elementos de cálculo diferencial

Contenido Prefacio ................................................................................................................................................ 8

Contenido .......................................................................................................................................... 10

Primera Parte: Historia del Cálculo.................................................................................................... 22

Capítulo 1 : Entre inconmensurables y paradojas ............................................................................. 23

1.1 Thales y Pitágoras .................................................................................................................... 24

1.2 Continuidad, infinito e inconmesurables ................................................................................ 28

1.3 Zenón y las paradojas .............................................................................................................. 35

1.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 38

Capítulo 2: Cálculo de áreas en la Grecia Antigua ............................................................................. 41

2.1 Eudoxo yArquímedes ............................................................................................................... 42

2.2 El método de Exhausción......................................................................................................... 43

2.3 Ejercicios .................................................................................................................................. 52

Capítulo 3: Medievo, ciencias y matemáticas ................................................................................... 55

3.1 De los romanos a la Escolástica. .............................................................................................. 56

3.2 Los árabes y las matemáticas .................................................................................................. 60

3.3 Técnicas, ideología y sociedad ................................................................................................. 64

3.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 65

Capítulo 4 :El renacimiento : Un nuevo punto de partida ................................................................. 67

4.1 Renacimiento y humanismo .................................................................................................... 68

4.2 Navegación y ciencias matemáticas ........................................................................................ 71

4.3 Un poco de matemáticas ......................................................................................................... 72

4.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 76

Capítulo 5: Revolución en la cosmología ........................................................................................... 77

5.1 Copérnico: el heliocentrismo ................................................................................................... 79

5.2 Kepler : la geometría celeste ................................................................................................... 82

5.3 Galileo y la nueva cosmología ................................................................................................. 85

5.4 Ejercicios .................................................................................................................................. 92

Capítulo 6: Los métodos de la nueva ciencia .................................................................................... 95

6.1 Galileo y la nueva ciencia......................................................................................................... 97

6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon y Descartes ......................................................... 102

6.3 Las sociedades científicas ...................................................................................................... 107

6.4 Ejercicios ................................................................................................................................ 109

Capítulo 7: Problemas para las matemáticas del siglo XVII ............................................................. 111

7.1 Los límites de la matemática antigua .................................................................................... 113

7.2 Cuatro problemas fundamentales ......................................................................................... 115

7.3 Las matemáticas del siglo XVII ............................................................................................... 118

7.4 Ejercicios ................................................................................................................................ 120

Capítulo 8: Geometría analítica y cálculo de tangentes .................................................................. 121

8.1 La geometría analítica ........................................................................................................... 122

8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos ........................................................................... 131

8.3 Ejercicios ................................................................................................................................ 139

Capítulo 9: Longitudes, áreas y volúmenes ..................................................................................... 141

9.1 Los métodos de Kepler .......................................................................................................... 142

9.2 Galileo y los conjuntos infinitos ............................................................................................. 146

9.3 El área bajo una curva ........................................................................................................... 148

9.4 Ejercicios ................................................................................................................................ 153

Capítulo 10 : Newton ....................................................................................................................... 154

10.1 La obra científica de Newton ............................................................................................... 156

10.2 El cálculo .............................................................................................................................. 158

10.3 Cálculo, series infinitas y publicaciones............................................................................... 165

10.4 Ejercicios .......................................................................................................................... 168

Capítulo 11: Leibniz ......................................................................................................................... 170

11.2 El cálculo de Leibniz ............................................................................................................. 172

11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz ..................................................................................... 176

11.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 178

Capítulo 12: Ciencia y sociedad en el siglo XVII ............................................................................... 180

12.1 La revolución industrial ....................................................................................................... 181

12.2 La química ............................................................................................................................ 183

12.3 Ejercicios .............................................................................................................................. 186

Capítulo 13: El análisis y las matemáticas del siglo XVII .................................................................. 188

13.1 El carácter de las matemáticas ............................................................................................ 189

13.2 La época de Euler ................................................................................................................. 190

13.3 La Edad Heroica ................................................................................................................... 197

13.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 203

Capítulo 14: Panorámica de las matemáticas del siglo XIX ............................................................. 205

14.1 La preocupación por el rigor ................................................................................................ 206

14.2 Gauss y las geometrías ........................................................................................................ 210

14.3 La teoría de grupos y el álgebra moderna ........................................................................... 214

14.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 216

Capítulo 15: La aritmetización del análisis ...................................................................................... 218

15.1 el rigor a través del límite .................................................................................................... 220

15.2 Weierstrass .......................................................................................................................... 224

15.3 La construcción de los números reales ............................................................................... 228

15.4 Un balance ........................................................................................................................... 231

15.5 Ejercicios .............................................................................................................................. 233

Capítulo 16: El análisis no – standard y la naturaleza de las matemáticas ..................................... 235

16.1 Las matemáticas del siglo XIX : un balance general ............................................................ 236

16.2 Los infinitesimales y el análisis No -Standard ...................................................................... 237

16.3 Una síntesis final .................................................................................................................. 244

16.4 Ejercicios .............................................................................................................................. 246

