dinamica circunferencial

22

OBJETIVOSOBJETIVOSAl término de la unidad usted debe:Al término de la unidad usted debe:1.1. Comprender la segunda ley de Newton.Comprender la segunda ley de Newton.

2.2. Comprender las fuerzas de fricción y sus tipos.Comprender las fuerzas de fricción y sus tipos.

3.3. Comprender y discernir las fuerzas centrípeta y Comprender y discernir las fuerzas centrípeta y tangencial.tangencial.

4.4. Comprender las leyes de Kepler.Comprender las leyes de Kepler.

5.5. Conocer la ley de la gravitación universal.Conocer la ley de la gravitación universal.

33

Segunda LeySegunda Ley(principio de masa)(principio de masa)

““Cuando la resultante de Cuando la resultante de todas las fuerzas que todas las fuerzas que actúan sobre un sistema actúan sobre un sistema no es nula, éste adquirirá no es nula, éste adquirirá una aceleración en la una aceleración en la misma dirección de la misma dirección de la fuerza resultante la cual es fuerza resultante la cual es directamente proporcional directamente proporcional a la fuerza resultante e a la fuerza resultante e inversamente proporcional inversamente proporcional a la masa del sistema.”a la masa del sistema.”

masa

tetanresulfuerzanaceleració

m

Fa

amF

N1Newton1

s

m1kg1:.I.SUnidad

2

44

Fuerza de rozamiento o fricción Fuerza de rozamiento o fricción en sólidosen sólidos

Es la que se opone al movimiento relativo (o al intento de Es la que se opone al movimiento relativo (o al intento de moverse) de dos cuerpos en contacto. Esta fuerza es moverse) de dos cuerpos en contacto. Esta fuerza es tangencial sobre la superficie de cada uno de los cuerpos tangencial sobre la superficie de cada uno de los cuerpos que están en contacto.que están en contacto.

fs

v = 0

¿Qué impideque el bloquedeslice?¿Q ué detuvo

al bloque?

v = 0

fk

55

Para comprender los dos tipos de fricción que se presentan entre Para comprender los dos tipos de fricción que se presentan entre cuerpos sólidos, considérense los siguientes casos: en la figura A tan cuerpos sólidos, considérense los siguientes casos: en la figura A tan pronto se aplica una fuerza F para intentar mover el bloque la fricción pronto se aplica una fuerza F para intentar mover el bloque la fricción estática impide que el bloque se mueva. A medida que aumenta la estática impide que el bloque se mueva. A medida que aumenta la magnitud de la fuerza F, también aumentará la de la fricción estática. magnitud de la fuerza F, también aumentará la de la fricción estática. En la figura B, el bloque está a punto de moverse y la fricción estática En la figura B, el bloque está a punto de moverse y la fricción estática alcanza su máxima magnitud. En la figura C, el bloque está en alcanza su máxima magnitud. En la figura C, el bloque está en movimiento y actúa la fricción cinética la cual es de menor magnitud movimiento y actúa la fricción cinética la cual es de menor magnitud que la fricción estática.que la fricción estática.

No hay movimiento movimiento por iniciarse En movimiento

(fricción estática) (fricción estática máxima) (fricción cinética) Figura A Figura B Figura C

66

Ley de la fricciónLey de la fricción "La magnitud de la fricción es directamente "La magnitud de la fricción es directamente

proporcional a la magnitud de la fuerza normal a proporcional a la magnitud de la fuerza normal a las superficies en contacto".las superficies en contacto".

)magnitud(normal

contactodefuerza

rozamientode

ecoeficientfricción

)magnitud(

f = N

77

OBSERVACIONES

1ª) El comportamiento de la fricción (f) en función de la fuerza aplicada (F) se muestra en la figura. La f estática aumenta linealmente hasta un valor máximo. Luego se presenta una discontinuidad manteniéndose la f cinética constante.

fricción estática fricción cinética

2ª) La cantidad adimensional "", llamada coeficiente de fricción, depende de la naturaleza de las superficies en contacto. Por lo común se cumple:

0 1

ásperasmuyerficiessuppara,1

lisasmuyerficiessuppara,0

3ª) Cuando se intenta mover el bloque la fricción estática cumple la condición:

fS < S N (3.7)

donde S se llama coeficiente de fricción estático.

