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Enseñar Matemáticas
en el siglo XXI
Granada, 9 de julio de 2009
Agustín Carrillo de Albornoz TorresIES Sierra Morena de Andújar (Jaén)
¿Cómo utilizar la calculadora para aprovechar sus posibilidades que se convierta en un poderoso recurso didáctico y evitar su uso irreflexivo?
• La calculadora aumenta la
motivación del alumno y su interés
por las matemáticas.
• Permiten atender a alumnos con
diferentes niveles de aprendizaje.
• No reduce la capacidad de
comprensión matemática.
• Dedicar mayor tiempo a los
conceptos.
• Investigar y deducir resultados.
• Forman parte del entorno del
alumno.
• …
• Si los cálculos se realizan con
máquinas, no sabrán hacerlos sin ellas.
• Calcular con máquina es calcular sin
pensar.
• No está demostrado que con
calculadora los alumnos aprendan más.
• No hay suficientes calculadoras en la
escuela.
• Heterogeneidad de calculadoras.
• Si aprenden a operar con calculadora
no es necesario enseñarles a operar sin
ellas.
• …
¿Qué podemos hacer con una calculadora en el aula?
¿A qué edad la utilizamos?
¿Qué modelo o qué tipo?
¿Qué ventajas e inconvenientes tiene?
BásicasCientíficas
Gráficas sin CAS Gráficas con CAS
Las calculadoras en Diseño Curricular
Educación Secundaria Obligatoria Matemáticas
En la construcción del conocimiento, los medios tecnológicos son
herramientas esenciales para enseñar, aprender y en definitiva,
para hacer matemáticas.
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones,
la reflexión, el razonamiento y la resolución de problemas.
En este sentido, la calculadora y las herramientas informáticas son
hoy dispositivos comúnmente usados en la vida cotidiana, por tanto
el trabajo de esta materia en el aula debería reflejar tal realidad.
Las calculadoras en Diseño Curricular
Educación Secundaria Obligatoria Sugerencias metodológicas
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar
fenómenos y relaciones en problemas de la vida real, empleando
ordenadores o calculadoras gráficas para obtener la representación
gráfica, interpretar con claridad las situaciones y realizar cálculos
complicados.
Las calculadoras en Diseño Curricular
ORDEN ESD/1729/2008, de 11 de junio, por la que se regula la ordenación y se establece el currículo del Bachillerato.
Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de
calculadoras y aplicaciones informáticas como sistemas de
álgebra computacional o de geometría dinámica, pueden
servir de ayuda tanto para la mejor comprensión de
conceptos y la resolución de problemas complejos como para
el procesamiento de cálculos pesados.
Las calculadoras en Diseño Curricular
Educación Secundaria Obligatoria Matemáticas
En la construcción del conocimiento, los medios tecnológicos son
herramientas esenciales para enseñar, aprender y en definitiva,
para hacer matemáticas.
Estos instrumentos permiten concentrase en la toma de decisiones,
la reflexión, el razonamiento y la resolución de problemas.
En este sentido, la calculadora y las herramientas informáticas son
hoy dispositivos comúnmente usados en la vida cotidiana, por tanto
el trabajo de esta materia en el aula debería reflejar tal realidad.
Las calculadoras en Diseño Curricular
Educación Secundaria Obligatoria Sugerencias metodológicas
Deben adquirir destrezas en el uso de patrones para analizar
fenómenos y relaciones en problemas de la vida real, empleando
ordenadores o calculadoras gráficas para obtener la representación
gráfica, interpretar con claridad las situaciones y realizar cálculos
complicados.
Las calculadoras en Diseño Curricular
ORDEN ESD/1729/2008, de 11 de junio, por la que se regula la ordenación y se establece el currículo del Bachillerato.
Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de
calculadoras y aplicaciones informáticas como sistemas de
álgebra computacional o de geometría dinámica, pueden
servir de ayuda tanto para la mejor comprensión de
conceptos y la resolución de problemas complejos como para
el procesamiento de cálculos pesados.
Calculadoras básicas
Actividad
Proponer que por tanteo sobre la calculadora o mentalmente, paradespués comprobar, rellenen los huecos en los ejercicios siguientes:
Rellena con los signos + o -
7 3 = 104 4 = 0
9 5 7 = 14
Rellena con números los signos
4 + - 7 = 2+ 3 - 5 = 8- + 5 = 3
Actividades similares pueden realizarse con los signos x y :
La calculadora como corrector
La calculadora se utilizará para comprobar los resultados
obtenidos en una serie de cálculos.
