ejercicios trigonometría libro ma0125
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1l Jediria <J;' .irig;;1.:s I l j : i
Ejercicic'rs 6.1 - N:Iedidas de ángulos
A- Coloque cada ángulo en posición eslánclar v rleterrrine al menos dos ánguloscoterrnin¿t les ¡>osit.ivos -i' dos negativos
, 17¡
3. -50" 4. 346"
7. -E- 8 5¡
B, Det,elmine la nredicla equivalente en radianes cle c¿da uno cle los siruientesángulos
1. 315" 2. 15" 3 900" 4. -72
C- Detcrrrine [a r¡reclid¿r c¿rda unc¡ de los siguierrtesángukts
iT1-
T2
l . 6504
2n it5 _ 6 --
34
D- Deterr¡r irrc el c-uaclranteángulos
t. 335" 2 7gA 3
" - l4;r
rJ- -- l (r '-,
l. ¡150" 2. 765"
i . -360 001" ' $. -EtO"
*7
L. -_ J.
equivzrlertte cn gr';rrl{)s (l{-l
l9zr4. I.?
25¡r. t ' ) -
- - : - a- .Jt l
a
i-* t t t
E -5;ra. i
al tlue ¡iertenc:ce el l,¡rclo tcrln_inal de los siguierrtes
. l la
6
6 -5" 7. -2444', 8. -5,12"
I
E. Defernrinc cu¿iles de los sigtricnbcs ár-rgrrlos sorr cuadr¿rnLales
T.
164 -\ f¡:rlid."¡ , fi- ,
F- Deterrnine Ia- nredida del ángulo de referencia de los siguientes rirrgukrs-
r . 23s" 2- 6s" 3 5"
4.2n67
- 4ir5._ r
tt6- -5t¡ 7- -1100" 8 -2o
G. Determine en cada caso la información solicitada-l- Un ángulo nega.tivo de nredida z en posición estárrdar tiene su lado tenninalen el cuarto cuadrante )/ sn ángulo de referencia es de 45" ¿Cuál es el r.alor det?
2- Un ángulo posit.ivo de medida r en posición estándar tiene su lado terminalen el tercer cuadranta J'sr¡ ángulo de referencia es de 72.5. ¿Cuál es el ralorde r?
3. Un ángulo negativo de medida- r en posición estándar tiene su lado terrnihalen el segundo cuadrante y su ángulo de referenci¿r es de { ¿Cuil es el ralor der?
,J
4- Un ángulo positivo de inedida. Í en posición está¡rdar tiene su lado terminalen el tercer cuadra¡rte y su ángulo de referencia es de I radián ¿Cuál es el r.alorde r?
5 Si ct es utt ángtrlo en ¡rosición cstándar tal r¡uc 270" < cr < 360" -v' determinirun ángulo de refere¡rcia de 20"-¿Cuál es l¿r nredida de ¿r?
6. Si cu es un ángulo en j;osición estándar tal que I E0" < a < 270" j, determinaun ángulo de refelencia de 8".¿Cuál es la meclicla de o?
7. Si o'es Lrn ángulo en posición estánclar Lal que -¡r ( o a -: -v deterrnina
un ángulo de referencia de I iCtrál es Ia rnerJicla cle a?
B. si a es u¡r ángulo "n
po.]. io., estándar tal que -i . a < 0 y determinir, ,un ángulo de referencia de 1 radián ¿Cuál es la medicla de cu?
i
I I tÁ¡)n/) l ) ; l r i . t< ' t , t , tn. :<! th ' : ;
'fif,{¡q
Ejercicios Ra,zones t rigonornétricas
A- Determine en cada ca.so la infor¡nación solicitacl¿.l. Considere un triángulo con ángr-rlos agtrdos a y p v cafetos gon y l2c¡n Elángrrlo a es el menor de los ángulos del tr iángulo Dctermi¡e las seis r¿zolrestrigonométricas de ambos árrgulos agudr_rs.