4ª) Cuando el bloque está a punto de moverse la fricción estática es máxima y se verifica la igualdad:

fS = S N (3.8)

5ª) Cuando el bloque está en movimiento se verifica la ley de la fricción cinética siempre:

fC = C N (3.9)

donde C se llama coeficiente de fricción cinético.

6ª) En la mayoría de casos se cumple: S > C

F N

A punto dedeslizar

v = 0F

fS M AX

1010

Ejemplo 1Ejemplo 1 Un bloque de masa m es impulsado hacia arriba sobre un

plano inclinado con una rapidez vo = 8 m/s. Si el plano inclinado forma un ángulo = 37º respecto a la horizontal y el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano inclinado es C = 0,25:

a) Hallar una expresión para la aceleración del bloque en función de y C. Evaluar dicha expresión. (Considere g = 10 m/s2).

b) Si otro bloque del mismo material pero de masa igual a m/2 se impulsara con la misma rapidez, ¿cambiará la aceleración del bloque? Explique.

c) ¿Cuál es la distancia recorrida por el bloque de masa m hasta el instante en que se detiene?

d) Si el bloque de masa m/2 se impulsa desde el mismo punto y con la misma velocidad, ¿su desplazamiento será mayor? ¿por qué?

Resolución:

a) Las fuerzas que actúan sobre el bloque de masa m en movimiento se muestran en la figura. De la segunda ley de Newton se tiene:

Evaluando:a = – 8 m/s2 (El signo negativo indica que el bloque tiene

movimiento desacelerado debido a la fricción.

xF = – mg sen – fc = m a

– mg sen – c N* = ma (1)

= N* – mg cos = 0 N* = mg cos (2)

yF

(2) en (1):– mg sen – c (mg cos ) = ma a = – g (sen + c cos ) (3)

b) Según la Ec.(3) la aceleración del bloque permanece constante porque no depende de la masa m del bloque. La aceleración sólo depende de y C.

c) Como el bloque tiene MRUV, cuando se detiene se cumple: v = vo + a t = 0

De donde: t = = = 1s

El desplazamiento para t = 1 s es:

d = v t + a t2 = 8 (1) + (-8) (1)2 =+ 4 m (4)

d) No; porque el bloque de masa m/2 recorrerá la misma distancia que el bloque de masa m hasta detenerse porque según la Ec.(3), la aceleración permanece constante y por tanto en la Ec.(4) obtendremos el mismo resultado, d = + 4 m, para t = 1 s.

a

vo8

8

2

1

2

1

1313

DINÁMICA EN MOVIMIENTO DINÁMICA EN MOVIMIENTO CIRCULARCIRCULAR

o EnEn una partícula en MCU la fuerza resultante que una partícula en MCU la fuerza resultante que experimenta se dirige hacia el centro del círculo experimenta se dirige hacia el centro del círculo (fuerza centrípeta). En cambio, la partícula en (fuerza centrípeta). En cambio, la partícula en MCUV experimentará una fuerza resultante hacia MCUV experimentará una fuerza resultante hacia el centro de la circunferencia y a su vez una fuerza el centro de la circunferencia y a su vez una fuerza resultante en la dirección de la velocidad resultante en la dirección de la velocidad tangencial (fuerza tangencial). Ambas fuerzas tangencial (fuerza tangencial). Ambas fuerzas existen en cada punto de la circunferencia, tal existen en cada punto de la circunferencia, tal como se muestra en la figura.como se muestra en la figura.

1414

Fuerza centrípeta. En la figura se indica la fuerza resultante dirigida hacia el centro de una circunferencia, la cual hace posible que la partícula describa dicha trayectoria. Según la segunda ley de Newton escribimos: FC = m aC (3.23)

Reemplazando aquí las expresiones para la aceleración centrípeta, la magnitud de la fuerza centrípeta, FC,

R

mvF

2

C

FC = m 2 R (3.24)

donde

m: masa de la partículav: rapidez tangencial: rapidez angularR: radio de la circunferencia

1515

Fuerza tangencial. En la figura se indica la fuerza resultante en la dirección de la velocidad tangencial. Según la segunda ley de Newton escribimos: FT = m aT (3.25)

Reemplazando aquí la expresión para la aceleración tangencial, la magnitud de la fuerza tangencial, FT,

FT = m ( R), (3.26)

donde es la aceleración angular.

