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DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
Conceptos básicos
UNIDAD I
FUNCIONES Y TRANSFORMACIONESA.PR.11.2.1
J. PomalesNaguabo, PR
agosto 2014Curso: Funciones y Modelos
Objetivo
• En esta lección hallaremos el dominio y el recorrido de una función, partiendo de su gráfica y otras representaciones.
• Pero antes repasaremos los conceptos:– notación de intervalo– sistema de coordenadas– función
NOTACIÓN DE INTERVALO
INTERVALOS
• El conjunto de los números reales (R) pueden representarse asignando un punto a cada número real
• En ocasiones necesitamos representar números continuos sin separarse
• ¿Cómo definimos el siguiente segmento que representan todos los números reales entre -1 y 2 ?
INTERVALOS
• La notación de intervalo es la más común representación de estos conjuntos que no pueden separarse uno del otro (continuos)
• Veamos 8 tipos de intervalos para los cuales a y b son números reales, tales que a < b
INTERVALOS
],(
),(
),[
),(
),[
],(
),(
],[
b
b
a
a
ba
ba
ba
ba
Notación dedesigualdad TipoIntervalo
bx
bx
ax
ax
bxa
bxa
bxa
bxa
Cerrado
Abierto
Semiabierto
Semiabierto
Abierto
Cerrado
Abierto
Cerrado
INTERVALOS
Intervalo Gráfica¿Qué incluye?
a y b y todos los números entre ambos
todos los reales entre a y b pero sin ellos
todos los reales entre a y b y al número b pero NO incluye a
todos los reales entre a y b y al número a pero NO incluye b
todos los reales mayores que a pero NO incluye a
todos los reales mayores o iguales que a
todos los reales menores que b pero NO incluye b
todos los reales menores o iguales que b
x
x
x
x
a b
a b
a b
a b
x
x
x
x
a
a
b
b],(
),(
),[
),(
),[
],(
),(
],[
b
b
a
a
ba
ba
ba
ba
Aspectos importantes de la notación de intervalo
Ejemplos:
Descríbelos en palabras o indica si hay errores:1) (3, 5) Solución: Representa a todos los números entre 3 y 5
sin incluirlos.
2) [–∞ , 2] Solución: Existe un error. Los corchetes nunca
pueden estar pegados al infinito negativo
ni al infinito positivo
Escribe en notación de intervalo:
1) {x│x ≥ 7} Solución: [7, ∞)
2) Solución: (1, 5]
SISTEMA DE COORDENADAS
Sistema de Coordenadas
• Dos rectas numéricas reales (vertical y horizontal) que se cruzan en un punto llamado origen.
• Cuatro cuadrantes
y
x
Eje de
Eje de
Sistema de Coordenadas
• Dos rectas numéricas reales (vertical y horizontal) que se cruzan en un punto llamado origen.
• Cuatro cuadrantes
III
IVIII
y
x
Eje de
Eje de
Sistema de Coordenadasy
x
(2,3)• En la recta horizontal
colocamos los valores independientes (x)
• En la recta vertical colocamos los valores dependientes (y)
• (2, 3) es un par ordenado
Sistema de Coordenadasy
x
(2,3)• En la recta horizontal
colocamos los valores independientes (x)
• En la recta vertical colocamos los valores dependientes (y)
• (2, 3) es un par ordenado
Sistema de Coordenadas
• El sistema de coordenadas me permite representar la solución de ecuaciones e inecuaciones
Ejemplo:
y = x2 – 2
y
x
Sistema de Coordenadas
Tabla de valoresy
x
y = x2 – 2
x y
-2 2-1 -1 0 -2 1 -1 2 2
Dominio Recorrido(2,2)
(1,-1)
(0,-2)
(-2,2)
(-1,-1)
y = x2 – 2
Función
• Una función de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada valor del dominio un único valor del campo de valores o alcance
• Si tenemos una tabla de valores será función si el valor del dominio no se repite
• Si tenemos una gráfica será función si cumple con la evaluación de la línea vertical
Función
• Cuando una expresión es una función podemos escribirla de esta forma
y = x2 – 2 f(x) = x2 – 2Se lee: “f de x”
x y
-2 2-1 -1 0 -2 1 -1 2 2
