determinantes - álgebra lineal
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
DETERMINANTES
Martha C. Moreno
Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
DETERMINANTES
Martha C. Moreno
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Un determinante es una funcion que asigna a una matriz cuadrada
A un numero real: det(A) = |A|
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Un determinante es una funcion que asigna a una matriz cuadrada
A un numero real: det(A) = |A|
det : Mn×n −→ R
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Un determinante es una funcion que asigna a una matriz cuadrada
A un numero real: det(A) = |A|
det : Mn×n −→ R
A −→ det(A) = |A|
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
El metodo que utilizaremos para calcular el determinante de unamatriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular eldeterminante de una matriz de tamano n × n debemos calcularpreviamente el determinante de una matriz n − 1× n − 1 y asisucesivamente hasta obtener una matriz 1× 1.
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
El metodo que utilizaremos para calcular el determinante de unamatriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular eldeterminante de una matriz de tamano n × n debemos calcularpreviamente el determinante de una matriz n − 1× n − 1 y asisucesivamente hasta obtener una matriz 1× 1.
Definicion
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
El metodo que utilizaremos para calcular el determinante de unamatriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular eldeterminante de una matriz de tamano n × n debemos calcularpreviamente el determinante de una matriz n − 1× n − 1 y asisucesivamente hasta obtener una matriz 1× 1.
Definicion
Si la matriz A = (a11), entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Nota
El metodo que utilizaremos para calcular el determinante de unamatriz usa un proceso de recurrencia, es decir para calcular eldeterminante de una matriz de tamano n × n debemos calcularpreviamente el determinante de una matriz n − 1× n − 1 y asisucesivamente hasta obtener una matriz 1× 1.
Definicion
Si la matriz A = (a11), entonces det(A) = |A| = a11
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n × n
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n × n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n...
......
......
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain...
......
......
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n × n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n...
......
......
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain...
......
......
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tamano n − 1× n− 1 denominada el menor ij, y denotado por
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n × n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n...
......
......
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain...
......
......
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tamano n − 1× n− 1 denominada el menor ij, y denotado por
Mij .
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A una matriz cuadrada de tamano n × n
A =
a11 a12 . . . a1j . . . a1n...
......
......
...
ai1 ai2 . . . aij . . . ain...
......
......
...
an1 an2 . . . anj . . . ann
a cada componente de la matriz A asociamos una matriz de
tamano n − 1× n− 1 denominada el menor ij, y denotado por
Mij .
Mij Se define como la matriz obtenida de A eliminando en A la fila
i y la columna j
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Mij =
a11 . . . a1j−1 a1j+1 . . . a1n...
......
......
...ai−11 . . . ai−1j−1 ai−1j+1 . . . ai−1n
ai+11 . . . ai+1j−1 ai+1j+1 . . . ai+1n...
......
......
...an1 . . . anj−1 anj+1 . . . ann
n−1×n−1
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 −1 34 5 100 4 2
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 −1 34 5 100 4 2
Entonces:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 −1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 −1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 −1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
M32 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 −1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
M32 =
(2 34 10
)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 −1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
M32 =
(2 34 10
)
M21 =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A =
2 −1 34 5 100 4 2
Entonces:
M11 =
(5 104 2
)
M32 =
(2 34 10
)
M21 =? M33 =?
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 8−2 −3
)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 8−2 −3
)
C11 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 8−2 −3
)
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 8−2 −3
)
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 8−2 −3
)
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 8−2 −3
)
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 8−2 −3
)
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 8−2 −3
)
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8
C22 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
El Cofactor ij , es un numero que se asocia a cada componente de
la matriz A: Cij , y se define como:
Cij = (−1)i+jdet(Mij) = (−1)i+j |Mij |
Ejemplo
Sea A =
(4 8−2 −3
)
C11 = (−1)1+1| − 3| = (−1)2(−3) = −3
C12 = (−1)1+2| − 2| = (−1)3(−2) = 2
C21 = (−1)2+1|8| = (−1)3(8) = −8
C22 = (−1)2+2| − 3| = (−1)4(4) = 4
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Supongamos que seleccionamos la fila i , entonces:
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Supongamos que seleccionamos la fila i , entonces:
detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Desarrollo por Cofactores
Para calcular el determinante de la matriz A seleccionamos una filao columna:
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Supongamos que seleccionamos la fila i , entonces:
detA = |A| = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...... + ainCin
Se dice que el determinante de la matriz A se desarrollo por la filai .
