ejercicios resueltos de derivadas
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1. Demostrar que la derivada de la función 5 2 es ´ 3 5
Primeramente desglosemos cada parte de la definición
(1) 5 2
(2) 5 2,
desarrollemos el binomio 3 3 5 2
multipliquemos por el escalar 3 3 5 5 2
Sustituyamos (1) Y (2) en la definición
lim→ 3 3 5 5 2 5 2
Cambiemos de signos la segunda expresión
lim→ 3 3 5 5 2 5 2
Eliminemos términos semejantes
lim→ 3 3 5 5 2 5 2
lim→ 3 3 5
Extraemos el factor común
lim→ 3 3 5
Simplifiquemos los del numerador y el denominador
lim→ 3 3 5 lim→ 3 3 5
Apliquemos el límite
3 3 0 0 5 3 0 0 5 3 5 3 5 ■
2. Demostrar que la derivada de la función 7 4 es ´ 7
Primeramente desglosemos cada parte de la definición
(1) 7 4
(2) 7 4
multipliquemos por el escalar 7 7 4
Sustituyamos (1) Y (2) en la definición lim→ 7 7 4 7 4
Cambiemos de signos la segunda expresión lim→ 7 7 4 7 4
Eliminemos términos semejantes lim→ 7 7 4 7 4
lim→ 7
Simplifiquemos los del numerador y el denominador lim→ 7 lim→ 7 Apliquemos el límite
7 ■
3. Demostrar que la derivada de la función 5 3 es ´ 5
Primeramente desglosemos cada parte de la definición
(1) 5 3
(2) 5 3
Apliquemos propiedad trigonométrica seno de suma de ángulos 5 cos cos 3
Sustituyamos (1) Y (2) en la definición lim→ 5 cos cos 3 5 3
Cambiemos de signos la segunda expresión lim→ 5 cos cos 3 5 3
Eliminemos términos semejantes lim→ 5 cos cos 3 5 3
lim→ 5 cos cos 5
Extraemos el factor común lim→ 5 cos 1 5 cos
Separemos las expresiones del límite lim→ 5 cos 1 lim→ 5 cos
lim→ 5 cos 1 lim→ 5 cos 5 0 5 1 5 0 5 0 5 5 5cos ■
4. Demostrar que la derivada de la función 2 5 es ´ 2 5
Primeramente desglosemos cada parte de la definición
(1) 2 cos 5
(2) 2 5
Apliquemos propiedad trigonométrica seno de suma de ángulos 2 5 5
Sustituyamos (1) Y (2) en la definición lim→ 2 5 5 2 cos 5
Cambiemos de signos la segunda expresión lim→ 2 5 5 2 cos 5
Eliminemos términos semejantes lim→ 2 5 5 2 cos 5
lim→ 2 5 2 cos
Extraemos el factor común lim→ 2 1 2 5
Separemos las expresiones del límite lim→ 2 1 lim→ 2 lim→ 5
lim→ 2 1 lim→ 2 lim→ 5 0 1 lim→ 5 0 2 5 2 5 2 5■
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