ejercicios resueltos calculo integral.pdf
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CAPITULO VII.INTEGRACIONINDEFINIDA
SECCIONES
A. Integrales inmediatas.
B. Integracion por sustitucion.
C. Integracion por partes.
D. Integracion por fracciones simples.
E. Aplicaciones de la integral indefinida.
F. Ejercicios propuestos.
267
-
A. INTEGRALES INMEDIATAS.
Se dice que una funcion y = F (x) es integral indefinida (tambien llamadaprimitiva o antiderivada) de otra funcion y = f(x) cuando F (x) = f(x). Lanotacion usual para representar este hecho es la siguiente:
F (x) =
f(x)dx.
El termino dxindica que la variable respecto a la cual se esta integrandoes x.
Para calcular integrales se deben encontrar funciones cuya derivada sea lafuncion original. Se tratara entonces de aplicar las reglas de derivacion ensentido inverso, donde conocidas las derivadas de las funciones, se encuentrenlas propias funciones.
Una diferencia fundamental consiste en que mientras cada funcion solo tieneuna derivada, tiene infinitas integrales, porque si F (x) = f(x), entonces[F (x) + C] = f(x) para cualquier constante C.
Esto se indicara escribiendof(x)dx = F (x) + C. De este modo, todas las
primitivas de una funcion se obtienen sumando una constante arbitraria auna primitiva particular. Las siguientes propiedades permitiran descompo-
ner integrales en otras mas sencillas:
i)f (x)dx = f(x) + C.
ii)[f(x) g(x)]dx = f(x)dx g(x)dx.
iii)kf(x)dx = k
f(x)dx, k R.
De las formulas de derivacion se obtiene la siguiente tabla de integralesinmediatas, sin mas que cambiar el orden de las formulas.
1)xndx =
xn+1
n+ 1+ C si n 6= 1.
2)senxdx = cosx+ C.
3)cosxdx = senx+ C.
4)sec2 xdx = tg x+ C.
5)secx tg xdx = secx+ C.
6)cosecx cotg xdx = cosecx+ C.
7)cosec2 xdx = cotg x+ C.
268
-
8)
11 x2dx = arc senx+ C.
9)
11 + x2
dx = arc tg x+ C.
10)
1xx2 1dx = arcsecx+ C.
11)
1xdx = ln |x|+ C.
12)axdx =
ax
ln a+ C.
Veremos a continuacion algunos casos de aplicacion de las formulas anterio-res.
PROBLEMA 7.1.
Resolver la integral(4x3 5x2 + 7)dx.
Solucion
Aplicaremos las propiedades (ii) y (iii) para descomponer la integral en otrasintegrales mas simples.
I = 4
x3dx 5
x2dx+ 7
dx.
Aplicando la regla (1) se pueden resolver las integrales que resultan:
I =4x4
4 5x
3
3+ 7x+ C = x4 5x
3
3+ 7x+ C.
Ten en cuenta quedx =
x0dx = x1/1 + C = x+ C.
Aunque se debera sumar una constante a cada integral, como esa constantees arbitraria, se anade al resultado final una constante, que sera la suma decada una de las restantes.
PROBLEMA 7.2.
Resolver
1x2dx.
269
-
Solucion
Escribimos 1/x2 como x2 y tenemos:
I =
x2dx =x1
1 + C = 1x+ C.
PROBLEMA 7.3.
Resolver
3zdz.
Solucion
Si escribimos el integrando en forma de potencia:
I =
z1/3dz =z4/3
4/3+ C =
34z4/3 + C.
PROBLEMA 7.4.
Resolver(1 x)xdx.
Solucion
Si separamos en dos integrales, resulta:
I =
xdx
xxdx =
x1/2dx
x3/2dx =
23x3/2 2
5x5/2 + C.
PROBLEMA 7.5.
Resolver
(x x
2+
2x
)dx.
270
-
Solucion
Si escribimos el integrando en forma de potencia, tenemos:
I =
x1/2dx 12
xdx+ 2
x1/2dx =
23x3/2 1
4x2 + 4x1/2 + C.
PROBLEMA 7.6.
Resolver(3s+ 4)2ds.
Solucion
Desarrollando la potencia,
I =(9s2 + 24s+ 16)ds =
9s2ds+
24sds+
16ds
= 9s3
3+ 24
s2
2+ 16s+ C = 3s3 + 12s2 + 16s+ C.
PROBLEMA 7.7.
Resolver
4x3 5x2 + 7
x2dx.
Solucion
Si dividimos cada sumando por el denominador comun, podemos obteneruna suma de terminos y descomponer en suma de integrales:
I = (
4x 5 + 7x2
)dx = 4
xdx 5
dx+ 7
x2dx
= 4x2
2 5x+ 7x
1
1 + C = 2x2 5x 7
x+ C.
271
-
PROBLEMA 7.8.
Resolver(4x2 + 7)2x2dx.
Solucion
Al desarrollar el cuadrado del binomio 4x2+7, multiplicar por x2 y separarla integral en suma de varias, tendremos:
I =(16x4+56x2+49)x2dx =
(16x6+56x4+49x2)dx =
16x7
7+56x5
5+49x3
3+C
PROBLEMA 7.9.
Resolver
(1 + x)2
xdx.
Solucion
Descomponiendo en sumandos, tenemos:
I =
1 + 2x+ x2x
dx =(x1/2+2x1/2+x3/2)dx = 2x1/2+
43x3/2+
25x5/2+C.
PROBLEMA 7.10.
Resolver
x2 + 2x(x+ 1)2
dx.
Solucion
Completando cuadrados en el numerador e integrando por separado, tene-mos:
I =
(x+ 1)2 1(x+ 1)2
dx = (
1 1(x+ 1)2
)dx = x+
1x+ 1
+ C.
272
-
PROBLEMA 7.11.
Resolver
3x3 4x2 + 3x
x2 + 1dx.
Solucion
Si descomponemos la fraccion en dos, resulta:
I = (
3x 4 + 4x2 + 1
)dx =
3x2
2 4x+ 4arc tg x+ C.
PROBLEMA 7.12.
Resolver
senx+ tg x
tg xdx.
Solucion
La integral anterior se puede descomponer en suma de dos integrales en laforma siguiente:
I =
senxtg x
dx+
tg xtg x
dx =
cosxdx+
dx = senx+ x+ C.
PROBLEMA 7.13.
Resolver
sen ycos2 y
dy.
Solucion
Esta integral es inmediata debido a que
I =
tg y sec ydy = sec y + C.
273
-
PROBLEMA 7.14.
Resolver(tg 2x+ sec 2x)2dx.
Solucion
Desarrollando el integrando, tenemos:
I =(tg2 2x+ 2 tg 2x sec 2x+ sec2 2x)dx
=(2 sec2 2x+ 2 tg 2x sec 2x 1)dx = tg 2x+ sec 2x x+ C.
PROBLEMA 7.15.
Resolver
1
1 + cosxdx.
Solucion
Multiplicando numerador y denominador por 1 cosx:
I =
1 cosx1 cos2 xdx =
1 cosxsen2 x
dx
=(cosec2 x cotg x cosecx)dx = cotg x+ cosecx+ C.
PROBLEMA 7.16.
Resolver
1
sen2 x cos2 xdx.
274
-
Solucion
Aplicando la identidad trigonometrica sen2 x+ cos2 x = 1, resulta:
I =
sen2 x+ cos2 xsen2 x cos2 x
dx =
dx
cos2 x+
dx
sen2 x= tg x cotg x+ C.
B. INTEGRACION POR SUSTITUCION.
Cuando el integrando no es la derivada de una funcion conocida, todavaes posible que lo sea de una funcion compuesta. A partir de la regla de lacadena
D[f(g(x))] = f (g(x)) g(x),se deduce la correspondiente regla de integracion
f (g(x)) g(x) dx = f(g(x)) + C.
Las formulas siguientes se deducen de la aplicacion de la regla de la cadenaen las formulas simples escritas en el apartado A.
1)[f(x)]n f (x)dx = f(x)
n+1
n+ 1+ C si n 6= 1.
2)f (x) sen f(x)dx = cos f(x) + C.
3)f (x) cos f(x)dx = sen f(x) + C.
4)f (x) sec2 f(x)dx = tg f(x) + C.
5)f (x) sec f(x) tg f(x)dx = sec f(x) + C.
6)f (x) cosec f(x) cotg f(x)dx = cosec f(x) + C.
7)f (x) cosec2 f(x)dx = cotg f(x) + C.
8)
f (x)1 f(x)2dx = arc sen f(x) + C.
9)
f (x)1 + f(x)2
dx = arc tg f(x) + C.
275
-
10)
f (x)f(x)
f(x)2 1dx = arcsec f(x) + C.
11)
f (x)f(x)
dx = ln |f(x)|+ C.
12)
af(x) f (x)dx = af(x)
ln a+ C.
En la practica, como no es facil determinar si el integrando puede expresarsecomo la derivada de una funcion compuesta, se hace un cambio de variablepara intentar expresar la integral en forma mas sencilla. As, en la expresionI =
f (g(x)) g(x) dx, si hacemos g(x) = t, entonces g(x)dx = dt, con
lo que I =f (t) dt = f(t) + C = f(g(x)) + C.
Hay algunas sustituciones especiales para casos concretos que iremos ilus-trando en la resolucion de los problemas que siguen.
PROBLEMA 7.17.
Resolver4x2x2 1dx.
Solucion
Si f(x) = 2x21, tenemos que f (x) = 4x; se trata de calcular f(x)1/2f (x)dx.La regla (1) indica que el resultado es:
I =(2x2 1)3/2
3/2+ C =
23(2x2 1)3/2 + C.
PROBLEMA 7.18.
Resolver(x3 + 2)23x2dx.
Solucion
Haciendo el cambio x3 + 2 = u tenemos du = 3x2dx, con lo que:
I =
u2du =13u3 + C =
13(x3 + 2)3 + C.
276
-
Otra forma es escribir directamente I =(x3+2)2d(x3+2) = 13(x
3+2)3+C.
PROBLEMA 7.19.
Resolver
32x 6dx.
