econometria inferencia estadistica mtro. horacio catalán alonso

ECONOMETRIAECONOMETRIA

INFERENCIA ESTADISTICAINFERENCIA ESTADISTICA



Mtro. Horacio Catalán Alonso

Taller de Econometría

Horacio Catalán AlonsoHoracio Catalán Alonso

EconometríaEconometría

Prueba de Hipótesis Estadística

La hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de la distribución de una o más variables aleatorias

Modelo estadístico

(.)

),;(

f

x

xf

Representa el conjunto de variables aleatorias

Parámetros de interés

Función de densidad de probabilidad conjunto.

Espacio de parámetros


La conjetura se refiere a que el parámetro proviene de algún subconjunto del espacio de parámetros

Se define la hipótesis nula

Hipótesis alternativa



00 θ:H

01 θ:H


En el caso de la hipótesis nula es acompañada por la posibilidad de cometer uno de los siguientes dos tipos de error:

Error tipo I: rechaza la hipótesis nula cuando de hecho es verdadera

Error tipo II: aceptar la hipótesis nula cuando de hecho no es verdadera

El error tipo I es el más importante, desde el punto de vista del análisis estadístico






Lo ideal es obtener una prueba donde ambos errores se minimicen

Desafortunadamente, ambos errores generan un conflicto

La aproximación convencional, en las pruebas de hipótesis, es fijar el error tipo I y tratar de minimizar el error tipo II




Se elige un nivel de significancia, denotado por

que también se identifica como el tamaño de la prueba (magnitud del error tipo I)

Generalmente se asignan los siguientes valores:

1,0

%10

%5

%1

Equivocarse en 1 de 100 casos.






En econometría se fija el tamaño de la prueba en un nivel de 5% de significancia

Este valor, representa el nivel del error tipo I




Si denotamos como el estadístico de prueba, que es un escalar. Entonces se puede calcular la región de aceptación de H0, denotado como Cpara el nivel de significancia

t

cia)significan de (nivel 0ˆ |ˆPr HCt

La regla es rechazar H0 si y aceptar en caso contrario. En la práctica el problema es cómo elegir el estadístico que depende de la distribución del estimador.

Ct ˆˆ

t




En un modelo de demanda de dinero

Ecuación cuantitativa del dinero

Si 1=1 como establece la teoría monetarista la ecuación puede reespecificarse como:

Es una ecuación de demanda por saldos reales.

YPVΜ

tt

ttt uv

YP )1

ln(lnlnln 321

tt

ttt uv

YP

1lnlnlnln 32




Hipótesis de estructura de tasa de interés.

tmt

nt uRR 10

mt

nt

R

R Tasa de interés de largo plazo.

Tasa de interés de corto plazo.

0=0, 1=1

Se cumple la eficiencia en el mercado de tasa de interés.




Prueba de cambio estructural

1995 t1,

1995 t0,

10

t

tttt

D

uD xY

Si existe cambio estructural0

MCO RestringidosMCO RestringidosMCO RestringidosMCO Restringidos




Sea el modelo

tttt uxxY 22110

Se considera la siguiente restricción

1,1,0: 00 21 H

Es necesario definir una matriz de restricciones tal que

13

12

11

2

1

0

333231

232221

131211

0 :

q

q

q

rrr

rrr

rrr

qRH




Es importante observar que

00

011

011

22

11

que implica esto Si

que implica esto Si

0

1

1

0

100

010

000

2

1

0

qR

qR




Con la restricción el modelo debería especificarse como:

ttt xxY 21

*21

* )( tttt uxxY

1*

*tu errores del modelo con restricciones

Su forma econométrica es

Si las restricciones son válidas es el estimador del modelo con restricciones




En general

uXY

Para algún coeficiente que sea cero 0j

00100 R y q = 0

Si dos coeficientes son iguales jk

01100 R y q = 0

Si la suma de los coeficientes es uno 1432

011100R y q = 0




Un subconjunto de coeficientes es cero

00100

00010

00001

0,0,01

R

y 32

y q = 0




0

0

1

110000

101000

000110

6

5

4

3

2

1

Se pueden combinar diferentes restricciones

0,0,1 6632 54 y




Las restricciones en los coeficientes generan un problema en el proceso de estimación

j

qR

uxY

0

Restricciones lineales

El problema es minimizar la suma de errores al cuadrado (u´u) sujeta a las restricciones lineales




