elasticidad

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Así como los electrones están unidos a sus núcleos por fuerzas electromagnéticas, los átomos en un sólido también están ligados unos a otros por fuerzas electromagnéticas. ESTA FUERZA ELECTROMAGNETICA ES LA QUE SE REFIERE A LA FUERZA ELASTICA.

ESFUERZO Y DEFORMACION

Un sólido puede ser deformando en diferentes formas. Estas pueden ser divididas en tres categorías:

Cambios en longitud Cambios en orientación angular.

Tensión, compresión corte

Cambios en volumen

ESFUERZO.- Se lo define como la razón entre la fuerza y el área. Sus unidades son N/m2

A

F=σ

F F

ESFUERZO DE TENSION

Area

larperpendicu Fuerza=σ

A

F⊥=σ

A

definiciones

∆ l

PROBLEMAPROBLEMA

Para que se cumplan las condiciones de seguridad necesarias, determinado cable de elevador ha de tener un esfuerzo máximo de 10 000 lb/pulg2. Si tiene que sostener un elevador cargado con un peso total de 4 000 lb, con una aceleración máxima hacia arriba de 5 pie/s2, ¿cuál debe ser el diámetro del cable?

SOLUCION

F

mg

a

maFy =∑mamgF =−

( )agmF +=

+

( )

42d

agm

A

F

πσ +== ( )

πσagm

d+= 4

( ) ( )( ) 22

2

2.3210000

.52.3240004

sftlb

lb

inlb

sftlbd f

f

×+=−

π ind 77.0=

DEFORMACION UNITARIA

Si un cuerpo tiene una longitud inicial l y se estira o comprime una cantidad ∆l cuando se aplica un esfuerzo, entonces la deformación unitaria es:

l

l∆=δ Es una cantidad adimensional

Experimentalmente se encuentra que δEs proporcional

a la fuerza deformadora pero inversamente proporcional a la sección transversal.

δσσαδ E=⇒l

lE

A

F ∆=

CURVA MATERIAL DUCTIL

CURVA ESFUERZO - DEFORMACION UNITARIA

El límite de proporcionalidad es el esfuerzo hasta el que se puede aplicar la ley de Hooke.

Cuando se aplica un esfuerzo igual al límite elástico el material no se deforma permanentemente cuando se suprime el esfuerzo pero ya no se puede aplicar la ley de Hooke.

EJEMPLO

El hueso humano tiene un módulo elástico de aproximadamente E = 1.5x1010 N/m2 en compresión. El valor del límite elástico es σ = 1.7x108 N/m2. La sección transversal total de los huesos de la pierna es 1x10-3 m2 y su longitud 0.5m. ¿Cuánto decrece esta longitud cuando el hombre levanta un peso de 100 Kg.?

( )23

2

101

8.9.100

ms

mkg

A

mg

A

F−×

===σ

25108.9m

N×=σ2

10

25

105.1

108.9

mNm

N

E ×

×== σδ 5105.6 −×=δ

( )mll 5.0105.6 5−×⇒=∆ δ mml 033.0=∆

continuación

¿Cuál es el máximo peso que puede levantar antes de que sus piernas queden deformadas permanentemente?

28107.1m

Nc ×=σ AF cσ=

( )232

8 101107.1 mm

NF −××=

NF 5107.1 ×=

lbF 38160=

ESFUERZOS CORTANTES

Se producen esfuerzos cortantes cuando planos adyacentes dentro de un sólido se desplazan uno con respecto al otro.

L

A∆X

F

El esfuerzo cortante se define como la fuerza aplicada dividida para el área del plano paralelo a la dirección de la fuerza.

cτ

A

Fc =τ

Deformación unitaria (cortante)

L

X

L

Xc

∆=∆= φδ tan pero

φφδ ≈= tanc

pequeña. es si φ

continuación

L

A∆X

F

Donde G es el mòdulo de rigidez (cortante) el cual es una constante de proporcionalidad.

O equivalentemente:

En analogía al módulo Young:

aquí:

δσ E=

cGδτ =

LXA

FG ∆==

unitarian deformació

esfuerzo

El valor del Módulo G es usualmente alrededor de 1/3 a ½ del valor del módulo elástico.

EJEMPLO

Se transporta en un camión una gran pieza de maquinaria la cual va sobre un bloque de caucho para reducir vibraciones.