Solucion
En este caso llamamos f(x) = 2x6. Sin embargo, f (x) = 2 no aparece ex-plcitamente en la integral. Como las constantes se pueden multiplicar tantodentro como fuera de la integral (propiedad iii), podemos escribir:
I =
12 2 32x 6dx = 1
2
2 32x 6dx.
Ahora la integral tiene la forma en que se puede aplicar la regla (1). As:
I =12 (2x 6)
(1/3)+1
4/3+ C =
38(2x 6)4/3 + C.
PROBLEMA 7.20.
Resolver(x3 + 2)1/2x2dx.
Solucion
Hacemos el cambio de variable u = x3+2, con lo que du = 3x2dx. As:
I =13
(x3 + 2)1/2 3x2dx = 1
3
u1/2du =
13 u
3/2
3/2=
29(x3 + 2)3/2 + C.
Tambien otra forma es la siguiente:
I =
13(x3 + 2)1/2 3x2dx = 1
3
(x3 + 2)1/2d(x3 + 2)
=13 (x
3 + 2)3/2
3/2+ C =
29(x3 + 2)3/2 + C.
277
-
PROBLEMA 7.21.
Resolver
8x2
(x3 + 2)3dx.
Solucion
Haciendo u = x3 + 2 tenemos du = 3x2dx; por tanto:
I = 8
du/3u3
=83
u3du =
83 u
2
2 + C =4
3(x3 + 2)2+ C.
PROBLEMA 7.22.
Resolver
x2
4x3 + 2
dx.
Solucion
Haciendo u = x3 + 2, du = 3x2dx y tenemos:
I =
du/34u
=13
u1/4du =
13 43u3/4 + C =
49(x3 + 2)3/4 + C.
PROBLEMA 7.23.
Resolver3x1 2x2dx.
Solucion
Haciendo el cambio 1 2x2 = u, du = 4xdx, resulta:
I = 3
u du4 = 34
u1/2du = 3
4 23u3/2 + C = 1
2(1 2x2)3/2 + C.
278
-
PROBLEMA 7.24.
Resolver
x+ 3
(x2 + 6x)1/3dx.
Solucion
Hacemos el cambio x2+6x = u, con lo que (2x+6)dx = du y resulta:
I =
du/2u1/3
=12
u1/3du =
12 32u2/3 + C =
34(x2 + 6x)2/3 + C.
PROBLEMA 7.25.
Resolverx 31 x2dx.
Solucion
Procediendo directamente, tenemos
I = 12
(1 x2)1/3(2x)dx = 1
2
(1 x2)1/3d(1 x2)
= 12 34(1 x2)4/3 + C = 3
8(1 x2)4/3 + C.
PROBLEMA 7.26.
Resolver
x2 2x4dx.
Solucion
Sacando x2 factor comun en la raz, podemos escribir:
I =(1 2x2)1/2 xdx = 1
4
(1 2x2)1/2(4xdx)
= 14 23(1 2x2)3/2 + C = 1
6(1 2x2)3/2 + C.
279
-
PROBLEMA 7.27.
Resolver(ex + 1)3exdx.
Solucion
Hacemos el cambio u = ex + 1, con lo que du = exdx. As:
I =
u3du =u4
4+ C =
(ex + 1)4
4+ C.
PROBLEMA 7.28.
Resolver
x
(x2 + a2)ndx.
Solucion
Sabiendo que la derivada de x2 + a2 es 2x, tenemos:
I =12
2xdx
(x2 + a2)n=
12
(x2 + a2)nd(x2 + a2)
=12 (x
2 + a2)n+1
n+ 1 + C =1
2(n 1)(x2 + a2)n1 + C.
PROBLEMA 7.29.
Resolver
1
(1 x2)1 x2dx.
280
-
Solucion
Utilizamos en este caso el siguiente artificio:
I =
dx(1 x2)3 =
x3dx
[x11 x2]3
=
x3
(x2 1)3dx =
12
2x3(x2 1)3dx
= 12
(x2 1)3/2d(x2 1) = (x2 1)1/2 + C = x
1 x2 + C.
PROBLEMA 7.30.
Resolversen(x/2)dx.
Solucion
Aplicando la formula (2), tenemos:
I = 2
sen(x/2)(dx/2) = 2 cos(x/2) + C.
PROBLEMA 7.31.
Resolvercos 3xdx.
Solucion
Aplicamos en este caso la formula (3) y obtenemos:
I =13
cos 3x(3dx) =
13sen 3x+ C.
PROBLEMA 7.32.
Resolversen2 x cosxdx.
281
-
Solucion
Tenemos que:
I =
sen2 xd(senx) =sen3 x3
+ C.
PROBLEMA 7.33.
Resolversen3 xdx.
Solucion
Si descomponemos sen3 x = sen2 x senx, debemos expresar sen2 x en fun-cion de cosx debido a que en el integrando aparece (cosx) = senx. En-tonces:
I =
sen2 x senxdx =(1cos2 x) senxdx =
senxdx+
cos2 x senxdx.
La primera integral es inmediata. Como la segunda integral es de la formaf2(x)f (x)dx, con f(x) = cosx, resulta que:
I = cosx+ cos3 x
3+ C.
PROBLEMA 7.34.
Resolversec2(2ax)dx.
Solucion
Aplicando la formula (4), tenemos:
I =12a
sec2(2ax)(2adx) =
12a
tg(2ax) + C.
282
-
PROBLEMA 7.35.
Resolverex cos exdx.
Solucion
Procediendo de forma directa,
I =
cos ex(exdx) = sen ex + C.
PROBLEMA 7.36.
Resolver
1
x+ 2dx.
Solucion
Aplicamos la formula (11):
I =
d(x+ 2)x+ 2
= ln |x+ 2|+ C.
PROBLEMA 7.37.
Resolver
1
2x 3dx.
Solucion
Analogamente al anterior,
I =12
d(2x 3)2x 3 =
12ln |2x 3|+ C.
283
-
PROBLEMA 7.38.
Resolver
x
x2 1dx.
Solucion
Si escribimos en el numerador la derivada del denominador, resulta:
I =12
2x
x2 1dx =12
d(x2 1)x2 1 =
12ln |x2 1|+ C.
PROBLEMA 7.39.
Resolver
x2
1 2x3dx.
Solucion
Multiplicando y dividiendo por -6,
I = 16
6x21 2x3dx =
16ln |1 2x3|+ C.
PROBLEMA 7.40.
Resolver
x+ 2x+ 1
dx.
Solucion
Separamos en dos fracciones y tenemos:
I = (
1 +1
x+ 1
)dx =
dx+
1
x+ 1dx = x+ ln |x+ 1|+ C.
284
-
PROBLEMA 7.41.
Resolver
1
ex + 1dx.
Solucion
Usaremos aqu el siguiente artificio:
I =
ex
ex(ex + 1)dx =
ex1 + ex
dx = ln(1 + ex) + C.
No es necesario en este caso el valor absoluto porque 1+ ex > 0, para todox.
PROBLEMA 7.42.
Resolvertg xdx.
Solucion
Procederemos as:
I =
senxcosx
dx = senx
cosxdx = ln | cosx|+ C = ln | secx|+ C.
PROBLEMA 7.43.
Resolvertg 2xdx.
Solucion
Analogamente al anterior:
I =12
tg 2x(2dx) =
12ln | sec 2x|+ C.
285
-
PROBLEMA 7.44.
Resolver
senx+ cosx
cosxdx.
Solucion
Separando la fraccion en dos, tenemos:
I =(tg x+ 1)dx = ln | secx|+ x+ C.
PROBLEMA 7.45.
Resolver(1 + tg x)2dx.
Solucion
Desarrollando el cuadrado, tenemos:
I =(1 + 2 tg x+ tg2 x)dx =
(sec2 x+ 2 tg x)dx = tg x+ 2 ln | secx|+C.
PROBLEMA 7.46.
Resolverx cotg x2dx.
Solucion
Sabiendo que
cotg xdx =
cosxsenx
dx = ln | senx|+ C, resulta:
I =12
cotg x2 (2xdx) = 1
2ln | senx2|+ C.
286
-
PROBLEMA 7.47.
Resolversecxdx.
Solucion
Es util en este caso utilizar el siguiente artificio:
I =
secx(secx+ tg x)secx+ tg x
dx =
secx tg x+ sec2 xsecx+ tg x
dx = ln | secx+tg x|+C.
PROBLEMA 7.48.
Resolver
sec
x
xdx.
Solucion
Teniendo en cuenta el problema anterior, resulta:
I = 2
secxdx
2x= 2 ln | secx+ tgx|+ C.
PROBLEMA 7.49.
Resolvercosecudu.
Solucion
Un artificio similar al realizado anteriormente permite escribir:
I =
cosecu(cosecu cotg u)cosecu cotg u du
=
cosec2 u cosecu cotg ucosecu cotg u du = ln | cosecu cotg u|+ C.
287
-
PROBLEMA 7.50.
Resolver
secx tg xa+ b secx
dx.
Solucion
Si hacemos que el numerador sea la derivada del denominador, tenemos
I =1b
b secx tg xdxa+ b secx
=1bln |a+ b secx|+ C.
PROBLEMA 7.51.
Resolver
1
cosec 2x cotg 2xdx.
Solucion
Aplicando las identidades cosec 2x = 1/ sen 2x y cotg 2x = cos 2x/ sen 2x:
I =
sen 2x1 cos 2xdx =
12
2 sen 2xdx1 cos 2x =
12ln(1 cos 2x) + C
=12ln(2 sen2 x) + C =
12(ln 2 + 2 ln | senx|) + C = ln | senx|+ C .
PROBLEMA 7.52.
Resolverexdx.
288
-
Solucion
La formula (12) da casi directamente:
I =
ex(dx) = ex + C.
PROBLEMA 7.53.
Resolvera2xdx.
Solucion
De nuevo por la formula (12),
I =12
a2x(2dx) =
12 a
2x
ln a+ C.
PROBLEMA 7.54.
Resolver
e1/x
x2dx.
Solucion
Analogamente a los anteriores,
I =
e1/x(dxx2
)= e1/x + C.
PROBLEMA 7.55.
