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Electiva II: Mecánica de Suelos
U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e
C a t a m a r c a
F a c u l t a d d e T e c n o l o g í a y
C s . A p l i c a d a s
C a r r e r a : I n g e n i e r í a d e
M i n a s
M . U . 0 7 0 6
1 8 / 1 2 / 2 0 1 3
MARIA INES ULLA
Esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo: Principio de
esfuerzo efectivo. Esfuerzos en un punto. Análisis bidimensional
de esfuerzos: circulo de Mohr de esfuerzos. Esfuerzos debidos
al propio peso y a cargas aplicadas. Asentamientos basados en
la teoría de la elasticidad.
Facultad de Tecnología y Cs. Aplicadas Electiva II: Mecánica de Suelos
María Inés Ulla- M.U. 0706 1
Contenido
Objetivos ................................................................................................................................ 2
Introducción ........................................................................................................................... 3
Minería y Geotecnia ............................................................................................................... 3
Suelos: origen y clasificación desde el punto de vista ingenieril ............................................. 4
Esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo ................................................................ 7
Principio de esfuerzo efectivo ................................................................................................ 7
Esfuerzos en un punto de la masa de suelo ........................................................................ 10
Análisis bidimensional de esfuerzos .................................................................................... 10
Círculo de Mohr de esfuerzos .............................................................................................. 11
Esfuerzos debidos al propio peso ........................................................................................ 13
Ejemplo 1 ......................................................................................................................... 15
Solución ........................................................................................................................... 15
Esfuerzos debidos a cargas aplicadas ................................................................................. 16
Carga puntual vertical ...................................................................................................... 18
Carga lineal vertical de longitud infinita ............................................................................ 18
Carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita ................................................ 18
Carga con distribución triangular sobre una franja infinita ................................................ 19
Carga uniformemente distribuida sobre un área rectangular ............................................ 19
Carga uniformemente distribuida sobre un área circular .................................................. 20
Diagrama de influencia de Newmark ................................................................................ 20
Cálculo aproximado del incremento del esfuerzo vertical ................................................. 21
Bulbos de esfuerzo........................................................................................................... 22
Asentamientos basados en la teoría de la elasticidad .......................................................... 22
Área rectangular con carga uniformemente distribuida ..................................................... 23
Área circular con carga uniformemente distribuida ........................................................... 24
Ejemplo 2 ......................................................................................................................... 24
Solución ........................................................................................................................... 25
Bibliografía ........................................................................................................................... 28
Índice de figuras .................................................................................................................. 29
Índice de tablas .................................................................................................................... 29
Índice de gráficos ................................................................................................................. 29
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Objetivos
Describir la importancia de la Mecánica de Suelos para las obras de ingeniería civil, y
su relación con la ingeniería de minas.
Explicar el origen de los suelos y su clasificación ingenieril.
Comprender los esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo, la diferencia con
la mecánica de rocas, y la importancia de su estudio para el análisis de los suelos
utilizados en obras de ingeniería.
Distinguir entre los esfuerzos que resultan de las fuerzas que actúan sobre los
puntos de contacto entre partículas individuales, y los debidos al fluido intersticial que
ocupa los vacíos del suelo mediante el estudio del Principio de esfuerzo efectivo.
Entender el estado general de esfuerzos en un punto de una masa de suelo.
Estudiar la aplicación el análisis bidimensional de esfuerzos mediante la técnica del
círculo de Mohr de esfuerzos.
Calcular esfuerzos debidos al propio peso y a cargas aplicadas.
Calcular asentamientos basados en la teoría de la elasticidad.
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Introducción
La Mecánica de Suelos es la aplicación de las leyes de la física y las ciencias
naturales a los problemas que involucran las cargas impuestas a la capa superficial de la
corteza terrestre. Fue fundada por Karl von Terzaghi. Junto con la mecánica de rocas, la
mecánica de suelos provee las bases teóricas para el análisis en la ingeniería geotécnica.
Todas las obras de ingeniería civil se apoyan sobre el suelo de una u otra forma, y muchas
de ellas, además, utilizan la tierra como elemento de construcción para terraplenes, diques y
rellenos en general; por lo que, en consecuencia, su estabilidad y comportamiento funcional
y estético estarán determinados, entre otros factores, por el desempeño del material de
asiento situado dentro de las profundidades de influencia de los esfuerzos que se generan, o
por el del suelo utilizado para conformar los rellenos. En conclusión, la mecánica de suelos
se utiliza para analizar las deformaciones y flujos dentro de estructuras artificiales o
naturales que están hechas de, sobre o bajo el suelo.
Minería y Geotecnia
La geotecnia puede definirse como aquella rama de la ingeniería que trata de las
aplicaciones de la Mecánica de Rocas, la Mecánica de Suelos y la Geología a la solución de
problemas específicos de construcción, relativos al uso de rocas y suelos como elementos
dentro de los cuales, encima de los cuales, o con los cuales llevar a cabo una obra.
Es así como son problemas geotécnicos todos aquellos relacionados con
excavaciones, a cielo abierto o en subterráneo, fundaciones y obras de tierra en general,
para citar solamente los más frecuentes e importantes.
La Ingeniería de Minas, por su parte, fundamenta su misma esencia en la ingeniería
de las excavaciones, intrínsecamente ligadas a la extracción desde la corteza terrestre, de
rocas y minerales económicamente aprovechables.
En otras palabras, bien puede afirmarse que la actividad primaria de la minería no es
otra cosa que la excavación, bien sea a cielo abierto o en subterráneo. Y es así como el
análisis, diseño y construcción de túneles y taludes, representan al mismo tiempo
aplicaciones propias e intrínsecas, sea de geotecnia o de minería que, en este sentido, se
confunden y tienden a coincidir-
Las consideraciones anteriores encuentran pleno reflejo en el campo profesional,
donde se puede constatar cómo los ingenieros de minas lo que con más frecuencia se
encuentran al frente del proyecto y construcción de obras subterráneas y grandes
excavaciones a cielo abierto, en todo el mundo.
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Suelos: origen y clasificación desde el punto de vista ingenieril
Todos los suelos se originan de la meteorización de las rocas que constituyen
inicialmente la corteza terrestre, la cual puede ser producida por agentes físicos y químicos.
La meteorización física es el proceso de fragmentación física o desintegración de la
masa de roca. La fracturación inicial puede ser el resultado de esfuerzos inducidos por
factores tales como la retracción debida al enfriamiento, la liberación de esfuerzo después
de la remoción de una capa de material más superficial, o el plegamiento y las fallas. Esta
fractura incrementa su vulnerabilidad con respecto a otras formas de meteorización física y
química. El agua que penetra en las fisuras puede experimentar ciclos de congelación y
deshielo, los cuales aumentan de manera gradual la abertura de las fisuras y eventualmente
causan la caída de fragmentos de roca. Las crecientes resultante de las fuertes lluvias que
arrastran grandes cantidades de residuos de roca y la acción del mar, que repetidamente
golpea la costa, son fenómenos naturales que contribuyen en su momento, a la
desintegración física de la masa rocosa y extienden la erosión y la abrasión de la superficie
de la tierra.
