econometria inferencia estadistica mtro. horacio catalán alonso

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Mtro. Horacio Catalán Alonso

Taller de Econometría

Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso

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Prueba de Hipótesis Estadística

La hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de la distribución de una o más variables aleatorias

Modelo estadístico

(.)

),;(

f

x

xf

Representa el conjunto de variables aleatorias

Parámetros de interés

Función de densidad de probabilidad conjunto.

Espacio de parámetros

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La conjetura se refiere a que el parámetro proviene de algún subconjunto del espacio de parámetros

Se define la hipótesis nula

Hipótesis alternativa

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00 θ:H

01 θ:H

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En el caso de la hipótesis nula es acompañada por la posibilidad de cometer uno de los siguientes dos tipos de error:

Error tipo I: rechaza la hipótesis nula cuando de hecho es verdadera

Error tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando de hecho no es verdadera

El error tipo I es el más importante, desde el punto de vista del análisis estadístico

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Lo ideal es obtener una prueba donde ambos errores se minimicen

Desafortunadamente, ambos errores generan un conflicto

La aproximación convencional, en las pruebas de hipótesis, es fijar el error tipo I y tratar de minimizar el error tipo II

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Se elige un nivel de significancia, denotado por

que también se identifica como el tamaño de la prueba (magnitud del error tipo I)

Generalmente se asignan los siguientes valores:

1,0

%10

%5

%1

Equivocarse en 1 de 100 casos.

Equivocarse en 5 de 100 casos.

Equivocarse en 10 de 100 casos.

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En econometría se fija el tamaño de la prueba en un nivel de 5% de significancia

Este valor, representa el nivel del error tipo I

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Si denotamos como el estadístico de prueba, que es un escalar. Entonces se puede calcular la región de aceptación de H0, denotado como Cpara el nivel de significancia

t

cia)significan de (nivel 0ˆ |ˆPr HCt

La regla es rechazar H0 si y aceptar en caso contrario. En la práctica el problema es cómo elegir el estadístico que depende de la distribución del estimador.

Ct ˆˆ

t

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En un modelo de demanda de dinero

Ecuación cuantitativa del dinero

Si 1=1 como establece la teoría monetarista la ecuación puede reespecificarse como:

Es una ecuación de demanda por saldos reales.

YPVΜ

tt

ttt uv

YP )1

ln(lnlnln 321

tt

ttt uv

YP

1lnlnlnln 32

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Hipótesis de estructura de tasa de interés.

tmt

nt uRR 10

mt

nt

R

R Tasa de interés de largo plazo.

Tasa de interés de corto plazo.

0=0, 1=1

Se cumple la eficiencia en el mercado de tasa de interés.

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Prueba de cambio estructural

1995 t1,

1995 t0,

10

t

tttt

D

uD xY

Si existe cambio estructural0

MCO RestringidosMCO RestringidosMCO RestringidosMCO Restringidos

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Sea el modelo

tttt uxxY 22110

Se considera la siguiente restricción

1,1,0: 00 21 H

Es necesario definir una matriz de restricciones tal que

13

12

11

2

1

0

333231

232221

131211

0 :

q

q

q

rrr

rrr

rrr

qRH

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Es importante observar que

00

011

011

22

11

que implica esto Si

que implica esto Si

0

1

1

0

100

010

000

2

1

0

qR

qR

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Con la restricción el modelo debería especificarse como:

ttt xxY 21

*21

* )( tttt uxxY

1*

*tu errores del modelo con restricciones

Su forma econométrica es

Si las restricciones son válidas es el estimador del modelo con restricciones

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En general

uXY

Para algún coeficiente que sea cero 0j

00100 R y q = 0

Si dos coeficientes son iguales jk

01100 R y q = 0

Si la suma de los coeficientes es uno 1432

011100R y q = 0

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Un subconjunto de coeficientes es cero

00100

00010

00001

0,0,01

R

y 32

y q = 0

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0

0

1

110000

101000

000110

6

5

4

3

2

1

Se pueden combinar diferentes restricciones

0,0,1 6632 54 y

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Las restricciones en los coeficientes generan un problema en el proceso de estimación

j

qR

uxY

0

Restricciones lineales

El problema es minimizar la suma de errores al cuadrado (u´u) sujeta a las restricciones lineales