Resolvere3 cos 2x sen 2xdx.
289
-
Solucion
Podemos hacer el cambio 3 cos 2x = u o bien proceder directamente:
I = 16
e3 cos 2x(6 sen 2xdx) = 1
6e3 cos 2x + C.
PROBLEMA 7.56.
Resolver
1
a2 x2dx.
Solucion
De acuerdo a la formula (8) tenemos:
I =
dx
a1 (x/a)2 =
d(x/a)1 (x/a)2 = arc senx/a+ C.
PROBLEMA 7.57.
Resolver
1
25 16x2dx.
Solucion
Teniendo en cuenta el problema anterior, resulta:
I =14
4dx
52 (4x)2 =14
4dx/5
1 (4x/5)2 =14arc sen
4x5
+ C.
PROBLEMA 7.58.
Resolver
x21 x6dx.
290
-
Solucion
Analogamente a los anteriores:
I =13
3x2dx1 (x3)2 =
13arc senx3 + C.
PROBLEMA 7.59.
Resolver
x+ 31 x2dx.
Solucion
Si separamos en dos integrales:
I =
xdx1 x2 + 3
dx1 x2
= 2xdx
21 x2 + 3
dx1 x2 =
1 x2 + 3arc senx+ C.
PROBLEMA 7.60.
Resolver
1
20 + 8x x2dx.
Solucion
Completando cuadrados en la raz y teniendo en cuenta los problemas ante-riores, obtenemos:
I =
dx36 (x2 8x+ 16) =
dx
62 (x 4)2 = arc senx 46
+ C.
291
-
PROBLEMA 7.61.
Resolver
1
28 12x x2dx.
Solucion
Analogamente al anterior resulta:
I =
dx64 (x2 + 12x+ 36) =
dx
82 (x+ 6)2 = arc senx+ 68
+ C.
PROBLEMA 7.62.
Resolver
x+ 3
5 4x x2dx.
Solucion
Procedemos de la siguiente manera:
I = 12
(2x 6)dx5 4x x2 =
12
(2x 4) 25 4x x2 dx =
12
(2x 4)5 4x x2dx
+
dx5 4x x2 =
12
(2x 4)5 4x x2dx+
dx
9 (x+ 2)2dx
= 5 4x x2 + arc sen x+ 2
3+ C.
PROBLEMA 7.63.
Resolver
1
9 + x2dx.
292
-
Solucion
Aplicamos la formula (9) y tenemos:
I =
dx
9[1 + (x/3)2]=
13
dx/3
1 + (x/3)2=
13arc tg(x/3) + C.
PROBLEMA 7.64.
Resolver
1
4x2 + 9dx.
Solucion
Procediendo analogamente al problema anterior:
I =12
2dx
(2x)2 + 32=
12
2dx
9[(2x/3)2 + 1]=
16arc tg
2x3
+ C.
PROBLEMA 7.65.
Resolver
x
x4 + 3dx.
Solucion
Razonando analogamente a los problemas anteriores, tendremos:
I =12
2xdx
(x2)2 + 3=
12 1
3arc tg
x23+ C =
36
arc tgx23
3+ C.
PROBLEMA 7.66.
Resolver
1
y2 + 10y + 30dy.
293
-
Solucion
Al completar cuadrados en el denominador, podemos reducirlo a los casosanteriores:
I =
dy
(y2 + 10y + 25) + 5=
dy
(y + 5)2 + 5=
15arc tg
y + 55
+ C.
Observacion: Este metodo solo es posible porque el denominador no tieneraces reales. En caso contrario, deberemos aplicar el metodo de integracionpor fracciones simples (ver apartado D.)
PROBLEMA 7.67.
Resolver
1
ex + exdx.
Solucion
Multiplicando numerador y denominador por ex obtenemos directamen-te:
I =
exdx
e2x + 1= arc tg ex + C.
PROBLEMA 7.68.
Resolver
secx tg x9 + 4 sec2 x
dx.
Solucion
Teniendo en cuenta los problemas anteriores, resulta tambien:
I =12
2 secx tg xdx32 + (2 secx)2
=16arc tg
2 secx3
+ C.
294
-
PROBLEMA 7.69.
Resolver
2x 7x2 + 9
dx.
Solucion
Si separamos en dos integrales, resulta:
I =
2xdxx2 + 9
7
dx
x2 + 9= ln(x2 + 9) 7
3arc tg(x/3) + C.
PROBLEMA 7.70.
Resolver
x+ 1
x2 4x+ 8dx.
Solucion
Si intentamos escribir en el numerador la derivada del denominador, obte-nemos las siguientes integrales:
I =12
(2x 4)dxx2 4x+ 8 + 3
dx
x2 4x+ 8 =12
(2x 4)dxx2 4x+ 8 + 3
dx
(x 2)2 + 4=
12ln(x2 4x+ 8) + 3
2arc tg
x 22
+ C.
PROBLEMA 7.71.
Resolver
1
x4x2 9dx.
Solucion
Aplicando adecuadamente la formula (10) resulta:
I =
dx
x(2x)2 32 =
dx
3x(2x/3)2 1
=13
2dx/3
(2x/3)(2x/3)2 1 =
13arcsec
2x3
+ C.
295
-
PROBLEMA 7.72.
Resolver
1
xx4 1dx.
Solucion
Analogamente al problema anterior podemos escribir:
I =12
2xdx
x2(x2)2 1 =
12arcsecx2 + C =
12arc cos(1/x2) + C.
PROBLEMA 7.73.
Resolversen2 xdx.
Solucion
Aplicando la formula sen2 x = (1 cos 2x)/2 resulta:
I =12
(1 cos 2x)dx = 1
2x 1
4sen 2x+ C.
PROBLEMA 7.74.
Resolvercos2 xdx.
Solucion
Aplicamos en este caso la identidad cos2 x = (1 + cos 2x)/2:
I =12
(1 + cos 2x)dx =
x
2+
sen 2x4
+ C.
296
-
PROBLEMA 7.75.
Resolvercos5 xdx.
Solucion
Realizamos la siguiente descomposicion:
I =
cos4 x cosxdx =(1 sen2 x)2 cosxdx =
cosxdx 2
sen2 x cosxdx
+
sen4 x cosxdx = senx 23sen3 x+
15sen5 x+ C.
PROBLEMA 7.76.
Resolversen2 x cos3 xdx.
Solucion
De la identidad fundamental sen2 x+ cos2 x = 1 resulta:
I =
sen2 x cos2 x cosxdx =
sen2 x(1 sen2 x) cosxdx
=
sen2 x cosxdx
sen4 x cosxdx =13sen3 x 1
5sen5 x+ C.
PROBLEMA 7.77.
Resolvercos4 2x sen3 2xdx.
Solucion
Como el exponente de sen 2x es impar, procedemos as:
I =
cos4 2x sen2 2x sen 2xdx =
cos4 2x(1 cos2 2x) sen 2xdx
=
cos4 2x sen 2xdx
cos6 2x sen 2xdx = 110
cos5 2x+114
cos7 2x+ C.
297
-
PROBLEMA 7.78.
Resolversen3 3x cos5 3xdx.
Solucion
Analogamente al ejercicio anterior tenemos:
I =(1 cos2 3x) cos5 3x sen 3xdx =
cos5 3x sen 3xdx
cos7 3x sen 3xdx = 118
cos6 3x+124
cos8 3x+ C.
Otra forma similar es usar el hecho de que el exponente de cos 3x tambienes impar:
I =
sen3 3x(1 sen2 3x)2 cos 3xdx
=
sen3 3x cos 3xdx 2
sen5 3x cos 3xdx+
sen7 3x cos 3xdx
=112
sen4 3x 19sen6 3x+
124
sen8 3x+ C.
Observese que ambos resultados difieren en una constante aunque no loparezca a simple vista.
PROBLEMA 7.79.
Resolversen4 xdx.
Solucion
Como el exponente de senx es par, utilizamos la identidad sen2 x = (1 cos 2x)/2 y posteriormente cos2 2x = (1 + cos 4x)/2:
I =(sen2 x)2dx =
14
(1 cos 2x)2dx = 1
4
dx 1
2
cos 2xdx
+14
cos2 2xdx =
14
dx 1
2
cos 2xdx+
18
(1 + cos 4x)dx
=14x 1
4sen 2x+
18x+
132
sen 4x+ C =38x 1
4sen 2x+
132
sen 4x+ C.
298
-
PROBLEMA 7.80.
Resolversen2 x cos2 xdx.
Solucion
Por la formula sen 2x = 2 senx cosx tenemos:
I =14
(2 senx cosx)2dx =
14
sen2 2xdx =
18
(1 cos 4x)dx
=18
dx 1
8
cos 4xdx =
18x 1
32sen 4x+ C.
PROBLEMA 7.81.
Resolversen4 3x cos2 3xdx.
Solucion
Por ser ambos exponentes pares tenemos como antes:
I =(sen2 3x cos2 3x) sen2 3xdx =
18
sen2 6x(1 cos 6x)dx
=18
sen2 6xdx 1
8
sen2 6x cos 6xdx =
116
(1 cos 12x)dx
18
sen2 6x cos 6xdx =
116x 1
192sen 12x 1
144sen3 6x+ C.
PROBLEMA 7.82.
Resolvertg4 xdx.
299
-
Solucion
Aplicamos la formula sec2 x = 1 + tg2 x y tenemos:
I =
tg2 x tg2 xdx =
tg2 x(sec2 x 1)dx =
tg2 x sec2 xdx
tg2 xdx
=
tg2 xd(tg x)(sec2 x 1)dx = 1
3tg3 x tg x+ x+ C.
PROBLEMA 7.83.
Resolvertg5 xdx.
Solucion
De forma analoga al problema anterior podemos escribir:
I =
tg3 x tg2 xdx =
tg3 x(sec2 x 1)dx =
tg3 x sec2 xdx
tg3 xdx
=
tg3 xd(tg x)
tg x(sec2 x 1)dx = 14tg4 x 1
2tg2 x+ ln | secx|+ C.
PROBLEMA 7.84.
Resolversec4 2xdx.