La meteorización química es el proceso de descomposición química de algunos o de
todos los minerales que constituyen la masa rocosa. Por ejemplo, el dióxido de carbono
Figura 1- Algunas aplicaciones de la ingeniería geotécnica en minería y algunas posibles consecuencias de no aplicar el análisis geotécnico
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disuelto en las aguas lluvias forma una solución diluida de ácido carbónico que puede atacar
muchos de los minerales que comúnmente formas las rocas, o el oxígeno de la atmósfera y
de las aguas lluvias pueden oxidar rocas, especialmente las portadoras de hierro.
Los procesos de meteorización y los efectos del transporte y depósito producen
partículas individuales de suelo ampliamente variables en tamaño y forma. El tamaño de las
partículas de un suelo tiene una influencia fundamental en las propiedades y en el
comportamiento ingenieril del depósito, por tanto las partículas de un suelo se describen en
función de su tamaño, utilizando términos tales como grava, arena, limo o arcilla. La Tabla 1
define la descripción de las partículas en función de su tamaño según diversas normas.
Tamaño de las partículas (mm)
Descripción de las partículas
Normas británicas1 AASHTO
22 ASTM
33 Unificado
44
Grava 60-2 75-2 >2 75-4,75 Arena 2-0,06 2-0,05 2-0,075 4,75-0,075 Limo 0,06-0,002 0,05-0,002 0,075-0,005 <0,075 finos Arcilla <0,002 <0,002 <0,005
Tabla 1-Definiciones del tamaño de las partículas según diferentes sistemas
El objeto de la clasificación de los suelos es aportar unas bases sobre las cuales
puedan agruparse los suelos dependiendo de sus propiedades físicas y de su apariencia,
con el propósito de comparar diferentes suelos, describir sus propiedades y estimar su
conveniencia para la utilización en un trabajo de ingeniería específico. Numerosos sistemas
de clasificación se han propuesto en el transcurso de los años, pero no existe un sistema
reconocido internacionalmente. En los Estados Unidos los sistemas más utilizados son el
sistema unificado de clasificación de suelos y el sistema de clasificación AASHTO. Ver
Tablas 2 y 3.
1BS 5930:1981
2 American Association of State Highway and Transportation Officials
3 American Society for Testing and Materials
4 Sistema de clasificación unificado
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Tabla 2- Sistema de clasificación unificado
Tabla 3- Clasificación de suelos según AASHTO
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Esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo
Para explicar el comportamiento ingenieril de los suelos es necesario entender el
concepto de esfuerzo en una masa de suelo y en particular, la manera como el esfuerzo
que actúa sobre el suelo como un todo se relaciona con los esfuerzos que se desarrollan
dentro del esqueleto del suelo y del fluido intersticial.
Para poder resolver problemas de ingeniería, también es necesario entender cómo
evaluar los esfuerzos que actúan en un punto de la masa de suelo debidos a su propio peso
y así mismo al cambio de esfuerzos que se induce en el suelo debido a la acción de carga (o
descarga) externa producto de la construcción de obras de ingeniería. De la misma manera
son importantes las deformaciones de la masa de suelo, principalmente los asentamientos,
que resultan de los cambios de tales esfuerzos.
El esfuerzo sobre un punto no es el mismo en todas las direcciones. Por lo que es
importante estudiar el estado general de esfuerzos que existe en un punto dentro de la
masa de suelo y considerar las relaciones entre los esfuerzos actuantes en direcciones
diferentes. Sin embargo, en muchos problemas de ingeniería el interés principal se centra
sobre los esfuerzos que actúan en una dirección particular, por ejemplo, el estudio de la
capacidad portante y los asentamientos de cimentaciones dependen principalmente de los
esfuerzos que actúan en la dirección vertical, en tanto que el estudio de las presiones de
tierras sobre los muros de contención, requiere un conocimiento de los esfuerzos
horizontales en la masa de suelo.
Para entender la mecánica de suelos debemos comprender cómo los esfuerzos
normales y cortantes son compartidos por las diferentes fases. Los gases y líquidos no
proveen resistencia significante al esfuerzo cortante, la cual es causada por la fricción y el
entrelazamiento de las partículas. Los esfuerzos normales, en cambio, son compartidos por
los fluidos y las partículas.
Principio de esfuerzo efectivo
En una masa de suelo existen esfuerzos dentro del esqueleto del suelo que resultan
de las fuerzas que actúan sobre los puntos de contacto entre partículas individuales, y
existen esfuerzos dentro del fluido intersticial que ocupa los vacíos del suelo. Para estudiar
el comportamiento ingenieril de los suelos es necesario tener la capacidad de distinguir
estas dos clases de esfuerzos y también entender la relación entre ellos. Esta relación se
conoce como principio de esfuerzo efectivo y fue postulado por primera vez por Karl
Terzaghi, en 1923:
“En cualquier punto de una masa de suelo saturado el esfuerzo total σ en cualquier dirección
es igual a la suma algebraica del esfuerzo efectivo en esa dirección σ´ y la presión
intersticial u”
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Figura 2- Principio de esfuerzo efectivo
Si se considera dentro de este propósito, una masa de suelo saturado con una
superficie horizontal, representado en la Figura 2, con el nivel freático a nivel del terreno. Se
tiene que en un plano horizontal XX de un área A de profundidad z, la columna vertical de
suelo por encima de XX tendrá el peso total W siguiente:
Las partículas del suelo por debajo del nivel freático están sometidas a un empuje U
de tal manera que su peso efectivo W´s está dado por:
Reemplazando en (1)
Si Vs representa el volumen de las partículas de suelo en la columna, y Vw el
volumen de agua, entonces, por el principio de Arquímedes:
Entonces
Como el suelo está saturado, el volumen de agua Vw es igual al volumen de vacíos
Vv por lo tanto Vs+Vw representa el volumen total V de la columna. Entonces
Y como V= Az, entonces:
W/A define el esfuerzo sobre XX como resultado del peso total de la columna y se
denomina esfuerzo total, representado por σ. W´s/A es el esfuerzo sobre XX como resultado
Nivel Freático Nivel del terreno
z
X X
área A
𝑾 𝑾 𝑾 (1)
𝑾´ 𝑾 − 𝑼
𝑾 𝑾´ 𝑼
𝑾 𝑾´ 𝑼 𝑾
𝑼 𝝆 𝒈𝑽
𝑾 𝝆 𝒈𝑽
𝑾 𝑾´ 𝝆 𝒈 (𝑽 𝑽 )
𝑾 𝑾´ 𝝆 𝒈𝑽
𝑾
𝑨 𝑾´
𝑨 𝝆 𝒈𝒛
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del peso efectivo de las partículas de suelo y se denomina esfuerzo efectivo σ´. Puesto que
el plano XX está a la profundidad z por debajo del nivel freático, el termino ρwgz constituye la
presión intersticial hidrostática en XX, representada por u. Así obtenemos la relación
Esta ecuación se cumple generalmente para suelos saturados, sin tener en cuenta
las condiciones del agua en los poros ni la influencia de las cargas externas. A pesar de su
forma algebraica extremadamente simple, el principio de esfuerzo efectivo es quizás la
relación de más importancia en el estudio de la mecánica de suelos, y su publicación por
Terzaghi marco la aparición de esta materia como una disciplina separada en ingeniería.