Ejemplo:

ttttt uxbxbxbY 332211)1

Modelo sin restricciones asumiendo que b3=0

Minimizar

T

tttt xbxbY

1

22211 )(

Si la restricción es b1+ b2+ b3 = 1

Entonces b3=1-b1-b2

Minimizar

T

ttttttt xxbxxbxY

1

23223113 ))()()((




Modelo sin restricciones

uuQ

xyu

xYxY

ˆ´ˆ

ˆˆ

ˆ

))´((Min

Estimadores sin restricciones

Errores del modelo sin restricciones

Suma de errores al cuadrado del modelo sin restricciones




• Se deben comparar ambos modelos con restricciones y sin restricciones

• Bajo la hipótesis nula se espera que la suma de errores sea parecida

ceroQ Q

Q Q

*

*


MÍNIMOS CUADRADOS CON MÍNIMOS CUADRADOS CON RESTRICCIONESRESTRICCIONES


MÍNIMOS CUADRADOS CON MÍNIMOS CUADRADOS CON RESTRICCIONESRESTRICCIONES





Resolver para la restricción

)´(2))´((),()1 qRxyxyL

Derivando la función con respecto a

0

0´2´´´´´

0´2´)´´)(()´(

2R´2x´x2x´y

Rxxxyxxyx

Rxyxxyx

0´´´)2 Rxxyx




Derivando la función con respecto a

0

022)3*

*

qR

qR

De las ecuaciones 2) y 3) se obtienen el siguiente sistema

qR

yxRxx

*

** '´´)4




En su forma matricial

q

yx

R

Rxx ´

0

´´)5

*

*

De la ecuación 2)

**

**

´´´

´´´

xxyxR

yxRxx




Dado que * es el estimador con restricciones

)´(´´ ** xyxxxyx

Errores del modelo con restricciones

** ´´´)6 xxyxR




Multiplicando la ecuación 6) por (x´x)-1

*11*1 ´)´(´)´(´)´( xxxxyxxxRxx

Nota: es el estimador sin restriccionesyxxx ´)´( 1

Ixxxx

´)´(

ˆ1

identidad

**1 ˆ´)´)...(7 Rxx

La diferencia entre los estimadores sin restricciones y con restricciones




De la expresión 7) multiplicando por R

**1 ˆ´)´()8 RRRxxR

Nota. R=q

Por lo tanto qRRR ˆˆ *

De la ecuación (8) se obtiene *

)ˆ(´)´()911* qRRxxR




Sustituyendo 9) en la ecuación 7)

*111 ˆ)ˆ(´)´(´)´()10 qRRxxRRxx

Despejando para *

)ˆ(´)´(´)´(ˆ)11111* qRRxxRRxx

El estimador de mínimos cuadrados restringidos es una función del estimador sin restricciones y de las restricciones definidas en R




De la ecuación 11) es importante señalar que:

1) es un “vector discrepancia” entre y las restricciones

¿Qué sucede cuando ?

qR

0ˆ qR

)ˆ(´)´()211* qRRxxR

¿Cuándo se cumple que ? 0*

´)´(ˆ)3 1* Rxx

¿bajo qué condiciones se cumple que ? ˆ*




El problema original es determinar

Q Q *

Se define

))´(()2

ˆˆ)1***

**

xyxyQ




Sustituyendo 1)

)ˆ()ˆ()ˆ()ˆ()4

)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ

)ˆˆ()ˆˆ()3

*´*

*´*

*´*

xxyxxy

xxyxxy

xyxy




Desarrollando

)ˆ(´)´ˆ()ˆ)´(ˆ(

)ˆ(´)´ˆ()ˆ´()´ˆ(

)ˆ()´ˆ()ˆ)´(ˆ(

)ˆ()ˆ(´)´ˆ()´ˆ(

**

**

*

**

*

xxxyxy

xxxyx

xxyxyxy

xxy xxy

Nota uxy ˆ)ˆ(

Bajo el supuesto de que U´X=X´U=0. Entonces




0)ˆ´(

0)´(

xyx

xxy

Por otra parte uuxyxy ˆ´ˆ)ˆ)´(ˆ(

)ˆ(´)´ˆ()6

)ˆ(´)´ˆ(ˆ´ˆ´)5***

****

xxQQ

xxuuuu




)ˆ(´)´(´)´(ˆ 111* qRRxxRRxx

Sustituyendo en (6)

)ˆ(´)´()´ˆ(11* qRRxxRqRQQ




Nota:

1)´(´ xxxx

*1**

111

´)´(´

I´´)´(´)´(

RxxRQQ

RRxxRRxx

Las restricciones en los parámetros se pueden probar con la suma de errores al cuadrado del modelo con restricciones y sin restricciones

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