elementu finituen metodoaren oinarriak 2014_2015

ELEMENTU FINITUEN METODOAREN OINARRIAK

GAI ZERRENDA: 1. Sarrera 2. Metodoaren oinarriak 3. Barra elementua 4. Habe elementua 5. Ariketak

1. INTRODUCCIÓN

Diseño preliminar

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA Desarrollo de sistemas mecánicos y procesos de fabricación

Cálculo de componente: - Dimensionamiento

- Verificación del diseño - Selección del material

Cálculo de proceso: - Selección de parámetros de

proceso - Diseño de útiles

Industrialización

1. INTRODUCCIÓN:

Métodos de cálculo

- Métodos analíticos:

- Empleo de ecuaciones analíticas que representan la pieza, producto o proceso a analizar.

- Ventajas: relativamente rápidos de resolver.

- Inconvenientes: difícil de representar fielmente piezas, productos o fenómenos complejos (no siempre aplicables).

- Métodos numéricos (Método de los elementos finitos MEF)

- Dividir un problema complejo en muchos problemas sencillos (elementos).

- Obtención de resultados mediante métodos numéricos.

- Ventajas: capacidad de resolver problemas muy complejos

- Inconvenientes: • proceso de resolución largo y costoso. • necesidad del empleo de ordenadores.

1. INTRODUCCIÓN:

Métodos de cálculo

Mecánica de sólidos: cálculos estructurales estáticos

Puesta a punto Diseño FEM

1. INTRODUCCIÓN:

Aplicaciones

Mecánica de sólidos: procesos de conformado y mecanizado

vc = 300 m/min vc = 600 m/min

1. INTRODUCCIÓN:

Aplicaciones

Simulación flujo del aire en un F1

Mecánica de fluidos: ejemplos lineales y no lineales

Simulación de un huracán

1. INTRODUCCIÓN:

Aplicaciones

Termodinámica:

Simulación de la transferencia de calor en una turbina

Simulación del patrón de temperaturas de un tubo y el molde

1. INTRODUCCIÓN:

Aplicaciones

•Elemento finito (EF): porción del volumen bajo análisis, de geometría sencilla, en la cual es sencillo resolver las ecuaciones de comportamiento.

•Nodos: puntos de referencia en los que se van a calcular los desplazamientos (grados de libertad). Por lo general se encuentran en los límites del elemento (vértices, aristas, centroide,…).

• Funciones de interpolación: permiten determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolación de los desplazamientos nodales.

Elemento finito

Nodos

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Definiciones

u v w θx θy θz

6 Grado de Libertad (GDL) por nodo en 3D.

X Y

Z

u v

w

θx

θy

θz

u: Desplazamiento en X v: Desplazamiento en Y w: Desplazamiento en Z θx: Rotación respecto de X θy: Rotación respecto de Y θz: Rotación respecto de Z

=

Problema real División del problema en sub-problemas de solución conocida.

DISCRETIZAR

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Grados de libertad

• Por geometría:

- Unidimensionales

- Bidimensionales

- Tridimensionales

• Según el orden de interpolación:

- Lineales

- Parabólicos

- …

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Clasificación de los elementos finitos

Lineales Parabólicos

Unidimensionales: una dimensión prima frente al resto

Bidimensionales: una dimensión es despreciable frente al resto

Tridimensionales:

geometrías complejas

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Clasificación de los elementos finitos

Atendiendo a la GEOMETRÍA:

• Menos nodos, más imprecisos.

• Se adaptan mejor a geometrías complejas

• Más nodos, más precisos.

• Mayor tiempo de cálculo.

• Dificultad de adaptar a geometrías complejas

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Clasificación de los elementos finitos

v1 v2 v1 v3 v2

Interpolación lineal Interpolación parabólica

v(x) = m x + b v(x) = a x2 + b x + c

x x

Según el orden de interpolación:

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Clasificación de los elementos finitos

Elementos lineales vs. parabólicos:

• Ventaja: los elementos parabólicos dan un resultado más exacto porque aproximan mejor la solución.

• Inconveniente: mayor número de nodos, cálculo más costoso.

Si se utilizan elementos lineales se debe discretizar con muchos elementos las zonas donde haya cambios de tensión.

[M]{δ} + [C]{δ}+[K]{δ} ={Fext} . ..

[M]: Matriz de masa

[C]: Matriz de amortiguamiento [K]: Matriz de rigidez

{δ}: Vector desplazamiento

{δ}: Vector velocidad .

{δ}: Vector aceleración ..

{Fext}: Vector de fuerzas externas

En el campo estático: Aceleración = 0 Velocidad = 0

[K]{δ} ={Fext} [M]{δ} + [C]{δ}+[K]{δ} ={Fext} . ..

Ecuación general del movimiento:

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Ecuación diferencial del movimiento

Se utilizan para determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolación de los desplazamientos nodales.