2- Considere un triángtrlo rectángulo isósceles con hipofenusa I Scrn y un án-gulo agudo de 25"- DeLerrnine las medidas de los clos catetos y del otro ángulo-Detennine sen 25"- cos(90" - 25"), t ,an 25" r. cot(90" - 25")
3 considere Lrn triá'gulo rectángulo co' ánguros agudos a "v 0,3coscr :
7; determine las otras cinco razones brigonornétricas para el ángulo a-
Posteriormente. determine las seis razones trigonométricas para el ápgulo B
4 De{'ermine el valor exac[o de las seis razones trigonornétricas clel menorángulo agudo de un f l iár 'rgLrlo recti lngulr-r 'ctr¡,¡,5 l¿rdos ¡niclerr 3k.41"-.5A; k e R.
5. Corrsidere rrn Lriárrgulo rectárrgr.r lo (tr)n catetos 6rr ¡, Zrr. Det.ermiue losvaltlres correspondierrtes a las seis rirzorles frigorr1rrrrétric¿rs el rnayor cle losrírrgulos agudos de este tr iángulo
6 Si csc cr
7. Si set:d :
J
J
J
det,er*ri*e cl 'alor
e-x¿cto de t:oscr'. {.¿Lrl .,- v sc.2a- + cos2 o.
Calcr-rle el r.alor nurnér'ico oa t:os2 d - I
2t .an0
8- ¿Se puede aceptar el ralor
algún ángulo?
cor]lo rrn ¡rosible valor cle l¿r r¿zón seno l)ara.
I Considere un triángulo r-cctángrrlo e isósceles cle hi¡ro[enusa 8 ,v ánguloagudo a, Determine sec a, col. a v I - r,os2 o.
l0 si á es un á.g' lo agr-rdo.1. seng : '#. deter.r ine cosg, r.a*g-
4;
I
170 R.azo nes t. ri gonornet.r'ic¿s cle áng ulos ap ¿l¡los
B- Determine el ntimero real eqtrivalente a cad¿r rrna de las siguiente-s exl)r-e-
7r 7rcsc
, * eo[.7
it 7tseca-sec5
5.
6.
IIIIIIIIItIIiIIIltNII{t .
íI
\
IIfi
ll!lIII
lilliilil¡
iI
III
litfr:a
slones.'il Tl
l . cos-*2t ,an46
7t 7T2 3sec; * cos -
JJ
^ / Tr z\23. (sen , +."r 5J
/ -
7( Zr\24 (r /2sen ,
- /3cos U/
sec-; *cos;r-J
C- DeLermine eldada
l . cos g : !2
2- cscl :2
2rt3- sec?:
J
4- sen g: J j
5- cot.0 : l
z (se,, f *.o.1 - t) '
(".,.,' I +.or' i)' * ¿¿
1/isec[ - t^"!
mto
1/(sen2¡+cos'A) * t
11. cos2 ! *ztan2 1
,T l ,Tfsen"--cos--r )33
.77sen'-- . f- ' . )
9.
cot -J
valor del ángulo aguclo 0 en ca.da. caso, seglrn l¿r infonuaciót-l
t. l
b. t ,anU - -la
VJ
7- sec 0 :2
8- cos 0 :2- l
9- t¿rná:1
l0 csc 0: *
L' í rt' t t I t'¡ t t j Bt t tt, t tnél r i to l ,_\j
Ftp.FT
t(
|rFts{|
?=! .nt't 'I))5ib;r];ri"Dt
rQ}
hl"kf+fl:*i 'Ji+|+.G{
ñü
fr*
YFtétstpÉfitedD#atc#ail?
