esfera a gajos la esfera representada · esfera a gajos la esfera representada no es una esfera...

ESFERAAGAJOSLaesferarepresentadanoesunaesferacualquiera.Estáenmarcoencarcelada,pornoparecerloqueera,estaesferadiseñada.

Continúoconmiaficiónesférica.Estavezintentédarlelaformaqueseveíaenalgunosmapamun-disantiguos:Eldeunaesferaagajos,comolosdelanaranja.Lapieldeéstaserálasuperficieesféri-ca.Porcierto,eldefectopieldenaranjaenlapinturadelascarroceríasdeloscochesqueproducía-mosenfábricaeraunodelosquemássevigilaban.LaquintillaserefierealaesferadelaFig.1queestáconstruidasegúneldiseñodelaFig.2.que,asuvez,separecemuchoaldelaFig.7.Masadelanteseveráendetalleesteúltimodiseñoqueesmásracional.ObsérveseendichaFig.2queconstade10gajosquedaránlugaraunadelasdossemies-ferasnecesarias.Elecuadorencentrohorizontalylospolosarribayabajo.Ambosdiseños(Figs.2y7)estánejecutadosconLIBRECADycopiaenpapeldeimpresora.Miin-tencióneraqueesepapeldeFig.2,debidamenterecortadoyunidoterminaracubriendounesque-letodecartóncompuestodegajosesféricoscircularessegúndiedrosde18º.Renunciéalesqueletoalverquelapielesféricatomabacuerpoporsísola.Ciertamentelotomaba,peroconseriasdificultades(verlaFig,3).Realmentehabíadosproblemas:-Alemplearcomopestañaslosespaciosinter-gajosdelaFig.2lafiguraseibarevirandoevitandolaesfericidad.-Lospolosresultabanimpresentableseindeformablesacausadelaacumulacióndepegamento.Lleguéaestastresconclusiones:

Fig.1

Fig.3

Fig.2

-Habíaqueencarcelarlaesferaparaforzarlaaladisciplinaesféricaevitando,depaso,quesevieraloimpresentable.-ComodespuésdelBigBangnoexistíalaesferatalcomolaconocemoshoy,elloteníaquedeberseaquelaesferaoriginalsurgióconformadecaracola(Fig.3)que,coneltiempo,ysegúnDarwin,evo-lucionóhastalaesferaactual.-Eraprecisomodificareldiseñoylaconstrucciónparaproducirlaesferaencartón.Sobrelacárcel-marcodelaFig.1diréalgoporquelacosatienesuaquel:losángulosdelmarcoes-tánresueltosconochorombosdea60por120grados(comodedostriángulosequiláteroscadauno).DISEÑOABASEDEPLAQUITASDECARTÓN.LaFig.4representaelpolígonode20ladosdelongituda,queestaríainscritoenlacircunferenciamáximadeunaesferadeR=50ycentroO.Enellaserá:α=18osen(α/2)=a/2Ra=2Rsen(α/2)=100sen9=15,6434senα=h1/Rh1=Rsenα=50sen18=15,4508Losotrosvaloresdeh:h2=Rsen2α-h1=50sen36-15,4508=13,9385h3=Rsen3α-h1–h2=50sen54-15,4508-13,9385==11,0615h4=Rsen4α-h1–h2–h3=50sen72-15,4508-13,9385-11,0615=7,1020Lassemicuerdaslmidenlomismoquelosladosigualesdesusrespectivostriángulosisóscelesconángulopuntiagudoα=18o,quees,asimismoelángulodiedrodelgajo(verFigs.5y6).l1=√(R2–h12)=√(502–15,45082)=47,5528l2=√(R2–(h1+h2)2)=√(502–(15,4508+13,9385)2)=40,4508l3=√(R2–(h1+h2+h3)2)=√(502–(15,4508+13,9385+11,0615)2)=29,3893l4=√(R2–(h1+h2+h3+h4)2)=√(502–(15,4508+13,9385+11,0615+7,1020)2)=15,4509EnlaFig.5(proyecciónisométricaquenoestáaescala)serepresentauntrozodegajoesférico(cuñaesférica)sincurvaturaecuatorial.EnelplanomediohorizontalseveuntriánguloisóscelescuyovérticepicudocoincideconelcentrodelaesferaycuyosladosigualessonelradioR=50delaesfera;elladomenoresa,elladodelpolígonode20ladosinscritoenlacircunferenciamáximadelaesfera.Elángulomenordedichotriánguloisóscelesmide,portanto,18o.

Fig.4

LaFig.6esunaextraccióndela5querepresentaelprimerprismoidequevaaprestarsucaralateralmenorparaformarlapieldelaesfera(unaplaquitadecartón);estáapoyadoenelplanoecuatorial.Queesunprismoidesevealnotarquesubaseinferioresma-yorquelasuperior.Asípues,dichacaramenoresuntrapeciocuyabasemenora1hemosdecalcular:labasemayorylaslateralesmidena(recordarqueeldibujonoestáaescala).a1=2l1sen9=2×47,5528×0,1564=14,8745a2=2l2sen9=2×40,4508×0,1564=12,6530a3=2l3sen9=2×29,3893×0,1564=9,1930a4=2l4sen9=2×15,4509×0,1564=4,8330

LaFig.7eseldesarrollodelamitaddeunasemiesfera;porconsiguiente,hacenfaltacuatrocomoélparacompletarlaesfera.Constade10semigajos,cadaunodeloscualessecompone,asuvez,decuatrotrapeciosyuntriánguloisóscelesarriba.Sinosfijamosenelsemigajodelaizquierda,vemosqueeltrapecioinferioreselmismodeladosa,a,a,a1delaFig.6.Elquelesiguehaciaarribatienea1comobaseinferiorsiendoa2lasuperior;susladoslateralessonigualesaa,yasísucesivamente.Eltriánguloisóscelesdearribatienea4debaseyacomolongituddesusladosiguales.Los10vérticessuperioresconcurrenenunpolo;los10ladosainferioresformanuncuartodeecuador.Obsérvesequenohaymáspestañasquelastriangularesasociadasalecuador.Éstassepegaránaunacoronacircularcuyaperiferiaeselpolígonode20ladosdelaFig.4.Elrestodeunio-nesdelasplaquitasdecartónsepegaránalcanto.Yasólofaltaexplicarcómoseconsiguendichasplaquitas.Comomiimpresoranopuedeimprimirsobrecartónherecurridoalosiguiente:ObtenerunacopiaenpapeldelaFig.7;superponerlaaun

Fig.5

Fig.6Fig.7

cartóndetamañoadecuado;pincharconlapuntadelatijeracadanododelafiguraparadejarmar-casobreelcartón;conreglaylápizdepuntafina,unirtodaslashuellasparaconseguirsobreelcar-tónunafiguraigualaladeFig.7;repasarconreglaypuntadetijeratodoslossegmentosaafindequelaslíneasdeplegadoresultenactivasparaconstituirlasplaquitasdecartónquehandequedarplanasunavezformadalaesfera.ElresultadoqueseobtieneesunaesferapoliédricacomoladelaFig.8alaquepuedeaplicarseelteoremadeEuler:caras+vértices=aristas+2:

200+182=380+2

Fig.8