ejercicios_resueltos funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
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7/31/2019 ejercicios_resueltos Funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas.
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COMPOSICIN DE FUNCIONES
EJERCICIO 1 : :halla1y4
23:funcionessiguienteslasDadas 2 ,
xxg
xxf
xgf a) xggb)
Solucin:
4
1x3
4
23x3
4
21x31xfxgfxgf
2222
a)
2x2x11x2x11x1xgxggxgg 2424222 b)
EJERCICIO 2 : :Calcula1y3
pordefinidasestnyfuncionesLas2
. xxgx
xfgf
xgf a) xfgg b)
Solucin:
3
1x2x
3
1x1xfxgfxgf
22
a)
23x11
3x1
3xg
3xggxfggxfgg
2222
b)
EJERCICIO 3 : Sabiendo que: 2
1y3 2
xxgxxf Explica cmo se pueden obtener por
composicin, a partir de ellas, las siguientes funciones:
23
1
2
322
x
xqx
xp
Solucin: xfgxqxgfxp
EJERCICIO 4 : Explica cmo se pueden obtener por composicin las funciones p(x)y q(x)a partir de
f(x) y g(x), siendo: 52y322,2,32 xxqxxpxxgxxf
Solucin: xfgxqxgfxp
EJERCICIO 5 : Las funciones f y g estn definidas por: .y3
1xxg
xxf
Explica cmo, a
partir de ellas, por composicin, podemos obtener: 3
1y
31
x
xqx
xp
Solucin: xgfxqxfgxp
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INVERSA DE UNA FUNCIN
EJERCICIO 6 : Esta es la grfica de la funcin y = f (x):
.2y0Calcula 11a) ff
.degrficaladepartiraejesmismoslosenRepresentab) 1 xfxf
Solucin: 0110 porque) 1 ffa 25porque521 ff
b)
EJERCICIO 7 : Dada la grfica de la funcin y = f (x):
.0y1Calculaa) 11 ff
.degrficaladepartira,xejesmismoslosentegrficamenRepresentab) 1
xff
Solucin:
1001 porquea) 1 ff 0110 porque1 ff
b)
EJERCICIO 8 : A partir de la grfica de y = f (x):
.5y3Calcula 11a) ff
xf 1ejes,mismoslosen,Representab) .
Solucin:
3113 porquea) 1 ff 5445 porque1 ff
b)
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EJERCICIO 9 : Esta grfica corresponde a la funcin y = f (x):
A partir de ella:
.0y2Calculaa) 11 ff xf 1funcinlaejes,mismoslosen,Representab) .
Solucin:
2222 porquea) 1 ff 0220 porque1 ff
b)
EJERCICIO 10 : Halla la funcin inversa de:
a) 3
12 xxf b) 432 xxf c) 2
3 xxf d) 5
12 xxf e) 3
72 xxf
Solucin:a) Cambiamos x por y, y despejamos la y:
yx
yxyxy
x
2
13213123
3
12 Por tanto:
2
131 x
xf
b) Cambiamos x por y y despejamos la y:
3
42423324
4
32 xyxyyx
yx
Por tanto:
3
421 xxf
c) Cambiamos x por y, y despejamos la y:
xyyxy
x 23322
3
Por tanto: xxf 231
d) Cambiamos x por y, y despejamos la y:
2
15152125
5
12
xyxyyx
yx Por tanto:
2
151 x
xf
e) Cambiamos x por y y despejamos la y:
yx
yxyxy
x
7
23723723
3
72 Por tanto:
7
231 x
xf
FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICAS
EJERCICIO 11 : Dibuja la grfica de las siguientes funciones:
a) y =21x b) xlogy4
1 c) y= 1 log2x d)2
41
x
y e) y =3x+1
Solucin:a)
La funcin est definida y es continua en R.
Hacemos una tabla de valores:
La grfica es:
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X - -2 -1 0 1 2 +Y + 8 4 2 1 0
b)
Dominio ( 0, )
Hacemos una tabla de valores:
X
4
1
2
4
1
1
4
1
0
4
1
1
4
1
2
4
1
4
1
X 0 16 4 1 1/16 +Y - -2 -1 0 1 2 +
La grfica es:
c)
Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores.