ffi
Ejercicios 6-4. Círculo trigonométrico
A Considere los pun[os daclos ]' establezca el cuadrante o el sernieje al c¡uepertenecen. Posterionnente. detelltrine si los puntos pertenecen ¿ una circun-ferencia trigonornétrica o no Justilique-
1 P(0, l ) 4 P(_1, -1) ? P ( - { . - ' .4)\ 3 ' , 3 l
/ - - \ / - \I /a /o \
2P(Y,+l sP(to) Bp(03,-Y-g). \3 '3) \ " ' r0 )
/ t \ /^ - l \ ^ ^(_2., t5 t \3P(-ob,:) 6P{+,;} opt- ." . : l
\ 2/ \ 5 , / \ 3 '3)
B Considere qite P(.r,y) es Lul ¡>r.tnto de la circunferencia tr igt inonrólr ica. De-ternrine los valores r o 3r segúrr sc¿r el caso,
) Pe; t ) , t '19,0) 7 p (- , , - l )\ ) / \ i /
/ t \ r ?\ / ' ) \
2P( ' -1) sP(, , ! \ 8P(- i , , )\ 2/ \ ' ,6 l \ i ' , l
/ ,ñ \ / .n \3P{l ,u} r iP(r-or) ePlY,r l
\ - / \ r t " )
C. Del.ermilre l¿rs coorclen¿d¿rs dcl ¡>r-rnto de irrtersección del l¿rrlo'tcrnrin¿rl dectrda ángulo en posicitirr estárldar con la. circunferencia, trigorrorrrótrica
iT 7n -79nI . - t t . - - 7.-
464
n 5n _ L5¡t ^ 22n5.- _
463
^ 5, .. l9;r ^ l5;r
3. 0. . 9. _+2^3,1 +
**#"W'
r84
D- Par¿r cad¿trigonométricagulo
Ci r c t ú. t t 1 ilt-rr ltt¡¡ ¡¡1¡ ¡ ¡ t,
ángulo del ejercicro ¿rnterior, determine el 'alor
de la razd¡¡rseno, coseno. tangente. cotirngerrte- secante \r cosecante del án-
E- Considere la circunferencia.que se ubica el punto asociado
r - r l3 4. 2
2. -7n/8 5. 6
3. 5n/1 6. -3
F- Deter:mine elcada uno de los
L- n/4
trigonométrica y determine el cuadrante en ela cada uno de los siguientes ángulos
7. -3 L4
B. -6.3
9. r1n 19
par ordenado de la circunferencia. trigononrétrica asociaclo asiguientes ángulos.
2. -2rr 14
3. a1r/4
G- Calcule el valorángulos.
15rl - ¿ - _
4
^ - l7nL- L -
6
-l lr? ¡-
4. -r3r /2
5. -29r /3
6, *57n
de las seis funciones
23¡4-t-- ,
J
- t t l
5-¿:-l2
l5¡r6- ú:-
t2
7- 25n/6
B. -8r /3 + 4n
9. -5r;n 16
trigonométricas¡>ara los sigulentes
I{- Deterlnine el ra.lor numérico de las siguientes ex¡:resiorresr cos (T)"* (i) + cos (f ) - tan (ff)
, sen'? (f ) * sen (á) - t,an (f )
sen (T) cos (?) sec (Í)csc (*)tan (f) cot (f)
J.
I t 1t ' ¡ t 1r l ,1, l ¡ . ; .
191
ESercicios 6.5 Ideni,idades
1I.
:)
)
, .
) '
J
¡ i7
r !,
}F
l?
r :-}
Í
)tI
i]
trigonométricas
Demtrestre las siguientes iclentidacles
SCN Z
t -cosT:csc¿*cotz
trigonorrréLricas
2- ¿an t * 2cosúcscú : S€cf rsc I _F coLl
r I -cos2¿r _l
r - cos.lt
_ coso + Llseno
I -scn; - l *o- = 2sec0
co.sa(2r) + sen2(2:;) : cos2l2r) * se¡<(2r)
cof,¿ _ cscf - |
cscl I J - ; tJ_-
l glugfscn rf : f sen rf
l.alta :¡r -. se6,l :,r : I _ 2.set,2.u
-sen ¡ co.s y + cos :r sen V t¿n:r * t.irn yt:()-s -L* COS y - Sen Í Sen.lJ I - t.¿tn:¿, t,¿rn y
csc 2 csc z
t2.
r '?I tJ
a+ csq .: -
a- csc; : 2.sec2 e
tan ¿' -- sen.? sec¿-=---- __ScnJ:?.: I +c.oSr
tan (r - +) : l;a¡rz - Iz tal ru * I
( .osr I senr)2 : I *se'(2e)
scn(2ó)
I l- ..*€1, = ta¡r ó
I d e n t i d ad x Trigrrn<xnct r i:er
l5t _-*t,- -
l + a"rt, :2t 'anr'^ sec'
sec2 o r-;srr2 ¿t : Sec2 cr. + cscZ a
cosr cotz cosr * cot rcot . r - cmz cosz cots
r6
17.
