ejercicios_resueltos funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas

7/31/2019 ejercicios_resueltos Funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas.

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COMPOSICIN DE FUNCIONES

EJERCICIO 1 : :halla1y4

23:funcionessiguienteslasDadas 2 ,

xxg

xxf

xgf a) xggb)

Solucin:

4

1x3

4

23x3

4

21x31xfxgfxgf

2222

a)

2x2x11x2x11x1xgxggxgg 2424222 b)

EJERCICIO 2 : :Calcula1y3

pordefinidasestnyfuncionesLas2

. xxgx

xfgf

xgf a) xfgg b)

Solucin:

3

1x2x

3

1x1xfxgfxgf

22

a)

23x11

3x1

3xg

3xggxfggxfgg

2222

b)

EJERCICIO 3 : Sabiendo que: 2

1y3 2

xxgxxf Explica cmo se pueden obtener por

composicin, a partir de ellas, las siguientes funciones:

23

1

2

322

x

xqx

xp

Solucin: xfgxqxgfxp

EJERCICIO 4 : Explica cmo se pueden obtener por composicin las funciones p(x)y q(x)a partir de

f(x) y g(x), siendo: 52y322,2,32 xxqxxpxxgxxf

Solucin: xfgxqxgfxp

EJERCICIO 5 : Las funciones f y g estn definidas por: .y3

1xxg

xxf

Explica cmo, a

partir de ellas, por composicin, podemos obtener: 3

1y

31

x

xqx

xp

Solucin: xgfxqxfgxp


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INVERSA DE UNA FUNCIN

EJERCICIO 6 : Esta es la grfica de la funcin y = f (x):

.2y0Calcula 11a) ff

.degrficaladepartiraejesmismoslosenRepresentab) 1 xfxf

Solucin: 0110 porque) 1 ffa 25porque521 ff

b)

EJERCICIO 7 : Dada la grfica de la funcin y = f (x):

.0y1Calculaa) 11 ff

.degrficaladepartira,xejesmismoslosentegrficamenRepresentab) 1

xff

Solucin:

1001 porquea) 1 ff 0110 porque1 ff

b)

EJERCICIO 8 : A partir de la grfica de y = f (x):

.5y3Calcula 11a) ff

xf 1ejes,mismoslosen,Representab) .

Solucin:


b)


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EJERCICIO 9 : Esta grfica corresponde a la funcin y = f (x):

A partir de ella:

.0y2Calculaa) 11 ff xf 1funcinlaejes,mismoslosen,Representab) .

Solucin:


b)

EJERCICIO 10 : Halla la funcin inversa de:

a) 3

12 xxf b) 432 xxf c) 2

3 xxf d) 5

12 xxf e) 3

72 xxf

Solucin:a) Cambiamos x por y, y despejamos la y:

yx

yxyxy

x

2

13213123

3

12 Por tanto:

2

131 x

xf

b) Cambiamos x por y y despejamos la y:

3

42423324

4

32 xyxyyx

yx

Por tanto:

3

421 xxf

c) Cambiamos x por y, y despejamos la y:

xyyxy

x 23322

3

Por tanto: xxf 231

d) Cambiamos x por y, y despejamos la y:

2

15152125

5

12

xyxyyx

yx Por tanto:

2

151 x

xf

e) Cambiamos x por y y despejamos la y:

yx

yxyxy

x

7

23723723

3

72 Por tanto:

7

231 x

xf

FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICAS

EJERCICIO 11 : Dibuja la grfica de las siguientes funciones:

a) y =21x b) xlogy4

1 c) y= 1 log2x d)2

41

x

y e) y =3x+1

Solucin:a)

La funcin est definida y es continua en R.

Hacemos una tabla de valores:

La grfica es:


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X - -2 -1 0 1 2 +Y + 8 4 2 1 0

b)

Dominio ( 0, )

Hacemos una tabla de valores:

X

4

1

2

4

1

1

4

1

0

4

1

1

4

1

2

4

1

4

1

X 0 16 4 1 1/16 +Y - -2 -1 0 1 2 +

La grfica es:

c)

Dominio ( 0, ) Hacemos una tabla de valores.

