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"ESTADSTICA DESCRIPTIVA"
1.1 Parte bsica
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1.1.1 Introduccin a la Estadstica
1.1.1.1 Concepto de Estadstica y Estadsticas
La primera acepcin del trmino "Estadstica", que tiene origen histrico, hace
referencia a una determinada informacin numrica; esta acepcin se encuentra cada da
ms arraigada en nuestra sociedad debido al abultado conjunto de nmeros y cifras en el
que se encuentra inmersa: P. I. B., ndices de precios, tasas de inflacin, evolucin del
paro, cotizaciones burstiles, accidentes de circulacin, porcentajes de votantes,
porcentajes de personas que padecen una determinada enfermedad, etc.
Una segunda acepcin entiende la estadstica como una ciencia que facilita los
mtodos precisos para la obtencin de informacin numrica, y que tambin
proporciona mtodos de anlisis de esa informacin recogida y mtodos de
investigacin aplicables al resto de las Ciencias. La primera se corresponde bsicamente
con la estadstica descriptiva y la segunda con la estadstica inferencial.
1.1.1.2 Etapas del anlisis estadsticoLas diversas fases por las que atraviesa el anlisis estadstico son:
a) Recogida de datos, que no por ser elemental, est exenta de dificultades e
indicaciones que hay que observar, ya que una recogida mal efectuada puede
ocasionar un sesgo de la informacin y del posterior anlisis, por lo que el
objeto de la investigacin debe plantearse de una manera minuciosa, as como
la organizacin del trabajo de campo necesario para la recogida de datos.
b) Ordenacin y presentacin de los datos, y que suele presentarse mediante
unas tablas de simple o de doble entrada.
c) Resumen de la informacin, para tratar de describir las caractersticas ms
relevantes que pueden tener los datos, y que se realiza mediante la
determinacin de parmetros estadsticos que intentan resumir toda la
informacin que aporte el conjunto de datos.
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d) Anlisis estadstico, a travs de mtodos facilitados por la Estadstica
Matemtica, para tratar de verificar hiptesis sobre regularidades que pueden
detectarse en las etapas previas.
1.1.1.3 Poblacin y muestra
Recibe el nombre de Poblacin, Colectivo o Universo, todo conjunto de
individuos o elementos que tienen unas caractersticas comunes.
Dado que no siempre es posible estudiar todos los elementos de la poblacin, ya
sea por razones econmicas, de rapidez de obtencin de la informacin, o porque los
elementos se destruyen en el proceso de la investigacin, con frecuencia es necesario
examinar slo una parte de la poblacin, que se denomina muestra; para que una
muestra sea vlida como objeto de estudio, ha de ser representativa de la poblacin, es
decir ha de tener las mismas caractersticas, en los caracteres estudiados, que la
poblacin.
1.1.1.4 Caracteres de una poblacinLlamaremos variable al carcter objeto de estudio, que puede tomar distintos
valores.
Las variables pueden ser cuantitativa o cualitativas, segn que tomen, o no,
valores cuantificables.
Las variables de tipo cuantitativo, que estudian caracteres cuantificables, pueden
clasificarse de diversas formas: variables discretas o continuas, segn que slo puedan
tomar valores aislados o, por el contrario, todos los valores de un intervalo.
1.1.1.5 Tipos de escalas
En determinado tipo de estudios, quiz tenga mayor relevancia diferenciar las
variables segn el tipo de escala utilizada, distinguiendo:
Escala nominal: el carcter estudiado se clasifica en categoras nonumricas, sin que puedan establecerse ninguna relacin de orden entre ellas,
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por ejemplo: las profesiones laborales, el estado civil, la ideologa poltica, el
sexo, etc.
Escala ordinal: el carcter estudiado es de tipo no numrico, pero sepueden establecer algn tipo de orden entre las distintas categoras. Este es el
caso del nivel de estudios (primarios, medios, superiores), los tipos de clases
sociales (baja, media, alta),etc.
Escala de intervalo: puede establecerse alguna unidad de medida ycuantificar numricamente la distancia existente entre dos observaciones. Es la
escala cuantitativa, encontrndose en este caso gran nmero de variables entre
ellas, como por ejemplo: salarios, presupuestos, gastos, etc.
Escala de proporcin: son aquellas variables en las que adems de unaunidad de medida, se fija un punto origen, que marca el cero. En este tipo
pueden considerarse la edad, el peso, el nmero de unidades en stock en un
inventario, etc.
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1.1.2 Variables estadsticasunidimensionales
1.1.2.1 Distribucin de frecuencias. Clases.
Vamos a tratar ahora de estructurar y ordenar los conjuntos numricos de los
datos obtenidos en la observacin de una muestra o poblacin para as poder proceder
con ms facilidad a su estudio.
Empezaremos estudiando las frecuencias en sus diversas clases:
Frecuencia absoluta: es el nmero de veces que se repite cada valor de lavariable en el conjunto de todas las observaciones de la misma. En general la frecuencia
absoluta del dato xi se representa por fi
Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nmerototal de datos u observaciones. El nmero total de datos lo representamos por n, y la
frecuencia relativa del dato xi
se representa por hiSe verifica por lo tanto: hi = fi/n
Frecuencia absoluta acumulada: es la suma de las frecuencias absolutas delos valores inferiores o iguales al considerado. Evidentemente los valores de la variable
deben de estar ordenados en forma creciente.
En general, la frecuencia absoluta acumulada del dato xi se representa por Fi
Evidentemente, la ltima frecuencia absoluta acumulada coincide con el tamao de la
muestra.
Se verifica pues: F i = fjj=1
i
!
Frecuencia relativa acumulada: es el cociente entre la frecuencia absolutaacumulada y el nmero total de datos u observaciones. Anlogamente a la anterior, los
valores de la variable deben de estar ordenados en forma creciente, es decir, la escala
debe de ser numrica o, al menos, ordinal.
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La ltima frecuencia relativa acumulada es 1. Generalmente la frecuencia relativa
acumulada del dato xi de la variable se representa por Fi, y verifica:
Hi =F i
n=
fjj=1
i
!
n
1.1.2.2 Propiedades de las frecuencias
1 La suma de las frecuencias absolutas coincide con tamao de la muestra:
fi
i
! = n
2 Todas las frecuencias absolutas son positivas y menores o iguales que n .
0 fi n
3 La suma de las frecuencias relativas es 1:
h i
i
! =1
4 Todas las frecuencias relativas son positivas y menores o iguales que 1:
0 hi n
5 La frecuencia absoluta acumulada correspondiente a un valor de la variable se
obtiene sumando la frecuencia absoluta acumulada del valor anterior, con la frecuencia
absoluta del dato.
DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS
Llamaremos distribucin de frecuencias al conjunto de los valores que toma una
variable, junto con sus frecuencias correspondientes. As pues, para determinar una
distribucin de frecuencias debemos conocer todos los valores xi de la variable y
cualquiera de las columnas de frecuencias (pues el paso de una a otra es inmediato).
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Distinguiremos dos tipos fundamentales de distribucin de frecuencias: las no
agrupadasen intervalos y las agrupadas en intervalos.
La distribucin de frecuencias no est agrupada en intervalos cuando cada valorde la variable tiene asociado su frecuencia. Pero ocurre frecuentemente, sobre todo en
variables de tipo continuo, que el nmero de valores distintos que toma la variable es
demasiado grande; en este caso, para mayor comodidad en el tratamiento de la
informacin, parece aconsejable agrupar esos valores en intervalos, teniendo en cuenta
que lo que ganamos en manejabilidad lo perdemos en informacin de la distribucin.
En la agrupacin en intervalos hay que tener en cuenta tres aspectos:
a) Que el mximo de informacin se obtiene en la recogida de datos y
que sta se pierde al agrupar en intervalos.
b) Las distribuciones agrupadas en intervalos no se presentan realmenteas, sino que es el investigador el que las agrupa para manejar mejor los
datos.
c) Al agrupar hay que tener en cuenta las frecuencias.