Solucion
Tambien en este caso tenemos:
I =
sec2 2x sec2 2xdx =
sec2 2x(1 + tg2 2x)dx
=
sec2 2xdx+
tg2 2x sec2 2xdx =12tg 2x+
16tg3 2x+ C.
300
-
PROBLEMA 7.85.
Resolvertg3 3x sec4 3xdx.
Solucion
Nuevamente, de la identidad sec2 3x = 1 + tg2 3x, resulta:
I =
tg3 3x(1 + tg2 3x) sec2 3xdx =
tg3 3x sec2 3xdx+
tg5 3x sec2 3xdx
=112
tg4 3x+118
tg6 3x+ C.
PROBLEMA 7.86.
Resolvertg3 2x sec3 2xdx.
Solucion
En este caso integramos con respecto a d(sec 2x) como sigue:
I =
tg2 2x sec2 2x sec 2x tg 2xdx =(sec2 2x 1) sec2 2x sec 2x tg 2xdx
=12
sec4 2xd(sec 2x) 1
2
sec2 2xd(sec 2x)
=110
sec5 2x 16sec3 2x+ C.
PROBLEMA 7.87.
Resolvercotg3 2xdx.
301
-
Solucion
De la formula cosec2 2x1 = cotg2 2x y teniendo en cuenta que d(cotg 2x) =2 cosec2 2xdx, resulta:
I =
cotg 2x(cosec2 2x 1)dx = 14cotg2 2x+
12ln | cosec 2x|+ C.
PROBLEMA 7.88.
Resolvercotg4 3xdx.
Solucion
Procediendo de forma analoga al anterior tenemos:
I =
cotg2 3x(cosec2 3x 1)dx =
cotg2 3x cosec2 3xdx
cotg2 3xdx
= 13
cotg2 3xd(cotg 3x)
(cosec2 3x 1)dx
= 19cotg3 3x+
13cotg 3x+ x+ C.
PROBLEMA 7.89.
Resolvercosec6 xdx.
Solucion
De forma similar a los anteriores,
I =
cosec2 x(1 + cotg2 x)2dx =
cosec2 xdx+ 2
cotg2 x cosec2 xdx
+
cotg4 x cosec2 xdx = cotg x 23cotg3 x 1
5cotg5 x+ C.
302
-
PROBLEMA 7.90.
Resolvercotg3 x cosec5 xdx.
Solucion
Sabiendo que d(cosecx) = cosecx cotg xdx, tenemos:
I =
cotg2 x cosec4 x cosecx cotg xdx
=(cosec2 x 1) cosec4 x cosecx cotg xdx
=
cosec6 xd(cosecx) +
cosec4 xd(cosecx)
= 17cosec7 x+
15cosec5 x+ C.
PROBLEMA 7.91.
Resolver
1 cosxdx.
Solucion
Debido a la formula 1 cosx = 2 sen2(x/2), tenemos:
I =2
sen(x/2)dx = 22 cos(x/2) + C.
PROBLEMA 7.92.
Resolver
1
1 sen 2xdx.
303
-
Solucion
Aplicamos la identidad senx = cos(pi/2 x) y procedemos como en el pro-blema anterior:
I =
11 cos(pi/2 2x)dx =
1
2 sen(pi/4 x)dx
=22
cosec(pi/4 x)dx =
22
ln | cosec(pi/4 x) cotg(pi/4 x)|+ C.
PROBLEMA 7.93.
Resolver(1 + cos 3x)3/2dx.
Solucion
Utilizamos la formula 1 + cos 3x = 2 cos2(3x/2):
I = 22
cos3(3x/2)dx = 22[1 sen2(3x/2)] cos(3x/2)dx
= 22(23sen(3x/2) 2
9sen3(3x/2)
)+ C.
PROBLEMA 7.94.
Resolver
1
sen3 x cos3 xdx.
304
-
Solucion
De la identidad 1 = sen2 x+cos2 x, tenemos la siguiente descomposicion:
I =
(sen2 x+ cos2 x)2
sen3 x cos3 xdx =
sen4 x+ cos4 x+ 2 sen2 x cos2 x
sen3 x cos3 xdx
=
senxcos3 x
dx+
cosxsen3 x
dx+ 2
1senx cosx
dx
=
cos3 xd(cosx) +
sen3 xd(senx) + 2
sec2 xtg x
dx
=1
2 cos2 x 1
2 sen2 x+ 2 ln | tg x|+ C.
PROBLEMA 7.95.
Resolversenx cosxdx, donde 2 2 6= 0.
Solucion
Utilizamos la formula sen(a+ b) + sen(a b) = 2 sen a cos b:
I =12
[sen(x+ x) + sen(x x)]dx
=12
[sen(+ )x+ sen( )x]dx = 1
2
[cos(+ )x
+ +
cos( )x
]+ C.
PROBLEMA 7.96.
Resolversenx senxdx, donde 2 2 6= 0.
Solucion
Similar al anterior con la formula cos(ab)cos(a+b) = 2 sen a sen b:
I =12
[cos(x x) cos(x+ x)]dx
=12
[cos( )x cos(+ )x]dx = 1
2
[sen( )x
sen(+ )x
+
]+ C.
305
-
PROBLEMA 7.97.
Resolvercosx cosxdx, donde 2 2 6= 0.
Solucion
Aplicamos en este caso la formula cos(a+b)+cos(ab) = 2 cos a cos b:
I =12
[cos(x+x)+cos(xx)]dx = 1
2
[sen(+ )x
+ +
sen( )x
]+C.
PROBLEMA 7.98.
Resolver
1
x2 + 1dx.
Solucion
Si hacemos el cambio de variable x = tg u, entonces dx = sec2 udu. As:
I =
1secu
sec2 udu =
secudu = ln | secu+tg u|+C = ln(x+x2 + 1)+C.
PROBLEMA 7.99.
Resolver
1
4x2 + 9dx.
Solucion
Escribimos la funcion como en el problema anterior y aplicamos el re-sultado obtenido o bien hacemos el cambio 2x/3 = tg u, de modo que
306
-
dx = (3/2) sec2 udu:
I =
1(2x)2 + 32
dx =
13(2x/3)2 + 1
dx =
(3/2) sec2 udu3 secu
=12ln | secu+ tg u|+ C = 1
2ln
2x3 +4x2 + 93
+ C.
PROBLEMA 7.100.
Resolver
x+ 2x2 + 9
dx.
Solucion
Separamos la integral en dos y aplicamos en la segunda la sustitucion x/3 =tg u:
I =12
2x+ 4x2 + 9
dx =12
2xx2 + 9
dx+ 2
1x2 + 9
dx
=x2 + 9 + 2
secudu =
x2 + 9 + 2 ln
x3 +x2 + 93
+ C.
PROBLEMA 7.101.
Resolver
1
x2 1dx.
Solucion
Si hacemos x = secu, entonces dx = secu tg udu. Por tanto:
I =
1tg u
secu tg udu = ln | secu+ tg u|+ C = ln |x+x2 1|+ C.
307
-
PROBLEMA 7.102.
Resolver
1
9z2 25dz.
Solucion
Si hacemos el cambio 3z/5 = secu, 3dz/5 = secu tg udu, entonces:
I =13
3/5
(3z/5)2 1dz =13
secu tg u
tg udu
=13ln | secu+ tg u|+ C = 1
3ln
3z5 +9z2 25
5
+ C.
PROBLEMA 7.103.
Resolver
1
4s+ s2ds.
Solucion
Completando cuadrados en el denominador y haciendo el cambio (s+2)/2 =secu, resulta:
I =
1(s+ 2)2 4ds =
1
2[(s+ 2)/2]2 1ds
=
secudu = ln | secu+ tg u|+ C = lns+ 22 +
4s+ s2
2
+ C.
PROBLEMA 7.104.
Resolver
x+ 2
x2 + 2x 3dx.
308
-
Solucion
Separamos en dos integrales de modo que la primera sea la derivada de unaraz y en la segunda hacemos el cambio (x+ 1)/2 = secu:
I =
2x+ 42x2 + 2x 3dx =
2x+ 2
2x2 + 2x 3dx+
1/2
[(x+ 1)/2]2 1dx
=x2 + 2x 3 +
secudu
=x2 + 2x 3 + ln
x+ 12 +x2 + 2x 3
2
+ C.
PROBLEMA 7.105.
Resolver
3 4x2dx.
Solucion
Haremos el cambio 2x/3 = senu, 2dx/
3 = cosudu despues de escribir la
funcion de forma mas conveniente:
I =3
1 (2x/3)2dx =
3
32
cos2 udu
=32
1 + cos 2u
2du =
34
[u+
sen 2u2
]+ C
=34arc sen(2x/
3) +
38 2 2x
3
3 4x23
+ C
=34arc sen(2x/
3) +
x
2
3 4x2 + C.
PROBLEMA 7.106.
Resolver
3 2x x2dx.
309
-
Solucion
Completando cuadrados y procediendo como en el problema anterior con elcambio (x+ 1)/2 = senu, resulta:
I =
4 (x+ 1)2dx =
21 [(x+ 1)/2]2dx = 4
cos2 udu
= 4[u
2+
sen 2u4
]+ C = 2arc sen
x+ 12
+x+ 12
3 2x x2 + C.
PROBLEMA 7.107.
Resolver
1
x24 + x2
dx.
Solucion
Si hacemos el cambio tg z = x/2, tendremos dx = 2 sec2 zdz y4 + x2 =
2 sec z. Entonces:
I =
2 sec2 z(4 tg2 z)(2 sec z)
dz =14
sec ztg2 z
dz
=14
sen2 z cos zdz = 1
4 sen z+ C =
4 + x2
4x+ C.
PROBLEMA 7.108.
Resolver
x2x2 4dx.
Solucion
Hacemos el cambio x/2 = sec z, con lo que dx = 2 sec z tg zdz yx2 4 =
2 tg z:
I =
4 sec2 z2 tg z
(2 sec z tg zdz) = 4
sec3 zdz
= 2 sec z tg z + 2 ln | sec z + tg z|+ C = 12xx2 4 + 2 ln |x+
x2 4|+ C .
310
-
(Ver problema 7.124 para la resolucion de la ultima integral.)