X 2 22 12 02 12 22 2 X 0 1 2 4 +Y + 3 2 1 0 -1 -

La grfica ser:

d)

La funcin est definida y es continua en R. Hacemos una tabla de valores:

X - -2 -1 0 1 2 +Y + 1 1/64 1/256 1/1024 0

La grfica ser:

e) La funcin est definida y es continua en R. Hacemos una tabla de valores:

X - -2 -1 0 1 2 +Y 0 1/3 1 3 9 27 +

La grfica es:


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EJERCICIO 12 : Consideramos la grfica:

a) Halla la expresin analtica de la funcin correspondiente.b) Cul es el dominio de dicha funcin?c) Estudia la continuidad y el crecimiento.

Solucin:a) Es una funcin exponencial de base mayor que 1, que pasa por los puntos (0, 1), (1, 4)... Su expresin

analtica es y 4x.b) Dominio Rc) Es una funcin continua y creciente.

EJERCICIO 13 : Considera la siguiente grfica:

a) Escribe la expresin analtica de la funcin correspondiente.b) Estudia la continuidad y el crecimiento de la funcin e indicacul es su dominio de definicin.

Solucin:

a) Es una funcin logartmica con base menor que 1, que pasa por los puntos (1, 0), (2, 1),

xy:esanalticaexpresinSu1,2

1,2,4

21log

,0Dominio.edecrecientEscontinua.funcinunaEsb)

EJERCICIO 14 :a) Cul es la expresin analtica de la funcin correspondiente a esta grfica?

b) Indica cul es el dominio de definicin y estudia la continuidad y el crecimiento de la funcin.

Solucin:

a) Es una funcin exponencial con base menor que 1, que pasa por los puntos ( 2, 4), ( 1, 2),

2

1,1

Su expresin analtica ser:

x

y

2

1

e.decrecientEs

continua.Es

Dominiob)

R


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EJERCICIO 15 :a) Halla la expresin analtica de la funcin cuya grfica es:

b) Estudia los siguientes aspectos de la funcin: dominio, continuidad y crecimiento.

Solucin:a) Es una funcin logartmica que pasa por los puntos ( 1, 0), ( 3, 1), ( 9, 2)... Su expresin analtica ser:

xlogy 3

creciente.Es

continua.Es

0Dominiob)

,

EJERCICIO 16 : Asocia cada una de las siguientes grficas con su expresin analtica:

xy 3a) x

y

31

b) xy 3logc) xy 31logd)

I) II) III) IV)

Solucin:a III b IV c II d I

EJERCICIO 17 : Asocia a cada grfica su ecuacin:x

y

32

a)x

y

23

b) xlogy 2c) xlogy 21d)

I) II) III) IV)

Solucin:a I b IV c II d III


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PROBLEMAS FUNCIONES EXPONENCIALES

EJERCICIO 18 : Un trabajador va a ganar, durante el primer ao, un sueldo de 15 000 euros, y elaumento del sueldo va a ser de un 2 anual.a) Cul ser su sueldo anual dentro de un ao? Y dentro de dos aos?b) Halla la expresin analtica que nos da su sueldo anual en funcin del tiempo (en aos)

Solucin:

a) Dentro de un ao ganar: 15 000 1,02 15 300 eurosDentro de dos aos ganar: 15 000 1,02

2 15 606 euros.

b) Dentro de x aos su sueldo ser de y euros, siendo: y 15 000 1,02x

EJERCICIO 19 : En un contrato de alquiler de una casa figura que el coste subir un 2% cada ao. Si elprimer ao se pagan 7 200 euros (en 12 recibos mensuales):a) Cunto se pagar dentro de 1 ao? Y dentro de 2 aos?b) Obtn la funcin que nos d el coste anual al cabo de x aos.

Solucin:

a) Dentro de un ao se pagarn 7 200 1,02 7 344 euros.Dentro de un ao se pagarn 7 200 1,02

2 7 490,88 euros.

b) Dentro de x aos se pagarn: y 7 200 1,12x euros

EJERCICIO 20 : Una poblacin que tena inicialmente 300 individuos va creciendo a un ritmo del 12cada ao.a) Cuntos individuos habr dentro de un ao? Y dentro de 3 aos?b) Halla la funcin que nos da el nmero de individuos segn los aos transcurridos.

Solucin:

a) Dentro de un ao habr: 300 1,12 336 individuosDentro de tres aos habr: 300 1,12

3 421 individuos

b) Dentro de x aos habr y individuos, siendo: y 300 1,12x (tomando y entero)

EJERCICIO 21 : Un coche que nos cost 12000 euros pierde un 12 de su valor cada ao.a) Cunto valdr dentro de un ao? Y dentro de 3 aos?b) Obtn la funcin que nos da el precio del coche segn los aos transcurridos.