Este principio puede ser expresado en dos partes:
1) El esfuerzo efectivo, para suelos saturados es
− siendo σ el esfuerzo total y u la presión intersticial hidrostática.
2) Todos los efectos medibles resultantes de variaciones de esfuerzos en los suelos,
como compresión, distorsión y resistencia al cortante son debidos a las variaciones
de los esfuerzos efectivos.
Las deformaciones en el suelo, que es un
sistema de partículas, tienen una característica muy
distinta de las deformaciones en otros materiales con
los que los ingenieros están acostumbrados a lidiar.
En el concreto, por ejemplo, las deformaciones
corresponden a cambios de forma o volumen, con
todos los elementos desplazándose de manera
continua, manteniendo sus posiciones relativas. En
los suelos, en cambio, las deformaciones
corresponden a cambios de forma o de volumen del conjunto, resultantes del
desplazamiento relativo de partículas como se muestra esquemáticamente en la Figura 3.
La compresión de las partículas, individualmente, es totalmente despreciable ante las
deformaciones que surgen de los desplazamientos de las partículas, unas en relación de las
otras. Por esta razón, se entiende que las deformaciones en los suelos sean debidas
solamente a la variación de los esfuerzos efectivos, que
representan la parte de los esfuerzos referidos a las fuerzas
transmitidas por las partículas.
El Principio de Esfuerzo Efectivo es tan importante
para el entendimiento del comportamiento de los suelos que
merece una atención especial. Considérese el conjunto de
partículas en la Figura 4, donde los vacíos se encuentran
llenos de agua. Si el esfuerzo total fuese aumentado con
igual aumento de la presión de agua, las partículas serían
comprimidas porque la presión del agua actúa en toda su
Figura 3- Deformación debida al desplazamiento de las partículas
Figura 4- Esfuerzos debidos a la interacción entre las partículas
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periferia. Considerando que las áreas de contacto entre los granos son extremadamente
pequeñas y también, que ellas ocurren en los contactos tanto por encima como por debajo
de cualquier partícula, las fuerzas transmitidas a las partículas debajo de ella, y en las
cuales ella se apoya, no se alteran. En consecuencia, el esfuerzo efectivo no se altera. Por
lo tanto, el suelo, bajo el punto de vista práctico, no se deforma por efecto de este aumento
de esfuerzo, ya que las partículas pueden ser consideradas incompresibles para el nivel de
esfuerzos común y las deformaciones de los suelos se deben al desplazamiento relativo de
las partículas, en función de las fuerzas transmitidas entre ellas, que en el caso no se
alteran. Es justamente eso lo que indica la primera parte del Principio de Esfuerzo Efectivo.
La expresión empleada para la presión intersticial hidrostática, refleja bien el sentido de
inexistencia de cualquier efecto mecánico de esta componente del esfuerzo total.
Esfuerzos en un punto de la masa de suelo
En la Figura 5a se muestra
el estado general de esfuerzos
totales en un elemento de una
masa de suelo. El estado general
de esfuerzos que resulta en cada
cara se caracteriza por una
componente de esfuerzo normal σ
y dos componentes de esfuerzo
cortante τ, cada una de las cuales
se identifica con un sufijo
direccional relacionado con las tres
direcciones de referencia x, y, z.
Sin embargo, para este estado de esfuerzos debe existir en el elemento un conjunto
de tres planos mutuamente perpendiculares sobre los cuales el esfuerzo resultante es
normal, con las componentes de esfuerzos cortantes nulos. Estos son los planos principales,
y los esfuerzos normales asociados son los esfuerzos principales. En la Figura 5b se
representa el estado de esfuerzos del elemento cuando las caras del elemento están
orientadas en las direcciones de los planos principales. Si el elemento se toma de tamaño
infinitesimal, los esfuerzos que se muestran en las caras del elemento pueden tomarse para
describir los esfuerzos que actúan sobre planos diferentes en un punto de la masa de suelo.
Análisis bidimensional de esfuerzos
En los casos de muros de contención, terraplenes, cortes y cimentaciones corridas,
la masa de suelo sometida a esfuerzo a menudo es muy grande en una dirección, donde las
condiciones se aproximan a las de deformación plana, donde σy es el esfuerzo principal
intermedio. Por tanto, al tomar espesores unitarios de la masa de suelo en la dirección y,
reducimos el problema a un análisis bidimensional de esfuerzos, en el cual únicamente es
necesario considerar los esfuerzos en el plano x,z. Ver Figura 6.
x
z
y
σx
σy
τzx
τyz
τyx
τxy
τxz
τzy
σz
x
z
y
σ1
σ3σ2
Figura 5- Estado general de esfuerzos en un elemento de la masa de suelo y esfuerzos principales
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Círculo de Mohr de esfuerzos
Desde hace mucho tiempo los círculos de Mohr han sido una forma de solución
gráfica para determinar los esfuerzos principales para el caso de esfuerzos planos. El plano
en el cual se trazan los círculos de Mohr- se organiza con sus ejes mutuamente
perpendiculares, aunque en el espacio real el ángulo entre ellos representa 180º, por lo que
todos los ángulos dibujados en el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio
real. La abscisa es el eje para todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales
aplicados σx, y σz, se trazan a lo largo de este eje y los esfuerzos principales σ1 y σ3 también
se determinan sobre este eje. La
ordenada es el eje para todos los
esfuerzos cortantes. Se utiliza para
trazar los esfuerzos cortantes
aplicados τzx y τxz y determinar el
esfuerzo cortante máximo. La
convención de signos es tal que los
esfuerzos normales de compresión
y los esfuerzos cortantes en sentido
contrario a las manecillas del reloj
son positivos.
En la Figura 7 se muestra el
estado bidimensional de esfuerzos sobre un elemento de suelo. Para analizar las
condiciones de esfuerzos en el elemento, debe considerarse equilibrio del prisma abc de la
Figura 7. Sean σ y τ las componentes normal y cortante del esfuerzo que actúa sobre el
plano ab. Sea la longitud l de ab.
Resolviendo las fuerzas normales a ab
𝒛 − 𝒛 − 𝒛
Ahora 𝒛 𝒛 (esfuerzos cortantes complementarios) y por tanto
𝒛
− 𝒛
σz
σz
σx
τxz
τxz
τzx
τzx
a
b
a
bc
σx
τxz
σz
τ
σ
Resultante de esfuerzos sobre ab
θ
α
τzx
Muro de Contención
Terraplén
y
X
Z
y
X
Z
y
X
Z
Cimentación corrida
Figura 6- Problemas de deformaciones planas típicos
Figura 7- Estado de esfuerzos bidimensional en un elemento de suelo
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( − )
𝒛( )
− 𝒛
( 𝒛) −
( − 𝒛) − 𝒛
[ −
( 𝒛)]
[
( − 𝒛) − 𝒛 ]
Resolviendo las fuerzas paralelas a ab
− 𝒛 𝒛 − 𝒛
( − 𝒛) − 𝒛
[
( − 𝒛) − 𝒛 ]
Sumando las ecuaciones 2.4 y 2.6
[ −
( 𝒛)]
[
( − 𝒛)]
𝒛
Una gráfica del esfuerzo cortante τ en función del esfuerzo normal σ, cuya relación
está definida mediante un círculo de radio √[
( − )]
con su centro sobre el eje
σ en
( ). Sobre la circunferencia de todo círculo de Mohr existe un punto
denominado polo, que tiene una característica única: una línea trazada a partir del polo,
paralela a un plano dado en el suelo cortará el círculo en un punto cuyas coordenadas
corresponden a las componentes normal y cortante del esfuerzo en ese plano.