Un intervalo queda determinado por sus extremos y, en general, el intervalo i-
simo se representa por [Li-1,Li), donde Li es el extremo superior del intervalo y Li-1 el
extremo inferior del mismo.
Llamaremos amplitud del intervalo, ai, a la diferencia entre sus extremos superior
e inferior: ai = Li - Li-1
Esta amplitud puede ser constante para todos los intervalos, o variable, aunque es
ms cmodo que sea constante.
Cuando un investigador decide agrupar los datos en intervalos se encuentra con dos
cuestiones iniciales:
1.- Cmo se debe tomar la amplitud, constante o variable?
2.- Cuntos intervalos conviene tomar ?
La respuesta a estas pregunta depende de la naturaleza del problema, y aunque
hay muchas reglas escritas en los textos de estadstica, en la prctica suelen resultarestriles.
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Posteriormente se hace un recuento de los datos que corresponden a cada
intervalo, para determinar la frecuencia de cada uno de ellos. Aparece un problema
cuando un dato coincide con alguno de los extremos de los intervalos; como reglageneral, se toman los intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha [Li-
1,Li), es decir, se incluirn dentro del intervalo los datos que coincidan con el extremo
inferior del mismo, y se excluirn de ste los que coincidan con su extremo superior,
incluidos, por lo tanto, en el intervalo posterior. Para evitar este problema de incluir o
no incluir los datos en los intervalos, los extremos se suelen tomar con un decimal ms
que los de los datos, siendo, normalmente este decimal un 5.
Por ltimo cabe destacar que tomaremos como representante de cada intervalo su
punto medio, que denominaremos marca de clase, y designaremos por ci. As la marca
de clase del intervalo [Li-1,Li) ser:
ci =Li!1 + Li
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EJEMPLO 1.1:
Investigados los precios por habitacin de 50 hoteles de una ciudad, se han
obtenido los siguientes resultados:
7000 3000 5000 4000 5000 7000 4000 7500
8000 5000 5000 500 3000 7000 10000 15000
5000 7500 12000 8000 4000 5000 3000 5000
10000 3000 4000 5000 7000 5000 3000 4000
7000 4000 7000 5000 4000 7000 10000 7500
7000 8000 7500 7000 7500 8000 7000 7000
12000 8000
Determinar la distribucin de precios:
a) Sin agrupar en intervalos.
b) Agrupadas en 5 intervalos de amplitud constante.
Solucin:
a)
Precio (xi) en miles 3 4 5 7 7.5 8 10 12 15N de hoteles (fi) 5 7 10 11 6 5 3 2 1
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b)
Precio en intervalos marca de clase (xi) N de hoteles (fi)
[3000, 5500)[5500, 8000)
[8000, 10500)
[10500, 13000)
[13000, 15500)
42506750
9250
11750
14250
2217
8
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1.1.3 Representaciones grficas
La informacin proporcionada por las tablas de distribucin de frecuencias es
bastante completa, pero tiene la dificultad de que su lectura requiere un cierto tiempo y
capacidad de comparacin para relativizar la informacin de unas clases respecto de las
otras. Adems, en la experiencia del lector, al comenzar a leer un determinado artculo
(cientfico o no), su vista se dirige primero al ttulo, luego a los grficos y, finalmente, a
las tablas.
As pues, las representaciones grficas constituyen uno de los principales y ms
sencillos mtodos de exponer la informacin, por su capacidad de impactar al lector con
muy poco esfuerzo por su parte, dando una informacin rpida y global de los datos,
siendo tiles incluso al investigador, pues le permiten tener una idea general de los
resultados y, a veces, sugerir nuevas hiptesis.
1.1.3.1 Tipos de representaciones grficas
Los diversos tipos de grficos utilizados son:
1 DIAGRAMAS DE BARRAS PARA DISTRIBUCIONES DEFRECUENCIAS NO AGRUPADAS:
En un sistema de ejes de coordenadas cartesianas, se representan en el eje de
abscisas los valores de la variable, y en el de ordenadas las frecuencias. Posteriormente,
sobre cada valor de la variable se levanta una barra vertical de altura proporcional a la
frecuencia, ya sea absoluta o relativa.
Sobre el eje de abscisas la escala de medida puede ser cualquiera y no coincidir
con la escala del eje de ordenadas. Incluso el cero del eje de abscisas no tiene porque
coincidir con el cero de la medida utilizada.
EJEMPLO 1.2:
Supongamos una variable X que presenta los siguientes valores :xi = { a, e, i, o, u }
con las siguientes frecuencias: f1
= 1 f2
= 2 f3
=1 f4
= 3 f5
= 3,
correspondientes a las veces que aparecen dichas vocales en una frase.
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Construya el diagrama de barras correspondiente y el diagrama de barras
acumulado, o diagrama de escalera.
Solucin:
Podemos presentar entonces la siguiente tabla:
xi fi Fi hi Hi
a 1 1 0,1 0,1
e 2 3 0,2 0,3
i 1 4 0,1 0,4
o 3 7 0,3 0,7
u 3 10 0,3 1
El diagrama de barras correspondiente aparece en la figura 1.1:
.
0
1
2
3
4
VOCALESa e o ui
F
UENCIAS
Figura 1.1: Diagrama de brarras
Si lo que queremos representar son las frecuencias acumuladas, se procede igual
que en el caso anterior con los ejes cartesianos y levantando sobre cada valor de la
variable, una altura proporcional (igual) a la frecuencia acumulada, uniendo mediante
trazos horizontales el extremo de cada coordenada con el siguiente; este diagrama
recibe el nombre de diagrama de escalera (ver figura 1.2).
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Figura 1.2: Diagrama de barras acumulado. (Diagrama de escalera)
Los grficos de diagrama de barras y de escalera suelen utilizarse en variables de
tipo cualitativo, o en las de tipo cuantitativo discretas.
2 POLGONOS DE FRECUENCIAS PARA DISTRIBUCIONES DEFRECUENCIAS NO AGRUPADAS EN INTERVALOS:
Sobre unos ejes cartesianos, anlogos a los anteriores, se levanta en cada valor de
la variable una ordenada de altura igual a la frecuencia absoluta (o relativa) de dicho
valor, uniendo a continuacin con una poligonal dichas ordenadas. La primera ordenada
se une con el cero del eje de abscisas, teniendo en cuenta que si hay algn valor de la
variable con frecuencia cero tambin ha de ser considerado y unir dicho dato con los
anteriores.
Veamos el polgono de frecuencias del ejemplo anterior (ver figura 1.3):
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Figura 1.3: Polgono de frecuencias.
Anlogamente se procedera con las frecuencias acumuladas (ver figura 1.4).
.
VOCALES
FREC
UENCIASACUMULADAS
5
10
a e i o u
Figura 1.4.: Polgono de frecuencias acumulado.
Estos polgonos de frecuencias se utilizan cuando la variable es de tipo cualitativo
o cuando es de tipo cuantitativo discreta.
3 HISTOGRAMA PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIASAGRUPADAS EN INTERVALOS
Se construyen levantando, sobre cada intervalo de la variable, un rectngulo de
rea proporcional a la frecuencia absoluta de dicho intervalo. Si los intervalos son de
amplitud constante, las alturas de los rectngulos sern iguales a las frecuencias
absolutas respectivas, pues al ser las bases iguales las reas son proporcionales a las
alturas; pero si las amplitudes de los intervalos son diferentes, las alturas de losrectngulos deben calcularse dividiendo la frecuencia absoluta por la longitud del
intervalo; sta se puede representar por ai y vale pues:
ai =fi
ci
y de esta forma, el rea del rectngulo coincide con la frecuencia:
Si = ai ci =fi
ci
ci = fi
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La altura ai correspondera a la frecuencia correspondiente a cada unidad de
medida de la variable en cada intervalo, y se le conoce a veces, con el nombre de
densidad de frecuencia del intervalo.