PROBLEMA 7.109.
Resolver
9 4x2x
dx.
Solucion
Haciendo 2x/3 = sen z tendremos 2dx/3 = cos zdz y9 4x2 = 3 cos z.
As:
I =
3 cos z(3/2) sen z
(3/2) cos zdz = 3
cos2 zsen z
dz
= 3
1 sen2 zsen z
dz = 3
cosec zdz 3
sen zdz
= 3 ln | cosec z cotg z|+ 3 cos z + C = 3 ln3
9 4x22x
+9 4x2 + C .
PROBLEMA 7.110.
Resolver
(16 9x2)3/2
x6dx.
Solucion
Haciendo 3x/4 = sen z tendremos dx = (4/3) cos zdz y16 9x2 = 4 cos z.
As:
I =
64 cos3 z (4/3) cos z(4096/729) sen6 z
dz =24316
cos4 zsen6 z
dz
=24316
cotg4 z cosec2 zdz = 243
80cotg5 z + C
= 24380
(16 9x2)5/2
243x5+ C = 1
80 (16 9x
2)5/2
x5+ C.
311
-
PROBLEMA 7.111.
Resolver
x2
2x x2dx.
Solucion
Volvemos a escribir la integral como
x21 (x 1)2dx y hacemos el cam-
bio x 1 = sen z. Tendremos as dx = cos zdz y 2x x2 = cos z. Resul-ta:
I =
(1 + sen z)2
cos zcos zdz =
(1 + 2 sen z + sen2 z)dz
= (
1 + 2 sen z +1 cos 2z
2
)dz =
32z 2 cos z 1
4sen 2z + C
=32arc sen(x 1) 2
2x x2 1
2(x 1)
2x x2 + C
=32arc sen(x 1) 1
2(x+ 3)
2x x2 + C.
PROBLEMA 7.112.
Resolver
1
(4x2 24x+ 27)3/2dx.
Solucion
Completando cuadrados tenemos que I =
1[4(x 3)2 9]3/2dx.
Haciendo 2(x3)/3 = sec z, resulta dx = (3/2) sec z tg zdz y4x2 24x+ 27 =3 tg z, con lo que:
I =
(3/2) sec z tg zdz27 tg3 z
=118
sen2 z cos zdz
= 118
sen1 z + C = 19 x 3
4x2 24x+ 27 + C.
312
-
PROBLEMA 7.113.
Resolver
1
(1 + x2)1 + x2
dx.
Solucion
Haciendo x2 = t, 2xdx = dt, es decir, dx = dt/(2t). Por tanto,
I =
dt/2t
(1 + t)1 + t
=12
dt
(1 + t)(1 + t)t
.
Haciendo ahora1
1 + t= z = 1
z 1 = t = dt = 1
z2dz, tenemos:
I =12
1z2dz z
(1/z)[(1/z) 1] =12
dz/z(1/z2) (1/z)
=12
dz/z(1/z)
1 z =
12
dz1 z
= 12
(1 z)1/2dz = 1
2 (1 z)
1/2
1/2+ C
=1 z + C =
1 1
1 + t+ C =
1 + t 11 + t
+ C
=t
1 + t+ C =
x1 + x2
+ C.
C. INTEGRACION POR PARTES.
Este metodo se basa en la formula de derivacion de un producto de dosfunciones: integrando la formula (f g)(x) = f (x) g(x) + f(x) g(x), seobtiene f(x) g(x) = f (x) g(x)dx+ f(x) g(x)dx, de donde,
f(x) g(x) dx = f(x) g(x)
f (x) g(x) dx.
313
-
Otra forma de escribir esta formula es llamar u = f(x) y v = g(x), con loque resulta:
u dv = u v
v du.
Este metodo suele aplicarse cuando el integrando es producto de dos fun-ciones de distinta clase, como por ejemplo, polinomica por exponencial, tri-gonometrica por exponencial, polinomica por logartmica, etc.
Una gran variedad de integrales que se pueden resolver por este metodo seofrece en los problemas que siguen.
PROBLEMA 7.114.
Resolverxexdx.
Solucion
Hacemos u = x, dv = exdx. Entonces du = dx, v = ex y tenemos:
I = xex
exdx = xex ex + C.
PROBLEMA 7.115.
Resolverx3e2xdx.
Solucion
Haciendo u = x3, dv = e2xdx tendremos du = 3x2dx, v = (1/2)e2x, con loque:
I =12x3e2x 3
2
x2e2xdx.
Haciendo en la integral resultante u = x2 y dv = e2xdx tendremos du =2xdx, v = (1/2)e2x, de modo que:
I =12x3e2x 3
2
[12x2e2x
xe2xdx
]=
12x3e2x 3
4x2e2x +
32
xe2xdx.
314
-
Haciendo en la integral resultante u = x y dv = e2xdx tendremos du = dx yv = (1/2)e2x y nuevamente,
I =12x3e2x 3
4x2e2x +
32
[12xe2x 1
2
e2xdx
]=
12x3e2x 3
4x2e2x +
34xe2x 3
8e2x + C.
PROBLEMA 7.116.
Resolverx3ex
2dx.
Solucion
Hacemos u = x2 y dv = xex2dx, de donde du = 2xdx y v = (1/2)ex
2.
Aplicando la formula de integracion por partes tenemos:
I =12x2ex
2
xex2dx =
12x2ex
2 12ex
2+ C.
PROBLEMA 7.117.
Resolverx1 + xdx.
Solucion
Haciendo u = x, dv =1 + xdx tenemos que du = dx, v = (2/3)(1 +
x)3/2:
I =23x(1 + x)3/2 2
3
(1 + x)3/2dx =
23x(1 + x)3/2 4
15(1 + x)5/2 + C.
315
-
PROBLEMA 7.118.
Resolverln(x2 + 2)dx.
Solucion
Hacemos u = ln(x2 + 2) y dv = dx, de donde du =2xdxx2 + 2
y v = x. Portanto:
I = x ln(x2 + 2)
2x2dxx2 + 2
= x ln(x2 + 2) (
2 4x2 + 2
)dx
= x ln(x2 + 2) 2x+ 22 arc tg(x/
2) + C.
(Ver por ejemplo el problema 7.63 para la resolucion de la ultima integral.)
PROBLEMA 7.119.
Resolverln(x+ 1/x)dx.
Solucion
Integrando por partes con u = ln(x + 1/x) y dv = dx, du =x2 1
x(x2 + 1)dx,
v = x, tenemos:
I = x ln(x+
1x
)
x2 1x2 + 1
dx
= x ln(x+
1x
) (
1 21 + x2
)dx = x ln(x+ 1/x) x+ 2arc tg x+ C.
PROBLEMA 7.120.
Resolverln(x+
x2 1)dx.
316
-
Solucion
Hacemos u = ln(x+x2 1) y dv = dx, con lo que du = dx
x2 1, v = x.Entonces:
I = x ln(x+x2 1)
x
x2 1dx = x ln(x+x2 1)
x2 1+C.
PROBLEMA 7.121.
Resolverx ln(x+ 1)dx.
Solucion
Hacemos u = ln(x + 1) y dv = xdx; du = dx/(x + 1), v = x2/2. Enton-ces:
I =x2
2ln(x+ 1) 1
2
x2
x+ 1dx =
x2
2ln(x+ 1) 1
2
[x 1 + 1
x+ 1
]dx
=x2
2ln(x+ 1) 1
2
[x2
2 x+ ln(x+ 1)
]+ C
=x2 1
2ln(x+ 1) x
2
4+x
2+ C.
PROBLEMA 7.122.
Resolverx senxdx.
Solucion
Para utilizar el metodo de integracion por partes podemos seguir los siguien-tes caminos:
a) u = x senx, dv = dx. Entonces du = (senx+x cosx)dx, v = x. As:
I = x x senx
x(senx+ x cosx)dx.
317
-
La integral que resulta es menos sencilla que la original por lo cual se descartaeste camino.
b) u = senx, dv = xdx. Por tanto, du = cosxdx, v = x2/2 y resulta:
I =12x2 senx
12x2 cosxdx.
La integral que resulta es menos sencilla que la original y tambien descarta-mos este camino.
c) u = x, dv = senxdx. Por tanto du = dx, v = cosx y resulta:
I = x cosx cosxdx = x cosx+ senx+ C.
PROBLEMA 7.123.
Resolverx2 senxdx.
Solucion
Haciendo u = x2, dv = senxdx tendremos du = 2xdx, v = cosx.As:
I = x2 cosx+ 2
x cosxdx.
Hacemos en la integral resultante u = x, dv = cosxdx, du = dx, v = senxy tenemos:
I = x2 cosx+2[x senx
senxdx
]= x2 cosx+2x senx+2 cosx+C.
PROBLEMA 7.124.
Resolversec3 xdx.
318
-
Solucion
Haciendo u = secx, dv = sec2 xdx tendremos du = secx tg xdx, v = tg x.As:
I = secx tg x
secx tg2 xdx = secx tg x
secx(sec2 x 1)dx
= secx tg x
sec3 xdx+
secxdx.
Por tanto,
2I = secx tg x+
secxdx = secx tg x+ ln | secx+ tg x|+ C;
I =12(secx tg x+ ln | secx+ tg x|) + C .
PROBLEMA 7.125.
Resolver
x2 36dx.
Solucion
Si hacemos el cambio x = 6 sec t, entonces dx = 6 sec t tg tdt y resulta:
I = 36
tg2 t sec tdt = 36(sec2 t 1) sec tdt = 36
sec3 tdt
sec tdt.
De acuerdo al problema anterior, resulta:
I = 18(sec t tg t+ ln | sec t+ tg t|) 36 ln | sec t+ tg t|+ C
=x
2
x2 36 18 ln
x6 +x2 366
+ C.
PROBLEMA 7.126.
Resolver
3x2 + 5dx.
319
-
Solucion
Escribimos el integrando como5[(3/5)x2 + 1] =
5(x3/5)2 + 1 y
hacemos el cambio x3/5 = tg u:
I =53
sec3 udu =
523(secu tg u+ ln | secu+ tg u|) + C
=12x3x2 + 5 +
523ln
x35
+3x2 + 5
5
+ C.
