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Diseño de Maquinas Posgrado MC. Daniel Ramirez VDiseño de Maquinas Posgrado MC. Daniel Ramirez V

Unidad temática 3Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un puntoAnálisis de esfuerzos en un punto

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Método Grafico. Circulo de Mohr

3a.Parte

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3.5 Método grafico. Circulo de Mohr

Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr Otto Mohr (1882)(1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de MohrCirculo de Mohr. .

2

Pag 11

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3.5 Método grafico. Circulo de Mohr

Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 3.1:

3

2cos22

22cos22

xy

yx

xy

yxyx

sen

sen

(3.1 y 3.2)

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Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,

22

22

22 xyyxyx

(3.11)

xx, , yy,,xyxy son valores conocidos que definen el son valores conocidos que definen el estado estado

plano de esfuerzoplano de esfuerzo,, mientras que mientras que yy son variablesson variables. .

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Por lo tanto Por lo tanto ((xx + +yy)/2)/2 es una constante es una constante CC,, y el y el

segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos como otra constantecomo otra constante RR. . sustituyendo, la ecuación (3.11) se sustituyendo, la ecuación (3.11) se transforma en: transforma en:

222 RC (3.12)

Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia: Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia:

(x-c)(x-c)22 + y + y 22= R= R22

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2

22

2

yx

xyyx

C

R

(3.13)(3.13)

Por lo que la circunferencia será de radio y centro:

11Construcción del circulo de Mohr

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La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado.

El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA.

Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y (3.2).

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Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional

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Construcción del circulo de Mohr

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Dado el estado de esfuerzos biaxial:

x > y,

y

xy

x

a) (x , -xy )

b) (y , yx )

aa

bb

yx

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XX

YY bb

aacc

minmin

maxmax

mama

xx

nn

mimi

nn

a) (x , -xy )

b) (y , yx )

’’

’’

2211

2222

2222’’

2211’’

22

x’x’x’x’

xy’xy’

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Problema propuesto (Método Gráfico Circulo de Mohr) :

1. Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto, Determinar :

a) Los esfuerzos componentes x’, xy’ para x’= -30o

b) Los esfuerzos principales normales 1, 2 .

c) Su dirección y orientación

d) Los esfuerzos principales cortantes 1, 2 y n

e) Su dirección y orientación

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xx= 500 MPa= 500 MPa

y y = 300 MPa= 300 MPa

xyxy= 100 MPa= 100 MPa

Caso 1

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Método Gráfico: Circulo de Mohr

1. Identificar el estado de esfuerzos

x = + 500MPa (T)y = - 300MPa (c)

xy = - 100MPayx = 100MPa2. Hacer escala 50 MPa: 1cm.

3. Pasar los puntos a(500, -100) y b(-300, 100) a centímetros; (10,-2)

y (-6, 2).

4 Trazar los ejes vsen el papel milimétrico

5. Marcar los puntos a y b y unirlos con una línea.

6. Indicar el eje X de Ca y el y de Cb

7. Marcar el origen O y el centro C 12

aa

bb

XX

YY

CCoo

xx= 500 MPa= 500 MPa

y y = 300 MPa= 300 MPa

xyxy= 100 MPa= 100 MPaab

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8. Con radio R = Ca = Cb trazar el circulo con centro en C. identificar los ejes principales.

9. Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes:midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen:

Max =10.3cmx50=515MPa(+) Min = -6.3cm x50=-315MPa

Max = 8.3cm x50= 415MPaMin = -8.3cm x50= -415MPan = 2cm x50 = 100MPa

13

aa

bb

XX

YY

CCoo 2211

2’2’

1’1’

((1 1 ,0),0)

((n, n, max ,max ,))

(( n ,n ,minmin,),)

((2 2 ,0),0)

maxmaxminmin

maxmax

nn,,

minmin

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aa

bb

XX

YY

CCoo

22

((1 1 ,0),0)

((n, n, max ,max ,))

(( n ,n ,minmin,),)

((2 2 ,0),0)

maxmax

minmin

maxmax

1’1’ nn,,

22

minmin

11

2’2’

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10. Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes

Los ángulos en el circulo son el doble del valor real.

Max = +15o 1 =+ 7o

Min = - 165º 2 = - 85.5o

2’Max = + 105o 1’ =+52.5o

’Min = - 75o 2’ = - 37.5o

15

aa

bb

XX

YY

CCoo ((1 1 ,0),0)

((2 2 , , nn))

((1 ,1 , nn))

((2 2 ,0),0)

22 11

2’2’

1’1’

22 11

22 22 22 2’2’

22 1’1’

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11. Obtención de las orientación de los esfuerzos principales normales y cortantes.

Con los ángulos

anteriores se inicia la orientación con los esfuerzos principales normales, representando un sistema de ejes cartesiano X-Y , luego a partir del eje X se representa la dirección: 1 considerando su signo y aplicando la convención; positivos en contra del reloj y negativos a favor con respecto al eje X……. ver orientación del probl. Método analítico

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xx= 500 MPa= 500 MPa

y y = 300 MPa= 300 MPa

xyxy= 100 MPa= 100 MPa

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12. Obtención de las componentes de esfuerzos x’, xy’ para x’ y sus correspondientes componentes a 90o ; y’, yx’ .

Se marca en el circulo a partir del eje X el ángulo 2 trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del circulo C y la intersección será el punto cuyas coordenadas son: x’, xy’ luego a 90 o de este eje se encuentra el eje Y’ en cuya intersección con el circulo representa el punto con coordenadas y’, yx’ .

17

xx= 500 MPa= 500 MPa

y y = 300 MPa= 300 MPa

xyxy= 100 MPa= 100 MPa

= - 30= - 30

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xx

yy bb

aa

cc

x’x’

yx’yx’

y’y’

xy’xy’

Calculo de: Calculo de: x’ ,x’ , xy’ xy’ para para = -30= -30oo y y y’ y’ y y xy’xy’ para para

’ ’ = -30 + 90 = 60= -30 + 90 = 60oo

y

xy

x

a) (x , -xy )

b) (y , yx )

22

aabb

22’’

x’x’a’a’

y’y’b’

5A-P

x’ =+4.4cmx50=220MPa

xy’ =-8cmx50=-400MPa