EJEMPLO 1.3:
La distribucin del saldo de imposiciones en las Cajas de Ahorros viene dada en
la tabla siguiente:
Saldo N provincias
4-6,9
7-8,9
9-14,9
15-29,9
30-59,9
60-99,9
100
6
7
17
13
4
2
1
Representar el histograma correspondiente
Solucin:
Como los intervalos son de amplitud no constante, hay que calcular las alturas de
los mismos, obtenindose la siguiente tabla:
intervalos fi alturas Fi hi Hi Grados
4 -6.9 6 2 6 0.12 0.12 43.2
7 -8.9 7 3.5 13 0.14 0.26 50.49 -14.9 17 2.8 30 0.34 0.60 122.4
15 -29.9 13 0.8 43 0.26 0.86 93.6
30 -59.9 4 0.1 47 0.08 0.94 28.8
60 -99.9 2 0.05 49 0.04 0.98 14.4
100 1 0 50 0.02 1.00 7.2
Total 50 1.00 360.0
que da lugar al histograma de la figura 1.5:
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Figura 1.5: Histograma. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros).
4 POLGONO DE FRECUENCIAS PARA DISTRIBUCIONES DEFRECUENCIAS AGRUPADAS
Para construir este grfico se levanta en el extremo superior de cada intervalo una
ordenada igual a su frecuencia, uniendo a continuacin dichas ordenadas. La primera
ordenada se une al extremo inferior del primer intervalo, prolongando el polgono desde
ese punto a la izquierda sobre el eje x, y prolongando tambin por la derecha a partir del
extremo superior del ltimo intervalo, con una recta paralela al eje de abscisas. Suele
utilizarse esta representacin sobre todo en el caso de que las frecuencias sean
acumuladas. En este caso la altura correspondiente al extremo superior del ltimo
intervalo, coincide con n, si las frecuencias son absolutas, y con 1 si las frecuencias son
relativas.
EJEMPLO 1.4:
El polgono de frecuencias acumuladas para el ejemplo estudiado de las
distribuciones del saldo de las Cajas de Ahorros viene dado por el grfico que aparece
en la figura 1.6:
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Figura 1.6: Polgono de frecuencias acumuladas. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros).
En el caso de representar las frecuencias no acumuladas se procede de diferente
forma, uniendo los puntos medios de los lados superiores de los rectngulos del
histograma y prolongando por los extremos hasta cortar al eje X en los puntos medios
de las bases del primer y del ltimo rectngulo (ver figura 1.7).
5
4
3
2
1
2010 30 40 50 60 70 80 90 100
xi
Alturas
Figura 1.7: Polgono de frecuencias. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros).
El rea del polgono cerrado resultante es igual al rea de los rectngulos
formados mediante el histograma.
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A veces se representan en el mismo grfico el histograma y el polgono de
frecuencias.
5 DIAGRAMA DE SECTORES
Este caso, en una circunferencia se representan sectores circulares cuyo ngulo
central coincida con la frecuencia absoluta (no se puede utilizar para acumuladas) o
relativa del elemento, representando, mediante colores o incluyendo dentro de dicho
sector el nombre de la clase o elemento a representar. Vale tanto para frecuencias
agrupadas, como no agrupadas.
Previamente hay que calcular los grados que corresponde a cada elemento
multiplicando la frecuencia correspondiente a cada dato por el cociente entre 360 y el
total de datos:
g i = fi360
n
EJEMPLO 1.5:
Obtener el grfico de sectores correspondiente a los datos anteriores de las cajas
de ahorros:
Solucin:
intervalos fi alturas Fi hi Hi Grados
4 -6.9 6 2 6 0.12 0.12 43.2
7 -8.9 7 3.5 13 0.14 0.26 50.4
9 -14.9 17 2.8 30 0.34 0.60 122.415 -29.9 13 0.8 43 0.26 0.86 93.6
30 -59.9 4 0.1 47 0.08 0.94 28.8
60 -99.9 2 0.05 49 0.04 0.98 14.4
100 1 0 50 0.02 1.00 7.2
Total 50 1.00 360.0
y su representacin en sectores en la figura 1.8:
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Figura 1.8: Diagrama de sectores. (Saldo de imposiciones en Cajas de Ahorros).
EJEMPLO 1.6:
Los datos siguientes corresponden a gastos de inversin publicitaria en los pases
de la C.E.E. durante el ao 1.986
PASES INVERSIN(MILLONES $)
R.F.A
INGLATERRA
FRANCIA
ESPAA
HOLANDA
ITALIA
DINAMARCABLGICA
GRECIA
IRLANDA
8.234
6.915
4.663
3.000
2.970
2.846
1.084464
164
127
No se poseen datos de Portugal yLuxemburgo
Representar el correspondiente diagrama de sectores
Solucin:
El grfico de sectores aparece en la figura 1.9:
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INGLATERRA
FRANCIA
ESPA A
HOLANDA
ITALIA
DINAMARCA
IRLANDA
BELGICA
GRECIA
R.F.A
Figura 1.9: Diagrama de Sectores. Inversin publicitaria en la C.E. (datos de 1.986)
En este grfico se observa que cuando ciertos datos presentan una frecuencia baja,
en relacin con los dems, su sector circular seria no detectable visualmente, por lo que
se une con otros de frecuencias tambin bajas, dndole el nombre de "otros", o bien, si
es posible, indicando todos los elementos que lo forman.
6 PICTOGRAMAS
Son dibujos alusivos a la distribucin que se pretende estudiar y que mediante su
forma, tamao, etc., ofrecen una descripcin, lo ms expresiva posible, de la misma.
Consideremos el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 1.7:
Representar el pictograma correspondiente a la tabla de datos siuiente:PASES INVERSIN
(MILLONES $)BRASILMJICO
ARGENTINAVENEZUELA
CHILEPERU
COLOMBIAECUADORURUGUAY
BOLIVIAPARAGUAY
101.750100.00050.30035.88020.69014.30013.4307.5404.990
3.3401.890
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Solucin:
BRASIL MEXICO ARGENTINA VENEZUELA CHILE PERU ECUADOR URUGUAUBOLIVIA PARAGUAY
DEUDA EXTERNA
DE AMERICA LATINA
(Diciembre 1986)
COLOMBIA
Figura 1.10: Pictograma (Deuda externa de Amrica Latina)
En el caso anterior, el rea de la figura debe de ser proporcional a la frecuencia,
aunque existe tambin la posibilidad de que una figura represente un nmero
determinado de frecuencias, y entonces contenga este dato.
Este tipo de representacin suele utilizarse en las distribuciones cualitativas, como
por ejemplo en la siguiente:
EJEMPLO 1.8:
El censo ganadero espaol, en el mes de Septiembre de 1.977, segn fuentes del
Ministerio de Agricultura, era:
GANADO N DE CABEZAS(EN MILES)
BOVINO
OVINO
CAPRINO
PORCINO
EQUINO
4.538
14.539
2.206
9.804
762
TOTAL 31.846
Represente el correspondiente pictograma
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Solucin:
El correspondiente pictograma sera de la forma que aparece en la figura 1.11:
Figura 1.11: Pictograma (Censo ganadero espaol)
7 CARTOGRAMAS
Son los grficos realizados sobre mapas, representando el carcter estudiado en
ciertas regiones, sealando las zonas con distintos colores o tramas, poniendo de
manifiesto las diferencias existentes entre las regiones del plano. Se suelen utilizar para
representar densidades demogrficas de una nacin, la renta per capita, ndices de
lluvia, etc.
8 DIAGRAMAS DE PERFIL RADIAL:
Se toma un punto de partida y se trazan tantos radios como modalidades tenga la
variable estudiada y despus, sobre estos radios, se toma una distancia al centro
proporcional a la frecuencia de cada modalidad. Uniendo los puntos extremos de cada
radio se obtiene un polgono cerrado, que es el perfil radial.