PROBLEMA 7.127.
Resolver
4x2 4x+ 5dx.
Solucion
Completamos cuadrados en el radicando y procedemos como en los proble-mas anteriores, haciendo el cambio 2x 1 = 2 tg u:
I =
(2x 1)2 + 4dx =
2 sec3 udu = secu tg u+ ln | secu+ tg u|+ C
=2x 1
4
4x2 4x+ 5 + ln
2x 12 +4x2 4x+ 5
2
+ C.
PROBLEMA 7.128.
Resolver
x
cos2 xdx.
Solucion
De nuevo integramos por partes con u = x, dv = dx/ cos2 x:
I =
xd(tg x) = x tg x
tg xdx = x tg x+ ln | cosx|+ C.
320
-
PROBLEMA 7.129.
Resolver
x2
(x cosx senx)2dx.
Solucion
Como d(
1x cosx senx
)=
x senx(x cosx senx)2dx, podemos integrar por par-
tes con u = x/ senx, dv =x senx
(x cosx senx)2dx:
I =
x
senx x senx(x cosx senx)2dx =
1x cosx senx
x
senx+
dx
sen2 x
=x
(x cosx senx) senx cosxsenx
+ C =x senx+ cosxx cosx senx + C.
PROBLEMA 7.130.
Resolvercosx ln(1 + cosx)dx.
Solucion
Integramos por partes con u = ln(1 + cosx), dv = cosxdx.
Entonces du = senx1 + cosx
, v = senx. Por tanto:
I = senx ln(1 + cosx) +
sen2 x1 + cosx
dx
= senx ln(1 + cosx) +
sen2 x(1 cosx)(1 + cosx)(1 cosx)dx
= senx ln(1 + cosx) +(1 cosx)dx = senx ln(1 + cosx) + x senx+ C.
PROBLEMA 7.131.
Resolverarc senxdx.
321
-
Solucion
Haciendo u = arc senx, dv = dx tenemos que du =dx1 x2 , v = x.
As:
I = x arc senx
xdx1 x2 = x arc senx+
1 x2 + C.
PROBLEMA 7.132.
Resolver
arc tg
x 1x+ 1
dx.
Solucion
Hacemos u = arc tgx 1x+ 1
y dv = dx; entonces du = dx/(1 + x2) y v = x.
As:
I = x arc tgx 1x+ 1
x
1 + x2dx = x arc tg
x 1x+ 1
12ln(1 + x2) + C.
PROBLEMA 7.133.
Resolver
x arc senx
1 x2 dx.
Solucion
Hacemos u = arc senx y dv =xdx1 x2 e integramos por partes:
I =
arc senxd(1 x2) =
1 x2 arc senx+
dx
= 1 x2 arc senx+ x+ C.
322
-
PROBLEMA 7.134.
Resolverx3 arc tg xdx.
Solucion
Hacemos en este caso u = arc tg x, dv = x3dx, con lo que du = dx/(1+x2),v = x4/4:
I =x4
4arc tg x 1
4
x4
1 + x2dx =
x4
4arc tg x 1
4
[x2 1 + 1
1 + x2
]dx
=x4 1
4arc tg x x
3
12+x
4+ C.
PROBLEMA 7.135.
Resolver
x2
1 + x2arc tg xdx.
Solucion
Separamos en dos integrales as:
I = (
1 11 + x2
)arc tg xdx =
arc tg xdx
1
1 + x2arc tg xdx.
En la primera integral hacemos u = arc tg x, dv = dx. Entonces du =dx/(1 + x2), v = x, con lo que
I1 = x arc tg x
x
1 + x2dx = x arc tg x 1
2ln(1 + x2) + C1.
Como la segunda integral es inmediata, resulta en definitiva:
I = x arc tg x ln1 + x2 1
2(arc tg x)2 + C.
323
-
PROBLEMA 7.136.
Resolver
arc senx
(1 x2)1 x2dx.
Solucion
Si integramos por partes haciendo u = arc senx, dv =dx
(1 x2)1 x2 , se
tiene du =dx1 x2 , v =
x1 x2 . As:
I =x
1 x2 arc senx
x1 x2
dx1 x2
=x
1 x2 arc senx+12
2x1 x2dx =
x1 x2 arc senx+
12ln |1 x2|+ C.
PROBLEMA 7.137.
Resolverx arc senxdx.
Solucion
Integramos por partes con u = arc senx y dv = xdx:
I =x2
2arc senx 1
2
x21 x2dx.
Ahora bien,
x21 x2dx =
1
1 x2dx
1 x2dx.
Haciendo en esta ultima integral u =1 x2 y dv = dx, tenemos:
1 x2dx = x1 x2 +
x21 x2dx.
Resulta entonces que
x21 x2dx =
12[arc senx x
1 x2] + C. Por tan-
to:
I =2x2 1
4arc senx+
x
4
1 x2 + C.
324
-
PROBLEMA 7.138.
Resolver
1 + senx1 + cosx
exdx.
Solucion
Recordamos la formula1 + senx1 + cosx
=12[1 + tg(x/2)]2 y tenemos:
I =12
[1+tg2(x/2)+2 tg(x/2)]exdx =
12
sec2(x/2)exdx+
ex tg(x/2)dx.
En la primera integral hacemos u = ex, dv = sec2(x/2)dx, con lo que du =exdx, v = 2 tg(x/2):
I = ex tg(x/2)
ex tg(x/2)dx+
ex tg(x/2)dx = ex tg(x/2) + C.
PROBLEMA 7.139.
Resolver las integrales I =eax sen bxdx, J =
eax cos bxdx.
Solucion
Integrando por partes cada una de ellas, resulta:
I =1aeax sen bx b
a
eax cos bxdx =
1aeax sen bx b
aJ.
J =1aeax cos bx+
b
a
eax sen bxdx =
1aeax cos bx+
b
aI.
Basta pues resolver el sistema aI + bJ = eax sen bx, bI aJ = eax cos bx,para obtener los valores de I y J . En definitiva,
I =eax
a2 + b2(a sen bx b cos bx) + C;
J =eax
a2 + b2(b sen bx+ a cos bx) + C .
325
-
PROBLEMA 7.140.
Resolver I =
xearc senx1 x2 dx y J =
earc senxdx.
Solucion
Vamos a integrar I por partes siguiendo dos caminos distintos:
En primer lugar hacemos u = earc senx, dv =xdx1 x2 y tenemos:
I = 1 x2 earc senx +
earc senxdx =
1 x2 earc senx + J.
En segundo lugar hacemos u = x, dv =earc senx1 x2dx y tenemos:
I = xearc senx
earc senxdx = xearc senx J.
Sumando y restando ordenadamente las dos formulas obtenidas llegamosa:
I =12(x
1 x2)earc senx + C;
J =12(x+
1 x2)earc senx + C.
PROBLEMA 7.141.
Resolver
earc tg x
(1 + x2)1 + x2
dx.
Solucion
Integramos por partes haciendo u = earc tg x, dv =dx
(1 + x2)1 + x2
. As re-
sulta:
326
-
I =xearc tg x1 + x2
xearc tg x
(1 + x2)1 + x2
dx.
En esta ultima integral, que tambien resolvemos por partes, hacemos u = earc tg x,
dv =xdx
(1 + x2)1 + x2
y se tiene
xearc tg x
(1 + x2)1 + x2
dx = 11 + x2
earc tg x +
earc tg x
(1 + x2)1 + x2
dx.
De aqu se deduce inmediatamente:
I =x+ 1
21 + x2
earc tg x + C.
Observacion: La integral
xdx
(1 + x2)1 + x2
es inmediata pues es igual
a
12
(1+x2)3/2d(1+x2) =
12 (1 + x
2)3/2+1
3/2 + 1 = (1+x2)1/2 = 1
1 + x2.
PROBLEMA 7.142.
Resolver In =
1(1 + x2)n+1
dx.
Solucion
Utilizamos el siguiente artificio:
In =
1 + x2 x2(1 + x2)n+1
dx =
1 + x2
(1 + x2)n+1dx
x2
(1 + x2)n+1dx
=
dx
(1 + x2)n
x2dx
(1 + x2)n+1= In1
x2dx
(1 + x2)n+1.
Para la ultima integral utilizamos el metodo de integracion por partes. Para
ello hacemos u = x, dv =xdx
(1 + x2)n+1, con lo que du = dx, v =
12n(1 + x2)n
.
As: x2dx
(1 + x2)n+1=
x2n(1 + x2)n
+12n
In1.
327
-
En definitiva,
In = In1 +x
2n(1 + x2)n 1
2nIn1 =
2n 12n
In1 +x
2n(1 + x2)n.
D. INTEGRACION POR FRACCIONES SIMPLES.
Este metodo es exclusivo para integrar funciones racionales. El procedimien-to general es el siguiente:
Para calcular
p(x)q(x)
dx donde p y q son polinomios, realizaremos los si-
guientes pasos:
1) Se realiza la divisionp(x)q(x)
= c(x) +r(x)q(x)
donde c es el cociente y r el
resto, con grado r < grado q. Entonces:p(x)q(x)
dx =
c(x)dx+
r(x)q(x)
dx.
La primera integral es inmediata y a continuacion estudiaremos la segun-da.
Observacion: Si el grado de p ya es menor que el grado de q, este paso seomite, pues p(x) = r(x).
2) Se factoriza el denominador a partir de sus races (ya sean reales o com-plejas). Tenemos:
q(x) = a(x r1)m1 (x rn)mn(x2 + a1x+ b1)q1 (x2 + apx+ bp)qp .Nota: En lo que sigue supondremos que a = 1 pues, en caso contrario, puedesalir de la integral como una constante.
3) Se descompone el integrando en fracciones simples:
r(x)q(x)
=A1
x r1 + +Am1
(x r1)m1 + +K1
x rn + +Kmn
(x rn)mn
+1x+ 1
x2 + a1x+ b1+ + q1x+ q1
(x2 + a1x+ b1)q1+ . . .
+1x+ 1
x2 + apx+ bp+ + qpx+ qp
(x2 + apx+ bp)qp.