t R sen(62) cos(6r) ,'"- sen(22) cos(Zz)
- '
19. secz sec(90 - r ) - tan(g0 - z) : [an¡
20. cos2(90" * o) cor,(90" - q(t+ r.ar12(90" - *))\ ' /
B- Para cada 1:aso detennine el valor exacto_
I t l : : , : ' :
! t corr { 0. Derermine: sen?. r,anr,sen (r. ;) ,cos(22),
I * cot(r * i i ) .secz * 2cosr-
, l l ::": : -; ,,
*ut r > 0. Determine: cos r, S ran r, ."r, (2, - ;),
ran (2r),- csc( I * zr), tan(22) * 3 cos z.
3. Si t :os, : ] y cscr < o Determir (5n \
' I -5t\ /so1
-re: sen lr
* r ) 'ran(Zx) + 3' cos(2r)'
cot , ( : : . ; ) , "0, , (?,) +2(x + n)
4. Si sen '- : -f , ,o.z ) 0. o",":1,:". "or(, - T)
cos(22) J- 3 serr x,5 -cos(2u ), "."
ly \
\ t l -3cos(z - t )
c- l)aclos senr-r: f donde o es un ánguro del cuarto eua.drante y cosl3: #do¡rde d es un ángulo del tercer cuadrante- calcule sen(c + gi, tan(a + l)-¿.A' gué ctradrante pertenece a + l?
D. Si o y ¡?son dmángulos agudm tales quel tana: I ycot g:3_ N, luestreque tales ángulos curnplen a * 0: 45"- " . .i
l'.,1¡
Ejercicios 6-6- Ecuaciones trigonoméfricas
II)
IIf.
A- Determine el conjurrto solución de cada ectración en [0,2r[l ,2cosz*l-0
1l
2. cost : -5
3 cotr* l :0
4- 2sen " :
J3
5- sen t tan ú : sentz¿) t.an ¿
/ 7t \ -
¡ r \
6 2serrr tan (r , , ) : l /3 tan
t t +
,J
7.
8
9.
t0
11.
t2
1' l
14.
+ <:os{(2t) : (:s(:?(2t) - cot.2(
- ' l :os ' (?) - rsc ' (?)
/ 7t \2r:os{32*: l : - , rosn
\ 5/
3 scrr :-, : 2 cos2 x
lan:u : - t ,an2:r
* 6 : - l
sen ?: : serr(2r)
l : -++setr2rsec- a-
4cosa (z ' * ; ) : . "" ( ; )
2cor(2r)sen(2r) + J\cot(2r:) : g
3sen2r-5settr*2:0
'"" (;) + r,6cos (á) : t
t / )
l5
16
t7
l:-15
B. Detennirre en IR el c;onjunto solución
I
de cada ecr-ración
1
2.
.1,
n4-
r_ l_
6.
7.
8.
I
10
i i .
12.
l3
14.