En el ejemplo del censo ganadero en Septiembre de 1977 seria (ver figura 1.12):
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Equino
Caprino
Bovino
Porcino
Ovino
0 5000 10000
Figura 1.12: Perfil radial (Censo ganadero espaol)
9 DIAGRAMAS LINEALES
Se utilizan para mostrar las fluctuaciones de un determinado carcter estadstico
con el paso del tiempo. Interesa nicamente la altura de la lnea, referida a la base del
diagrama, que se levanta con una longitud proporcional al valor del carcter estudiado
en dicho mes.
Con frecuencia se aprovecha para representar sobre la misma escala varios
diagramas lineales muy relacionados entre s.
Por ejemplo, ingresos y gastos, nacimientos y defunciones, etc.
ENEROFEBRERO
MARZO
ABRILMAYO
JUNIOJULIO AGOSTO
SEPTIEMBRE
EVOLUCION DE LA
TASA DE INFLACION
6'0
6'36'2
5'8
4'9 4'94'5
4'4
0'7 1'1
1'7
2
1'9 1'9
2'9 2'9
3'8
6'0
EVOLUCION DEL IPC(Acumulado en 1987)
Figura 1.13: Diagrama lineal
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El grfico anterior (figura 1.13) reproduce un diagrama aparecido en DIARIO 16,
que expresa la evolucin del IPC y la tasa de inflacin durante los nueve primeros
meses del ao 1.987.
A veces se unen en un mismo grfico varios grupos para considerarlos
conjuntamente, compararles y observar donde las distribuciones coinciden o se separan,
permitiendo as un anlisis grfico comparativo.
As, el grfico siguiente (figura 1.14) muestra los polgonos de frecuencias
porcentuales correspondientes a las distribuciones de ingresos en familias de poblacin
blanca y negra en los Estados Unidos.
Poblacin
negra
Poblacin
blanca
Indice de
integracin=0'71
0
2'0
4'0
6'0
8'0
10'0
12'0
14'0
1000$ 2000$ 5000$ 10000$ 15000$ 25000$ 50000$
%
Figura 1.14: Polgonos de frecuencias porcentuales
-
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1.1.4 Medidas de tendencia central
Las tablas de distribuciones de frecuencia ofrecen toda la informacin disponible,
pero a veces, debido a su extensin nos encontramos con dificultades a la hora de su
interpretacin, por lo que interesa resumirla con el fin de facilitar, tanto su anlisis
como la comparacin entre distintas muestras o poblaciones. En este proceso de sntesis
se buscan valores que determinen el comportamiento global del fenmeno estudiado
Las medidas de sntesis de la distribucin se consideran operativas cuando:
a) Intervienen todos y cada uno de los elementos en su formacin.
b) Es siempre calculable.
c) Es nica para cada distribucin de frecuencias.
Estos valores se denominan medidas de posicin, en general son promedios de los
valores y pueden ser de tendencia central o no. Slo tienen sentido si la variable es
cuantitativa.
Entre las ms importantes estn la media aritmtica, la mediana, la moda y los
cuantiles; adems de stos, tambin estudiaremos la media geomtrica, la mediaarmnica, la media cuadrtica y la media aritmtica ponderada.
1.1.4.1 Media aritmtica
Se define como la suma de todos los valores de la distribucin, dividida por el n
total de datos. Si designamos por x i al valor de la variable X, que se repite fiveces, la
media aritmtica ser:
x =x1
nf1 +
x2
nf2+!+
xk
nfk =
xifii=1
k
!
n=
xifi
ni=1
n
! = x ih ii=1
k
!
-
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EJEMPLO 1.9:
Por ejemplo, sea la variable X que representa los pesos en kilogramos de 10
estudiantes y que presenta los valores:xi={ 54, 59, 63, 64 }
con las siguientes frecuencias fi={ 2, 3, 4, 1 }. Calcular la media aritmtica.
Solucin:
La media aritmtica vendr dada por:
x =54.2 + 59.3 + 63.4 + 64.1
10=108+177+ 252 + 64
10=601
10= 60.1Kg
En el caso de que las variables estuvieran agrupadas en intervalos no se podra
utilizar dicha expresin, por no saber el valor exacto de la variable, usndose en este
caso como xila marca de clase del intervalo.
Vemoslo con el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 1.10:
Consideraremos la siguiente tabla de distribucin de frecuencias:
Intervalo fi Marca de clase
30-40
40-50
50-60
3
2
5
35
45
55
Total 10
Calcular la media aritmtica de los datos
Solucin:
Resultar, segn la definicin dada, que
x =
x ifi
n! =35.3+ 45.2+ 55.5
10 = 47
-
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No obstante, y dado que la media aritmtica est muy influenciada por los valores
extremos de las observaciones, no siempre sirve para representar lo que ocurre en cada
una de stas, tal y como puede observarse en el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 1.11:
La tabla siguiente recoge el nmero total de goles marcados en los ocho primeros
campeonatos de liga de primera divisin correspondientes a las temporadas en que han
participado en el mismo 20 equipos:
Temporada Nmero de goles
87-88 909
88-89 868
89-90 921
90-91 822
91-92 913
92-93 954
93-94 989
94-95 966
Calcular e interpretar la media aritmtica.
Solucin:
Calculada la media aritmtica se observa que es 917,75; no obstante, este valor es
poco representativo de lo ocurrido en cada temporada, puesto que solamente en los aos
89-90 y 91-92 se obtuvo un nmero de goles prximo a dicho valor, mientras que en el
resto de temporadas se obtuvieron bastantes ms ( 92-93, 93-94 y 94-95 ) o bastantes
menos ( 87- 88, 88-89, 90-91).
Por otro lado qu sentido tiene decir que se marcaron 917,75 goles?, acaso hubo
alguna ocasin en la que solamente penetr en la portera el 75% del baln?.
-
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PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA:
1. La suma de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su media es 0.
x i ! x( )fii=1
k
" = x ifii=1
k
" ! x fii=1
k
" = n
x ifii=1
k
"
n! xn = nx ! xn = 0
2. Si a todos los valores de la variable les sumamos una constante k, la mediaaritmtica queda aumentada en esa constante.
Si consideramos la distribucin ( x
i
+ k, f
i
) su media ser:
x'= x i
' fi
ni=1
k
! = x i + k( )fi
ni=1
k
! = x ifi
ni=1
k
! + kfi
ni=1
k
! = x + k
3. Si a todos los valores de la variable los multiplicamos por una constante k, su mediaaritmtica queda multiplicada por esa constante.
Para demostrar esta propiedad basta considerar la distribucin ( xik , fi), su media
ser:
x' ' = x i' ' fi
ni=1
k
! = xik( )fi
ni=1
k
! = k xifi
ni=1
k
! = kx
4. Si a una variable X le efectuamos una transformacin lineal de la forma Y = aX + b,con a y b constantes, la media de la nueva variable queda afectada por dicha
transformacin lineal:
y = ax + b
La demostracin es consecuencia inmediata de las propiedades 2 y 3 de la
media.
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VENTAJAS E INCONVENIENTES
Como ventajas de utilizar la media aritmtica como un promedio para sintetizar
los valores de la variable podemos citar las siguientes:
- Considera todos los valores de la distribucin.
- Es siempre calculable (en variable cuantitativa).
- Es nica.
Como inconvenientes de la utilizacin de la media aritmtica cabe citar que, a
veces, puede dar lugar a conclusiones errneas, cuando la variable presenta valores muy
extremos, que influyen mucho en la media, hacindola poco representativa.
1.1.4.2 Media aritmtica ponderada
Se calcula esta media aritmtica cuando cada valor de la variable tiene asociado
una ponderacin o un peso, distinto de la frecuencia, y que le haga tener ms o menos
importancia en la distribucin.