Existe una relación entre i) el estado de esfuerzos en cualquier plano de un elemento
de suelo, ii) la dirección de dicho plano, y iii) la posición del polo. Si se conocen dos de ellos,
el tercero se obtendrá con una construcción simple del círculo de Mohr. Por ejemplo, en la
Figura 8, el punto H tiene las coordenadas (σz,-τzx) que definen el estado de esfuerzo en el
plano cb del elemento de suelo, y el punto K tiene las coordenadas (σx,τxz) que definen el
estado de esfuerzo en ac. Por tanto, el polo P se encuentra trazando una línea que pase por
H paralela al plano cb del elemento (o una línea que pase por K paralela a ac) la cual corta
al círculo en el punto P. Una línea que pase por P paralela al plano ab del elemento corta el
círculo en el punto L, cuyas coordenadas deben ser (σ,τ), que representan las componentes
normal y cortante del esfuerzo sobre el plano ab. Así, el esfuerzo resultante sobre ab, que
actúa con una inclinación θ medida en el sentido de las manecillas del reloj a partir de la
dirección normal, se representa sobre el diagrama de Mohr por el vector OL trazado con un
ángulo θ en el sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del eje de esfuerzo normal.
Por definición, los planos principales son planos de esfuerzo cortante nulo y, por
tanto, deben representarse con los puntos donde el círculo corta el eje del esfuerzo principal
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mayor σ1 que actúa sobre el
plano principal mayor, y el
punto N, el esfuerzo principal
menor σ3 que actúa sobre el
plano principal menor. El
ángulo subtendido en el polo
es igual a 90º y, por tanto, los
planos principales forman
ángulo recto entre sí. De igual
modo, los valores máximos del
esfuerzo cortante se
representan con los puntos S y
T y se corresponden con un
esfuerzo normal de magnitud
( ). Nótese que los
planos de esfuerzo cortante máximo forman un ángulo de 45º con los planos principales.
El círculo de Mohr de esfuerzos es, por tanto, una herramienta muy útil para el
análisis de esfuerzos bidimensionales. Además, al considerar el elemento de suelo de la
Figura 7 de un tamaño infinitesimal, puede utilizarse un círculo de Mohr para representar las
condiciones de esfuerzo en un punto particular de la masa de suelo, en el que cada punto
de la circunferencia del círculo representa las componentes del esfuerzo sobre planos
diferentes alrededor del punto.
Aunque aquí se han ilustrado los esfuerzos totales de un suelo, el concepto del
círculo de Mohr se aplica igualmente al análisis bidimensional de esfuerzos efectivos. Esto
puede hacerse a partir del trazado de círculos de Mohr de esfuerzos efectivos sobre un
diagrama de Mohr de esfuerzo cortante en función del esfuerzo normal efectivo.
Esfuerzos debidos al propio peso
El esfuerzo vertical que existe en una masa de suelo debido solamente a su propio
peso se denomina esfuerzo de sobrecarga.
La Figura 9 muestra un depósito homogéneo de suelo con una superficie horizontal.
Para estas condiciones el esfuerzo
cortante en todos los planos
verticales es cero, y por tanto los
esfuerzos vertical y horizontal son
esfuerzos principales. El esfuerzo
vertical total σv (o presión de
sobrecarga total) en cualquier punto
es simplemente el esfuerzo que
resulta del peso de todo el material
por encima del punto. Así,
considerando el plano horizontal XX
de área A, a una profundidad z, el
σ1σ3 σxσz Esfuerzo normal σ
K (σx,τxz)
H (σz,τzx)
MA B CN
S
T
L (σ,τ)
σ
τ
R
RR
τzx
τxz
α β
G(α+β)
α P (Punto polo)
2α
θ ½(σx-σz)
z
X X
área A
zw
σ v
Densidad sobre el nivel freático = ρ
Densidad bajo el nivel freático = ρs
Figura 8- Diagrama de Mohr y Círculo de Mohr de esfuerzos
Figura 9- Esfuerzos debidos al propio peso
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peso total de la columna vertical de suelo por encima de XX está dado por
𝑾 𝝆𝒈 (𝒛 − 𝒛 )𝑨 𝝆 𝒈𝒛
Donde ρ es la densidad aparente del suelo, ρs es la densidad saturada, y g es la
aceleración de la gravedad. Entonces, el esfuerzo vertical total σv sobre XX definido como
W/A, está dado por
𝝆𝒈 (𝒛 − 𝒛 ) 𝝆 𝒈𝒛
Con la densidad en Mg/m3, g= 9,81 m/s2, y la profundidad en metros, σv tiene
unidades de kN/m2.
La presión intersticial u en cualquier punto de la masa de suelo tendrá un valor de
equilibrio compatible con las condiciones de frontera hidráulicas existentes en la masa de
suelo. Las condiciones más simples son aquellas en las que el nivel de aguas subterráneas
es estático, como se considera aquí, en cuyo caso las presiones intersticiales se denominan
presiones hidrostáticas. Al ser una presión de fluido la presión intersticial en cualquier punto
es la misma en todas las direcciones, y por tanto no hay necesidad de atribuirle un sufijo
direccional. Así, en la Figura 9, la presión intersticial hidrostática en XX a una profundidad zw
por debajo del nivel freático está dada por
𝝆 𝒈𝒛
El esfuerzo vertical efectivo asociado (o presión de sobrecarga efectiva) sobre XX se
obtiene a partir del principio de esfuerzos efectivos
−
Entonces, sustituyendo σv y u en las ecuaciones (2) y (3) tenemos
𝝆𝒈 (𝒛 − 𝒛 ) (𝝆 − 𝝆 ) 𝒈𝒛
Se define la densidad efectiva 𝝆 𝝆 − 𝝆 quedando
𝝆𝒈 (𝒛 − 𝒛 ) 𝝆
𝒈𝒛
Bajo condiciones hidrostáticas, la presión efectiva de sobrecarga en una masa de
suelo es función de la densidad total del suelo que se encuentre por encima del punto
considerado sobre el nivel freático y de la densidad efectiva del suelo que se encuentre por
encima del punto considerado bajo el nivel freático.
El esfuerzo horizontal en un punto de la masa de suelo está fuertemente
determinado por la historia de esfuerzos del depósito, y como tal no puede calcularse de una
manera simple como los esfuerzos de sobrecarga.
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Ejemplo 1
Un perfil de suelo se compone de 5 m de arena depositados encima de 4 m de grava que
descansa sobre el lecho rocoso. El nivel freático (NF) está a 2 m por debajo de la superficie horizontal
de la arena.
a) Determinar las distribuciones del esfuerzo vertical total, la presión intersticial y el esfuerzo
vertical efectivo en función de la profundidad hasta llegar al lecho rocoso, dado que la
densidad aparente de la arena por encima del NF= 1,70 Mg/m3, la densidad saturada de la
arena por debajo del NF=2,05 Mg/m3 y la densidad saturada de la grava= 2,15 Mg/m
3.