lEIJ-
lD-
t7
18 cos(2r) cos(4r) - -3
19. sen(2r) : r/3s"r,r
2A. 2se,r2r - 2cos2r - I :0
2L.2<:os2r-3sen:: :0
22 2: v6sen%'+2
SCC T
sec2z-4:0
t .anzcsctr + cscr :0
2 t,an(r + 2) - sec2(r * 2) : g
3senr : 2cos2 r
4sen.tcosf :3cosr
sen(2c)csc(2o.) * 2sen(2a) :0
2sen3,6+sen2 p *2se¡ ' r ,6 - I - 0
( tanz - 1)(2sen x - \n) :0
16cosaa - 9:0
2senz*cosz,-72
L2 c:os(20) - 5cos(29) - 2 : 0
cot2r+2csc2r-5:0
- cos2z :Ssenr - 13
-5cos(2e) *4cosz:8
sen2 z sec s -l sec , _-- 2 t¿rn e
3 ta.n r - l.arr3 rI -3tan2¡
- t .ar t r :0
G ¡ á lic,r.s <J e ftt n c: i o n e s t r i go rt o nt é t: r i c a-s
t)_ '
I t; )í)
Ejercicios Gráfi cas de funciones trigonorrlétricas
itud y el ámbito de las siguientes funciones-5 f , IR--- lR
J'@):-cosr*2
6. f ,lR ---' lR
.f (,) :,"" (i) _,
7. f . IR - lR
f ( r ) : -4senr
6 ./ ,lR --' lR
f {,) - e- "o, (r" ,_ T)
T)l ' : R -- ¡g. / ( : r , ) : *4sen¿*3
/:R-- 'R, ll 5
J lx) : sen (_¿c +
)
/ ' : R *- IR
f (.r) : -r*" (í)
/ : IR -" lQ. / ' - r -
J@):-2cosl t
A. Dctermine la arnpl1. / :R-f t
" f ( ' r ) : - l *cosr
2. .f . R - IR.2
J \r) : ;* sen : i :t t
3 J. , lR--- IR/ -c
[ ( r \ : .u, t f , " t' lo\ -
. i )4./ : iR- ' lQ
ta.JJ
/ ( r ) - - - ;* ;senJJi l
B- Pat'¡r c¡}cl¿l ¡-lIl¿1de las sigtricntcs furtciones, clet,erlnine el pelioclo la a¡rplii;trclde la orlt-l¿r v ulr interr,alo qr-re cottteugir r-rn ¡rerioclo completo de selo o c:osr3¡osegli rr c,orresponcla _
I l : [ t * lR 5.J,¡ [3--- IR
/(¿) : _ cos (; _ T)
.'_,
6.f , [ t -*P
7t f ( r ) :9J-Zsen ( : -\2\-
f ( ' ) :o.o, ( r r -+)
*2tr
+ |) +2"/ : lR-*I f rf (.¡) :6,* cos r
-n\
3)
2t).\ G r á fi c ;ts d e lit n c i o n e.i f rrgr )i ¡{rr i rer r,j.,-¿..:
C Deterrnine la arn¡: l i tud- el per iodo, el t lesplazanriento cle fase y las intersecciones con los ejes de cada funciótr- -h'¿ir,e tles onda.s conr¡rletas cle la gr-áfica
I J ' , [R-IR 7 ' { tF.- lR
l?) :2 | cus(r an) f ( t ) : -cos ( : - *) o t\ '1 ¿ ,/
2. f , lR -- IRf { ' ) : -3cosz
3 f ,lR. ---' IRf( t ) : -cosz*2
4. f , lR --- IRf ( t ) :2cos(2nr - t n)
5. I , lR --, IRf(r) :2 +2cosr
6. f , iR -- IR
f (r\ : - sen (!l '' \ t l
8 " f ' [R- lRf (2) : - l + cos(2r * r )
9. " f , lR - ' lRf ( t ) :4cos2r
10, /: IR ---, IR
f ( t ) : - cos(22 + 7i +T
II f : lR '* IR a--
l@\ :2sc, , l3r - 1)' \ 4/
12. f : iR - IR
.f( ' ) : -3cos (r , - I \t 2/
Frrl l , ior le.s t r ig,,¡¡ tn1¡'¡ t rr¿s rnr crs¿s f t - i
Iijercicios 6.8. Funciones trigonor-néfricas irlversas
( - ; ) )
Calcule el
l . sen- l
2- sen-t
3- l .an- l
. _ l4. Sen
- _7
¡_ selr '
6 cos t( l )
7, cos
10. csc-t( .o.
I l . tan-t( t )
l2 sen(sen-t 0)
valor exacto de
(;)
(-1)
(,""(+))( ' " " ( - ; ) )
('"" (T)),u. ( rcos-, ( j ) )
ra,r (cos-'(t) " ?)
, ,or(r , , , r - ' ( t ) - 6)
/ / ( - - \ \tarr-r ( r ' , r , r ( , ; '
) )
scr,-r(*,(? 1i))
m'' (""-' ( tf) r T)
r3
I4
15.
I t )
17.
18
)
( ; ) )
(?))
' ( - j
( 'o ' ' - '
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6. cos
9. co{,- I
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