En este caso si el dato xi tiene un peso wi, su media ponderada sera:
xp =
xiwii=1
k
!
wii=1
k
!
Si cada dato presenta una frecuencia fi, la media ponderada sera:
xp =
xifiwii=1
k
!
fiw ii=1
k
!
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EJEMPLO 1.12
Veamos un ejemplo de un estudiante que realiza tres exmenes de media hora,
una hora y una hora y media respectivamente, obteniendo unas puntuaciones de 50, 80
y70.
Por la duracin de los exmenes cabra atribuirles las ponderaciones de 1, 2 y 3
respectivamente.
xi 50 80 70
Ponderacin 1 2 3
Calcular la puntuacin media del alunno.
Solucin:
Obtendramos la siguiente media aritmtica ponderada:
x =50.1+ 80.2 + 70.3
1 + 2 + 3=420
6= 70
1.1.4.3 Media geomtricaSe define como la raz n-sima del producto de todos los n valores de la
distribucin:
G = x1
f1x2
f2!x
k
fkn
Tomando logaritmos quedara: logG =1
n fi logx i
i=1
k
!"
#$
%&'
Es decir, el logaritmo de la media geomtrica es la media aritmtica de los logaritmos
de los valores. En su clculo se suele utilizar esta propiedad.
Veamos, por ejemplo, cmo calcular la renta media durante varios periodos de
tiempo.
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EJEMPLO 1.13
Si invertimos 100.000 pts al 3% durante un ao, al 5% durante otro ao y al 8%
durante un tercero, cul es la renta media a la que est invertido el dinero durante los
tres aos?.
Solucin:
Cabra esperar que la solucin fuera la media aritmtica de las tres rentas, es decir
el 5%, pero la realidad es otra; en efecto:
Teniendo en cuenta que:
C 1 + rm( )3=C 1+ r1( ) 1 + r2( ) 1+ r3( )
Se verificar que
1+ rm = 1 + r1( ) 1 + r2( ) 1+ r3( )3
Es decir, que 1+rm es la media geomtrica de las rentas de cada anuales,
expresadas en tanto por uno, ms uno.
En nuestro problema: 1+ rm = 1.03!1.05!1.083
= 1.0497 es decir, el rdito medio
es del 4,97% ( media geomtrica de los rditos anuales ), y no el 5% como pareca ser.
Veamos otro ejemplo en el que interese utilizar logaritmos.
EJEMPLO 1.14
Sea una clase de 22 nios, cuya talla se distribuye del modo siguiente:
Talla en cm. 100 120 125 140Frecuencia 10 5 4 3
Calcular la talla media
Solucin:
La media geomtrica sera:
G = 10010
!1205
!1254
!140322
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Para calcular el valor de G tomaremos logaritmos, de manera que:
logG =1
2210 log100+ 5 log120 + 4 log125+ 3 log140( ) =
=1
2245.22193 = 2.05554
G = anti log2.05554 = 113.6cm
La media geomtrica tiene una ventaja sobre la media aritmtica y es que es
menos sensible a los valores extremos.
Como inconvenientes principales sealar que tiene un significado estadsticomenos intuitivo que la media aritmtica, su clculo es difcil y a veces no se puede
calcular (si un valor de la variable es 0).
1.1.4.4 Media armnica
Se define como el inverso de la media aritmtica de los inversos de los valores de
la variable. Es decir:
A =n
1
xi
fii=1
k
!
Como ventajas podemos mencionar que intervienen todos los valores de la
variable y que, en ciertos casos, es ms representativa que la media aritmtica.
Como inconvenientes hay que citar la gran influencia de los valores pequeos y
que a veces no se puede calcular (si un valor de la variable es 0). Se suele utilizar para
promediar velocidades, tiempos, etc.
EJEMPLO 1.15:
Supongamos un mvil que efecta un recorrido de 100 km, en dos sentidos. En unsentido va a una velocidad constante v1 = 60 Km/h y en el otro tambin circula a una
velocidad constante v2=70 Km/h y, por tanto, diferente de la anterior.
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Calcular la velocidad media del recorrido total debemos calcular la media
armnica.
Solucin:
En este caso, si queremos calcular la velocidad media debemos calcular la media
armnica.
v =espacio
timpo=
2s
t1 + t2
Pero
t1 =
s
v1=
100Km
60 Km h
t2 =s
v 2
=
100 Km
70Km h
Luego, sustituyendo, obtenemos que:
v =2s
t1 + t2
=200Km
100 Km
60Km h+
100Km
70 Km h
=2 Km
1
60 h+
1
70h
= 64.62Km h
RELACION ENTRE LAS MEDIAS
La relacin existente entre estas tres medias es:
H ! G ! x cuando las tres medias existen.
1.1.4.5 Mediana
Es el valor de la distribucin que, una vez ordenados los valores de la variable de
menor a mayor, deja igual nmero de frecuencias a su izquierda que a su derecha, es
decir, el valor que ocupa el lugar central. Puede entenderse tambin como aquel valor
cuya frecuencia absoluta acumulada es n/2.
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DATOS SIN AGRUPAR
N impar de trminosSi la distribucin est sin agrupar, y hay un n impar de trminos, la mediana ser
el que ocupa la posicin central. Por ejemplo, si los valores de la variable son
{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
la mediana sera Me = 3
N par de trminosPero si hay un n par de trminos habra dos trminos centrales y se toma como
mediana la media aritmtica de ellos. Por ejemplo, si los valores de la variable son{1 , 2 , 5 , 7 , 9 , 10 , 13 , 14}
La mediana seria: M e =7 + 9
2= 8
DATOS CON FRECUENCIAS
Variable discretaSi los datos presentan diferentes frecuencias, el mtodo ms prctico es buscar en
la columna de frecuencias acumuladas n/2.
EJEMPLO 1.16:
Si la distribucin es:
xi fi Fi1 3 32 4 75 9 167 10 2610 7 3313 2 35
Total 35
Calcular la mediana
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Solucin:
n
2=
35
2=17.5
La mediana es Me = 7, puesto que desde el que ocupa el lugar 17 hasta el de lugar
26 todos los valores son 7.
Es decir, si Fi-1 < n/2 < Fi, entonces, Me = xi
Variable continua o datos agrupados en intervalosEn el caso de estar la distribucin agrupada en intervalos (sean o no de la misma
amplitud) al buscar el valor que ocupa el lugar n/2 nos encontramos con un intervalo, el
intervalo mediano, y no con un dato. Para determinar un nico representante de dicho
intervalo como mediana, determinaremos el elemento que en el polgono de frecuencias
acumuladas toma de frecuencia n/2.
Figura 1.15: Polgono acumulativo de frecuencias para el clculo de la Mediana
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En el grfico de la figura 1.15 se observa la forma de determinar la mediana.
La mediana vale:
Me = Li-1 + m
Como los tringulos ABC Y AB'C' son semejantes, resulta que:
AC
AC'=
BC
B' C'
es decir:
m
ci
=
n
2!F i!1
Fi ! Fi!1
por lo tanto:
m =
n
2! Fi!1
fi
ci
De lo anterior se deduce que la Mediana se calcula de la siguiente forma:
Me = Li!1 +
n
2! Fi!1
fi
ci
VENTAJAS E INCONVENIENTES
Como ventajas de la mediana podemos citar que no est influida por los valores
extremos como en el caso de la media, y adems tiene sentido en casos de
distribuciones en escala ordinal (datos que pueden ser ordenados), siendo la medida ms
representativa de estos por describir la tendencia central de los mismos.
Como inconvenientes puede ser la determinacin de sta en los casos de variables
agrupadas en intervalos.
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EJEMPLO 1.17:
Sea la siguiente distribucin de salarios y calculemos el salario mediano.
