ecuaciones diferenciales orden superior

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Marco Ulises Ramírez Mendoza

Telemática 4“A”

UNIPOLI

Ecuaciones Diferenciales De Orden Superior

Ecuaciones Lineales Homogéneas

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donde ai son constantes, an 0.

Ecuación o polinomio auxiliar :Para n = 2,

Si probamos y(x) = emx,

obtenemos la ecuación auxiliar.

Ecuaciones lineales homogéneas

0012)1(

1)(

yayayayaya nn

nn

0 cyybya

0)( 2 cbmamemx 02 cbmam

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Las dos raíces del polinomio auxiliar son:

(1) b2 – 4ac > 0: reales y distintas, m1 m2 .(2) b2 – 4ac = 0: reales e iguales, m1 = m2 = -b/(2a).(3) b2 – 4ac < 0: complejas conjugadas,

aacbbm 2/)4( 21

aacbbm 2/)4( 22

02 cbmam

imim 21 ,

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Caso 1: Raíces reales y distintasLa solución general es

Caso 2: Raíces reales repetidas

La solución general es

xmey 11

xmxmxm

xmxm xedxedxe

eey 11

1

11

2

2

2

xmxm xececy 1121

...2121

xmxm ececy

Para obtener la segunda solución utilizamos el método de reducción de orden, recordando quem1 = m2 = -b/(2a).

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Caso 3: Raíces complejas conjugadasEscribimos , una solución general esUsando la fórmula de Euler:

imim 21 ,xixi eCeCy )(

2)(

1

sincos iei

xixe xi sincos xixe xi sincos

xee xixi cos2 xiee xixi sin2

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Como es solución general, tomando C1 = C2 = 1 y C1 = 1, C2 = -1 , tenemos dos soluciones:

Así, ex cos x y ex sen x son un conjunto fundamental de soluciones y la solución general es

xixi eCeCy )(2

)(1

xeeeey xxixix cos2)(1

xieeeey xxixix sin2)(2

)sin()cos(

)sin()cos(

21

21

xcxcey

xecxecyx

xx

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Ejemplos:(a)

(b)

(c)

03'5"2 yyy3,1/2,)3)(12(352 21

2 mmmmmmxx ececy 3

22/

1

025'10" yyy

5,)5(2510 2122 mmmmm

xx xececy 52

51

07'4" yyy

imimmm 32,32,074 212

)33cos(,3,2 212 xsencxcey x