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Enseñar Matemáticas

en el siglo XXI

Granada, 9 de julio de 2009

Agustín Carrillo de Albornoz TorresIES Sierra Morena de Andújar (Jaén)

¿Cómo utilizar la calculadora para aprovechar sus posibilidades que se convierta en un poderoso recurso didáctico y evitar su uso irreflexivo?

• La calculadora aumenta la

motivación del alumno y su interés

por las matemáticas.

• Permiten atender a alumnos con

diferentes niveles de aprendizaje.

• No reduce la capacidad de

comprensión matemática.

• Dedicar mayor tiempo a los

conceptos.

• Investigar y deducir resultados.

• Forman parte del entorno del

alumno.

• …

• Si los cálculos se realizan con

máquinas, no sabrán hacerlos sin ellas.

• Calcular con máquina es calcular sin

pensar.

• No está demostrado que con

calculadora los alumnos aprendan más.

• No hay suficientes calculadoras en la

escuela.

• Heterogeneidad de calculadoras.

• Si aprenden a operar con calculadora

no es necesario enseñarles a operar sin

ellas.

• …

¿Qué podemos hacer con una calculadora en el aula?

¿A qué edad la utilizamos?

¿Qué modelo o qué tipo?

¿Qué ventajas e inconvenientes tiene?

BásicasCientíficas

Gráficas sin CAS Gráficas con CAS

Las calculadoras en Diseño Curricular

Educación Secundaria Obligatoria Matemáticas

En la construcción del conocimiento, los medios tecnológicos son

herramientas esenciales para enseñar, aprender y en definitiva,

para hacer matemáticas.

Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones,

la reflexión, el razonamiento y la resolución de problemas.

En este sentido, la calculadora y las herramientas informáticas son

hoy dispositivos comúnmente usados en la vida cotidiana, por tanto

el trabajo de esta materia en el aula debería reflejar tal realidad.

Las calculadoras en Diseño Curricular

Educación Secundaria Obligatoria Sugerencias metodológicas

Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar

fenómenos y relaciones en problemas de la vida real, empleando

ordenadores o calculadoras gráficas para obtener la representación

gráfica, interpretar con claridad las situaciones y realizar cálculos

complicados.

Las calculadoras en Diseño Curricular

ORDEN ESD/1729/2008, de 11 de junio, por la que se regula la ordenación y se establece el currículo del Bachillerato.

Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de

calculadoras y aplicaciones informáticas como sistemas de

álgebra computacional o de geometría dinámica, pueden

servir de ayuda tanto para la mejor comprensión de

conceptos y la resolución de problemas complejos como para

el procesamiento de cálculos pesados.

Las calculadoras en Diseño Curricular

Educación Secundaria Obligatoria Matemáticas

En la construcción del conocimiento, los medios tecnológicos son

herramientas esenciales para enseñar, aprender y en definitiva,

para hacer matemáticas.

Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones,

la reflexión, el razonamiento y la resolución de problemas.

En este sentido, la calculadora y las herramientas informáticas son

hoy dispositivos comúnmente usados en la vida cotidiana, por tanto

el trabajo de esta materia en el aula debería reflejar tal realidad.

Las calculadoras en Diseño Curricular

Educación Secundaria Obligatoria Sugerencias metodológicas

Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar

fenómenos y relaciones en problemas de la vida real, empleando

ordenadores o calculadoras gráficas para obtener la representación

gráfica, interpretar con claridad las situaciones y realizar cálculos

complicados.

Las calculadoras en Diseño Curricular

ORDEN ESD/1729/2008, de 11 de junio, por la que se regula la ordenación y se establece el currículo del Bachillerato.

Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de

calculadoras y aplicaciones informáticas como sistemas de

álgebra computacional o de geometría dinámica, pueden

servir de ayuda tanto para la mejor comprensión de

conceptos y la resolución de problemas complejos como para

el procesamiento de cálculos pesados.

Calculadoras básicas

Actividad

Proponer que por tanteo sobre la calculadora o mentalmente, paradespués comprobar, rellenen los huecos en los ejercicios siguientes:

Rellena con los signos + o -

7 3 = 104 4 = 0

9 5 7 = 14

Rellena con números los signos

4 + - 7 = 2+ 3 - 5 = 8- + 5 = 3

Actividades similares pueden realizarse con los signos x y :

La calculadora como corrector

La calculadora se utilizará para comprobar los resultados

obtenidos en una serie de cálculos.