Finalmente, de la figura es claro que la magnitud de la fuerza que experimenta la partícula es:

2T

2C FFF

1616

Ejemplo 2Ejemplo 2 En la figura, un cuerpo pequeño de masa m = 0,10 kg En la figura, un cuerpo pequeño de masa m = 0,10 kg

oscila en un plano vertical sujeto al extremo de una oscila en un plano vertical sujeto al extremo de una cuerda de longitud L = 0,5 m. Si su rapidez es v = 2 m/s cuerda de longitud L = 0,5 m. Si su rapidez es v = 2 m/s en el instante en que la cuerda forma un ángulo en el instante en que la cuerda forma un ángulo = 37º = 37º con la vertical, calcular: (Considere g = 10 m/scon la vertical, calcular: (Considere g = 10 m/s22))

a) La magnitud de la fuerza resultante en ese instante.a) La magnitud de la fuerza resultante en ese instante. b) La tensión de la cuerda.b) La tensión de la cuerda.

1717

Resolución:Resolución:En la figura se indican las En la figura se indican las

fuerzas que actúan sobre el fuerzas que actúan sobre el cuerpo. El peso mg se cuerpo. El peso mg se descompone en una descompone en una componente tangencial, componente tangencial, mgsenmgsen, y otra componente , y otra componente normal, mg cosnormal, mg cos. La tensión . La tensión T de la cuerda está dirigida T de la cuerda está dirigida hacia el centro de la hacia el centro de la trayectoria del cuerpo (punto trayectoria del cuerpo (punto O).O).

De la segunda ley de Newton, la De la segunda ley de Newton, la magnitud de la aceleración magnitud de la aceleración centrípeta escentrípeta es

FC = maC = (1) L

mv 2

1818

Reemplazando:FReemplazando:FCC= = = 0,8 N

Análogamente, de la segunda ley de Newton, la magnitud de la fuerza resultante tangencial es:

FT = maT = mg sen (2)

Sustituyendo datos:

FT = (0,1)(10) sen 37º = 0,6 N

Por tanto, la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es:

22 6,08,0 F = = 1 N

5,0

)2)(1,0( 2

1919

b) Nuevamente, de la segunda ley de Newton la fuerza centrípeta se escribe:

T – mg cos = mac (3)

Despejando T de (3) y evaluando, se obtiene la tensión de la cuerda:

T= maC + mgcos = FC + mgcos

T = 0,8 + (0,1)(10)(0,8) = 1,6 N

2020

Procedimiento general para la resolución de problemas de

dinámica.

La resolución de problemas de dinámica requiere los siguientes pasos:

1. Definir convenientemente el sistema.2. Identificar todas las fuerzas externas y/o internas que actúan sobre el sistema así como las direcciones de las aceleraciones que producen.3. Aplicar la segunda ley de Newton.

Leyes de Kepler Primera ley (ley de las órbitas). “Los planetas describen elipses estando el

Sol en uno de sus focos”.

Leyes de Kepler Segunda ley (ley de las áreas). “Una línea desde el Sol hasta un planeta

describe áreas iguales en intervalos de tiempo iguales”. (Por ejemplo, en la figura se cumple: A1 = A2).

Leyes de Kepler Tercera ley (ley de los períodos). “El cuadrado del periodo de un planeta es

directamente proporcional al cubo de la distancia promedio entre el planeta y el Sol”. Es decir:

tetanconsd

T3

2

GRAVITACIÓN UNIVERSAL Ley de Newton de la gravitación universal. "La magnitud de la fuerza de atracción entre dos partículas

en el universo es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros de masa".

FG m m

dG 1 2

2(fuerza gravitatoria) (1)

G = 6,67 10-11 N m2/kg2

constante de gravitación universal

Variación de "g" Considérese un planeta esférico de masa M y radio R (ver

figura), se cumple

•d: distancia medida desde el centro del planeta

OBSERVACIONES 1º) En la superficie del planeta: d = R:

2º) Sí M = 0 g = 0 (el vacío) 3º) Órbitas circulares: Considérese un satélite de masa m

describiendo una órbita circular alrededor de un planeta de masa M (ver figura).

v: rapidez tangencialR: radio de la circunferencia

gG M

R 2