X 2 22 12 02 12 22 2 X 0 1 2 4 +Y + 3 2 1 0 -1 -
La grfica ser:
d)
La funcin est definida y es continua en R. Hacemos una tabla de valores:
X - -2 -1 0 1 2 +Y + 1 1/64 1/256 1/1024 0
La grfica ser:
e) La funcin est definida y es continua en R. Hacemos una tabla de valores:
X - -2 -1 0 1 2 +Y 0 1/3 1 3 9 27 +
La grfica es:
-
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EJERCICIO 12 : Consideramos la grfica:
a) Halla la expresin analtica de la funcin correspondiente.b) Cul es el dominio de dicha funcin?c) Estudia la continuidad y el crecimiento.
Solucin:a) Es una funcin exponencial de base mayor que 1, que pasa por los puntos (0, 1), (1, 4)... Su expresin
analtica es y 4x.b) Dominio Rc) Es una funcin continua y creciente.
EJERCICIO 13 : Considera la siguiente grfica:
a) Escribe la expresin analtica de la funcin correspondiente.b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la funcin e indicacul es su dominio de definicin.
Solucin:
a) Es una funcin logartmica con base menor que 1, que pasa por los puntos (1, 0), (2, 1),
xy:esanalticaexpresinSu1,2
1,2,4
21log
,0Dominio.edecrecientEscontinua.funcinunaEsb)
EJERCICIO 14 :a) Cul es la expresin analtica de la funcin correspondiente a esta grfica?
b) Indica cul es el dominio de definicin y estudia la continuidad y el crecimiento de la funcin.
Solucin:
a) Es una funcin exponencial con base menor que 1, que pasa por los puntos ( 2, 4), ( 1, 2),
2
1,1
Su expresin analtica ser:
x
y
2
1
e.decrecientEs
continua.Es
Dominiob)
R
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EJERCICIO 15 :a) Halla la expresin analtica de la funcin cuya grfica es:
b) Estudia los siguientes aspectos de la funcin: dominio, continuidad y crecimiento.
Solucin:a) Es una funcin logartmica que pasa por los puntos ( 1, 0), ( 3, 1), ( 9, 2)... Su expresin analtica ser:
xlogy 3
creciente.Es
continua.Es
0Dominiob)
,
EJERCICIO 16 : Asocia cada una de las siguientes grficas con su expresin analtica:
xy 3a) x
y
31
b) xy 3logc) xy 31logd)
I) II) III) IV)
Solucin:a III b IV c II d I
EJERCICIO 17 : Asocia a cada grfica su ecuacin:x
y
32
a)x
y
23
b) xlogy 2c) xlogy 21d)
I) II) III) IV)
Solucin:a I b IV c II d III
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PROBLEMAS FUNCIONES EXPONENCIALES
EJERCICIO 18 : Un trabajador va a ganar, durante el primer ao, un sueldo de 15 000 euros, y elaumento del sueldo va a ser de un 2 anual.a) Cul ser su sueldo anual dentro de un ao? Y dentro de dos aos?b) Halla la expresin analtica que nos da su sueldo anual en funcin del tiempo (en aos)
Solucin:
a) Dentro de un ao ganar: 15 000 1,02 15 300 eurosDentro de dos aos ganar: 15 000 1,02
2 15 606 euros.
b) Dentro de x aos su sueldo ser de y euros, siendo: y 15 000 1,02x
EJERCICIO 19 : En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste subir un 2% cada ao. Si elprimer ao se pagan 7 200 euros (en 12 recibos mensuales):a) Cunto se pagar dentro de 1 ao? Y dentro de 2 aos?b) Obtn la funcin que nos d el coste anual al cabo de x aos.
Solucin:
a) Dentro de un ao se pagarn 7 200 1,02 7 344 euros.Dentro de un ao se pagarn 7 200 1,02
2 7 490,88 euros.
b) Dentro de x aos se pagarn: y 7 200 1,12x euros
EJERCICIO 20 : Una poblacin que tena inicialmente 300 individuos va creciendo a un ritmo del 12cada ao.a) Cuntos individuos habr dentro de un ao? Y dentro de 3 aos?b) Halla la funcin que nos da el nmero de individuos segn los aos transcurridos.
Solucin:
a) Dentro de un ao habr: 300 1,12 336 individuosDentro de tres aos habr: 300 1,12
3 421 individuos
b) Dentro de x aos habr y individuos, siendo: y 300 1,12x (tomando y entero)
EJERCICIO 21 : Un coche que nos cost 12000 euros pierde un 12 de su valor cada ao.a) Cunto valdr dentro de un ao? Y dentro de 3 aos?b) Obtn la funcin que nos da el precio del coche segn los aos transcurridos.
Solucin:
a) Dentro de un ao valdr: 12 000 0,88 10 560 eurosDentro de tres aos valdr: 12 000 0,88
3 8 177,66 euros
b) Dentro de x aos valdr y euros, siendo: y 12 000 0,88x
EJERCICIO 22 : Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3 anual.a) Cunto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un ao? Y dentro de 4 aos?b) Halla la expresin analtica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la cuenta en funcindel tiempo transcurrido (en aos).
Solucin:
a) Dentro de un ao tendremos: 2 000 1,03 2 060 eurosDentro de cuatro aos tendremos: 2 000 1,03
4 2 251,02 euros
b) Dentro de x aos tendremos y euros, siendo: y 2 000 1,03x
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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS
EJERCICIO 23 : Representa la siguiente funcin:a) y =2 tg x b) y =1 sen x c) xcosy d) y= 3 cos x e) xseny 2
Solucin:
a) entero.nmerounesdonde,2
endefinidaestnofuncinesta,queigualAl kkxxtgy
En estos valores hay asntotas verticales.
Adems, es una funcin peridica de perodo .
Hagamos una tabla con algunos valores:
La grfica sera:
b) Hacemos una tabla de valores:
y, teniendo en cuenta que es una funcin peridica, la representamos:
c) La grfica es como la de ycosx; pero la parte que estaba por debajo del eje X, ahora est por encima.Hagamos una tabla de valores:
La grfica ser la siguiente:
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d) Hacemos una tabla de valores:
y, teniendo en cuenta que es peridica, la representamos:
e) Hacemos una tabla de valores:
Teniendo en cuenta que es peridica, la representamos:
EJERCICIO 24a) A la siguiente grfica le corresponde una de estas expresiones analticas. Cul?
xsenyxcosyxtgyxtgyxtgyxtgy
22
b) Di para qu valores est definida la funcin anterior, cul es su periodo y estudia su continuidad.
Solucin:
2
a) xtgy
b) Est definida en todo R, salvo en los mltiplos de . Es peridica de periodo . Es continua en los valores en que est definida.
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EJERCICIO 25 : Considera la siguiente grfica:
a) Di cul de estas expresiones analticas le corresponde: xsenyxcosyxsenyxcosy 22
b) Di cul es su dominio de definicin, cul es su periodo y qu valores mnimo y mximo alcanza.
Solucin:
xsenya)1.y1entrevaloresmafuncin toLa2PeriodoDominiob) R
EJERCICIO 26a) Di cul de las siguientes expresiones se corresponde con la grfica:
b) Para la funcin anterior, di cul es su dominio, estudia su continuidad e indica cul es su periodo.
Solucin:
xtgy 2a)
.2
periododeperidicaEsdefinida.estquelosenpuntoslosencontinuaEs
enteros.nmerosk,2
k4
abscisaslasensalvo,endefinidaestdecir,es,2
k4
Dominiob)
siendoRR
EJERCICIO 27 : Considera la siguiente grfica y responde:
a) Cul de estas es su expresin analtica?xsenyxcosyxcosyxseny 3333
b) Cul es su dominio de definicin? c) Es una funcin continua?d) Es peridica? Cul es su periodo? e) Qu valores mnimo y mximo alcanza?
Solucin:a) y= 3 cosx b) Dominio = R c) S, es continua.d) Es peridica de perodo 2, pues la grfica se repite cada 2 unidad.e) Los valores de la funcin estn entre 2 y 4.
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EJERCICIO 28 : Considera la siguiente grfica:
a) Cul de estas expresiones analticas le corresponde?xtgyxcosyxsenyxseny 2222
b) Cul es su dominio de definicin? c) Es una funcin continua?
d) Cul es su periodo? e) Qu valores mnimo y mximo alcanza?
Solucin:a) y= sen2x b) Dominio = R c) S, es continua.d) Su periodo es , pues la grfica se repite cada unidades.e) Los valores estn entre 1 y 1.
EJERCICIO 29 : Obtn el valor de estas expresiones en grados:
21
a) arcseny 22
b) arccosy 23
a) arccosy 1b) arctgy
2
1a) arcseny 1b) arccosy 1a) arccosy 3b) arctgy
23
a) arcseny
22
b) arccosy
Solucin:30a) y 45b) y 30a) y 45b) y 30a) y
0b) y 180a) y 60b) y 60a) y 13545180b) y
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