Segunda Parte: Ejercicios Resueltos ............................................................................................ 248

Presentación ................................................................................................................................ 249

Capítulo 1: Las razones de cambio y la derivada ............................................................................. 251

Capítulo 2: Límites ........................................................................................................................... 259

Capítulo 3: Límites laterales y continuidad ..................................................................................... 269

Capítulo 4: Límites infinitos y al infinito .......................................................................................... 276

Capítulo 5: La derivada .................................................................................................................... 284

Capítulo 6 : Las funciones trigonométricas y el cálculo ................................................................... 298

Capítulo 7: Las funciones logarítmicas y exponenciales y el cálculo ............................................... 306

Capítulo 8: Algunas aplicaciones ..................................................................................................... 312

Capítulo 9: Temas adicionales: una introducción ............................................................................ 319

Capítulo 10: Definiciones y métodos formales ................................................................................ 325

Bibliografía general .......................................................................................................................... 329

Indice de recuadros teóricos ........................................................................................................... 333

Indice analítico ................................................................................................................................. 334

Prefacio

Contenido

Primera Parte: Historia del Cálculo

Capítulo 1 : Entre inconmensurables y paradojas

1.1 Thales y Pitágoras

1.2 Continuidad, infinito e inconmesurables

1.3 Zenón y las paradojas

1.4 Ejercicios

Capítulo 2: Cálculo de áreas en la Grecia Antigua

2.1 Eudoxo yArquímedes

2.2 El método de Exhausción

2.3 Ejercicios

Capítulo 3: Medievo, ciencias y matemáticas

3.1 De los romanos a la Escolástica.

3.2 Los árabes y las matemáticas

3.3 Técnicas, ideología y sociedad

3.4 Ejercicios

Capítulo 4 :El renacimiento : Un nuevo punto de partida

4.1 Renacimiento y humanismo

4.2 Navegación y ciencias matemáticas

4.3 Un poco de matemáticas

4.4 Ejercicios

Capítulo 5: Revolución en la cosmología

5.1 Copérnico: el heliocentrismo

5.2 Kepler : la geometría celeste

5.3 Galileo y la nueva cosmología

5.4 Ejercicios

Capítulo 6: Los métodos de la nueva ciencia

6.1 Galileo y la nueva ciencia

6.2 Otros profetas de la nueva ciencia: Bacon y Descartes

6.3 Las sociedades científicas

6.4 Ejercicios

Capítulo 7: Problemas para las matemáticas del siglo XVII

7.1 Los límites de la matemática antigua

7.2 Cuatro problemas fundamentales

7.3 Las matemáticas del siglo XVII

7.4 Ejercicios

Capítulo 8: Geometría analítica y cálculo de tangentes

8.1 La geometría analítica

8.2 Cálculo de tangentes, máximos y mínimos

8.3 Ejercicios

Capítulo 9: Longitudes, áreas y volúmenes

9.1 Los métodos de Kepler

9.2 Galileo y los conjuntos infinitos

9.3 El área bajo una curva

9.4 Ejercicios

Capítulo 10 : Newton

10.1 La obra científica de Newton

10.2 El cálculo

10.3 Cálculo, series infinitas y publicaciones

10.4 Ejercicios

Capítulo 11: Leibniz

11.1 Una mente universal

11.2 El cálculo de Leibniz

11.3 Diferencias entre Newton y Leibniz

11.4 Ejercicios

Capítulo 12: Ciencia y sociedad en el siglo XVII

12.1 La revolución industrial

12.2 La química

12.3 Ejercicios

Capítulo 13: El análisis y las matemáticas del siglo XVII

13.1 El carácter de las matemáticas

13.2 La época de Euler

13.3 La Edad Heroica

13.4 Ejercicios

Capítulo 14: Panorámica de las matemáticas del siglo XIX

14.1 La preocupación por el rigor

14.2 Gauss y las geometrías

14.3 La teoría de grupos y el álgebra moderna

14.4 Ejercicios

Capítulo 15: La aritmetización del análisis

15.1 el rigor a través del límite

15.2 Weierstrass

15.3 La construcción de los números reales

15.4 Un balance

15.5 Ejercicios

Capítulo 16: El análisis no – standard y la naturaleza de las matemáticas

16.1 Las matemáticas del siglo XIX : un balance general

16.2 Los infinitesimales y el análisis No -Standard

16.3 Una síntesis final

16.4 Ejercicios

Segunda Parte: Ejercicios Resueltos

Presentación

Capítulo 1: Las razones de cambio y la derivada

Capítulo 2: Límites

Capítulo 3: Límites laterales y continuidad

Capítulo 4: Límites infinitos y al infinito

Capítulo 5: La derivada

Capítulo 6 : Las funciones trigonométricas y el cálculo

Capítulo 7: Las funciones logarítmicas y exponenciales y el cálculo

Capítulo 8: Algunas aplicaciones

Capítulo 9: Temas adicionales: una introducción

Capítulo 10: Definiciones y métodos formales

Bibliografía general

Indice de recuadros teóricos

Indice analítico