ecuaciones diferenciales orden superior
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Marco Ulises Ramírez Mendoza
Telemática 4“A”
UNIPOLI
Ecuaciones Diferenciales De Orden Superior
Ecuaciones Lineales Homogéneas
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donde ai son constantes, an 0.
Ecuación o polinomio auxiliar :Para n = 2,
Si probamos y(x) = emx,
obtenemos la ecuación auxiliar.
Ecuaciones lineales homogéneas
0012)1(
1)(
yayayayaya nn
nn
0 cyybya
0)( 2 cbmamemx 02 cbmam
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Las dos raíces del polinomio auxiliar son:
(1) b2 – 4ac > 0: reales y distintas, m1 m2 .(2) b2 – 4ac = 0: reales e iguales, m1 = m2 = -b/(2a).(3) b2 – 4ac < 0: complejas conjugadas,
aacbbm 2/)4( 21
aacbbm 2/)4( 22
02 cbmam
imim 21 ,
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Caso 1: Raíces reales y distintasLa solución general es
Caso 2: Raíces reales repetidas
La solución general es
xmey 11
xmxmxm
xmxm xedxedxe
eey 11
1
11
2
2
2
xmxm xececy 1121
...2121
xmxm ececy
Para obtener la segunda solución utilizamos el método de reducción de orden, recordando quem1 = m2 = -b/(2a).
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Caso 3: Raíces complejas conjugadasEscribimos , una solución general esUsando la fórmula de Euler:
imim 21 ,xixi eCeCy )(
2)(
1
sincos iei
xixe xi sincos xixe xi sincos
xee xixi cos2 xiee xixi sin2
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Como es solución general, tomando C1 = C2 = 1 y C1 = 1, C2 = -1 , tenemos dos soluciones:
Así, ex cos x y ex sen x son un conjunto fundamental de soluciones y la solución general es
xixi eCeCy )(2
)(1
xeeeey xxixix cos2)(1
xieeeey xxixix sin2)(2
)sin()cos(
)sin()cos(
21
21
xcxcey
xecxecyx
xx
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Ejemplos:(a)
(b)
(c)
03'5"2 yyy3,1/2,)3)(12(352 21
2 mmmmmmxx ececy 3
22/
1
025'10" yyy
5,)5(2510 2122 mmmmm
xx xececy 52
51
07'4" yyy
imimmm 32,32,074 212
)33cos(,3,2 212 xsencxcey x