diapositivas de limites y derivadas

Es el cociente de los límites,siempre que el límite deldenominador no sea 0.

Límite de un cociente

Ejemplo:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙)=𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇(𝒙)

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒈(𝒙)

lim𝑥→1

2𝑥2 + 𝑥 − 3

𝑥3 + 4=lim𝑥→1

(2𝑥2 + 𝑥 − 3)

lim𝑥→1

(𝑥3 + 4)=2 + 1 − 3

1 + 4=0

5= 0

Para cualquier entero positivo n

Límite de una potencia

Ejemplo:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒙𝒏 = 𝒂𝒏

lim𝑥→6

𝑥2 = 62 = 36

Si f es una función polinomial, entonces:

Límite de una función polinómica

Ejemplo:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒂

Sustituyendo -3 por x ya que x3 + 4x2 – 7 es una función polinomial:

lim𝑥→ −3

( 𝑥3 + 4𝑥2 − 7) = −3 3 + 4 −3 2 − 7 = 2

limℎ→ 3

2 ℎ − 1 = 2( 3 − 1) = 4

Podemos determinar el límite deuna función racional cuando x→a por sustitución directa, con talque el denominador sea distintode cero en a.

Límite de una raíz

Ejemplo:

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂

𝒏𝒇 𝒙 = 𝒏 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂𝒇(𝒙)

Si n es par, requerimos que lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) sea positivo

lim𝑡→4

𝑡2 + 1 = lim𝑡→4

𝑡2 + 1 = 17

Donde p > 0

Límite en el infinito

Ejemplo:

𝐥𝐢𝐦𝒙→∞

𝟏

𝒙𝒑= 𝟎 𝐥𝐢𝐦

𝒙→ −∞

𝟏

𝒙𝒑= 𝟎

lim𝑥→∞

4𝑥2 + 5

2𝑥2 + 1= lim

𝑥→∞

4𝑥2 + 5𝑥2

2𝑥2 + 1𝑥2

= lim𝑥→∞

4𝑥2

𝑥2+

5𝑥2

2𝑥2

𝑥2+

1𝑥2

= lim𝑥→∞

4 +5𝑥2

2 +1𝑥2

=lim𝑛→∞

4 + 5 . lim𝑛→∞

1𝑥2

lim𝑛→∞

2 + lim𝑛→∞

1𝑥2

Como lim𝑥→∞

1

𝑥𝑝= 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝 > 0,

lim𝑥→∞

4𝑥2 + 5

2𝑥2 + 1=4 + 5(0)

2 + 0=4

2= 2

Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.

Derivada como razón de cambio

Ejemplo:

Reglas de diferenciación

Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.

Derivada de una constante

Ejemplo:

𝒅

𝒅𝒙𝒄 = 𝟎

𝑑

𝑑𝑥3 = 0

Si n es cualquier número real, entonces:

Derivada de la potencia base

Ejemplo:

𝒅

𝒅𝒙𝒙𝒏 = 𝒏𝒙𝒏−𝟏

𝒅

𝒅𝒙𝒙𝟐 = 𝟐𝒙𝟐−𝟏 = 𝟐𝒙

Siempre que xn-1 este definida. Esto es, la derivada de unapotencia constante de x es igual al exponente multiplicadopor la x elevada a una potencia menor en una unidad que lade la potencia dada.

Si f es una función diferenciable y cuna constante, entonces cf (x) es diferenciable y

Derivada del factor constante

Ejemplo:

𝒅

𝒅𝒙𝒄𝒇 𝒙 = 𝒄𝒇′(𝒙)

Esto es, la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función.

𝒈 𝒙 = 𝟓𝒙𝟑

𝒅

𝒅𝒙𝟓𝒙𝟑 = 𝟓

𝒅

𝒅𝒙𝒙𝟑

𝟓 𝟑𝒙𝟑−𝟏 = 𝟏𝟓𝒙𝟐

Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + g y f – g sondiferenciables

Derivada de la suma o resta

Ejemplo:

𝐝

𝐝𝐱𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) = 𝒇′ 𝒙 + 𝒈′(𝒙)

𝐝

𝐝𝐱𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) = 𝒇′ 𝒙 − 𝒈′(𝒙)

𝐹 𝑥 = 3𝑥5 + 𝑥

𝐹′ 𝑥 =𝑑

𝑑𝑥3𝑥5 +

𝑑

𝑑𝑥𝑥1/2

𝐹′ 𝑥 = 3𝑑

𝑑𝑥𝑥5 +

𝑑

𝑑𝑥𝑥1/2

𝐹′ 𝑥 = 3 5𝑥4 +1

2𝑥−1/2 = 15𝑥4 +

1

2 𝑥

Esto es la derivada del producto de dos funciones es la primerafunción por la derivada de la segunda más la segunda funciónpor la derivada de la primera.

