elasticidad
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Así como los electrones están unidos a sus núcleos por fuerzas electromagnéticas, los átomos en un sólido también están ligados unos a otros por fuerzas electromagnéticas. ESTA FUERZA ELECTROMAGNETICA ES LA QUE SE REFIERE A LA FUERZA ELASTICA.
ESFUERZO Y DEFORMACION
Un sólido puede ser deformando en diferentes formas. Estas pueden ser divididas en tres categorías:
Cambios en longitud Cambios en orientación angular.
Tensión, compresión corte
Cambios en volumen
ESFUERZO.- Se lo define como la razón entre la fuerza y el área. Sus unidades son N/m2
A
F=σ
F F
ESFUERZO DE TENSION
Area
larperpendicu Fuerza=σ
A
F⊥=σ
A
definiciones
∆ l
PROBLEMAPROBLEMA
Para que se cumplan las condiciones de seguridad necesarias, determinado cable de elevador ha de tener un esfuerzo máximo de 10 000 lb/pulg2. Si tiene que sostener un elevador cargado con un peso total de 4 000 lb, con una aceleración máxima hacia arriba de 5 pie/s2, ¿cuál debe ser el diámetro del cable?
SOLUCION
F
mg
a
maFy =∑mamgF =−
( )agmF +=
+
( )
42d
agm
A
F
πσ +== ( )
πσagm
d+= 4
( ) ( )( ) 22
2
2.3210000
.52.3240004
sftlb
lb
inlb
sftlbd f
f
×+=−
π ind 77.0=
DEFORMACION UNITARIA
Si un cuerpo tiene una longitud inicial l y se estira o comprime una cantidad ∆l cuando se aplica un esfuerzo, entonces la deformación unitaria es:
l
l∆=δ Es una cantidad adimensional
Experimentalmente se encuentra que δEs proporcional
a la fuerza deformadora pero inversamente proporcional a la sección transversal.
δσσαδ E=⇒l
lE
A
F ∆=
CURVA MATERIAL DUCTIL
CURVA ESFUERZO - DEFORMACION UNITARIA
El límite de proporcionalidad es el esfuerzo hasta el que se puede aplicar la ley de Hooke.
Cuando se aplica un esfuerzo igual al límite elástico el material no se deforma permanentemente cuando se suprime el esfuerzo pero ya no se puede aplicar la ley de Hooke.
EJEMPLO
El hueso humano tiene un módulo elástico de aproximadamente E = 1.5x1010 N/m2 en compresión. El valor del límite elástico es σ = 1.7x108 N/m2. La sección transversal total de los huesos de la pierna es 1x10-3 m2 y su longitud 0.5m. ¿Cuánto decrece esta longitud cuando el hombre levanta un peso de 100 Kg.?
( )23
2
101
8.9.100
ms
mkg
A
mg
A
F−×
===σ
25108.9m
N×=σ2
10
25
105.1
108.9
mNm
N
E ×
×== σδ 5105.6 −×=δ
( )mll 5.0105.6 5−×⇒=∆ δ mml 033.0=∆
continuación
¿Cuál es el máximo peso que puede levantar antes de que sus piernas queden deformadas permanentemente?
28107.1m
Nc ×=σ AF cσ=
( )232
8 101107.1 mm
NF −××=
NF 5107.1 ×=
lbF 38160=
ESFUERZOS CORTANTES
Se producen esfuerzos cortantes cuando planos adyacentes dentro de un sólido se desplazan uno con respecto al otro.
L
A∆X
F
El esfuerzo cortante se define como la fuerza aplicada dividida para el área del plano paralelo a la dirección de la fuerza.
cτ
A
Fc =τ
Deformación unitaria (cortante)
L
X
L
Xc
∆=∆= φδ tan pero
φφδ ≈= tanc
pequeña. es si φ
continuación
L
A∆X
F
Donde G es el mòdulo de rigidez (cortante) el cual es una constante de proporcionalidad.
O equivalentemente:
En analogía al módulo Young:
aquí:
δσ E=
cGδτ =
LXA
FG ∆==
unitarian deformació
esfuerzo
El valor del Módulo G es usualmente alrededor de 1/3 a ½ del valor del módulo elástico.
EJEMPLO
Se transporta en un camión una gran pieza de maquinaria la cual va sobre un bloque de caucho para reducir vibraciones.