328
-
4) Se calculan las constantesA1, . . . , Am1 , . . . ,K1, . . . ,Kmn , 1, 1, . . . , q1 , q1 ,. . . , 1, 1, . . . , qp , qp igualando los numeradores de ambos miembros.
5) Se integra por separado cada fraccion simple.
Los siguientes problemas ilustran la forma de integrar segun sea la descom-posicion de la fraccion.
PROBLEMA 7.143.
Resolver
1
x2 4dx.
Solucion
Como x24 = (x2)(x+2), podemos descomponer la fraccion como1
x2 4 =A
x 2 +B
x+ 2,
de donde 1 = A(x+ 2) +B(x 2).Para x = 2, 1 = 4A = A = 1/4. Para x = 2, 1 = 4B = B =1/4.Tenemos entonces:
I =14
dx
x 214
dx
x+ 2=
14ln |x2| 1
4ln |x+2|+C = 1
4lnx 2x+ 2
+C.
PROBLEMA 7.144.
Resolver
1
9x2 16dx.
Solucion
Procediendo como el anterior, tenemos:
19x2 16 =
A
3x 4 +B
3x+ 4,
329
-
de donde 1 = A(3x+4)+B(3x4) = A = 1/8, B = 1/8. Entonces:
I =18
1
3x 4dx18
1
3x+ 4dx
=124
ln |3x 4| 124
ln |3x+ 4|+ C = 124
ln3x 43x+ 4
+ C.
PROBLEMA 7.145.
Resolver
1
x2 + 6x+ 8dx.
Solucion
Como x2 + 6x+ 8 = (x+ 2)(x+ 4), tenemos:
1x2 + 6x+ 8
=A
x+ 2+
B
x+ 4,
de donde 1 = A(x + 4) + B(x + 2) = A = 1/2 y B = 1/2. Resultaentonces:
I =12(ln |x+ 2| ln |x+ 4|) + C = 1
2lnx+ 2x+ 4
+ C.
PROBLEMA 7.146.
Resolver
1
9 x2dx.
Solucion
Como 9 x2 = (3 x)(3 + x), resulta:1
9 x2 =A
3 x +B
3 + x= 1 = A(3 + x) +B(3 x).
Obtenemos los valores A = B = 1/6, con lo que:
I =16( ln |3 x|+ ln |3 + x|) + C = 1
6ln3 + x3 x
+ C.330
-
PROBLEMA 7.147.
Resolver
1
4x x2dx.
Solucion
Como 4x x2 = x(4 x), tenemos:1
4x x2 =A
x+
B
4 x = 1 = A(4 x) +Bx.
De aqu, A = B = 1/4; por tanto:
I =14(ln |x| ln |4 x|) + C = 1
4ln x4 x
+ C.
PROBLEMA 7.148.
Resolver
2 x
4x2 + 4x 3dx.
Solucion
Al factorizar el denominador tenemos 4x2+4x3 = (2x1)(2x+3) y:2 x
4x2 + 4x 3 =A
2x 1 +B
2x+ 3= 2 x = A(2x+ 3) +B(2x 1).
De aqu se obtiene que A = 3/8, B = 7/8. Entonces:
I =316
ln |2x 1| 716
ln |2x+ 3|+ C = 116
ln(2x 1)3(2x+ 3)7
+ C.
PROBLEMA 7.149.
Resolver
x+ 1
x3 + x2 6xdx.
331
-
Solucion
Factorizamos en primer lugar el denominador: x3+x26x = x(x2)(x+3).Por tanto:
x+ 1x3 + x2 6x =
A
x+
B
x 2+C
x+ 3 x+1 = A(x2)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x2)
Para x = 0, 1 = 6A = A = 1/6.Para x = 2, 3 = 10B = B = 3/10.Para x = 3, 2 = 15C = C = 2/15.La integral queda entonces:
I = 16
dx
x+
310
dx
x 2 215
dx
x+ 3
= 16ln |x|+ 3
10ln |x 2| 2
15ln |x+ 3|+ C = ln |x 2|
3/10
|x|1/6|x+ 3|2/15 + C.
PROBLEMA 7.150.
Resolver
3x+ 5
x3 x2 x+ 1dx.
Solucion
Al factorizar el denominador tenemos x3 x2 x + 1 = (x + 1)(x 1)2.As:
3x+ 5x3 x2 x+ 1 =
A
x+ 1+
B
x 1 +C
(x 1)2con lo que 3x+ 5 = A(x 1)2 +B(x 1)(x+ 1) + C(x+ 1).Para x = 1, 2 = 4A = A = 1/2.Para x = 1, 8 = 2C = C = 4.Para determinar la constante B se sustituye otro valor de x, por ejemplox = 0. Resulta 5 = AB + C = B = 1/2. Por tanto:
I =12
dx
x+ 1 1
2
dx
x 1 + 4
dx
(x 1)2
=12ln |x+ 1| 1
2ln |x 1| 4
x 1 + C = 4
x 1 +12lnx+ 1x 1
+ C.332
-
PROBLEMA 7.151.
Resolver
x4 x3 x 1
x3 x2 dx.
Solucion
En primer lugar se realiza la division y resulta
x4 x3 x 1x3 x2 = x
x+ 1x3 x2 = x
x+ 1x2(x 1) .
Despues se descompone la fraccion resultante en fracciones simples:
x+ 1x2(x 1) =
A
x+
B
x2+
C
x 1 = x+ 1 = Ax(x 1) +B(x 1) + Cx2.
Para x = 0, 1 = B = B = 1.Para x = 1, 2 = C.
Para x = 2, 3 = 2A+B + 4C = A = 2.Por tanto:
I =
xdx+ 2
dx
x+
dx
x2 2
dx
x 1=
12x2 + 2 ln |x| 1
x 2 ln |x 1|+ C = 1
2x2 1
x+ 2 ln
xx 1+ C.
PROBLEMA 7.152.
Resolver
x2
a4 x4dx.
Solucion
Descomponemos el integrando en fracciones simples:
x2
a4 x4 =A
a x +B
a+ x+Cx+Da2 + x2
.
333
-
Por tanto, x2 = A(a+x)(a2+x2)+B(ax)(a2+x2)+(Cx+D)(ax)(a+x).
Para x = a, a2 = 4Aa3 y A = 1/4a.
Para x = a, a2 = 4Ba3 y B = 1/4a.Para x = 0, 0 = Aa3 +Ba3 +Da2 = a2/2 +Da2 y D = 1/2.Para x = 2a, 4a2 = 15Aa3 5Ba3 6Ca3 3Da2 y C = 0. As pues:
I =14a
dx
a x +14a
dx
a+ x 1
2
dx
a2 + x2
= 14a
ln |a x|+ 14a
ln |a+ x| 12a
arc tg(x/a) + C.
PROBLEMA 7.153.
Resolver
2x2 + 3(x2 + 1)2
dx.
Solucion
Si descomponemos el integrando, tenemos
2x2 + 3(x2 + 1)2
=Ax+Bx2 + 1
+Cx+D(x2 + 1)2
.
Por tanto:
2x2 + 3 = (Ax+B)(x2 + 1)+Cx+D = Ax3 +Bx2 + (A+C)x+ (B +D).
Igualando terminos del mismo grado resulta A = 0, B = 2, A + C = 0,B + D = 3, lo que al resolver queda A = 0, B = 2, C = 0, D = 1.Entonces,
I =
2dxx2 + 1
+
dx
(x2 + 1)2.
Para la segunda integral hacemos el cambio x = tg z con lo cualdx
(x2 + 1)2=
sec2 zsec4 z
dz =
cos2 zdz = z/2 + (1/4) sen 2z + C,
de donde
I = 2arc tg x+ (1/2) arc tg x+x/2
x2 + 1+ C = (5/2) arc tg x+
x/2x2 + 1
+ C.
334
-
PROBLEMA 7.154.
Resolver
x3 + x2 + x+ 2x4 + 3x2 + 2
dx.
Solucion
Debido a que x4 + 3x2 + 2 = (x2 + 1)(x2 + 2) tenemos
x3 + x2 + x+ 2x4 + 3x2 + 2
=Ax+Bx2 + 1
+Cx+Dx2 + 2
,
de donde:
x3 + x2 + x+ 2 = (Ax+B)(x2 + 2) + (Cx+D)(x2 + 1)= (A+ C)x3 + (B +D)x2 + (2A+ C)x+ (2B +D),
luego A+ C = 1, B +D = 1, 2A+ C = 1, 2B +D = 2.
Resolviendo el sistema resulta A = 0, B = 1, C = 1, D = 0. Por tanto:
I =
dx
x2 + 1+
xdx
x2 + 2= arc tg x+
12ln(x2 + 2) + C.
PROBLEMA 7.155.
Resolver
x5 x4 + 4x3 4x2 + 8x 4
(x2 + 2)3dx.
Solucion
Tenemos
x5 x4 + 4x3 4x2 + 8x 4(x2 + 2)3
=Ax+Bx2 + 2
+Cx+D(x2 + 2)2
+Ex+ F(x2 + 2)3
,
de donde: x5x4+4x34x2+8x4 = (Ax+B)(x2+2)2+(Cx+D)(x2+2)+Ex+F = Ax5 +Bx4 + (4A+C)x3 + (4B +D)x2 + (4A+2C +E)x+(4B + 2D + F )
335
-
y se obtiene A = 1, B = 1, C = 0, D = 0, E = 4, F = 0.La integral queda entonces:
I =
x 1x2 + 2
dx+4
x
(x2 + 2)3dx =
12ln(x2+2)
22
arc tgx2 1(x2 + 2)2
+C.
E. APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.
Es comun tener que resolver problemas en donde se trata de encontrar unafuncion conocida una expresion que involucra a alguna de sus derivadas.Estos problemas reciben el nombre de ecuaciones diferenciales y se resuelvenmediante el proceso de integracion.
Ahora bien, como hay muchas funciones que tienen la misma derivada, paraencontrar una de ellas se necesita una condicion adicional. Generalmente,esa condicion consiste en proporcionar un punto por donde pasa la funcion.
PROBLEMA 7.156.
Encontrar una funcion cuya derivada esdy
dx= 3x2 y que pase por
el punto (1, 0).