Proponemos que trabajen los algoritmos de de las cuatro reglas

por escrito, a continuación, con ayuda de la calculadora

comprobarán los resultados.

Para ejercicios complicados indicaremos que comprueben

resultados parciales hasta encontrar el error, si es que se ha

producido.

Operador constante

Como apoyo a aprendizaje de las cuatro operaciones básicas, podemos contar utilizando la siguiente secuencia de teclas:

2 + = = = = = ...3 + = = = = = ...

De manera análoga para valores mayores que 10:

12 + = = = = = ...

También se puede utilizar el factor constante x

2 x = = = = = ...3 x = = = = = ...

Investigar resultados

Buscar las cifras que faltan en cada uno de los círculos:

5 6 8 4+ 4 - 7 ----------- -----------

7 9 1 5 9 8

6 x 3

-----------9 2

1 2 ------------1 4 7

Curiosidades numéricas

Efectúa las operaciones siguientes (intenta deducir el resultado en las últimas líneas sin realizar la operación)

9 - 1 =98 - 21 =

987 -321 =9876 - 4321 =

98765 - 54321 =987654 -654321 =

9876543 - 7654321 = 98765432 - 87654321 =

987654321 - 987654321 =

Un número especial

Realiza los siguientes cálculos:

12345679

Multiplícalo por cualquier cifra.

A continuación

Multiplica el resultado por 9

Actividad

a. 15.252 es el producto de dos números naturales

consecutivos. Halla dichos números.

b. 357627 es el producto de tres números impares

consecutivos. Halla dichos números.

c. 206.725 es la suma de dos cuadrados perfectos

consecutivos ¿Cuáles son?

Calculadoras científicas

Conversión de fracción a número mixto

qn N

Convierte un fracción en un número mixto

Conversión de fracción a número decimal

n Conversión entre fracción y número decimal

Fracciones y decimales

Intenta encontrar fracciones a/b, siendo a y b

números naturales, que cumplan:

31

41

<<ba

Calcula 1/6 y expresa el resultado en forma decimal.

¿Qué tipo de número decimal es?

76

75

<<ba

Fracciones y decimales

Convierte números decimales exactos y periódicos

en fracción.

¿Es posible siempre?

Fracciones

Determina fracciones tales que:

yx 68

94

108==

yx512

=

82 xx=

yx

x=

5

Fracciones

Al calcular el valor de 45:4 obtenemos4311

¿Qué significado tiene cada uno de los tres números obtenidos?

Averigua qué resultados obtendrás al escribir en la calculadora

las siguientes fracciones:

425

649

732

Determina a que fracción corresponden los números mixtos

siguientes:

528

853

492

Radicales

Racionalizar5

323

4− 262

3+

Suma de radicales

507723184 +−

754273127 +

Actividad

Calcula el valor de

Tu calculadora lo expresa con un número de cifras decimales

que queremos ampliar.

¿Qué proceso tenemos que realizar para determinar las

siguientes cifras decimales que la calculadora no nos ha

dado?

2

Estadística

w

2 Estadística.

Calificaciones Nº Alumnos0 11 52 153 204 305 356 227 148 169 1410 8

Actividad

Las calificaciones de 180

alumnos se recogen en la

siguiente tabla.

Calcula la media y la

desviación típica

Para obtener los valores pedidos:

Estadística bidimensional

w

2

2

Un grupo de alumnos realizan un test y un examen de Historia. Las puntuaciones del test y los resultados del examen son:

a) Calcula las medias y desviaciones típicas de las dos variables

b) Calcula e interpreta el coeficiente de correlación linealc) Obtén las rectas de regresión de la calificación en

función de la puntuación en el test para estimar la calificación de un alumno que tenga una puntuación de 125 en el test.

Puntuación 150 140 130 120 110 90Calificación 10 9 8 7 6 5

Actividad

Edición de la tabla y cálculo de parámetros

Calculadoras gráficas

Actividad

La altura de un proyectil en función del tiempo está

representada por la función

30020)( 2 ++−= ttth

(altura en metros, t en segundos).

Determina:

a. La altura desde la que se ha lanzado el proyectil.

b. La altura máxima que alcanza.

c. El tiempo que el proyectil está por encima de 175 m.

Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=

Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=

Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=

652)( 23 −−+= xxxxP

Descomposición en factores de un polinomio

652)( 23 −−+= xxxxP

Descomposición en factores de un polinomio

65)( 24 +−= xxxP

Descomposición en factores de un polinomio II

Calculadoras CAS

652)( 23 −−+= xxxxP

Descomposición en factores de un polinomio

65)( 24 +−= xxxP

Descomposición en factores de un polinomio II

3232 2

2

2=

+−−−

→ xxxxlim

x

Cálculo de límites

Otras actividades

¿En qué punto de la gráfica de f(x)= x2 - 6x - 6

su tangente es paralela al eje de abscisas?