Clase Salario anual N de obreros N acumuladode obreros
12345
20000 a 2500025000 a 3000030000 a 3500035000 a 4000040000 a 45000
100150200180
41-------671
100250450630671
Solucin:
Tenemos quen
2=
671
2= 335.5, valor que nos indica que el salario anual mediano
pertenece a la tercera clase.
La amplitud del tercer intervalo es ci= 5000, luego:
Me = 30000+ 335.5! 250
2005000 = 3000 + 2137.5
es decir, Me = 321375
1.1.4.6 Moda
Es el valor de la variable que ms veces se repite en una distribucin de
frecuencias, es decir, el que tiene mayor frecuencia absoluta.
Para calcular la moda, en el caso que la distribucin no est agrupada o est agrupada en
intervalos, se procede de forma diferente:
DISTRIBUCIN SIN AGRUPAR EN INTERVALOS DE CLASE
La moda es el valor ( o valores ) que presenten mayor frecuencia absoluta.
-
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37
EJEMPLO 1.18:
Consideremos la siguiente distribucin:xi 1 2 5 7 10 13fi 3 4 9 10 7 2
Observando la fila de frecuencias, se ve que Mo = 7
Puede ocurrir que una distribucin presente ms de una moda (bimodal, trimodal,
etc.), e incluso que presente una moda absoluta y alguna moda relativa. Las
representaciones serian (ver figuras 1.16 y 1.17):
Figura 1.16: Representacin de una distribucin con una nica moda y otra bimodal
Figura 1.17: Modas en una d istribucin bimodal
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DISTRIBUCIN AGRUPADA EN INTERVALOS DE CLASE
Si la distribucin est agrupada en intervalos, se proceder de forma diferente
segn que la amplitud sea constante o no.
Amplitud constanteSi la amplitud es constante, la mxima frecuencia nos determina un intervalo, el
intervalo modal, pero hay que seleccionar un valor de ese intervalo que haga el papel de
moda. En este caso hay varios criterios: unos seleccionan el extremo inferior del
intervalo, otros el extremo superior y otros la marca de clase, pero habr que tener en
cuenta que la moda estar ms cerca del intervalo contiguo de mayor frecuencia.
Figura 1.18: Histograma para el clculo de la Moda
Es claro que Mo = Li-1 + m . Veamos la determinacin de "m".
Dado que los tringulos OAA' y OBB' son semejantes por tener los ngulos
iguales, se puede establecer la proporcin:
OQ
PO=BB'
AA'!
OQ
PO+1 =
BB'
AA'+1!
OQ + PO
PO=BB' +AA'
AA'
invirtindola resulta:
-
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PO
OQ + PO=
AA'
BB' +AA'!
m
ci "m( ) + m=
d1
d1+ d2
siendo d1, d2 las diferencias de frecuencias absolutas entre el intervalo modal y los
intervalos anterior y posterior respectivamente. Por lo tanto la moda valdra:
Mo = Li!1 +d1
d1 + d2
ci
EJEMPLO 1.19:
Calculemos la Moda de la siguiente distribucin:
Intervalo Frecuencia0 - 2525 - 3050 - 7575 - 100
2040
10060
Total 220
Solucin:
El intervalo modal es el 50 - 75, y como
d1 = 100 - 40 = 60 , d2 = 100 - 60 = 40
resulta que Mo = 50+60
60 + 4025 = 50+15 = 65
Amplitud no constanteSi la amplitud de los intervalos es variable, teniendo en cuenta que la altura del
rectngulo indica la densidad de frecuencia, el intervalo modal ser el que tenga mayor
densidad de frecuencia, es decir mayor altura.
EJEMPLO 1.20:
Calculemos la Moda de la siguiente distribucin:
-
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40
Intervalo fi ci ai4 -77 - 9
9 - 1515 - 3030 - 6060 - 100
ms de 100
67
1713421
32
6153040--
23,5
2,80,80,10,05---
Total 50
Solucin:
Primero se procede a buscar la mayor altura:
ai = fi / ci
Se contina como en el caso anterior sustituyendo la frecuencia por la altura.
El intervalo modal es el 7-9, y por lo tanto:
d1 = 3,5 - 2 = 1,5
d2 = 3,5 - 2,8 = 0,7
As la moda ser:
Mo = 7+1.5
1.5+ 0.725 = 7 +1.36 = 8.36
VENTAJAS E INCONVENIENTES
Como ventajas de la moda cabe citar que cuando la distribucin es de escala
nominal (no susceptible de ordenacin) es la medida ms representativa, pues no es
posible hacer operaciones con sus observaciones, y por tanto no se pueden calcular las
otras medidas. Adems igual que la mediana, no viene influida por los valores extremos
de la variable.
Como inconveniente cabe citar el modo de calcularla en los casos de variablesagrupadas en intervalos y el hecho de que utiliza un nico dato de la distribucin.
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Calculemos en un ejemplo la media aritmtica, la moda y la mediana de una
distribucin para hacernos una idea de cul de ellas es la medida de centralizacin ms
representativa en la situacin estudiada.
EJEMPLO 1.21:
El sueldo anual de los 25 trabajadores de una empresa viene expresado en la
tabla siguiente:
Director 10.000.000 pts.Gerente 6.000.000 pts.
Dos ingenieros 4.000.000 pts. cada uno.
Tres peritos 2.500.000 pts. cada uno.
Cinco encargados 2.000.000 pts. cada uno.
Contable 1.800.000 pts. cada uno.
Resto plantilla 1.300.000 pts. cada uno.
Calcular la media, la moda y la media y efectuar un estudio comparativo de losresultados.
Solucin:
Calculando la media aritmtica de los sueldos vemos que es de 2.356.000 pts.
cantidad que, adems de no ser el sueldo de ningn empleado de la compaa, da una
idea poco aproximada de la realidad, toda vez que la mayora de los trabajadores ganan
bastante menos de esa cantidad.
La moda, por su parte, vale 1.300.000 pts., mientras que la mediana es 1.800.000
pts. Estas dos medidas indican ms claramente la situacin en la empresa, siendo la
moda la que mejor resume la situacin.
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1.1.5 Medidas de posicin nocentrales
Estos valores no reflejan ninguna tendencia central, sino una posicin de la
distribucin, dividindola a sta en partes iguales. Cabe citar entre los de uso ms
frecuente: cuartiles, deciles y percentiles.
1) Los cuartiles son tres valores que dividen a la distribucin en cuatro partes
iguales, estando en cada una de ellas el 25% de sus observaciones. Se indican con Qi.
2) Los deciles son nueve valores que dividen a la distribucin en diez partesiguales, estando en cada una de ellas el 10% de las observaciones. Se indican por Di.
3) Los percentiles son noventa y nueve valores que dividen a la distribucin en
cien partes iguales, dejando un 1% de las observaciones entre cada dos de ellos
consecutivos. Se nombran por Pi.
Hay que tener en cuenta algunas relaciones entre ellos, como son:
Me = Q2 = D5 = P50
Q1 = P25 ; Q3 = P75
D1 = P10 ; D2 = P20 ; D3 = P30 ; D4 = P40 ; D6 = P60
Para el clculo de todos los cuantiles el proceso es anlogo al clculo de la
mediana, sustituyendo n/2 por r.n/k, siendo r el orden del cuantil y k las partes en que
dicho cuantil divide a la distribucin. As en los cuartiles k = 4 y r = 1, 2, 3 ; en los
deciles k = 10 y r = 1, 2,....., 9, y en los percentiles k = 100 y r = 1, 2, 3,....., 99.
Se procede pues buscando en las frecuencias acumuladas el valor de rn/k, y si la
distribucin est agrupada, el cuantil r/k ser:
C r k = Li!1 +
rn
k! F i!1
fi
ci
-
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VENTAJAS E INCONVENIENTES
Las ventajas e inconvenientes son las mismas que los de la mediana.