Proponemos que trabajen los algoritmos de de las cuatro reglas
por escrito, a continuación, con ayuda de la calculadora
comprobarán los resultados.
Para ejercicios complicados indicaremos que comprueben
resultados parciales hasta encontrar el error, si es que se ha
producido.
Operador constante
Como apoyo a aprendizaje de las cuatro operaciones básicas, podemos contar utilizando la siguiente secuencia de teclas:
2 + = = = = = ...3 + = = = = = ...
De manera análoga para valores mayores que 10:
12 + = = = = = ...
También se puede utilizar el factor constante x
2 x = = = = = ...3 x = = = = = ...
Investigar resultados
Buscar las cifras que faltan en cada uno de los círculos:
5 6 8 4+ 4 - 7 ----------- -----------
7 9 1 5 9 8
6 x 3
-----------9 2
1 2 ------------1 4 7
Curiosidades numéricas
Efectúa las operaciones siguientes (intenta deducir el resultado en las últimas líneas sin realizar la operación)
9 - 1 =98 - 21 =
987 -321 =9876 - 4321 =
98765 - 54321 =987654 -654321 =
9876543 - 7654321 = 98765432 - 87654321 =
987654321 - 987654321 =
Un número especial
Realiza los siguientes cálculos:
12345679
Multiplícalo por cualquier cifra.
A continuación
Multiplica el resultado por 9
Actividad
a. 15.252 es el producto de dos números naturales
consecutivos. Halla dichos números.
b. 357627 es el producto de tres números impares
consecutivos. Halla dichos números.
c. 206.725 es la suma de dos cuadrados perfectos
consecutivos ¿Cuáles son?
Calculadoras científicas
Conversión de fracción a número mixto
qn N
Convierte un fracción en un número mixto
Conversión de fracción a número decimal
n Conversión entre fracción y número decimal
Fracciones y decimales
Intenta encontrar fracciones a/b, siendo a y b
números naturales, que cumplan:
31
41
<<ba
Calcula 1/6 y expresa el resultado en forma decimal.
¿Qué tipo de número decimal es?
76
75
<<ba
Fracciones y decimales
Convierte números decimales exactos y periódicos
en fracción.
¿Es posible siempre?
Fracciones
Determina fracciones tales que:
yx 68
94
108==
yx512
=
82 xx=
yx
x=
5
Fracciones
Al calcular el valor de 45:4 obtenemos4311
¿Qué significado tiene cada uno de los tres números obtenidos?
Averigua qué resultados obtendrás al escribir en la calculadora
las siguientes fracciones:
425
649
732
Determina a que fracción corresponden los números mixtos
siguientes:
528
853
492
Radicales
Racionalizar5
323
4− 262
3+
Suma de radicales
507723184 +−
754273127 +
Actividad
Calcula el valor de
Tu calculadora lo expresa con un número de cifras decimales
que queremos ampliar.
¿Qué proceso tenemos que realizar para determinar las
siguientes cifras decimales que la calculadora no nos ha
dado?
2
Estadística
w
2 Estadística.
Calificaciones Nº Alumnos0 11 52 153 204 305 356 227 148 169 1410 8
Actividad
Las calificaciones de 180
alumnos se recogen en la
siguiente tabla.
Calcula la media y la
desviación típica
Para obtener los valores pedidos:
Estadística bidimensional
w
2
2
Un grupo de alumnos realizan un test y un examen de Historia. Las puntuaciones del test y los resultados del examen son:
a) Calcula las medias y desviaciones típicas de las dos variables
b) Calcula e interpreta el coeficiente de correlación linealc) Obtén las rectas de regresión de la calificación en
función de la puntuación en el test para estimar la calificación de un alumno que tenga una puntuación de 125 en el test.
Puntuación 150 140 130 120 110 90Calificación 10 9 8 7 6 5
Actividad
Edición de la tabla y cálculo de parámetros
Calculadoras gráficas
Actividad
La altura de un proyectil en función del tiempo está
representada por la función
30020)( 2 ++−= ttth
(altura en metros, t en segundos).
Determina:
a. La altura desde la que se ha lanzado el proyectil.
b. La altura máxima que alcanza.
c. El tiempo que el proyectil está por encima de 175 m.
Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=
Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=
Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=
652)( 23 −−+= xxxxP
Descomposición en factores de un polinomio
652)( 23 −−+= xxxxP
Descomposición en factores de un polinomio
65)( 24 +−= xxxP
Descomposición en factores de un polinomio II
Calculadoras CAS
652)( 23 −−+= xxxxP
Descomposición en factores de un polinomio
65)( 24 +−= xxxP
Descomposición en factores de un polinomio II
3232 2
2
2=
+−−−
→ xxxxlim
x
Cálculo de límites
Otras actividades
¿En qué punto de la gráfica de f(x)= x2 - 6x - 6
su tangente es paralela al eje de abscisas?
Facilidad para relacionar tangente
paralela con extremo de la función
Otras actividades
¿Qué relación existe entre los extremos y
puntos de inflexión de una función y sus
derivadas primera y segunda?
Intenta averiguarlo representando la
función f(x) y sus dos primeras
derivadas.
xx 323xf(x) 2
3
+−=
Otras actividades
Otras actividades
Otras actividades
Otras actividades
Interpretar conceptos
Otras actividades
[ ]x-xf(x) =Interpretar conceptos
Otras actividades
Interpretar conceptos
Otras actividades
x−=
2xf(x)
2
Interpretar conceptos
Otras actividades
xe=f(x)Polinomios de Taylor
Otras actividades
xe=f(x)Polinomios de Taylor
Representaciones gráficas
Gráficos 3D
Geometría dinámica
Cálculo con expresiones
Cálculo con expresiones
Cálculo con expresiones
Cálculo con expresiones
Cálculo
Cálculo
Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=
Hallar el área encerrada entre las curvas:26)( xxxf −= xxxg 2)( 2 −=
Resolución de ecuaciones
Resolución de ecuaciones
Resolución de inecuaciones
Resolución de inecuaciones
Resolución de sistemas de ecuaciones
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−+−=+=++
33132
232
zyxyx
zyx
Resolución de sistemas de ecuaciones
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++−=−+
=++
232
02
mzmyxmzymx
zyx
Resolución de ecuaciones diferenciales
Aplicación grafico de ecuación diferencial
Aplicación grafico de ecuación diferencial
Resolución de ecuaciones recurrentes
Aplicación Cónicas
Aplicación Cónicas
Aplicación Resolución numérica
Calcular la velocidad inicial de un objeto arrojado en el aire y que toma un tiempo de 2 segundos para alcanzar una altura de 14 metros, cuando la aceleración de la gravedad es de 9’8 m/s2 .
Utilizamos para ello:
2
21 gtvth −=
Aplicación Resolución numérica
Calcular la velocidad inicial de un objeto arrojado en el aire y que toma un tiempo de 2 segundos para alcanzar una altura de 14 metros, cuando la aceleración de la gravedad es de 9’8 m/s2 .
Utilizamos para ello:
2
21 gtvth −=
Aplicación Resolución numérica
Calcular la velocidad inicial de un objeto arrojado en el aire y que toma un tiempo de 2 segundos para alcanzar una altura de 14 metros, cuando la aceleración de la gravedad es de 9’8 m/s2 .
Utilizamos para ello:
2
21 gtvth −=
Transformadas de Laplace y de Fourier
Transformadas de Laplace
Vectores y matrices
Vectores y matrices
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
530234211253
AHallar el rango de la matriz
Vectores y matrices
Determina los valores de x para los que la matriz tiene inversa
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=
68423
0
xx
xxA
Determinar los valores propios y vectores propios de una matriz
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
5211243403
( )( )
210
215211243403
===
−−−=−−
−−−
λλλ
λλλλ
λλ
Polinomio característico. Valores propios
Otras aplicaciones disponibles en la calculadora
Innovación frente a tradición
Para el alumnado
El alumnado está especialmente motivado para el uso de
cualquier recurso de carácter tecnológico.
Permite afrontar propuestas de investigación.
Al alumnado le ofrece:
Confianza ante los cálculos que debe realizar.
Seguridad en los procesos y tareas que realiza.
Otra forma de aprender acorde con los tiempos actuales.
Innovación frente a tradición
La calculadora ofrece nuevos métodos de trabajo en el aula
frente a los métodos tradicionales.
Requiere cambios en la actitud del profesorado.
Y por supuesto, formación adecuada que atienda dos
aspectos:
Técnicos.
Didácticos.
Para el profesorado
Direcciones de interés
• http://www.aulacasio.com
• http://edu.casio.com/
• http://www.casio-europe.com/es/sc/graphic/
• http://classpad.net Descarga gratuita del emulador.
• http://www.cpsdk.com Forum sobre programación
• http://www.classpad.org
• http://www.classpad.tk Página personal de Abel Martín.
• http://www.aulamatematica.com/
www.aulacasio.com
Calculadora digital