Solucin:

a) Dentro de un ao valdr: 12 000 0,88 10 560 eurosDentro de tres aos valdr: 12 000 0,88

3 8 177,66 euros

b) Dentro de x aos valdr y euros, siendo: y 12 000 0,88x

EJERCICIO 22 : Colocamos en una cuenta 2 000 euros al 3 anual.a) Cunto dinero tendremos en la cuenta al cabo de un ao? Y dentro de 4 aos?b) Halla la expresin analtica que nos da la cantidad de dinero que tendremos en la cuenta en funcindel tiempo transcurrido (en aos).

Solucin:

a) Dentro de un ao tendremos: 2 000 1,03 2 060 eurosDentro de cuatro aos tendremos: 2 000 1,03

4 2 251,02 euros

b) Dentro de x aos tendremos y euros, siendo: y 2 000 1,03x


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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

EJERCICIO 23 : Representa la siguiente funcin:a) y =2 tg x b) y =1 sen x c) xcosy d) y= 3 cos x e) xseny 2

Solucin:

a) entero.nmerounesdonde,2

endefinidaestnofuncinesta,queigualAl kkxxtgy

En estos valores hay asntotas verticales.

Adems, es una funcin peridica de perodo .

Hagamos una tabla con algunos valores:

La grfica sera:

b) Hacemos una tabla de valores:

y, teniendo en cuenta que es una funcin peridica, la representamos:

c) La grfica es como la de ycosx; pero la parte que estaba por debajo del eje X, ahora est por encima.Hagamos una tabla de valores:

La grfica ser la siguiente:


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d) Hacemos una tabla de valores:

y, teniendo en cuenta que es peridica, la representamos:

e) Hacemos una tabla de valores:

Teniendo en cuenta que es peridica, la representamos:

EJERCICIO 24a) A la siguiente grfica le corresponde una de estas expresiones analticas. Cul?

xsenyxcosyxtgyxtgyxtgyxtgy

22

b) Di para qu valores est definida la funcin anterior, cul es su periodo y estudia su continuidad.

Solucin:

2

a) xtgy

b) Est definida en todo R, salvo en los mltiplos de . Es peridica de periodo . Es continua en los valores en que est definida.


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a) Di cul de estas expresiones analticas le corresponde: xsenyxcosyxsenyxcosy 22

b) Di cul es su dominio de definicin, cul es su periodo y qu valores mnimo y mximo alcanza.

Solucin:

xsenya)1.y1entrevaloresmafuncin toLa2PeriodoDominiob) R

EJERCICIO 26a) Di cul de las siguientes expresiones se corresponde con la grfica:

b) Para la funcin anterior, di cul es su dominio, estudia su continuidad e indica cul es su periodo.

Solucin:

xtgy 2a)

.2

periododeperidicaEsdefinida.estquelosenpuntoslosencontinuaEs

enteros.nmerosk,2

k4

abscisaslasensalvo,endefinidaestdecir,es,2

k4

Dominiob)

siendoRR

EJERCICIO 27 : Considera la siguiente grfica y responde:

a) Cul de estas es su expresin analtica?xsenyxcosyxcosyxseny 3333

b) Cul es su dominio de definicin? c) Es una funcin continua?d) Es peridica? Cul es su periodo? e) Qu valores mnimo y mximo alcanza?

Solucin:a) y= 3 cosx b) Dominio = R c) S, es continua.d) Es peridica de perodo 2, pues la grfica se repite cada 2 unidad.e) Los valores de la funcin estn entre 2 y 4.


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a) Cul de estas expresiones analticas le corresponde?xtgyxcosyxsenyxseny 2222

b) Cul es su dominio de definicin? c) Es una funcin continua?

d) Cul es su periodo? e) Qu valores mnimo y mximo alcanza?

Solucin:a) y= sen2x b) Dominio = R c) S, es continua.d) Su periodo es , pues la grfica se repite cada unidades.e) Los valores estn entre 1 y 1.

EJERCICIO 29 : Obtn el valor de estas expresiones en grados:

21

a) arcseny 22

b) arccosy 23

a) arccosy 1b) arctgy

2

1a) arcseny 1b) arccosy 1a) arccosy 3b) arctgy

23

a) arcseny

22

b) arccosy

Solucin:30a) y 45b) y 30a) y 45b) y 30a) y

0b) y 180a) y 60b) y 60a) y 13545180b) y

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