El bloque tiene 0.4 m de lado por 0.015 m de espesor. La pieza de maquinaria tiene una masa de 5000 kg.
El camión se mueve a 10 m/s cuando toma una curva con radio de curvatura de 50 m ¿Cuál es el desplazamiento horizontal de la carga?
26105m
NG ×=
Necesito ∆x: ( ) 224.0 donde mA
A
F ==τ
y F es la fuerza es la fuerza centrípeta.
L
XGG
rA
mvc
∆=== δτ2
r
vmF
2
=
L
xG
rA
mv ∆=2
( )
( )2
622
2
22
1054.050
015.010.5000
mN
mm
msm
kgX
××
×=∆ mmX 19.0=∆
0.4m
0.4m
0.015m
rAG
LmvX
2
=∆
SOLUCION
EJEMPLOUna barra de sección transversal A está sometida en sus extremos a fuerzas tensoras F iguales y opuestas. Considere a un plano que corta a la barra y que forma un ángulo θ con un plano perpendicular a la misma.
a) ¿Cuál es el esfuerzo de tensión en este plano, en función de F, A y θ
FF
F
θ
FN
θ
Ft
A
A’F θ
θ
θσcos
cos
' AF
A
FN ==
SOLUCION
θσ 2cosA
F=
b) ¿Cuál es el esfuerzo cortante en el plano, en función de F, A y θ?
θ
θτcos
' AFsen
A
Ft == θθτ cossenA
F=
c) ¿Para qué valor de θ es máximo el esfuerzo tensor?
0cos2 =−= θθθσ
senA
F
d
d02 =− θsen
A
F 00=θd) ¿Para qué valor de θ es máximo el esfuerzo cortante?
( ) 0cos22 =+−= θθθτ
senA
F
d
d θθ cos=sen 045=θ
θ
Ft
A
A’F θ
EJEMPLO
Una barra cuadrada de acero, y otra similar de aluminio tienen las dimensiones indicadas en la figura, Calcúlese la magnitud de la fuerza P que hará que la longitud total de las dos barras disminuya 0.025 cm.
2626 107.0 ;102 cmkgcmkg Alacero ×=Ε×=Ε
40 cm
30 cm
P
Barra de Acero
5 x 5 cm.
Barra de Aluminio
10 x 10 cm.
Acero30 cm.
40 cm.
P
P
P
P
Aluminio
ac
acac
ac L
L
A
P ∆Ε=
PPA
LL
acac
acac
66
105
3
10225
30 −×=××
=Ε
=∆
PPA
LL
alal
alal
66
107
4
107.0100
40 −= ×=
××=
Ε∆
.025.0 cmLL alac =∆+∆
continuación
40 cm
30 cm
P
Barra de Acero
5 x 5 cm.
Barra de Aluminio
10 x 10 cm.
.025.0 cmLL alac =∆+∆
025.0107
410
5
3 66 =
×+× −− P
610025.07
4
5
3 ×=
+ P
610025.035
2021 ×=+P ( ) .5.2134110025.0
41
35 6 kgP =×=
tonkg
tonkgP 3.21
1000
1.5.21341 =×= tonP 3.21=
continuación
a) Determinar el esfuerzo cortante medio en los pernos.
EJEMPLO
P=200KN
d=10mm200mm
5mmA
25
5
2210
2
1
102
4
4cm
NN
d
P
d
P ×=×
×===ππππ
τ
281037.6m
N×=4P
4P
4P
2P
continuación
b) Determinar el esfuerzo normal máximo en la placa A
( ) ( )[ ] 291105.0125.020 cmneta =−=×−×=Α
25
5
109
2
9
102cm
Nmáx ×=×=σ
20.0 cm.
25
max 10222.0cm
Nx=σ
COEFICIENTE DE POISSON
La elongación producida por una fuerza F de tensión en dirección de la fuerza va acompañada por una contracción en la dirección transversal. Sin embargo, es incorrecto decir que el volumen de la barra permanece constante.
Se debe suponer que el material bajo consideración es homogéneo ( sus propiedades mecánicas son independientes del punto considerado)
También se debe suponer que el material es ISOTROPICO (sus propiedades mecánicas son independientes de la dirección considerada.