Solución
El perfil del suelo es como se muestra en la Figura 10.
Figura 10- Perfil del suelo del ejemplo 1
Se realiza el cálculo del esfuerzo vertical total, la presión intersticial y el esfuerzo efectivo en
los límites de las tres zonas:
Profundidad [m] σv [kN/m2] u [kN/m
2] σ´v [kN/m
2]
Superficie 0 0 0
2 33,35 0 33,35
5 93,69 29,43 64,26
9 178,01 68,67 109,34
Tabla 4- Cálculo del esfuerzo vertical total, la presión intersticial y el esfuerzo efectivo en cada zona del ejemplo 1
Gráfico 1- Representación de la variación del esfuerzo total, presión intersticial y esfuerzo efectivo con la profundidad del ejemplo 1
Are
na
Gra
va
NFρ=1,7 Mg/m3
ρ=2,05 Mg/m3
ρ=2,15 Mg/m3
5 m
4 m
2m
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Si la densidad del suelo en cada zona es constante, la relación σv=ρgz predice una variación
lineal de σv en función de la profundidad a lo largo de cada zona. De igual manera, la variación de u=
ρwgzw es lineal en función a la profundidad por debajo del nivel freático. Entonces se llega a que σ´v
varía linealmente a lo largo de cada zona. Esto puede verse en el Gráfico 1.
Esfuerzos debidos a cargas aplicadas
Las distribuciones de esfuerzos
que producen en una masa de suelo la
aplicación de las cargas resultantes de la
construcción de obras de ingeniería
dependen del espesor y la uniformidad
de la masa de suelo, del tamaño y forma
del área cargada, y de las propiedades
esfuerzo-deformación del suelo. Ahora,
el comportamiento esfuerzo-deformación
de los materiales reales rara vez es
simple, y en caso de los suelos
ingenieriles frecuentemente es muy
complejo. Para ilustrarlo, nos referimos a
las Figuras 11 y 12 y comparamos las
relaciones esfuerzo-deformación para un
número de materiales ideales con la de
un suelo real.
Sin embargo, dentro del contexto
de la búsqueda de los esfuerzos y
deformaciones en una masa de suelo
pueden identificarse dos categorías de
problemas de ingeniería. Los problemas
de estabilidad se analizan considerando
el equilibrio límite de una masa de suelo
que está en estado de falla por cortante a
lo largo de una superficie de
deslizamiento potencial. Se supone que el
suelo en la zona de falla se encuentra en
un estado de equilibrio plástico, y en el
análisis el com portamiento del suelo se
define con un valor de resistencia a la
condición de falla a lo largo de la
superficie de deslizamiento. Con la
comparación entre los esfuerzos reales
sobre la superficie de deslizamiento
potencial con aquellos necesarios para
generar la falla, se obtiene un factor de
seguridad con respecto a la inestabilidad.
Figura 11 Relaciones esfuerzo-deformación de materiales: a) elástico, b) plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento, e)
material real
Figura 12- Ejemplos de relaciones esfuerzo-deformación para suelos reales
0 5 10 15
Arena densa
Arena suelta
Esfu
erzo
co
rtan
te τ
Deformación unitaria en cortante (%)
Arena densa
Arena suelta
Máx
imo
esf
uer
zo c
ort
ante
τ
Esfuerzo normal efectivo σ`
φ`
φ`
0 5 10 15
Arena densa
Arena suelta
ΔV/V0
+
-
Esfu
erzo
co
rtan
te τ
Deformación unitaria en cortante (%)
Arcilla preconsolidada
Arcilla normalmente consolidada
0 5 10 15ΔV/V0
+
-
Arcilla normalmente consolidada
Arcilla preconsolidada
φ`
φ`
φ` r
Residual
Arcilla preconsolidada
Arcilla normalmente consolidada
Esfuerzo normal efectivo σ`
Máx
imo
esf
uer
zo c
ort
ante
τ
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La teoría del equilibrio límite para el análisis de estabilidad se consideran las presiones de
tierras en los muros de contención, la estabilidad de taludes y la capacidad portante de
cimentaciones.
La segunda categoría la constituyen los problemas de distribución de esfuerzos y
de deformaciones, en los que el interés está centrado en la predicción de esfuerzos y
deformaciones (por lo general asentamientos) en el suelo cuando los niveles de esfuerzos
se restringen a un rango de trabajo muy por debajo del valor de falla y dentro de la parte
inicial, aproximadamente lineal, de la curva esfuerzo- deformación. Para estas condiciones
se supone que el suelo se encuentra en un estado de equilibrio elástico y las distribuciones
de esfuerzos y las deformaciones se determinan bajo el supuesto de que el suelo se
comporta como un material homogéneo, isotrópico y linealmente elástico, cuyas
propiedades se definen con el módulo de elasticidad E, y la relación de Poisson, ν.
Muchas de las soluciones obtenidas para las distribuciones de esfuerzos se derivan
de los trabajos de Boussinesq, quien en 1885 desarrolló expresiones matemáticas para
obtener el incremento de esfuerzo de una masa semiinfinita5 de suelo debido a la aplicación
de una carga puntual en su superficie. Las expresiones de Boussinesq se han integrado
para obtener soluciones para áreas cargadas y se han modificado para tomar en cuenta
estratos de suelo de espesor finito, sistemas de varios estratos y aplicación de cargas por
debajo de la superficie de la masa de suelo.
Las condiciones complejas de carga con frecuencia pueden tratarse como una
combinación de dos o más de estos casos simples de carga, y su solución puede obtenerse
aplicando el principio de superposición. Los cambios de esfuerzo debidos a la descarga, por
ejemplo, en excavaciones, pueden calcularse simplemente con una carga negativa aplicada
sobre el área de excavación.
Debe recordarse que las soluciones producen cambios en esfuerzo que resultan de
la aplicación de cargas, y no toman en cuenta los esfuerzos que existen en la masa de suelo
debidos a su propio peso.
5 Una masa semiinfinita es la que está limitada por una superficie horizontal y se extiende al infinito
verticalmente hacia abajo, y horizontalmente en todas direcciones.
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Carga puntual vertical
( )
[
( ) −
−
√ ]
−
( − ) [
( ) −
√ ]
( )
Carga lineal vertical de longitud infinita
( )
( )
( )
Carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita
[ ( )]
[ − ( )]
( )
N
z
r
Q
Δσv
Δσr
Δσθ
Figura 13- Carga puntual vertical
N
z
Q
Δσy
Δσx
x
Por metro
Figura 14- Carga lineal vertical de longitud infinita
N
z
ΔσvΔσx
β α
q
Figura 15- Carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita
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Carga con distribución triangular sobre una franja infinita
[
−
]
[
−
]
[ −
]
Carga uniformemente distribuida sobre un área rectangular
En este caso se presenta la solución para el
incremento de esfuerzo vertical total en un punto N debajo de
una esquina de un área rectangular flexible uniformemente
cargada (Figura 17). La solución puede expresarse de la
forma
Donde Iσ es un factor de influencia de esfuerzo que
depende de la longitud L y del ancho B del área
rectangular y de la profundidad z del punto N. Los valores
de Iσ expresados en función de los parámetros m=B/z y
n=L/z se presentan y determinan utilizando el ábaco de
Fadum (Gráfico 2).