Regla del producto

Ejemplo:

𝒅

𝒅𝒙𝒇 𝒙 𝐠 𝒙 = 𝒇´ 𝒙 𝐠 𝒙 + 𝒇 𝒙 𝐠´ 𝒙

𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 (4𝑥 + 5)

𝐹′ 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥𝑑

𝑑𝑥+ (4𝑥 + 5)

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 + 3𝑥

𝐹′ 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 (4) + (4𝑥 + 5) 2𝑥 + 3𝑥

𝐹′ 𝑥 = 12𝑥2 + 34 + 15

La derivada del cociente de dos funciones es el denominadorpor la derivada del numerador, menos el numerador por laderivada del denominador, todo ello dividido entre el cuadradodel denominador. Siempre que g (x)≠0

Derivada del cociente

𝒅

𝒅𝒙

𝒇(𝒙)

𝐠(𝒙)=𝒇´ 𝒙 𝐠 𝒙 − 𝒇 𝒙 𝐠´ 𝒙

𝐠 𝒙 𝟐

𝐹 𝑥 =4𝑥2 + 3

2𝑥 − 1

𝐹′ 𝑥 =2𝑥 − 1

𝑑𝑑𝑥

4𝑥2 + 3 − 4𝑥2 + 3𝑑𝑑𝑥

2𝑥 − 1

(2𝑥 − 1)2

𝐹′ 𝑥 =2𝑥 − 1 (8𝑥) − 4𝑥2 + 3 2

(2𝑥 − 1)2

𝐹′ 𝑥 =8𝑥2 − 8𝑥 − 6

(2𝑥 − 1)2=2(4𝑥2 − 4𝑥 − 3)

(2𝑥 − 1)2

Ejemplo:

Si y es una función diferenciable de u y ues una función diferenciable de x,entonces y es una función diferenciablede x.

Derivada de la cadena

Ejemplo:

𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝒅𝒚

𝒅𝒖.𝒅𝒖

𝒅𝒙

Si 𝑦 = 2𝑢2 − 3𝑢 − 2 y 𝑢 = 𝑥2 + 4 , encontrar dy/dx.

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑

𝑑𝑢2𝑢2 − 3𝑢 − 2 .

𝑑

𝑑𝑥𝑥2 + 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑢 − 3 . 2𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4 𝑥2 + 4 − 3 2𝑥 = 4𝑥2 + 13 2𝑥

= 8𝑥3 + 26𝑥.

Podemos escribir la respuesta sólo en términos de x reemplazando upor 𝑥2 + 4

Si u es una funcióndiferenciable de x y n escualquier número real,entonces:

Derivada de la potencia base u

Ejemplo:

𝒅

𝒅𝒙𝒖 𝒙 𝒏 = 𝒏 𝒖 𝒙 𝒏−𝟏𝒖′ 𝒙

Derivadas de funciones trigonométricas

𝒅

𝒅𝒙𝒔𝒆𝒏 𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝒗

𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒗 = −𝒔𝒆𝒏 𝒗

𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒕𝒂𝒏 𝒗 = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒗

𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒄𝒐𝒕 𝒗 = −𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒗

𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒔𝒆𝒄 𝒗 = 𝒔𝒆𝒄 𝒗 𝒕𝒂𝒏 𝒗

𝒅𝒗

𝒅𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒗 = −𝒄𝒔𝒄 𝒗 𝒄𝒐𝒕 𝒗

𝒅𝒗

𝒅𝒙

Ejemplo:

Derivada de funciones logarítmicas

Ejemplos:

𝒅

𝒅𝒙𝐥𝐧𝒙 =

𝟏

𝒙

𝒅

𝒅𝒙𝐥𝐧𝒖 =

𝟏

𝒖.𝒅𝒖

𝒅𝒙

Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.

Derivada de funciones exponenciales

Ejemplo:

Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.

Diferenciación implícita

Ejemplo:

Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.

Diferenciación logarítmica

Ejemplo:

Límite de un cociente es elcociente de los límites, siempreque el límite del denominador nosea 0.

Derivadas de orden superior

Ejemplo: