ejercicios i
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Asignacion 1 de Cálculo IIPrograma de Ingeniería
Ciencias BásicasUniversidad Tecnológica de Bolivar
1. Veri�que que las funciones F y G de�nidas por
F (x) =1
1� x; G (x) =x
1� xson primitivas de la función f dada por
f (x) =1
(1� x)2
Calcule F (x)�G (x) : ¿Qué puede decirse de F y G?
2. Veri�que que las funciones F de�nida por
F (x) = �x cosx+ sinx
es primitiva de la función f dada por
f (x) = x sin x
3. Veri�que que las funciones F y G de�nidas por
F (x) =1
2tan2 x; G (x) =
1
2sec2 x� 2
3
es primitiva de la función f dada por
f (x) = sec2 x tan x
¿Qué relación existe entre F y G ?
Use las propiedades de la integral inde�nida dadas para obtener las igualdades dadasa continuación
4.Rcos kxdx = sin kx
k+ C
5.Rekxdx = ekx
k+ C;
En particular,Re�xdx = �e�x + C
6. Haciendo uso de las identidades
sin2 x =1� cos 2x
2y cos2 x =
1 + cos 2x
2
veri�camos que
a.Rsin2 xdx = 1
2
R(1� cos 2x) dx = 1
2
�Rdx�
Rcos 2xdx
�= 1
2
�x� sin 2x
2
�+ C:
b.Rcos2 xdx = 1
2
�x+ sin 2x
2
�+ C: (Verifíquelo)
1
7. Aplicando las identidades
sinA cosB =1
2[sin (A+B) + sin (A�B)]
sinA sinB =1
2[cos (A�B)� cos (A+B)]
cosA cosB =1
2[cos (A�B) + cos (A+B)]
obtenemos las siguientes fórmulas
a.Rsinmx cos kxdx = �1
2
hcos(m+k)xm+k
+ cos(m�k)xm�k
i+ C; m 6= k:
b.Rsinmx sin kxdx = 1
2
hsin(m�k)xm�k � sin(m+k)x
m+k
i+ C; m 6= k:
c.Rcosmx cos kxdx = 1
2
hsin(m�k)xm�k + sin(m+k)x
m+k
i+ C; m 6= k:
Rsin kxdx
(VERIFÍQUELO)NOTA: Para tener éxito en este curso es necesario que tengas absoluto conocimiento ydominio de las reglas de derivación y de las derivadas de los distintos tipos de funciones.
2
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