determinar la solución de la ecuación
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Determinar la solucin de la ecuacin alrededor de empleando el mtodo de Frobenius.SolucinDado que la serie de Frobenius es:
Entonces:
Sustituir y en la ecuacin diferencial dada:
Es decir:
Ahora factorizar :
Agrupar en una la primera y segunda series:
Y simplificar:
A continuacin enfasamos las series desarrollando la primera, por tanto:
Ahora ambas series deben empezar en el mismo ndice, por tanto, para la primera serie y para la segunda serie , por lo que:
Al sumar las dos series y al factorizar se tiene que:
En donde:
Por lo que la ecuacin indicativa es:
Y sus races son:
Notar que de la ecuacin se observa que y que para la ecuacin de recurrencia es:
Es decir:
Por tanto, iterando la ecuacin anterior y al considerar , tendremos:
Ahora bien, al considerar que y son distintas y que su diferencia es igual a un nmero entero positivo, ver que las soluciones de la ecuacin tienen la forma:
Por tanto se tiene que:
Lo cual se puede expresar factorizando como:
Por otra parte, para la ecuacin de recurrencia es:
De donde:
Igualmente al considerar , iterando se tiene:
Dado que la forma general de solucin es:
Al sustituir los valores de los coeficientes se tiene que:
Finalmente al factorizar se tiene:
De esta forma, la solucin general de la ecuacin diferencial dada es:
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