Solucion
La funcion que buscamos debe ser primitiva de la funcion dada. De estemodo
y =
3x2dx = x3 + C.
Si sustituimos el punto dado, resulta que 0 = 13 + C. Por tanto, C =1.La funcion que cumple las condiciones del problema es f(x) = x21.
336
-
PROBLEMA 7.157.
Encontrar una funcion f sabiendo que f (x) =x4 + 1x3
.
Solucion
En este caso debemos realizar dos integraciones: la primera para determinarf y la segunda para obtener f. Deben aparecer por lo tanto dos constan-tes arbitrarias, una por cada integral. Dichas constantes no tienen que sernecesariamente las mismas.
f (x) =
x4 + 1x3
dx =(x+
1x3
)dx =x2
2+x2
2 =x2
2 x
2
2+ C1.
f(x) = (
x2
2 x
2
2+ C1
)dx =
x3
6+x1
2+ C1x+ C2.
Un caso comun de esta situacion consiste en encontrar la posicion en cada
instante de un punto que se mueve en lnea recta conocida la velocidad o laaceleracion del mismo.
PROBLEMA 7.158.
La aceleracion de una partcula que se mueve a lo largo de unarecta es
a(t) = pi2 cospit m2/sg.
Si en el instante inicial (t = 0), la posicion de la partcula es s = 0y la velocidad es v = 8, hallar s cuando t = 1.
Solucion
Mediante integracion directa de la aceleracion con respecto al tiempo, seobtiene la velocidad en cualquier instante t:
v(t) =
pi2 cospitdt = pi
pi cospitdt = pi senpit+ C.
337
-
Para determinar la constante C, evaluamos la funcion en el punto t =0:
v(0) = 8 = pi senpi0 + C = C; as pues, v(t) = pi senpit+ 8.
Integrando de nuevo respecto a t, de la velocidad se obtiene la posicions(t) :
s(t) =(pi senpit+ 8)dt = cospit+ 8t+K.
La constante K se obtiene conocida la posicion en el instante t = 0:
s(0) = 0 = cospi0 + 8 0 +K = 1 +K, de donde K = 1.
En definitiva, s(t) = cospit + 8t + 1. Como la pregunta que se plantea escalcular s(1), al sustituir resulta s(1) = cospi+8+1 = 10 metros. Existen
ecuaciones diferenciales mas generales en donde no es posible despejar laderivada de la funcion con respecto a la variable independiente. Un casosimple de resolver y el unico que estudiaremos aqu es aquel en donde sepueden separar en ambos miembros de la ecuacion las variables x e y. Elsiguiente ejemplo ilustra el procedimiento a seguir.
PROBLEMA 7.159.
Resolver la ecuaciondy
dx=y sen 2x sabiendo que y(3pi/4) = 1
Solucion
En primer lugar intentamos que las variables x e y esten separadas cada unaen un miembro de la ecuacion. Para ello tratamos a la derivada dy/dx comoun cociente de diferenciales y podemos escribir
dyy= sen 2xdx.
A continuacion se integran ambos miembros de la ecuacion. El primero res-pecto de la variable y y el segundo respecto de la variable x. Es decir escri-bimos:
dyy=
sen 2xdx,
de modo quey1/2
1/2= (1/2) cos 2x+ C.
338
-
(La constante se anade a uno de los miembros de la ecuacion, pues representala diferencia entre las funciones que tienen la misma derivada). El valor deC se calcula mediante la condicion inicial y(3pi/4) = 1.
11/2
1/2= (1/2) cos(2 3pi/4) + C = 2 = C.
Despejando el valor de y llegamos a:
y1/2 = (1/2)((1/2) cos 2x+2) = (1/4) cos 2x+1 = y = [(1/4) cos 2x+1]2.
En general no se puede obtener la ecuacion en su forma explcita. La ecuacionimplcita sera suficiente para definir la funcion.
339
-
F. EJERCICIOS PROPUESTOS.
Resolver las siguientes integrales indefinidas:
1.-
4x2 + 7x2
dx.
Resp.: 4x (7/x) + C.
2.-(4x 1)43dx.Resp.: (4x 1)44/176 + C.
3.-x(ax3 + b)2dx.
Resp.: a2x8/8 + 2abx5/5 + b2x2/2 + C.
4.-
4x
1 2x2dx.
Resp.: 21 2x2 + C.
5.-sen t cos t(sen t+ cos t)dt.
Resp.: 13(sen3 t cos3 t) + C.
6.-
cosxsen2 x
dx.
Resp.: cosecx+ C.
7.-
4
1 4x2dx.
Resp.: 2 arc sen 2x+ C.
8.-
xx+ 1
dx.
Resp.: 23(x+ 1)3/2 2(x+ 1)1/2 + C.
Sug.: Sumar y restar 1 al numerador. Despues separar en dos integrales.
340
-
9.- 38x7dx.Resp.: 3x10/3/5 + C.
10.-
1
x(1 +x)2
dx.
Resp.:2
1 +x+ C.
11.-
sen t+ cos2 t
cos2 tt+ sec t
dt.
Resp.: 2t+ sec t+ C.
12.-(2x2 5x+ 3)dx.
Resp.: 2x3/3 5x2/2 + 3x+ C.
13.-
1
1 x2dx.
Resp.:12ln1 + x1 x
+ C.14.-
1
x2 4dx.
Resp.:14lnx 2x+ 2
+ C.15.-
1
25 16y2dy.
Resp.:140
ln5 + 4y5 4y
+ C.16.-
(4x3 + 3x2 + 2x+ 5)dx.
Resp.: x4 + x3 + x2 + 5x+ C.
17.-(3 2x x4)dx.
Resp.: 3x x2 x5/5 + C.
341
-
18.-
x3 + 5x2 4
x2dx.
Resp.: x2/2 + 5x+ 4/x+ C.
19.-(x2 1)2dx.
Resp.: x5/5 + x 2x3/3 + C.
20.-
1
4 x2dx.
Resp.: arc sen(x/2) + C.
21.-
1
4 (x+ 2)2dx.
Resp.: arc senx+ 22
+ C.
22.-
x+ 24x x2dx.
Resp.: 4x x2 + 4arc sen x 2
2+ C.
23.-
2x+ 3
9x2 12x+ 8dx.
Resp.:19ln(9x2 12x+ 8) + 13
18arc tg
3x 22
+ C.
24.-cos3 xdx.
Resp.: senx (1/3) sen3 x+ C.
25.-sen3 x cos5 xdx.
Resp.: (1/8) cos8 x (1/6) cos6 x+ C.
26.-tg2 x sec3 xdx.
Resp.: (1/4) sec3 x tg x (1/8) secx tg x (1/8) ln | secx+ tg x|+ C.
27.-cotg 3x cosec4 3xdx.
Resp.: (1/6) cotg2 3x (1/12) cotg4 3x+ C.
342
-
28.-sen2 xdx.
Resp.: (x/2) (1/4) sen 2x+ C.
29.-cos2 3xdx.
Resp.: x/2 + (1/12) sen 6x+ C.
30.-cos3(x/3)dx.
Resp.: 3 sen(x/3) sen3(x/3) + C.
31.-sen 3x sen 2xdx.
Resp.: (1/2) senx (1/10) sen 5x+ C.
32.-sen 3x cos 5xdx.
Resp.: (1/4) cos 2x (1/16) cos 8x+ C.
33.-cos 4x cos 2xdx.
Resp.: (1/4) sen 2x+ (1/12) sen 6x+ C.
34.-
25 x2dx.Resp.: (1/2)x
25 x2 + (25/2) arc sen(x/5) + C.
35.-
1
x9 + 4x2
dx.
Resp.:13ln
9 + 4x2 3
x
+ C.36.-
x2 lnxdx.
Resp.: (1/3)x3 lnx (1/9)x3 + C.
37.-x tg2 xdx.
Resp.: x tg x+ ln | cosx| x2/2 + C.
38.-x2 arc tg xdx.
Resp.: (1/3)x3 arc tg x x2/6 + (1/6) ln(1 + x2) + C.
343
-
39.-
1
x2 1dx.
Resp.:12lnx 1x+ 1
+ C.40.-
2x 34x2 11dx.
Resp.:14ln |4x2 11| 3
11
44ln
2x11
2x+11
+ C.41.- Sea y = f(x) una funcion cuya derivada es f (x) =
1(x 1)2 . Cal-
cular f(4) si f(2) = 1.Resp.: f(x) = 1/(x 1) + C; f(4) = 1/3.
42.- Definir y representar graficamente una funcion y = f(x) queverifique
f (x) = 2, f (1) = 2, f(3) = 5.
Resp.: f(x) = x2 4.
43.- Encontrar la velocidad y la posicion de una partcula en cual-quier instante t si esta se mueve en lnea recta con una acelera-cion dada por a(t) = 3t t2 si ademas la velocidad y la posicionen el instante t = 1 sg. son v = 7/6 m/sg. y s = 1 m.
Resp.: v(t) = 3t2/2 t3/3 m/sg.; s(t) = t3/2 t4/12 + 7/12 m.
44.- Responder a las mismas preguntas del ejercicio anterior si
a(t) = 18 sen 3t; v = 6 y s = 4 cuando t = 0.Resp.: v(t) = 6 cos 3t; s(t) = 4 2 sen 3t.
45.- Resolver la ecuacion y4 x2 dy
dx= 3x sabiendo que y(0) = 2.
Resp.: y = 6(4 x2)1/2 + 16.
46.- Determinar la curva cuya pendiente en cada punto (x, f(x)) esx1 + x2 y que pase por el punto (0,3).
Resp.: f(x) =(1 + x2)3/2 10
3.
344
-
47.- Hallar la ecuacion de la curva que pasa por el punto (4, 2) y cuyapendiente en cada punto es x/y.
Resp.: x2 y2 = 12.
48.- Sea y = f(x) una funcion cuya derivada esta dibujada a conti-nuacion.
Si f(x) es continua en 2 y f(2) = 0, definir f y representarla.
Resp.: f(x) =
{x2
2 + x si 3 x 2,x 2 si 2 < x 1.
345
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