El mérito de presentar una solución para un punto
esquinero radica en que por simple superposición Δσv
puede calcularse con facilidad para cualquier punto en la
masa de suelo debido a cualquier área uniformemente
cargada que pueda subdividirse en
rectángulos. Por ejemplo para la
Figura 18:
Figura 18- División en subáreas
( ) ( ) ( ) ( )
N
z
ΔσvΔσx
B
β α
q
R1 R2
x
Figura 16- Carga con distribución triangular sobre una franja infinita
N
L
B
Presión uniforme q
zΔσv
Figura 17- Carga uniformemente distribuida sobre un área rectangular
Gráfico 2- Ábaco de Fadum
B
L
(1) (2)
(3) (4)
x
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Carga uniformemente distribuida sobre un área circular
El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z
bajo el centro de un área circular flexible de radio R cargada con
una presión uniforme q que está dado por:
{ − [
( ) ]
}
Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el
centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente
complicada, y por lo general se presentan en forma gráfica o en
tablas. En el punto N de la Figura 19, puede escribirse el
incremento en el esfuerzo vertical total como:
Donde el factor de influencia Iσ
depende del R, z y r. Los valores de Iσ
en función de los parámetros z/R y r/R
se obtienen según el gráfico de Foster y
Ahlvin (Gráfico 3).
Diagrama de influencia de Newmark
En 1942 Newmark propuso un
procedimiento gráfico para determinar el
incremento de esfuerzo vertical total
bajo cualquier área de forma flexible
uniformemente cargada. El gráfico de
Newmark, que se muestra en el Gráfico
4, consta de un número de áreas de
influencia creadas por la intersección de
una serie de círculos concéntricos con líneas que parten del
origen en sentido radial. El gráfico está construido de tal
manera que cuando cada área de influencia se carga con una
presión uniforme q se obtiene el mismo incremento de
esfuerzo vertical total a una profundidad AB por debajo del
origen de la gráfica. Por tanto, si en este caso el número total
de áreas de influencia en la gráfica es 200, cada una
representará un cambio de esfuerzo de 0,005q; de esta
manera se define un valor de influencia I que para este gráfico
es 0,005.
Para utilizar el gráfico se dibuja el contorno del área
cargada a una escala compatible con la del gráfico; esta
N
z
r
Δσv
qR
Figura 19- Carga uniformemente distribuida sobre un área
circular
Gráfico 3- Gráfico de Foster y Ahlvin
Gráfico 4- Diagrama de influencia de Newmark
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escala debe ser tal que la longitud de la línea de escala AB sobre el gráfico corresponda a la
profundidad z a la cual se quiere encontrar el incremento de esfuerzo. El contorno a escala
se localiza de manera tal que el punto bajo el cual se quiere encontrar el esfuerzo quede
directamente sobre el origen del gráfico. El número de áreas de influencia al interior del
contorno se calcula y se denomina n. El incremento en el esfuerzo vertical total se obtiene
entonces así
Desplazando el contorno a escala alrededor del gráfico, puede determinarse Δσv en
todos los puntos del suelo a la profundidad z. Para calcular Δσv a cualquier en otra
profundidad, el proceso se repite con el contorno dibujado a otra escala.
El gráfico de Newmark es particularmente útil para áreas cargadas de forma irregular
y como método adicional para evaluar esfuerzos debajo de áreas circulares cargadas.
Cálculo aproximado del incremento del esfuerzo vertical
Para áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede hacerse un
cálculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la carga
aplicada se distribuye dentro de un cono truncado o una pirámide truncada formados por
lados con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la horizontal, como se ilustra en la Figura 20.
Por ejemplo, si el área cargada es un rectángulo de longitud L y ancho B, el incremento
promedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z estará dado aproximadamente por
( 𝒛)( 𝒛)
Cualquier área cargada puede considerarse como
un número discreto de subáreas, que contribuyen cada
una con una carga puntual aplicada sobre la superficie
del suelo en su punto central. El incremento de esfuerzo
debido al área completa se obtiene entonces utilizando la
ecuación de Boussinesq correspondiente a una carga
puntual y el principio de superposición. Si la profundidad
a la que se va a encontrar el esfuerzo es por lo menos
tres veces el ancho escogido para las subáreas, sólo se
presentarán pequeñas inexactitudes. En realidad, con la
disponibilidad de las computadoras, considerar un
número suficiente de subáreas para asegurar precisión
en los cálculos es algo simple, caso en el cual la aproximación será más conveniente que
una basada en el uso de gráficos o tablas de factores de influencia.
z
L x B
(L+z) x (B+z)
Δσv
1
2
Figura 20- Cálculo aproximado del incremento del esfuerzo vertical
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Bulbos de esfuerzo
Las soluciones presentadas anteriormente
pueden utilizarse para obtener las líneas de igual
incremento de esfuerzo en una masa de suelo
producido por una carga aplicada en su superficie.
Por ejemplo, en la Figura 22 se muestran las líneas
de igual incremento del esfuerzo vertical total
expresado como una fracción de la presión aplicada
q en una franja infinitamente larga, y en la Figura 21
se muestra una sección transversal en la línea
central de un área cuadrada. Las líneas forman lo
que se denomina bulbos de esfuerzo del área
cargada, y dan una representación visual útil de la
manera como el incremento de esfuerzo se
distribuye a través de la masa de suelo. Se ve, por
ejemplo, que para cualquier profundidad el mayor
incremento de esfuerzo tiene lugar debajo del centro.
Por tanto, las distribuciones de Δσv por debajo del punto central son de especial interés, y se
muestran por separado para una franja y un área cuadrada en las Figuras 22 y 23
respectivamente. Por debajo del centro de un área rectangular cargada de ancho B, Δσv a
una profundidad de tres veces el ancho es más o menos el 5% de la presión superficial q.
De otro lado, debajo de la línea central de una franja de ancho B una reducción similar de
Δσv se logra sólo cuando la profundidad es superior a 10B. La profundidad hasta la cual el
incremento de esfuerzo es
significativo se denomina zona de
influencia y puede tomarse
entonces como aproximadamente
10 veces el ancho en el caso de
una franja infinitamente larga y
aproximadamente tres veces el
ancho en el caso de un área
cuadrada cargada. De manera
similar, la zona de influencia de un
área circular cargada se extiende
hasta una profundidad de más o
menos tres veces su diámetro.
Asentamientos basados en la teoría de la elasticidad
La teoría de la elasticidad en la cual se apoyan las soluciones dadas en la sección
anterior también puede utilizarse para obtener expresiones de las deformaciones que
resultan en una masa de suelo cuando se le aplica una carga. En la práctica, son de
especial interés las deformaciones verticales, es decir, los asentamientos que se producen
en la superficie de la masa de suelo cuando la carga se aplica sobre el área de cimentación.