EJEMPLO 1.22:
En el ejercicio de la distribucin de salarios, calculemos Q1, Q3, D4, P88
Solucin:
Para Q1: como 1.671/4 = 167,75 , el intervalo del primer cuartil es el 25000 - 30000
Q1 = 25000 +
6714
!100
1505000 = 25000+ 2258.3 = 27258.3
Para Q3: como 3.671/4 = 503,25 ,el intervalo del tercer cuartil es el 35000 - 40000
Q3 = 35000 +
3671
4! 450
1805000 = 35000 +1479.16 = 36479.16
Para D4: como 4.671/10 = 2684 , el intervalo del cuarto decil es el 30000 - 35000
D4 = 30000 +
4671
4! 2500
2005000 = 30000+ 460 = 30460
Para P88: como 88.671/4 = 590,48, el intervalo del percentil ochenta y ocho es el 35000
- 40000
P88 = 35000+
88671
4! 450
1805000 = 35000+ 3902.2 = 38902.2
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1.1.6 Medidas de dispersin
En el apartado anterior hemos definido una serie de medidas de tendencia central,
cuyo objetivo era tratar de sintetizar toda la informacin disponible, pero cabe
preguntarse posteriormente si esa medida es o no representativa de la distribucin de
frecuencias.
Si consideramos dos variables X e Y con distribuciones:
xi 0 500 1000 yi 499 501
fi 1 1 1 fi 1 1
Las medias son :
x =0 + 500 +1000
3= 500 y =
499 + 501
2= 500
Las dos medias son iguales y sin embargo las dos distribuciones son muy
diferentes pues los valores de X estn mucho ms dispersa que los de Y.
As pues, para intentar medir la representatividad de una determinada medida
debemos de cuantificar la separacin de los valores de la distribucin respecto de dicha
medida. As pues, resulta necesario que, para completar la informacin de un promedio
(por ejemplo media aritmtica), ste vaya acompaado de uno o varios coeficientes que
nos midan el grado de dispersin de la distribucin de la variable con respecto a l.
Distinguiremos dos tipos de medidas de dispersin: absolutas y relativas.
1.1.6.1 Medidas de dispersin absoluta
Cabe citar entre stas el recorrido, el recorrido intercuartlico, la desviacin
media, la varianza y la desviacin tpica. Todas son referidas en general a un
promedio.
-
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45
RECORRIDO O RANGO:
Hemos dicho ya que ste es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la
distribucin:
Re = Max (xi) - Min (xi)
Si este recorrido es pequeo respecto al nmero de datos puede entenderse que
existe poca dispersin.
Tiene el inconveniente de que se ve totalmente influenciado por los valores
extremos (con los que se calcula).
RECORRIDO INTERCUARTLICO:
Es la diferencia existente entre el tercer y el primer cuartil
RI = Q3 - Q1
En esta medida se suprimen el 25% superior e inferior de la distribucin, y por lo
tanto no se ve influenciado por los valores extremos, y nos indica la longitud del
intervalo en el que estn el 50% central de los valores
En algunos casos se utiliza el recorrido semiintercuartlico que se define como
la mitad del recorrido intercuartlico.
RSI = (Q3 -Q1)/2
DESVIACIN MEDIA:
Esta medida de dispersin hace referencia a un promedio, cosa que no hacen las
anteriores; puede entenderse como la media de las desviaciones de los datos de la
variable respecto al promedio utilizado; no obstante, para evitar que las desviaciones
positivas queden compensadas por las negativas y que esta desviacin media resulte
igual a 0, (que nos hara pensar que no hay dispersin) se utiliza el valor absoluto de la
desviacin de los datos respecto del promedio.
As se definir la desviacin media respecto de la media como:
-
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Dx = x i ! xfi
ni=1
k
"
Tambin se puede utilizar la desviacin media respecto de la mediana como:
DMe = x i !Mefi
ni=1
k
"
Las dos nos indicaran la dispersin de los datos respecto del promedio utilizado,
en el caso de que sta fuera grande el promedio sera poco representativo.
VARIANZA:
Se define como la media de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la
variable respecto de la media aritmtica, es decir:
s2= xi ! x( )
2 fi
n= x i ! x( )
2h i
i=1
k
"i=1
k
"
Se utiliza el cuadrado para lograr que todas las desviaciones sean positivas; nosindica la mayor o menor dispersin de los valores de la variable respecto de la media
aritmtica, y por lo tanto, su representatividad.
Tiene el inconveniente de no venir expresada en las mismas unidades que la
variable, sino en el cuadrado de las mismas, por ello se utiliza ms la siguiente.
DESVIACIN TPICA O ESTNDAR:
Se define como la raz cuadrada positiva de la varianza, es decir:
s = x i ! x( )2 fi
ni=1
k
" = x i ! x( )2hi
i=1
k
"
Al ser la raz cuadrada de la varianza viene expresada en las mismas unidades que
la variable, lo que la hace ms apta como medida de dispersin que la varianza, siendo
en la actualidad la ms utilizada.
-
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A menudo, en lugar de dividir entre el tamao de los datos, n, se divide entre n-1,
obtenindose la llamada cuasivarianza:
s2 = xi ! x( )2 f
in!1i=1
k
"
y cuasidesviacin tpica:
s = xi ! x( )2 fi
n !1i=1
k
"
Siendo la relacin entre la varianza y la cuasivarianza la siguiente:
s2=
n
n !1s2
PROPIEDADES DE LA VARIANZA Y DE LA DESVIACIN TPICA:
La varianza y la desviacin tpica no pueden ser negativas, por ser suma decuadrados:
s2 0, s 0
Si en una distribucin le sumamos a todos los valores de la variable unaconstante, la varianza y la desviacin tpica no varan.
Si en la distribucin (xi fi) de media x = xifi
ni=1
k
! , y de varianza
s2= xi ! x( )
2 fi
ni=1
k
" sumamos a todos los elementos una constante k, obtenemos otra
distribucin de variable x'i = xi + k .
Como, x' = x + k resulta que la varianza de la nueva distribucin ser:
-
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s'2= xi
' ! x'( )2 fi
ni=1
k
" = xi + k( )! x ! k( )[ ]2 fi
ni=1
k
" =
= xi ! x( )2 fi
ni=1
k
" = s2
es decir, que la varianza no varia, y por lo tanto, la desviacin tpica tampoco.
Si en una distribucin multiplicamos a todos los valores de la variable poruna constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante y la
desviacin tpica queda multiplicada por la constante.
En efecto:
Si tomamos la distribucin x i''= kx i teniendo en cuenta que x' = kx , resulta que
la varianza de la nueva distribucin vale:
s' '2= x i
' ' ! x' '( )2 fi
ni=1
k
" = kx i + kx( )fi
ni=1
k
" =
= k2
xi ! x( )2 fi
ni=1
k
" = k2s2
y por ser la desviacin tpica la raz cuadrada de la varianza queda:
s' '= s' '2= k
2s2= ks
CLCULO PRCTICO DE LA VARIANZA*
En la prctica, al calcular la varianza conviene tener en cuenta la siguiente
expresin:
* La media, la varianza y la desviacin tpica las proporciona directamente cualquiercalculadora de bolsillo, luego nomerece la pena hacer perder tiempo al alumno
escribiendo tablas con xifi etc.
-
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49
s2= xi ! x( )
2 fi
ni=1
k
" = x i2 ! 2xix + x
2( )fi
ni=1
k
" =
= xi2 fi
ni=1
k
" ! 2x x ifi
ni=1
k
" + x2 fi
ni=1
k
" = x i2 fi
ni=1
k
" ! 2x2+ x
2= x
2 ! x2
Veamos el clculo de la varianza y desviacin tpica en los ejemplos 1.9 y 1.10:
xi fi
54
59
63
64
2
3
4
110
x = x ifi
ni! = 60.1Kg
s2 = s2= xi
2 fi
ni=1
k
! " x = 36247/10 -(60,1)2 = 3624,7 - 3612,01 = 12,69 Kg2
s = 12.69 = 3,5623 Kg.