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A|
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),entonces:
det(A) = |A| =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −13 4 20 3 9
,
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
1(−1)1+1
∣∣∣∣4 23 9
∣∣∣∣+ 3(−1)2+1
∣∣∣∣2 −13 9
∣∣∣∣+ 0(−1)3+1
∣∣∣∣2 −14 2
∣∣∣∣
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
1(−1)1+1
∣∣∣∣4 23 9
∣∣∣∣+ 3(−1)2+1
∣∣∣∣2 −13 9
∣∣∣∣+ 0(−1)3+1
∣∣∣∣2 −14 2
∣∣∣∣det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Sea A =
(a b
c d
),si desarrollamos el determinante por la fila
1:
det(A) = |A| = a(−1)1+1|d |+ b(−1)1+2|c | = ad − bc
Si A =
(4 8−2 −3
),entonces:
det(A) = |A| = 4(−3)−(−2)8 = −12−(−16) = −12+16 = 4
Si A =
1 2 −13 4 20 3 9
,desarrollado por la primera columna:
det(A) =
1(−1)1+1
∣∣∣∣4 23 9
∣∣∣∣+ 3(−1)2+1
∣∣∣∣2 −13 9
∣∣∣∣+ 0(−1)3+1
∣∣∣∣2 −14 2
∣∣∣∣det(A) = 1(36 − 6) + (−3)(18 − (−3)) + 0 = 30− 63 = −33
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tamano 3× 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2× 2usando diagonales, este metodo se conoce como:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tamano 3× 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2× 2usando diagonales, este metodo se conoce como: La Regla deSarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tamano 3× 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2× 2usando diagonales, este metodo se conoce como: La Regla deSarrus
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Para el caso especial de las matrices de tamano 3× 3, tambienpodemos encontrar un metodo similar al de las matrices 2× 2usando diagonales, este metodo se conoce como: La Regla deSarrus
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
El metodo consiste en repetir las dos primeras columnas acontinuacion de la ultima para formar diagonales de tres elementos:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Regla de Sarrus
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = − det(A)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por α 6= 0, entonces det(B) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por α 6= 0, entonces det(B) =
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Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por α 6= 0, entonces det(B) = αdet(A)
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Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por α 6= 0, entonces det(B) = αdet(A)
Si A es de tamano n × n y α ∈ R, entoncesdet(αA) =
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Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por α 6= 0, entonces det(B) = αdet(A)
Si A es de tamano n × n y α ∈ R, entoncesdet(αA) =
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Propiedades de los Determinantes
det(A) = det(At)
Si una fila o columna de A es nula, entonces det(A) = 0
Si la Matriz B se obtuvo de A intercambiando dos filas o doscolumnas, entonces det(B) = − det(A)
Si la Matriz B se obtuvo de A multiplicando una fila ocolumna por α 6= 0, entonces det(B) = αdet(A)
Si A es de tamano n × n y α ∈ R, entoncesdet(αA) = α
ndet(A)
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Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) =
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Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) =
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Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
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Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) =
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Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) =
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Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
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Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Si dos filas o columnas de A son multiplos escalares, entoncesdet(A) =
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Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Si dos filas o columnas de A son multiplos escalares, entoncesdet(A) =
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Si la Matriz B se obtuvo de A reemplazando una fila ocolumna por la suma de ella con otra, entoncesdet(B) = det(A)
Si dos filas o columnas de A son iguales, entonces det(A) = 0
Si dos filas o columnas de A son multiplos escalares, entoncesdet(A) = 0
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Ejemplo
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣=
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣=−6
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
3a 3b 3c−d −e −f
4g 4h 4i
∣∣∣∣∣∣=
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
3a 3b 3c−d −e −f
4g 4h 4i
∣∣∣∣∣∣=72
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
3a 3b 3c−d −e −f
4g 4h 4i
∣∣∣∣∣∣=72 ¿Porque?
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
3a 3b 3c−d −e −f
4g 4h 4i
∣∣∣∣∣∣=72 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
a + g b + h c + i
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣=
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
3a 3b 3c−d −e −f
4g 4h 4i
∣∣∣∣∣∣=72 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
a + g b + h c + i
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6
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Ejemplo
Si:
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6, entonces:
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣=−6 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
3a 3b 3c−d −e −f
4g 4h 4i
∣∣∣∣∣∣=72 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
a + g b + h c + i
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣= −6 ¿Porque?