El bloque tiene 0.4 m de lado por 0.015 m de espesor. La pieza de maquinaria tiene una masa de 5000 kg.

El camión se mueve a 10 m/s cuando toma una curva con radio de curvatura de 50 m ¿Cuál es el desplazamiento horizontal de la carga?

26105m

NG ×=

Necesito ∆x: ( ) 224.0 donde mA

A

F ==τ

y F es la fuerza es la fuerza centrípeta.

L

XGG

rA

mvc

∆=== δτ2

r

vmF

2

=

L

xG

rA

mv ∆=2

( )

( )2

622

2

22

1054.050

015.010.5000

mN

mm

msm

kgX

××

×=∆ mmX 19.0=∆

0.4m

0.4m

0.015m

rAG

LmvX

2

=∆

SOLUCION

EJEMPLOUna barra de sección transversal A está sometida en sus extremos a fuerzas tensoras F iguales y opuestas. Considere a un plano que corta a la barra y que forma un ángulo θ con un plano perpendicular a la misma.

a) ¿Cuál es el esfuerzo de tensión en este plano, en función de F, A y θ

FF

F

θ

FN

θ

Ft

A

A’F θ

θ

θσcos

cos

' AF

A

FN ==

SOLUCION

θσ 2cosA

F=

b) ¿Cuál es el esfuerzo cortante en el plano, en función de F, A y θ?

θ

θτcos

' AFsen

A

Ft == θθτ cossenA

F=

c) ¿Para qué valor de θ es máximo el esfuerzo tensor?

0cos2 =−= θθθσ

senA

F

d

d02 =− θsen

A

F 00=θd) ¿Para qué valor de θ es máximo el esfuerzo cortante?

( ) 0cos22 =+−= θθθτ

senA

F

d

d θθ cos=sen 045=θ

θ

Ft

A

A’F θ

EJEMPLO

Una barra cuadrada de acero, y otra similar de aluminio tienen las dimensiones indicadas en la figura, Calcúlese la magnitud de la fuerza P que hará que la longitud total de las dos barras disminuya 0.025 cm.

2626 107.0 ;102 cmkgcmkg Alacero ×=Ε×=Ε

40 cm

30 cm

P

Barra de Acero

5 x 5 cm.

Barra de Aluminio

10 x 10 cm.

Acero30 cm.

40 cm.

P

P

P

P

Aluminio

ac

acac

ac L

L

A

P ∆Ε=

PPA

LL

acac

acac

66

105

3

10225

30 −×=××

=Ε

=∆

PPA

LL

alal

alal

66

107

4

107.0100

40 −= ×=

××=

Ε∆

.025.0 cmLL alac =∆+∆

continuación

40 cm

30 cm

P

Barra de Acero

5 x 5 cm.

Barra de Aluminio

10 x 10 cm.

.025.0 cmLL alac =∆+∆

025.0107

410

5

3 66 =

×+× −− P

610025.07

4

5

3 ×=

+ P

610025.035

2021 ×=+P ( ) .5.2134110025.0

41

35 6 kgP =×=

tonkg

tonkgP 3.21

1000

1.5.21341 =×= tonP 3.21=

continuación

a) Determinar el esfuerzo cortante medio en los pernos.

EJEMPLO

P=200KN

d=10mm200mm

5mmA

25

5

2210

2

1

102

4

4cm

NN

d

P

d

P ×=×

×===ππππ

τ

281037.6m

N×=4P

4P

4P

2P

continuación

b) Determinar el esfuerzo normal máximo en la placa A

( ) ( )[ ] 291105.0125.020 cmneta =−=×−×=Α

25

5

109

2

9

102cm

Nmáx ×=×=σ

20.0 cm.

25

max 10222.0cm

Nx=σ

COEFICIENTE DE POISSON

La elongación producida por una fuerza F de tensión en dirección de la fuerza va acompañada por una contracción en la dirección transversal. Sin embargo, es incorrecto decir que el volumen de la barra permanece constante.

Se debe suponer que el material bajo consideración es homogéneo ( sus propiedades mecánicas son independientes del punto considerado)

También se debe suponer que el material es ISOTROPICO (sus propiedades mecánicas son independientes de la dirección considerada.