Figura 22- Bulbo de esfuerzo para una franja infinita con carga uniformemente distribuida
Figura 21- Bulbo de esfuerzo para un área cuadrada con carga uniformemente distribuida
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Las soluciones para los asentamientos basadas en la teoría de la elasticidad utilizan el
módulo de elasticidad E y la relación de Poisson ν. Sin embargo, una masa de suelo no
tiene valores únicos de E y ν, y la dificultad para determinar los valores apropiados de esos
parámetros limita la aplicación práctica de estas soluciones.
En depósitos de arena el valor del módulo varía no sólo con la profundidad, sino
también con el ancho del área cargada, y en el rango “elástico” inicial de deformación el
valor de la relación de Poisson varía con la deformación. En consecuencia, las soluciones
basadas en la elasticidad son poco utilizadas en la predicción de asentamientos en arenas.
En la práctica, dichas predicciones se basan por lo general en métodos más empíricos como
los que se describen en otro capítulo.
Sin embargo, en depósitos de arcilla saturada, los asentamientos que se presentan
inmediatamente durante la construcción se producen sin ningún drenaje del agua intersticial
del suelo. Esta es una condición de cambio de volumen nulo en la masa de suelo para la
cual la relación de Poisson ν=0,5; y es razonable la hipótesis de un módulo de elasticidad no
drenado constante. Por tanto, en la práctica, las soluciones que se presentan en esta
sección se utilizan principalmente para predecir los asentamientos inmediatos (a veces
llamados asentamientos elásticos) que se producen en los depósitos de arcilla en
condiciones no drenadas.
Área rectangular con carga uniformemente distribuida
El asentamiento en la superficie de una masa de suelo semiinfinita en la esquina de
un área rectangular flexible de longitud L y
ancho B a la que se aplica una carga uniforme
q está dado por
( − )
Donde Is es el factor de influencia del
asentamiento que depende de la relación
longitud/ancho del área rectangular. La relación
entre Is y L/B fue establecida por Terzaghi y se
muestra en el Gráfico 5.
Si el área rectangular está en la
superficie de un estrato de suelo de espesor
finito D que reposa sobre una base rígida, el
asentamiento en una esquina puede obtenerse
a partir de la solución aproximada presentada
por Steinbrenner. En este caso el factor de
influencia Is puede expresarse en términos de
las funciones F1 y F2, así
Gráfico 5- Factor de influencia de Terzaghi para masa de suelo semiinfinita
Gráfico 6- Diagrama de Steinbrenner para espesor finito
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María Inés Ulla- M.U. 0706 24
( −
− )
Las funciones F1 y F2 dependen de las relaciones L/B y D/B y se presentan
gráficamente en el Gráfico 6. Los asentamientos superficiales en otros puntos diferentes de
las esquinas o debidos a áreas cargadas constan de una combinación de formas
rectangulares, y pueden determinarse aplicando el principio de superposición como se
explicó anteriormente.
Área circular con carga uniformemente distribuida
Los asentamientos en la superficie
debidos a una carga uniforme q que actúa
sobre un área circular flexible de radio R
están dados por
Donde el factor de influencia Is
depende del valor de la relación de
Poisson y de la distancia radial desde el
centro del área hasta el punto en el que se
busca el asentamiento. Valores de Is para
una masa de suelo semiinfinita y para dos
casos de estratos de suelo de espesor
finito D los presentó Terzaghi y se
reproducen en el Gráfico 7.
Ejemplo 2
Un área rectangular flexible de 8 m de longitud por 4 m de ancho aplica una presión uniforme
de 40 kN/m2 en la superficie de un estrato de 20 m de espesor de arcilla saturada que reposa sobre el
lecho rocoso. Calcular el incremento en el esfuerzo vertical total en la arcilla a una profundidad de 5 m
bajo el centro y bajo una de las esquinas del área cargada
Calcular también el asentamiento diferencial inmediato
entre el centro y una esquina del área cargada.
Las propiedades de la arcilla son: módulo de
elasticidad no drenado: 3.500 kN/m2 y relación de Poisson=
0,5.
z=5 m
(1)(2)
(3) (4)
Arcilla
Lecho rocoso
8 m
4 m
Gráfico 7- Valores de factor de influencia de asentamientos para área circular flexible uniformemente cargada, según Terzaghi
Figura 23- Esquematización del ejemplo 2
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Solución
Para determinar los incrementos en el esfuerzo vertical total bajo un área rectangular cargada se
utiliza el diagrama de Fadum. Para los esfuerzos bajo el punto central, debe dividirse el área cargada
en cuatro subáreas y aplicar el principio de superposición. Tenemos entonces la Figura 23.
Calculamos los parámetros y los factores de influencia para el total y para una de las
subáreas:
Área B (m) L (m) z (m) m= B/z n= L/z Iσ
Total 4 8 5 0,8 1,6 0,18
Subárea (1) 2 4 5 0,4 0,8 0,09
Tabla 5- Cálculo de parámetros y factores de influencia del ejemplo 2
Obtenemos el incremento en el esfuerzo vertical total a una profundidad de 5 m bajo una
esquina del área cargada:
Y bajo el centro
Para determinar los asentamientos superficiales inmediatos de un área rectangular flexible
sobre un estrato de espesor finito se utiliza el diagrama de Steinbrenner. Para el asentamiento en el
centro, se divide nuevamente el área cargada en cuatro subáreas y se aplica el principio de
superposición. La arcilla saturada tiene una relación de Poisson ν= 0,5 y tanto el factor de influencia
Is se reduce a Is=F1. Entonces, con referencia a la Figura 23:
Área L (m) B (m) D (m) L/B D/B Is=F1
Total 8 4 20 2 5 0,525
Subárea (1) 4 2 20 2 10 0,64
Tabla 6- Cálculo de parámetros y factores de influencia para el asentamiento en el ejemplo 2
Obtenemos entonces el asentamiento inmediato en una esquina del área cargada:
( − )
Y en el centro
( − )
Por consiguiente, el asentamiento diferencial inmediato= 44 mm – 18 mm = 26 mm
Puede verificarse de inmediato que el asentamiento máximo de un área flexible cargada tiene
lugar bajo su centro, y el asentamiento mínimo bajo una esquina (el borde, en caso de un área
circular cargada). De esta manera 26 mm representa el asentamiento diferencial inmediato máximo
para esta área cargada.
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Conclusiones
El comportamiento de los suelos, dispuestos por la naturaleza en depósitos
heterogéneos, es demasiado complicado para realizar un tratamiento teórico riguroso,
debido a lo cual su estudio merece toda una disciplina aparte, la Mecánica de Suelos.
El análisis y estudio de los suelos es de suma importancia para asegurar el buen
comportamiento y estabilidad todas las obras de ingeniería que se apoyan sobre el suelo
o en que están hechas de suelo.
Los suelos están formados por diferentes fases: partículas, agua y aire; por lo que se
debe diferenciar cómo los esfuerzos normales y cortantes son compartidos por las
diferentes fases. Los gases y líquidos no proveen resistencia significante al esfuerzo
cortante, la cual es causada por la fricción y entrelazamiento de las partículas. Los
esfuerzos normales, en cambio, son compartidos por los fluidos y las partículas.
Terzaghi postuló el Principio de Esfuerzo Efectivo para saber distinguir y entender la
relación entre los esfuerzos en el esqueleto del suelo y los debidos a la presión
intersticial.
