ejercicios geometria en r3 #4
Post on 04-Jun-2018
224 Views
Preview:
TRANSCRIPT
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 1/10
EJERCICIOS GEOMETRIA EN R3 #4
1. Hallar el ángulo entre = = y = =
La ecuación de la primera recta =
= no esta en su forma
básica
− = − = −
porque no tenemos sola la z, está multiplicada por un 2
Para llevarla a esta forma dividimos esa parte de la ecuación entre 2:
2 + 32
−2= + 32
−2
Entonces tenemos que hallar el ángulo entre las rectas:
=
= y
=
=
=
= + !− y
=
=
Para hallar este ángulo usaremos el producto punto entre los vectoresdirectores de ambas rectas, primero debemos identificarlos sabiendo que:
Si teneo! el "unto "#$ $ % e una re$ta y aeá! !u %e$tor ire$tor
&' = ) * + * + ,-
Se "uee e!$ri&ir la e$ua$i'n e e!ta re$ta en (ora !i)tri$a* a!+,
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 2/10
−
= −
= −
Entonces:
./0 1
− − = = + !−
Vemos que:
= − = = −
El vector es:
&' =−) * + * − ,-
./0 1
+ = − − = +
Vemos que:
= = − =
El vector es:
&' = ) * − * + ,-
hora, usando:
Si teneo! o! %e$tore! &' y &' . El "rou$to "unto e ello! &' &' !erá,
&' &' = &' &' 45#6%
Sieno &' y &' la! agnitue! e lo! %e$tore! y 6 el ángulo entre ello!.
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 3/10
Pero lo que necesitamos hallar es el ángulo:
45#6% = &' &'&' &' #%
78' 72' = 9−:;< + 3> − 2?-@ 93;< − 2> + ?-@ = #−:%#3% + #3%#−2%
+#−2%#% = − 2 8 − A − B = −
7
8' = C #−:% + 3 +#−2% = D E + E + = D F
72' = C 3 +#−2% + = D E + + 8 A = D
!eemplazando en -1:
45#6% = −D FD G = H I J K −3LD A2D 2E MG=8L$A3N
hora restamos:
8 B O N − G = 8BON−8L$A3N= $N
El ángulo entre las rectas es
$N
/. 0eo!trar ue la re$ta 1P + = −− = + e!tá en el "lano
Q P − − − = R
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 4/10
Para que la recta est" en el plano, los puntos de ella deben satisfacer la
ecuación del plano, ahora debemos encontrar un punto de la recta #
reemplazarlo en la ecuación de 2 a ver si lo satisface
$abemos que la recta tiene la forma: = =
$iendo $ $ un punto de la recta%
Entonces en la recta : "#$ $ % ="#−$$−%
&a conociendo un punto de la recta lo reemplazamos en la ecuación del
plano:
− 3 − 2#L% − 3#−:% − B = O
− 3 − 8 O + 2 8 − B = O R = R
'omo vemos se cumple la igualdad, entonces la recta esta en el plano%
3. 0eo!trar ue la! re$ta! 1PS + − + R = R T + − = RU y 1 P − = −− = + !on "er"eni$ulare!.
Primero tenemos que hallar la ecuación de la primera recta usando las
ecuaciones de dos planos, as(:
$i tenemos los dos planos:
+ − + R = R # % + − = R # %
)na recta puede venir determinada por la intersección de estos dos planos,
para hallar la ecuación param"trica esta recta debemos:
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 5/10
Escoger *, # o z # hacer una sustitución, tratando de que sea la más sencilla%
En este caso escog( * # la sustitución es:
= V # %
hora debemos usar -1* -/ # -3 para hallar las componentes y* de la
ecuación param"trica de la recta:
!eemplazamos en -1:
2 W + X − 2 + 8 O = O
− = − R − V # %
$umamos -/ # -4:
2 X = − A − 2 W = − − V
!eemplazar y en -/:
−3 − W + 2 − = O 2 = W + : = + V +inalmente la ecuación de la recta es:
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 6/10
1
P = V = − − V =V +
hora #a tenemos las dos rectas:
1P = V = − − V = V +
1 P − = − − = +
Para que las rectas sean perpendiculares el producto punto de sus vectoresdirectores es igual a % Entonces debemos hallar estos vectores:
./0 1
Si teneo! el "unto "#$ $ % e una re$ta aeá! !u %e$tor ire$tor
&' = ) * + * + ,-.
Se "uee e!$ri&ir la e$ua$i'n e e!ta re$ta en (ora "ara)tri$a* a!+,
= + V
= + V
= + V
Sieno V el "aráetro
$i tenemos:
1P = V = − − V = + V Vemos que:
= = − =
El vector es:
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 7/10
&' = ) * − * +
,-
./0 1
Si teneo! el "unto "#$ $ % e una re$ta y aeá! !u %e$tor ire$tor
&' = ) * + * + ,-
Se "uee e!$ri&ir la e$ua$i'n e e!ta re$ta en (ora !i)tri$a* a!+,
− = − = −
Entonces:
− = − − = +
Pero la ecuación de la primera recta no está en su forma básica porque no
tenemos sola la * positiva%
Para llevarla a esta forma dividimos esa parte de la ecuación entre -.:
− Y−8−8= Y − −
Entonces queda: = =
Vemos que:
= − = − =
El vector es:
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 8/10
&' =−) * − * + ,-
78' 72' = Z;< − 8> + 82 ?-[ 9−;< − 3> + 2?-@ = #8%#−% + #−8%#−3%
+ K82M #2% = − + 3 + 8 = R
4. Hallar la i!tan$ia el "unto "#−$$% a la re$ta F = =
a i!tan$ia - e una re$ta a un "unto 5 !e 6alla a!+,
\ = ]&' ^"' ]]&' ]
Sieno &' el %e$tor ire$tor e la re$ta y ^"' un %e$tor entre un "unto A e
la re$ta y el "unto 5.
Entonces la gráfica del e/ercicio ser(a:
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 9/10
Para poder hallar la distancia entre el punto 5 # la recta debemos conocer
los vectores
7' #
_`'%
El vector 7' es el vector director de :
./0 1
Si teneo! el "unto ^#$ $ % e una re$ta y aeá! !u %e$tor ire$tor
&' = ) * + * + ,-
Se "uee e!$ri&ir la e$ua$i'n e e!ta re$ta en (ora !i)tri$a* a!+,
− = − = −
Entonces:
− F = + − =
Vemos que:
= F = − =
El vector es:
&' = F) * − * + ,-
& un punto de la recta ^#$ $ %=^#$−$R%El vector _`' debemos hallarlo usando un punto ^#$ −$ R% de la recta # el
punto
"#−$$%
8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4
http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-geometria-en-r3-4 10/10
top related