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Ejemplo:

ttttt uxbxbxbY 332211)1

Modelo sin restricciones asumiendo que b3=0

Minimizar

T

tttt xbxbY

1

22211 )(

Si la restricción es b1+ b2+ b3 = 1

Entonces b3=1-b1-b2

Minimizar

T

ttttttt xxbxxbxY

1

23223113 ))()()((

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Modelo sin restricciones

uuQ

xyu

xYxY

ˆ´ˆ

ˆˆ

ˆ

))´((Min

Estimadores sin restricciones

Errores del modelo sin restricciones

Suma de errores al cuadrado del modelo sin restricciones

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• Se deben comparar ambos modelos con restricciones y sin restricciones

• Bajo la hipótesis nula se espera que la suma de errores sea parecida

ceroQ Q

Q Q

*

*

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MÍNIMOS CUADRADOS CON MÍNIMOS CUADRADOS CON RESTRICCIONESRESTRICCIONES

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MÍNIMOS CUADRADOS CON MÍNIMOS CUADRADOS CON RESTRICCIONESRESTRICCIONES

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Resolver para la restricción

)´(2))´((),()1 qRxyxyL

Derivando la función con respecto a

0

0´2´´´´´

0´2´)´´)(()´(

2R´2x´x2x´y

Rxxxyxxyx

Rxyxxyx

0´´´)2 Rxxyx

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Derivando la función con respecto a

0

022)3*

*

qR

qR

De las ecuaciones 2) y 3) se obtienen el siguiente sistema

qR

yxRxx

*

** '´´)4

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En su forma matricial

q

yx

R

Rxx ´

0

´´)5

*

*

De la ecuación 2)

**

**

´´´

´´´

xxyxR

yxRxx

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Dado que * es el estimador con restricciones

)´(´´ ** xyxxxyx

Errores del modelo con restricciones

** ´´´)6 xxyxR

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Multiplicando la ecuación 6) por (x´x)-1

*11*1 ´)´(´)´(´)´( xxxxyxxxRxx

Nota: es el estimador sin restriccionesyxxx ´)´( 1

Ixxxx

´)´(

ˆ1

identidad

**1 ˆ´)´)...(7 Rxx

La diferencia entre los estimadores sin restricciones y con restricciones

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De la expresión 7) multiplicando por R

**1 ˆ´)´()8 RRRxxR

Nota. R=q

Por lo tanto qRRR ˆˆ *

De la ecuación (8) se obtiene *

)ˆ(´)´()911* qRRxxR

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Sustituyendo 9) en la ecuación 7)

*111 ˆ)ˆ(´)´(´)´()10 qRRxxRRxx

Despejando para *

)ˆ(´)´(´)´(ˆ)11111* qRRxxRRxx

El estimador de mínimos cuadrados restringidos es una función del estimador sin restricciones y de las restricciones definidas en R

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De la ecuación 11) es importante señalar que:

1) es un “vector discrepancia” entre y las restricciones

¿Qué sucede cuando ?

qR

0ˆ qR

)ˆ(´)´()211* qRRxxR

¿Cuándo se cumple que ? 0*

´)´(ˆ)3 1* Rxx

¿bajo qué condiciones se cumple que ? ˆ*

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El problema original es determinar

Q Q *

Se define

))´(()2

ˆˆ)1***

**

xyxyQ

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Sustituyendo 1)

)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ()4

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ

)ˆˆ()ˆˆ()3

*´*

*´*

*´*

xxyxxy

xxyxxy

xyxy

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Desarrollando

)ˆ(´)´ˆ()ˆ)´(ˆ(

)ˆ(´)´ˆ()ˆ´()´ˆ(

)ˆ()´ˆ()ˆ)´(ˆ(

)ˆ()ˆ(´)´ˆ()´ˆ(

**

**

*

**

*

xxxyxy

xxxyx

xxyxyxy

xxy xxy

Nota uxy ˆ)ˆ(

Bajo el supuesto de que U´X=X´U=0. Entonces

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0)ˆ´(

0)´(

xyx

xxy

Por otra parte uuxyxy ˆ´ˆ)ˆ)´(ˆ(

)ˆ(´)´ˆ()6

)ˆ(´)´ˆ(ˆ´ˆ´)5***

****

xxQQ

xxuuuu

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)ˆ(´)´(´)´(ˆ 111* qRRxxRRxx

Sustituyendo en (6)

)ˆ(´)´()´ˆ(11* qRRxxRqRQQ

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Nota:

1)´(´ xxxx

*1**

111

´)´(´

I´´)´(´)´(

RxxRQQ

RRxxRRxx

Las restricciones en los parámetros se pueden probar con la suma de errores al cuadrado del modelo con restricciones y sin restricciones

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