Facilidad para relacionar tangente

paralela con extremo de la función

Otras actividades

¿Qué relación existe entre los extremos y

puntos de inflexión de una función y sus

derivadas primera y segunda?

Intenta averiguarlo representando la

función f(x) y sus dos primeras

derivadas.

xx 323xf(x) 2

3

+−=

Otras actividades

Otras actividades

Otras actividades

Otras actividades

Interpretar conceptos

Otras actividades

[ ]x-xf(x) =Interpretar conceptos

Otras actividades

Interpretar conceptos

Otras actividades

x−=

2xf(x)

2

Interpretar conceptos

Otras actividades

xe=f(x)Polinomios de Taylor

Otras actividades

xe=f(x)Polinomios de Taylor

Representaciones gráficas

Gráficos 3D

Geometría dinámica

Cálculo con expresiones

Cálculo con expresiones

Cálculo con expresiones

Cálculo con expresiones

Cálculo

Cálculo

Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=

Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=

Resolución de ecuaciones

Resolución de ecuaciones

Resolución de inecuaciones

Resolución de inecuaciones

Resolución de sistemas de ecuaciones

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+−=+=++

33132

232

zyxyx

zyx

Resolución de sistemas de ecuaciones

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++−=−+

=++

232

02

mzmyxmzymx

zyx

Resolución de ecuaciones diferenciales

Aplicación grafico de ecuación diferencial

Aplicación grafico de ecuación diferencial

Resolución de ecuaciones recurrentes

Aplicación Cónicas

Aplicación Cónicas

Aplicación Resolución numérica

Calcular la velocidad inicial de un objeto arrojado en el aire y que toma un tiempo de 2 segundos para alcanzar una altura de 14 metros, cuando la aceleración de la gravedad es de 9’8 m/s2 .

Utilizamos para ello:

2

21 gtvth −=

Aplicación Resolución numérica

Calcular la velocidad inicial de un objeto arrojado en el aire y que toma un tiempo de 2 segundos para alcanzar una altura de 14 metros, cuando la aceleración de la gravedad es de 9’8 m/s2 .

Utilizamos para ello:

2

21 gtvth −=

Aplicación Resolución numérica

Calcular la velocidad inicial de un objeto arrojado en el aire y que toma un tiempo de 2 segundos para alcanzar una altura de 14 metros, cuando la aceleración de la gravedad es de 9’8 m/s2 .

Utilizamos para ello:

2

21 gtvth −=

Transformadas de Laplace y de Fourier

Transformadas de Laplace

Vectores y matrices

Vectores y matrices

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

530234211253

AHallar el rango de la matriz

Vectores y matrices

Determina los valores de x para los que la matriz tiene inversa

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

68423

0

xx

xxA

Determinar los valores propios y vectores propios de una matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

5211243403

( )( )

210

215211243403

===

−−−=−−

−−−

λλλ

λλλλ

λλ

Polinomio característico. Valores propios

Otras aplicaciones disponibles en la calculadora

Innovación frente a tradición

Para el alumnado

El alumnado está especialmente motivado para el uso de

cualquier recurso de carácter tecnológico.

Permite afrontar propuestas de investigación.

Al alumnado le ofrece:

Confianza ante los cálculos que debe realizar.

Seguridad en los procesos y tareas que realiza.

Otra forma de aprender acorde con los tiempos actuales.

Innovación frente a tradición

La calculadora ofrece nuevos métodos de trabajo en el aula

frente a los métodos tradicionales.

Requiere cambios en la actitud del profesorado.

Y por supuesto, formación adecuada que atienda dos

aspectos:

Técnicos.

Didácticos.

Para el profesorado

Direcciones de interés

• http://www.aulacasio.com

• http://edu.casio.com/

• http://www.casio-europe.com/es/sc/graphic/

• http://classpad.net Descarga gratuita del emulador.

• http://www.cpsdk.com Forum sobre programación

• http://www.classpad.org

• http://www.classpad.tk Página personal de Abel Martín.

• http://www.aulamatematica.com/

www.aulacasio.com

Calculadora digital

Agustín Carrillo de Albornoz Torres

IES Sierra Morena de Andújar (Jaén)

agustincarrillo@acta.es