1

*1 2e e, ,...,

n

n

N N N N

Ni representa la contribución del desplazamiento del gdl i en el desplazamiento de cualquier punto del elemento.

= vector de desplazamientos de cualquier punto del elemento e.

= desplazamientos nodales del elemento e.

= matriz de funciones de interpolación

e

*

e

N

= funciones de interpolación del gdl i.

= desplazamiento del gdl i. i

iN

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Funciones de interpolación [N]

n = número de gdl

El coeficiente de rigidez Kij representa la fuerza a aplicar en el gdl i para obtener un desplazamiento unitario en el gdl j manteniendo nulos el desplazamiento en el resto de gdl.

11 1 12 2 1 1

1 1 2 2

...

...

n n

n n nn n n

K K K f

K K K f

* *

ee ef K

[K]e = matriz de rigidez del elemento

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Matriz de rigidez [K]

19

Once, the nodal displacement vector of the studied system is solved the stress/strain condition at any point can be obtained.

.

. ] N,....,N,N [=}{

n

1

n21e

δ

δ

δ

0 0

0 0

0 0

0

0

0

x

x

yy

z z

xy

y xyz

zx z y

z x

u

v

w

Determination of the elongation at the selected point Strain vector determination

* *N B

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Cálculo de deformaciones

20

The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalised Hooke’s law:

1

1

1

x x y z

y y z x

z z x y

E

E

E

2 1

2 1

2 1

xyxy xy

yzyz yz

zxzx zx

G E

G E

G E

Generalized Hooke’s law:

LAMÉ 's_law :

2 1E

G

For isotropic materials

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Cálculo de tensiones

21

The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalized Hooke’s law:

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 20 0 0 0 0

21 2 11 2

0 0 0 0 02

1 20 0 0 0 0

2

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx

E

zx

D

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Cálculo de tensiones

22

Relation between nodal forces an nodal displacements:

Based on CAPLEYRON theory, the external work of the nodal forces is represented:

The internal deformation energy caused by the nodal displacements:

{ } [ ]{ }** δKf =

* *12

Tw f

1

d2

Tu v

* *

*

N B

D D B

As: T T* *1

d2

v

u B D B v

Being w u

* *12

Tw K

T T* * * *1 1

2 2

T

v

K B D B dv

T dv

K B D B v

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Cálculo de la matriz de rigidez

23

Transformation matrix

[ ]

=

zyx

zyx

zyx

cccbbbaaa

T

From local coordinate system of the element

To global coordinate system

* *T * *f K * *f K

T T T* * * *f T f T K T K T * *f T f

T* *f T f TK T K T

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Determinación de la matriz de rigidez en coordenadas globales

24

In a real problem different type of external loads can be found:

- Punctual forces

- Moments

- Distributed loads

f*

f

=

For FEM modelling all external load should be applied in the element nodes

- Punctual forces

- Moments

- Distributed loads

NECESITY TO OBTAIN AN EQUIVALENT SYSTEM BASED IN NODAL LOADS

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Determinación de las fuerzas nodales equivalentes

25

T1

1d

2s

w f s

The external work due to all the external load applied to the system is given by

By using the interpolation functions:

Thus the work of the equivalent system can be written as:

T TT T* *

1

1 1d d

2 2s s

w N f s N f s

T* *2

12

w f

1 2w w T TT* * *1 1d

2 2s

N f s f

T* ds

f N f s

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Determinación de las fuerzas nodales equivalentes

Cálculo de desplazamientos

Cálculo de deformaciones

Cálculo de tensiones

Criterio de rigidez

Criterio de resistencia

Ley de Hooke generalizada { } [ ]{ }εσ D=

admδδ ≤

adm

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Cálculo estático lineal. Proceso de cálculo

*B

Cálculo de desplazamientos nodales y reacciones

*

e eN

[K]{δ} ={Fext}

1. PRE-PROCESADO Preparar la geometría del modelo. Definir las propiedades del material. Aplicar las condiciones de contorno. Discretizar el modelo.

2. CÁLCULO

Lanzar el cálculo del comportamiento global del modelo como suma de sus elementos discretos.

3. POST-PROCESADO

Analizar los resultados.

2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO

Fases del cálculo por elementos finitos

28

Truss element:

- 2 node one-dimensional element (2DOF)

- Only allows to calculate tractive-compressive condition

Determination of the interpolation function 21 ,

,,,

uuji

zyxNodal displacement vector 1 2,T u u

2 G.D.L 1st order equation xaaxu .)( 10 +=

x

y

1 2

2u1u

L i j

)(xu

Local axis Element nodes Nodal displacements

1)0( uu =

2)( ulu = } laauau

102

01

+== } 1 0

12

1 0

1

u a

au l

211

10

11 ul

ul

a

ua

+−=

= }

−

=

2

1

1

0

1101

uul

laa

1 1

2 2

1 0

1, 1 ,1 1u ux x

u xu ul l

l l

[ ]