Coeficiente de Poisson

axial unitarian deformació

al transversunitarian deformació−=ε

x

y

δδ

ε −= El esfuerzo está aplicado en el eje X

EE x

xxx

σδδσ =⇒= xy εδδ −=

Ex

y

σεδ −= A pesar de que el esfuerzo ha sido aplicado en el eje X, existe una deformación en Y y en X.

Similarmente:Ex

z

σεδ −=

Se observa que δy= δz

¿significa que ΔLy=ΔLz?

La respuesta es NO, porque depende de las dimensiones iniciales de los lados Ly y Lz

F F

continuación

EJEMPLO

Una barra de 500 mm de largo y 16 mm de diámetro incrementa su longitud en 300 µm y decrece en diámetro en 2.4 µm cuando se somete a una carga axial de 12 kN. Determine el módulo de Young E y el coeficiente de Poisson del material ε.

L= 500 mm = 0.5 m

ΔL = 300x10-6 m

Δd = -2.4x10-6

d = 0.016 m

F =12000NF

y

z

ΔL

d

L

L

L

d

L

d

ΔL

L

d

y

continuación

EE x

xxx

σδδσ =⇒=

LLdd

x

y

∆

∆

−=⇒−= εδδ

ε

z

F

ΔL

d

L

LA

FLE

AE

F

L

L

∆=⇒=∆

( )m

m

mNE

62

103004

016.0

5.012000

−××

×=π

2101095.9

mNE ×=

5.010300

016.0104.2

6

6

−

−

×

×−−=ε 25.0=ε

Ahora se van a aplicar esfuerzos en todas las caras de un prisma.

xx Eδσ =

Ex

x

σδ =

xyx

y εδδδδ

ε −=⇒−=

Ex

y

εσδ −=

xσxσ

yσ

yσ

zσ

zσ x

y

z

xzx

z εδδδδε −=⇒−=

Ex

z

εσδ −=

Ex

x

σδ =Ex

y

εσδ −=

Ex

z

εσδ −=

continuación

yy Eδσ =

Ey

y

σδ =

yxy

x εδδδδε −=⇒−=

Ey

x

εσδ −= E

yz

εσδ −=

Ey

y

σδ =

xσxσ

yσ

yσ

zσ

zσ x

y

z

continuación

EEEzyx

x

εσεσσδ −−=

EEEzyx

y

εσσεσδ −+−=

EEEzyx

z

σεσεσδ +−−=

GENERALIZACION

DE LA LEY

DE HOOKE

Los signos son válidos si todos los esfuerzos son de tensión.

EJEMPLO

Un bloque de acero se somete a una presión uniforme en todas sus caras. El lado AB se contrae 24 µm. Determine:

a) El cambio de longitud en

los otros dos lados.

b) La presión P aplicada a las caras del bloque.

0.29 200 == εGPaE

EEEzyx

x

εσεσσδ −−= Pzyx −=== σσσ

E

P

E

Px

εδ 2+−= ( )12 −= εδE

Px

x

40mm

80mm

60mm• •

••

y

z

A B

C

D

3

6

1080

1024−

−

××−=∆=

AB

ABx L

Lδ4103 −×−=xδ

continuación

4103 Como −×−=== zyx δδδx

40mm

80mm

60mm• •

••

y

z

A

B

C

D

( )mLL

LBC

BC

BCy

34 1040103 −− ××−=∆⇒∆=δ

mLBC5102.1 −×−=∆

( )mLL

LBD

BD

BDz

34 1060103 −− ××−=∆⇒∆=δ

mLBD5108.1 −×−=∆

( )12 −= εδE

Px

12 −=

εδ xE

P

( )129.02

10310200 42

9

−×

×−×=

−

mN

P

MPaP 9.142=

Determinar la deformación en el extremo libre A de la barra AB causada por su propio peso. Dicha barra tiene un área transversal constante A y un peso por unidad de longitud de p0.

L

A

B

xdx

P(x)=p0xdx

dl=δ ∫=∆ dxl δ

dxE

l ∫=∆ σ ( )( ) dxExA

xPl ∫=∆

( ) xpxP 0= ( ) AxA = dxAE

xpl ∫=∆ 0

∫∫ =∆ 0

0

0 L

lxdx

AE

pdl 020

2 Lx

AE

pl −=∆

AE

Lpl

2

20−=∆

AE

LLpl

2

)( 0=∆ AE

WLl

2=∆ Donde W es el

peso de la barra.