x f(x)
-2 2-1 -1 0 -2 1 -1 2 2
Hallar dominio y recorrido en tabla de valores
• Primera columna es el dominio
• Segunda columna es el recorrido (alcance)
x f(x)
-2 2-1 -1 0 -2 1 -1 2 2
Dominio: {-2, -1, 0, 1, 2}
Recorrido: {-2, -1, 2}
Hallar dominio y recorrido en gráfica
• El dominio se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje horizontal marcando todas las coordenadas x
f(x)
x
Hallar dominio y recorrido en gráfica
• El dominio se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje horizontal marcando todas las coordenadas x
f(x)
x
Dominio: {-4, -2, 1, 3}
Hallar dominio y recorrido en gráfica
• El dominio se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje horizontal marcando el extremo izquierdo y derecho
g(x)
x
Hallar dominio y recorrido en gráfica
• El dominio se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje horizontal marcando el extremo izquierdo y derecho
g(x)
x
Dominio: [-4, 4]
Hallar dominio y recorrido en gráfica
• El recorrido se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje vertical marcando todas las coordenadas y
f(x)
x
Hallar dominio y recorrido en gráfica
• El recorrido se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje vertical marcando todas las coordenadas y
Recorrido: {-3, 1, 2, 3}
f(x)
x
Hallar dominio y recorrido en gráfica
• El recorrido se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje vertical, desde el punto más bajo hasta el punto más alto
g(x)
x
Hallar dominio y recorrido en gráfica
• El recorrido se puede identificar proyectando la gráfica hacia el eje vertical, desde el punto más bajo hasta el punto más alto
g(x)
x
Recorrido: [-3, 4]
EN RESUMEN
RESUMIENDO
Para hallar En tablas de valores En gráficas
DOMINIO solo debemos identificar los valores de x (variable independiente)
proyectar los valores al eje de x
RECORRIDO solo debemos identificar los valores de y (variable dependiente)
proyectar los valores al eje de y
Para dominios y recorridos:• Si es en tablas de valores o puntos no conectados en la
gráfica, utilizamos notación de conjuntos para dar la solución (las llaves y nombrando cada valor)
• Si es en gráficas con puntos conectados utilizamos notación de intervalo
EJERCICIOS DE PRÁCTICAIDENTIFICA EL DOMINIO Y RECORRIDO
• Todas las gráficas son infinitas en sus extremos a menos que se indique lo contrario con puntos sombreados o sin sombrear.
• Escribe el dominio (D) y el recorrido (R) usando notación de conjuntos y notación de intervalo.
Aclaración
1)
),2[
),4()1
R
D
Notación de intervalo
Notación de conjunto
}2|{
}4|{ )1
yyR
xxD
2)
}|{
}|{)2
yyR
xxD
Notación de conjunto
),(
),()2
R
D
Notación de intervalo
3)
Notación de intervalo
]3,(
),()3
R
D
Notación de conjunto
}3|{
}|{)3
yyR
xxD
4)
Notación de intervalo
),0[
),()4
R
D
Notación de conjunto
}0|{
}|{)4
yyR
xxD
5)
Notación de intervalo
]1,1[
),()5
R
D
Notación de conjunto
}11|{
}|{)5
yyR
xxD
6)
Notación de intervalo
),0[
),()6
R
D
Notación de conjunto
}0|{
}|{)6
yyR
xxD
7)
Notación de intervalo
),0[
),0[)1,5()7
R
D
Notación de conjunto
}0|{
}015|{)7
yyR
xxxD
Soluciones:Notación de intervalo Notación de conjunto
),2[
),4()1
R
D
}2|{
}4|{ )1
yyR
xxD
),(
),()2
R
D
}|{
}|{)2
yyR
xxD
]3,(
),()3
R
D
}3|{
}|{)3
yyR
xxD
Soluciones:Notación de intervalo Notación de conjunto
),0[
),()4
R
D
}0|{
}|{)4
yyR
xxD
]1,1[
),()5
R
D
}11|{
}|{)5
yyR
xxD
),0[
),()6
R
D
}0|{
}|{)6
yyR
xxD
Soluciones:Notación de intervalo
Notación de conjunto
),0[
),0[)1,5()7
R
D
}0|{
}015|{)7
yyR
xxxD
AHORA REALIZA LA TAREA ASIGNADA
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