=2

121, u

uNNu

lxN −=11 l

xN =2

3. ELEMENTO BARRA

Definición y funciones de interpolación

29

T dv

K B D B v

1 1

, 1 222

1x y

u ux xu N N

uu l l

Stiffness matrix obtaining formula:

2 2

02 2

1 1 11 11 1

, d d1 1 1 1 1

l

v

EAl l lK E v AE xl l l

l l l

3. ELEMENTO BARRA

Matriz de rigidez. Deformaciones y tensiones

1 1 11 2

1 22 2 2

1 1, , ,x

BB

u u uu N NN N

u u ux x x x l l

x xE

30

1 1

1

21

2,

,

cos sin 0 0

0 sin cos 0 0

0 0 cos sin

0 0 0 sin cos X Yx y

u u

v

uvv

3. ELEMENTO BARRA

Matriz de rigidez en coordenadas globales

Naming

sin

cos

e

e

0 0 0 01 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

TK T K T

EAK

l

2 2

2 2

e 2 2

2 2

EAK

l

31

2v1v

z

x

y

12

Beam element:

- 2 node unidimensional element (4DOF)

- Only allows to calculate behind loading condition

1

1

2

2

v

v

T 1

1 2 3 41

1 2 3 4 2

2

d d d dd d d d

vN N N Nv

N N N N vx x x x

12 3 2 32 3 2 3

2 2 1

2 2 2 2 2

2 3 2 2 3 22

1 3 2 , 2 , 3 2 ,

6 6 , 1 4 3 , 6 6 , 2 3

vx x x x x x x x

xvl l l l l l l l

vx x x x x x x xl l l l l l l l

Beam element interpolation function:

4. ELEMENTO VIGA

Definición y funciones de interpolación

32

Beam deflection 2

2

d dd dx

vy y

x x

2 2

* *2 2

d dd dx

vy y N B

x x

T dv

K B D B v

2 3

22

2 3 2 2 3 20

2 3

2

612

46

6 4 6 212 , 6 , 12 , 6 d d

612

26

l

s

xl l

xx x x xl lK E x y s

x l l l l l l l ll l

xl l

dbeing

dvx

2 3 2 2 3 2

6 4 6 212 , 6 , 12 , 6

x x x xB y

l l l l l l l l

4. ELEMENTO VIGA

Matriz de rigidez. Deformaciones y tensiones

x xE

33

Naming

sin

cos

3 2 3 2

2 2

e

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0

6 4 6 20 00 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 00 0 0 0

12 6 12 60 0 0 00 0

0 0 0 0 0 16 2 6 4

0 0

z

l l l l

l l l lK EI

l l l l

l l l l

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

23

23 3

2 2

e2 2

3 3 2 3

2 23 3 2 3 3

3 2 2

12

12 12

6 6 4

12 12 6 12

12 12 6 12 12

6 6 2 6 6 4

z

l

l l

l l lK EI

l l l l

l l l l l

l l l l l l

4. ELEMENTO VIGA

Matriz de rigidez en coordenadas globales

34

Complete Beam element:

- 2 node one-dimensional element (6DOF)

- Only allows to calculate behind loading condition

1

1

1T

2

2

2

u

v

u

v

1

1

1 21

3 4 5 62

3 4 5 6 2

2

0 0 0 0

0 0

d d d d0 0

d d d d

u

vN Nu

v N N N N uN N N N vx x x x

1

1

2 3 2 32 3 2 3 1

2 22

2 2 2 22

2 3 2 2 3 22

1 0 0 0 0

0 1 3 2 2 0 3 2

0 6 6 1 4 3 0 6 6 2 3

ux x

vl lu

x x x x x x x xv x ul l l l l l l l

vx x x x x x x xl l l l l l l l

Complete Beam element interpolation function:

2v1v

z

x

y

12

2u1u

4. ELEMENTO VIGA

Viga completa

35

Naming sin

cos

2 2

3

2 23 3

2 2

2 2 2 23 3 2 3

2 2 2 23 3 2 3 3

2 2

12

12 12 .

6 6 4

12 12 6 12

12 12 6 12 12

6 6 2

Te e

EI EAL L

EI EA EI EA syL L L L

EI EI EIL L L

K T k TEI EA EI EA EI EI EA

L L L L L L L

EI EA EI EA EI EI EA EI EAL L L L L L L L L

EI EIL L

µ λ

µλ µλ λ µ

µ λ

µ λ µλ µλ µ µ λ

µλ µλ λ µ λ µλ µλ λ µ

µ λ

+

− + +

−

= =

− − − +

− − − − − + +

− 2 2

6 6 4

cossin

EI EI EI EIL L L L

µ λ

λ θµ θ

−

==

4. ELEMENTO VIGA

Viga completa

36

Calcular las reacciones y desplazamientos nodales. Calcular la deformación y tensión del punto C.

F L1

L2

30º

Point C

L1

L2

L3

M

30º

Point C

Point C

5. EJERCICIOS