "Statistical Package for the Social

Sciences". En la actualidad la sigla designa tanto el programa como la empresa

que lo produce

( tatistical ackage for the ocial ciencesS P S S











Mexico 1988.


Colombia. 1970

MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid

1972.



TRIOLA, Mario. Estadística Elemental. Editorial Addison Wesley Longman. 7ª Edición,

Mexico 2000.

VELIZ C., Carlos. Estadística:Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª

Edición. Lima 1993.



Estadística

184

NOMBRE:_______________________________________________________

APELLIDOS:________________________________ FECHA: ___/___/___

CIUDAD:___________________________________ SEMESTRE:_________

1. Los gastos de publicidad de una empresa y las ventas efectuadasvienen dadas por la siguiente tabla(los datos están expresados enmillones de nuevos soles).

a) Obtenerla recta de regresión.

b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación.

c) Calcular las ventas estimadas si se invierten 10 millones de

nuevos soles en posibilidad.

2. Demostrar que la correlación es perfecta entre el tiempo y el capital de

s/100 impuesto a una tasa de interés del 6% anual a interés compuesto.

3. La población de Jauja hipotéticamente fue de 42350 habitantes en1993 y para el año 2000 tuvo 38970 habitantes.

a) ¿Cuánto ha sido su tasa de crecimiento medio anual?

b) ¿Cuánto seria la población en el año 2006?

4.- Dado el siguiente cuadro hipotético:




Hallar los índices de Laspeyres, Paasche, y Fishers

5. Dado el siguiente cuadro hipotético

a) Hallar el precio índice mediante la suma

b) El promedio simple de precio relativo



Estadística

186

esta di stica 2009 adm

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