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∣∣∣∣∣∣
−3a −3b −3cd e f
g − 4d h − 4e i − 4f
∣∣∣∣∣∣=
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∣∣∣∣∣∣
−3a −3b −3cd e f
g − 4d h − 4e i − 4f
∣∣∣∣∣∣= 18
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∣∣∣∣∣∣
−3a −3b −3cd e f
g − 4d h − 4e i − 4f
∣∣∣∣∣∣= 18 ¿Porque?
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∣∣∣∣∣∣
−3a −3b −3cd e f
g − 4d h − 4e i − 4f
∣∣∣∣∣∣= 18 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
a d g
c f i
b e h
∣∣∣∣∣∣=
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∣∣∣∣∣∣
−3a −3b −3cd e f
g − 4d h − 4e i − 4f
∣∣∣∣∣∣= 18 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
a d g
c f i
b e h
∣∣∣∣∣∣=6
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∣∣∣∣∣∣
−3a −3b −3cd e f
g − 4d h − 4e i − 4f
∣∣∣∣∣∣= 18 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣
a d g
c f i
b e h
∣∣∣∣∣∣=6 ¿Porque?
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Ejemplo
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Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8
∣∣∣∣∣∣∣∣=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8
∣∣∣∣∣∣∣∣=0
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Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8
∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?
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Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8
∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣=
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8
∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣=
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Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8
∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣=
1(−1)4
∣∣∣∣∣∣
−1 1 63 −2 −1−3 2 5
∣∣∣∣∣∣=
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Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8
∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣=
1(−1)4
∣∣∣∣∣∣
−1 1 63 −2 −1−3 2 5
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
−1 0 03 1 −19−3 −1 23
∣∣∣∣∣∣=
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Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8
∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣=
1(−1)4
∣∣∣∣∣∣
−1 1 63 −2 −1−3 2 5
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
−1 0 03 1 −19−3 −1 23
∣∣∣∣∣∣=
(−1)(−1)2∣∣∣∣1 −19−1 23
∣∣∣∣ =
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Ejemplo∣∣∣∣∣∣∣∣
2 −1 4 85 6 10 32 1 4 −310 3 20 8
∣∣∣∣∣∣∣∣=0 ¿Porque?
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 5 −3 −2−2 −3 2 −51 3 −2 2−1 −6 4 3
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −1 1 −60 3 −2 −11 3 −2 20 −3 2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣=
1(−1)4
∣∣∣∣∣∣
−1 1 63 −2 −1−3 2 5
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
−1 0 03 1 −19−3 −1 23
∣∣∣∣∣∣=
(−1)(−1)2∣∣∣∣1 −19−1 23
∣∣∣∣ =−(23− 19) = −4
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Propiedades
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Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
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Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
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Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) =
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Propiedades
Si A es triangular superior o inferior o diagonal, entonces
det(A) = a11a22.....ann
Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano, entonces:
det(AB) = det(A)det(B)
det(An) = (det(A))n
Si A es no singular, entonces det(A−1) = 1det(A)
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Ejemplo
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Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) =
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) = 23−17 = −8
7
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) = 23−17 = −8
7
det((2A)−1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) = 23−17 = −8
7
det((2A)−1) =det(12A−1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) = 23−17 = −8
7
det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )
3−17 = −1
56
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) = 23−17 = −8
7
det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )
3−17 = −1
56o tambien:
det((2A)−1) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) = 23−17 = −8
7
det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )
3−17 = −1
56o tambien:
det((2A)−1) = 1det(2A) =
123det(A)
= −156
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) = 23−17 = −8
7
det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )
3−17 = −1
56o tambien:
det((2A)−1) = 1det(2A) =
123det(A)
= −156
det(A+ A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) = 23−17 = −8
7
det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )
3−17 = −1
56o tambien:
det((2A)−1) = 1det(2A) =
123det(A)
= −156
det(A+ A) =det(2A) = 23(−7) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejemplo
Si A3×3 y det(A) = −7, entonces:
det(4A) = 43(−7) = −448
det(A−1) = 1−7 = −1
7
det(2A−1) = 23−17 = −8
7
det((2A)−1) =det(12A−1) =(12 )
3−17 = −1
56o tambien:
det((2A)−1) = 1det(2A) =
123det(A)
= −156
det(A+ A) =det(2A) = 23(−7) = − 56
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada antisimetrica, enonces:det(A) =?
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Ejercicio
Si A es una matriz cuadrada involutiva, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada ortogonal, entonces: det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada idempotente, entonces:
det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada antisimetrica, enonces:det(A) =?