Coeficiente de Poisson
axial unitarian deformació
al transversunitarian deformació−=ε
x
y
δδ
ε −= El esfuerzo está aplicado en el eje X
EE x
xxx
σδδσ =⇒= xy εδδ −=
Ex
y
σεδ −= A pesar de que el esfuerzo ha sido aplicado en el eje X, existe una deformación en Y y en X.
Similarmente:Ex
z
σεδ −=
Se observa que δy= δz
¿significa que ΔLy=ΔLz?
La respuesta es NO, porque depende de las dimensiones iniciales de los lados Ly y Lz
F F
continuación
EJEMPLO
Una barra de 500 mm de largo y 16 mm de diámetro incrementa su longitud en 300 µm y decrece en diámetro en 2.4 µm cuando se somete a una carga axial de 12 kN. Determine el módulo de Young E y el coeficiente de Poisson del material ε.
L= 500 mm = 0.5 m
ΔL = 300x10-6 m
Δd = -2.4x10-6
d = 0.016 m
F =12000NF
y
z
ΔL
d
L
L
L
d
L
d
ΔL
L
d
y
continuación
EE x
xxx
σδδσ =⇒=
LLdd
x
y
∆
∆
−=⇒−= εδδ
ε
z
F
ΔL
d
L
LA
FLE
AE
F
L
L
∆=⇒=∆
( )m
m
mNE
62
103004
016.0
5.012000
−××
×=π
2101095.9
mNE ×=
5.010300
016.0104.2
6
6
−
−
×
×−−=ε 25.0=ε
Ahora se van a aplicar esfuerzos en todas las caras de un prisma.
xx Eδσ =
Ex
x
σδ =
xyx
y εδδδδ
ε −=⇒−=
Ex
y
εσδ −=
xσxσ
yσ
yσ
zσ
zσ x
y
z
xzx
z εδδδδε −=⇒−=
Ex
z
εσδ −=
Ex
x
σδ =Ex
y
εσδ −=
Ex
z
εσδ −=
continuación
yy Eδσ =
Ey
y
σδ =
yxy
x εδδδδε −=⇒−=
Ey
x
εσδ −= E
yz
εσδ −=
Ey
y
σδ =
xσxσ
yσ
yσ
zσ
zσ x
y
z
continuación
EEEzyx
x
εσεσσδ −−=
EEEzyx
y
εσσεσδ −+−=
EEEzyx
z
σεσεσδ +−−=
GENERALIZACION
DE LA LEY
DE HOOKE
Los signos son válidos si todos los esfuerzos son de tensión.
EJEMPLO
Un bloque de acero se somete a una presión uniforme en todas sus caras. El lado AB se contrae 24 µm. Determine:
a) El cambio de longitud en
los otros dos lados.
b) La presión P aplicada a las caras del bloque.
0.29 200 == εGPaE
EEEzyx
x
εσεσσδ −−= Pzyx −=== σσσ
E
P
E
Px
εδ 2+−= ( )12 −= εδE
Px
x
40mm
80mm
60mm• •
••
y
z
A B
C
D
3
6
1080
1024−
−
××−=∆=
AB
ABx L
Lδ4103 −×−=xδ
continuación
4103 Como −×−=== zyx δδδx
40mm
80mm
60mm• •
••
y
z
A
B
C
D
( )mLL
LBC
BC
BCy
34 1040103 −− ××−=∆⇒∆=δ
mLBC5102.1 −×−=∆
( )mLL
LBD
BD
BDz
34 1060103 −− ××−=∆⇒∆=δ
mLBD5108.1 −×−=∆
( )12 −= εδE
Px
12 −=
εδ xE
P
( )129.02
10310200 42
9
−×
×−×=
−
mN
P
MPaP 9.142=
Determinar la deformación en el extremo libre A de la barra AB causada por su propio peso. Dicha barra tiene un área transversal constante A y un peso por unidad de longitud de p0.
L
A
B
xdx
P(x)=p0xdx
dl=δ ∫=∆ dxl δ
dxE
l ∫=∆ σ ( )( ) dxExA
xPl ∫=∆
( ) xpxP 0= ( ) AxA = dxAE
xpl ∫=∆ 0
∫∫ =∆ 0
0
0 L
lxdx
AE
pdl 020
2 Lx
AE
pl −=∆
AE
Lpl
2
20−=∆
AE
LLpl
2
)( 0=∆ AE
WLl
2=∆ Donde W es el
peso de la barra.