El análisis bidimensional mediante la aplicación del diagrama de Mohr es muy útil
cuando las condiciones de esfuerzos se aproximan a los de deformación plana. Aunque
actualmente con la aplicación de programas informáticos es posible calcular los
esfuerzos con gran precisión sin recurrir a este método, aunque sigue siendo de gran
validez puesto que es una representación gráfica que explica la situación tensional de un
sólido mediante un golpe de vista.
Los esfuerzos que se deben estudiar en una masa de suelo son los debidos al propio
peso y los debidos a cargas aplicadas. El cálculo de los esfuerzos debidos a cargas
aplicadas se basa en la aplicación de la teoría de la elasticidad utilizando las soluciones
de Boussinesq, las cuales se han integrado y modificado para obtener soluciones para
otros sistemas más complejos.
El cálculo de los asentamientos (deformaciones verticales) en una masa de suelo debido
a la aplicación de una carga sobre el área de cimentación, también puede realizarse
basándose en la teoría de la elasticidad, la cual tiene limitaciones, ya que la masa de
suelo no tiene valores únicos de su módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson
ν, lo que hace difícil determinar un valor apropiado de tales parámetros en la aplicación
práctica de estas soluciones.
Los conceptos de la teoría de la elasticidad son aplicables solamente con carácter
aproximado a los suelos, debido a que éstos no cumplen con las hipótesis establecidas
por la teoría elástica. Sin embargo, las soluciones presentadas se utilizan principalmente
en depósitos de arcilla saturada no drenada, donde los asentamientos inmediatos no
producen drenaje del agua intersticial del suelo, donde podemos considerar un módulo
de elasticidad y coeficiente de Poisson constantes, siendo aplicables tales soluciones.
Facultad de Tecnología y Cs. Aplicadas Electiva II: Mecánica de Suelos
María Inés Ulla- M.U. 0706 27
Es importante determinar de manera confiable y apegado lo más posible a la realidad los
valores del módulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson para obtener de manera
más precisa el cálculo de las deformaciones del suelo. De ahí la importancia de los
ensayos.
El cálculo aproximado permite obtener una gran precisión en los cálculos combinando
herramientas de cálculo numérico con la ecuación de Boussinesq correspondiente a una
carga puntual y el principio de superposición, mediante la subdivisión de un área
cargada en un número discreto suficiente de subáreas para asegurar la precisión en los
cálculos.
Aunque se estén desarrollando teorías exclusivas en la mecánica de suelos para
determinar las deformaciones que sufre una masa de suelo bajo la aplicación de cargas,
en la actualidad se recurre aún a la teoría elástica.
Facultad de Tecnología y Cs. Aplicadas Electiva II: Mecánica de Suelos
María Inés Ulla- M.U. 0706 28
Bibliografía
Berry, Peter L.; Reid, David: ¨Mecánica de Suelos¨. Department of Civil Engineering,
University of Salford. McGraw-Hill.
Perry, Gianfranco; “La Geotecnia en Minería”. Profesor de Mecánica de Rocas de la UCV y
Jefe del Departamento de Ing. de Minas.
Carlos de Sousa Pinto; “Curso básico de Mecânica dos Solos, 3ª edição”. Oficina de Textos,
São Paulo, 2006.
Prof. Dr. Jorge A. Capote Abreu, “La Mecánica de Suelos y las Cimentaciones”.
Facultad de Tecnología y Cs. Aplicadas Electiva II: Mecánica de Suelos
María Inés Ulla- M.U. 0706 29
Índice de figuras Figura 1- Algunas aplicaciones de la ingeniería geotécnica en minería y algunas posibles consecuencias de no
aplicar el análisis geotécnico ___________________________________________________________________ 4
Figura 2- Principio de esfuerzo efectivo __________________________________________________________ 8
Figura 3- Deformación debida al desplazamiento de las partículas ____________________________________ 9
Figura 4- Esfuerzos debidos a la interacción entre las partículas _______________________________________ 9
Figura 5- Estado general de esfuerzos en un elemento de la masa de suelo y esfuerzos principales __________ 10
Figura 6- Problemas de deformaciones planas típicos ______________________________________________ 11
Figura 7- Estado de esfuerzos bidimensional en un elemento de suelo _________________________________ 11
Figura 8- Diagrama de Mohr y Círculo de Mohr de esfuerzos ________________________________________ 13
Figura 9- Esfuerzos debidos al propio peso _______________________________________________________ 13
Figura 10- Perfil del suelo del ejemplo 1 _________________________________________________________ 15
Figura 11 Relaciones esfuerzo-deformación de materiales: a) elástico, b) plástico rígido, c) elastoplástico, d)
elastoplástico con ablandamiento, e) material real ________________________________________________ 16
Figura 12- Ejemplos de relaciones esfuerzo-deformación para suelos reales ____________________________ 16
Figura 13- Carga puntual vertical ______________________________________________________________ 18
Figura 14- Carga lineal vertical de longitud infinita ________________________________________________ 18
Figura 15- Carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita _________________________________ 18
Figura 16- Carga con distribución triangular sobre una franja infinita _________________________________ 19
Figura 17- Carga uniformemente distribuida sobre un área rectangular _______________________________ 19
Figura 18- División en subáreas ________________________________________________________________ 19
Figura 19- Carga uniformemente distribuida sobre un área circular ___________________________________ 20
Figura 20- Cálculo aproximado del incremento del esfuerzo vertical __________________________________ 21
Figura 21- Bulbo de esfuerzo para un área cuadrada con carga uniformemente distribuida _______________ 22
Figura 22- Bulbo de esfuerzo para una franja infinita con carga uniformemente distribuida _______________ 22
Figura 23- Esquematización del ejemplo 2 _______________________________________________________ 24
Índice de tablas Tabla 1-Definiciones del tamaño de las partículas según diferentes sistemas ____________________________ 5
Tabla 2- Sistema de clasificación unificado ________________________________________________________ 6
Tabla 3- Clasificación de suelos según AASHTO ____________________________________________________ 6
Tabla 4- Cálculo del esfuerzo vertical total, la presión intersticial y el esfuerzo efectivo en cada zona del ej. 1 _ 15
Tabla 5- Cálculo de parámetros y factores de influencia del ejemplo 2 _________________________________ 25
Tabla 6- Cálculo de parámetros y factores de influencia para el asentamiento en el ejemplo 2 _____________ 25
Índice de gráficos Gráfico 1- Representación de la variación del esfuerzo total, presión intersticial y esfuerzo efectivo con la
profundidad del ejemplo 1 ____________________________________________________________________ 15
Gráfico 2- Ábaco de Fadum ___________________________________________________________________ 19
Gráfico 3- Gráfico de Foster y Ahlvin ____________________________________________________________ 20
Gráfico 4- Diagrama de influencia de Newmark ___________________________________________________ 20
Gráfico 5- Factor de influencia de Terzaghi para masa de suelo semiinfinita ____________________________ 23
Gráfico 6- Diagrama de Steinbrenner para espesor finito ___________________________________________ 23
Gráfico 7- Valores de factor de influencia de asentamientos para área circular flexible uniformemente cargada,
según Terzaghi _____________________________________________________________________________ 24
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