Si A es una matriz cuadrada n × n, enonces:det(αA) =?
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
INVERSA DE UNA MATRIZ
Martha C. Moreno DETERMINANTES
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
Una matriz cuadrada A es no singular si y solo si det(A) 6= 0
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
Una matriz cuadrada A es no singular si y solo si det(A) 6= 0
Definicion
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
Una matriz cuadrada A es no singular si y solo si det(A) 6= 0
Definicion
Sea A = (aij), una matriz cuadrada
C =
c11 c12 · · · c1nc21 c22 · · · c2n. . . . . . . . . . . .
cn1 cn2 · · · cnn
se denomina la matriz de cofactores de A
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A = (aij) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se define
como la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A = (aij) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se define
como la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:
adj(A) = C t
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Definicion
Sea A = (aij) una matriz cuadrada, la Adjunta de A , se define
como la transpuesta de la matriz de los cofactores.
Es decir:
adj(A) = C t
Proposicion
Sean A = (aij) matriz cuadrada y A la matriz obtenida de A
cambiando la fila i por la fila j, entonces:
aj1ci1 + aj2ci2 + . . . + ajncin = 0, si i 6= j
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
det(A) =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
det(A) = 0
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
det(A) = 0 = aj1ci1 + aj2ci2 + ...+ ajncin,
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
A =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
aj1 aj2 · · · ajn. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
det(A) = 0 = aj1ci1 + aj2ci2 + ...+ ajncin, para i 6= j
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Teorema
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
A · adj(A) = adj(A) · A = det(A) · In
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
A · adj(A) = adj(A) · A = det(A) · In
Demostracion
Sea B = (bij ) = A · adj(A)
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Teorema
A · adj(A) = adj(A) · A = det(A) · In
Demostracion
Sea B = (bij ) = A · adj(A)
B =
a11 a12 · · · a1n. . . . . . . . . . . .
ai1 ai2 · · · ain. . . . . . . . . . . .
an1 an2 · · · ann
c11 c21 · · · cj1 · · · cn1. . . . . . . . . . .
c1i c2i · · · cji · · · cni. . . . . . . . . . .
c1n c2n · · · cjn · · · cnn
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
bij = (ai1 ai2 · · · ain)
cj1cj2...cjn
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
bij = (ai1 ai2 · · · ain)
cj1cj2...cjn
bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . .+ aincjn
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
bij = (ai1 ai2 · · · ain)
cj1cj2...cjn
bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . .+ aincjn
bij =
{det(A), si i = j
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Demostracion-Continuacion
bij = (ai1 ai2 · · · ain)
cj1cj2...cjn
bij = ai1cj1 + ai2cj2 + . . .+ aincjn
bij =
{det(A), si i = j
0, si i 6= j
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Matriz inversa
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Matriz inversa
Del teorema anterior se tiene que si A es no singular, entonces:
A−1 = 1det(A)adj(A)
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
REGLA DE CRAMER
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
Consideremos el sistema:a11x1 + a12x2 + ....... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ....... + a2nxn = b2
.....
....
an1x1 + an2x2 + ....... + annxn = bn
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene unica solucion
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene unica solucion
X = A−1B
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene unica solucion
X = A−1B
X = 1det(A)adj(A)B
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
En forma simplificada:
AX = B
Si A es no singular, entonces el sistema tiene unica solucion
X = A−1B
X = 1det(A)adj(A)B
X = 1det(A)
c11 c21 · · · cj1 · · · cn1. . . . . . . . . . .
c1i c2i · · · cji · · · cni. . . . . . . . . . .
c1n c2n · · · cjn · · · cnn
B
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
x1x2...xn
= 1
det(A)
c11 c21 · · · cj1 · · · cn1. . . . . . . . . . .
c1i c2i · · · cji · · · cni. . . . . . . . . . .
c1n c2n · · · cjn · · · cnn
b1b2...bn
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1na21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
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DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1na21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
xi =
Martha C. Moreno DETERMINANTES
DefinicionDesarrollo por Cofactores
Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1na21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
xi =det(Ai )det(A)
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Propiedades de los DeterminantesAplicaciones
xi =1
det(A) [c1ib1 + c2ib2 + . . .+ cnibn]
xi =1
det(A)
∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1na21 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣
xi =det(Ai )det(A)
Donde Ai es la matriz que se obtiene de A reemplazando lacolumna i por B
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