distancia de un punto a una recta

Cipri Demostraciones para E.S.O. y Bachillerato 1

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Se llama distancia del punto 00 , yxP a la recta 0 CByAxr a la distancia existente entre

el punto P y el pie 'P de la perpendicular trazada por P a r .

0 CByAxr

00, yxP

'P

Calculamos las coordenadas de 'P :

rPrP a por alar trazadperpendicu'

0 0 0 00 0

,0

,

P x y x x y yBx Ay Bx Ay

A Bv A B

luego las dos rectas que tenemos son:

0

0

00 AyBxAyBxs

CByAxr

y resolviendo el sistema correspondiente, obtenemos la coordenadas del punto :'P

2

2 20 0 0 0

0 0(sumando)

0 0BA

r Ax By C ABx B y BC

s Bx Ay Bx Ay ABx A y ABx A y

002

022 yAABxBCyAyB

BCABxyABAy 00222

2200

2

BA

BCABxyAy

Despejando rx recta la de :

A

CCBxABByA

A

CBCABxyAB

A

CByx

20

20

200

2

y por tanto:

22

002

2200

2

,'BA

BCABxyA

BA

ACAByxBP

Así:

, , ' ' d P r d P P PP

022

002

02200

2

, yBA

BCABxyAx

BA

ACAByxB

220

20

200

2

220

20

200

2

,BA

yByABCABxyA

BA

xBxAACAByxB

Cipri Demostraciones para E.S.O. y Bachillerato 2

22

0022

00 ,BA

CByAxB

BA

CByAxA

2

2200

2

2200

BA

CByAxB

BA

CByAxA

22

22200

22

200

2200

2

BA

BACByAx

BA

CByAxBCByAxA

22

0022

200

BA

CByAx

BA

CByAx

22

00,BA

CByAxrPd

Expresión que nos dice que para calcular la distancia de un punto a una recta basta sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta (en valor absoluto) y dividir por el módulo del vector asociado a dicha recta.