En el ejemplo de datos agrupados en intervalos es:
Intervalo marca de
clase
fi
30-40
40-50
50-60
35
45
55
3
2
510
x = 470/10 = 47
S2 = 22850/10 -(47)2 = 2285 - 2209 = 76
S = 76 = 8,718
-
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1.1.6.2 Medidas de dispersin relativas
En el caso de intentar comparar la dispersin de dos distribuciones mediante
alguna de las medidas de dispersin halladas antes, no podramos efectuar talcomparacin porque las distribuciones, en general, no vendrn dadas en las mismas
unidades y tampoco porque los promedios en general tambin sern diferentes. Por ello,
para poder comparar las dispersiones, es preciso definir medidas de dispersin
adimensionales.
Entre stas se encuentra el coeficiente de variacin de Pearson.
COEFICIENTE DE VARIACIN DE PEARSON:
Es el cociente entre la desviacin tpica y el valor absoluto de la media aritmtica.
CV =s
x
Este coeficiente es adimensional luego permite comparar las dispersiones de dos
distribuciones diferentes.
A menudo se le suele utilizar en forma de porcentaje, empleando CV =s
x100
Obviamente, a mayor CV menor es la representatividad de x , pues la desviacin
tpica ser mayor comparada con la media.
1.1.7 MomentosExisten dos tipos de momentos:
1.1.7.1 Momentos centrales (respecto a la mediaaritmtica)
-
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Se define el momento central de orden r respecto de la media aritmtica x como
la media aritmtica de las potencias de orden r de las desviaciones de los datos respecto
de la media:
m r= xi ! x( )rf
i
ni=1
k
"
En particular, se verifica que:
- El momento central de orden 0 vale 1:
m0 = x i ! x( )0 fi
ni=1
k
" =fi
ni=1
k
" =n
n= 1
- El momento central de orden 1 vale 0:
m1 = x i ! x( )1 fi
ni=1
k
" = x ifi
ni=1
k
" ! xfi
ni=1
k
" = x! xn
n= 0
- El momento de orden 2 es la varianza.
1.1.7.2 Momentos con respecto al origen
Se define el momento de orden r con respecto al origen como la media aritmtica
de las potencias de orden r de los datos de la variable:
ar = xir fi
ni=1
r
!
Como casos particulares cabe destacar:
- El momento de orden 0 vale 1:
a0 = x i0 fi
ni=1
k
! " xfi
ni=1
k
! = 1
- El momento de orden 1 es la media aritmtica
-
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Existe una relacin entre los dos momentos, que nos da una forma reducida de
calcular la varianza:
s2 = m2 = x i ! x( )2 f
ini=1
k
" = x i2fini=1
k
" ! x2 = a2 ! a12
-
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1.1.8 Medidas de forma
Para tratar de conocer una distribucin no basta con conocer sus medidas de
dispersin y de posicin, sino que es necesario, en general, conocer algunos aspectos
ms de la misma.
Dado que la diversidad de comportamientos de las xi de la distribucin se haca
ms patente al realizar la representacin grfica, vamos a tratar de determinar a
continuacin ms medidas, segn la "forma" de la representacin; clasificaremos estas
medidas en dos grupos: medidas de asimetra y medidas de curtosis o apuntamiento.
1.1.8.1 Medidas de asimetra
Tienen por objeto establecer el grado de simetra (o asimetra) de una distribucin
sin necesidad de realizar la representacin grfica.
Entenderemos la simetra respecto al eje determinado por la media aritmtica, de
tal forma que diremos que una distribucin es simtrica cuando los valores de la
variable equidistantes de este valor central tengan la misma frecuencia, en casocontrario diremos que es asimtrica, siendo esta asimetra negativa o a izquierda si es
ms larga la rama de la izquierda, es decir, las frecuencias descienden ms lentamente
por la izquierda que por la derecha; analogamente llamaremos asimetra positiva o a
derechas aquella en que la rama de la derecha es ms larga, es decir las frecuencias
descienden ms lentamente por la derecha que por la izquierda.
COEFICIENTE DE ASIMETRA DE FISHER
Debemos buscar ahora una medida adimensional que recoja las desviaciones
positivas y negativas de los valores respecto de la media.
La figura 1.19 nos muestra las distintas distribuciones:
-
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Mo
g1
>0
x_
g = 01
Distribucin simtrica Distribucin asimtricaa la derecha
Mo
g 0
si la curva tiene asimetra negativa o a izquierdas, m3 < 0
Para que no tenga dimensin debemos dividirla por una medida con las mismas
unidades (cbicas), obtenindose el coeficiente de asimetra de Fisher.
-
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g1 =m3
s3 =
x i ! x( )3 fini=1
k
"
x i ! x( )2 fini=1
k
"
#
$%
&
'(
3
2
Siendo su interpretacin:
Si g1 > 0 la distribucin es asimtrica positiva o a derecha.
Si g1 = 0 la distribucin es simtrica.
Si g1 < 0 la distribucin es asimtrica negativa o a izquierda.
COEFICIENTE DE ASIMETRA DE PEARSON
Otra medida de asimetra es el coeficiente de asimetra de Pearson definido por:
Ap =x !Mo
s
Teniendo en cuenta que si la curva es simtrica, x = Me = Mo, si la distribucin
es asimtrica positiva o a derechas x > Mo y si la distribucin es asimtrica negativa o
a izquierdas x < Mo, su interpretacin ser:
Ap= 0 la distribucin es simtrica.
Ap > 0 la distribucin es asimtrica positiva (derechas)
Ap< 0 la distribuciones asimtrica negativa (izquierdas)
Tiene el inconveniente de que no puede utilizarse en distribuciones bimodales, por
ello Pearson demostr empricamente que
x ! Mo " 3 x !Me( )
por lo que algunos autores utilizan como coeficiente de asimetra de Pearson
Ap =3 x ! Me( )
s
Existen otros tipos de coeficientes de asimetra, pero son menos utilizados.
-
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1.1.8.2 Medidas de curtosis o apuntamiento
Estas medidas, aplicadas a distribuciones unimodales simtricas o con ligera
asimetra, tratan de estudiar la distribucin de frecuencias en la zona central, dandolugar a distribuciones muy apuntadas, o poco apuntadas.
Para estudiar el apuntamiento, debemos hacer referencia a una distribucin tipo
que consideraremos la distribucin "Normal"; sta corresponde a fenmenos muy
corrientes en la naturaleza cuya representacin grfica es la campana de Gauss.
Si una distribucin tiene mayor apuntamiento que la normal diremos que es
"leptocrtica", si tiene menor apuntamiento que la normal la llamaremos "platicrtica",y a las que tengan igual apuntamiento que la normal las llamaremos "mesocrticas".
Veamos esto en unas figuras 1.20a y b:
Figura 1.20: Diferentes distribuciones segn su apuntamiento. Comparacin con la Normal
En la distribucin normal m4 = 3.s4, por lo tanto utilizaremos como coeficiente de
apuntamiento o curtosis.
g2 =m 4
s4 =
xi ! x( )4 fini=1
k
"
x i ! x( )2 fi
ni=1
k
"#
$%
&
'(
2
siendo la interpretacin la siguiente:
-
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Si g2 > 3 la curva es ms apuntada que la normal (leptocrtica).
Si g2 = 3 la curva tiene el mismo apuntamiento que la normal (mesocrtica).
Si g2 < 3 la curva es menos apuntada que la normal (platicrtica).
A veces se utiliza como coeficiente de curtosis:
g2 =m 4
s4 ! 3
y la comparacin ser con 0, obtenindose:
g2 = 0 (mesocrtica).g2 > 0 (leptocrtica).
g2 < 0 (platicrtica)
NOTA: El clculo de m3 y m4 es ms prctico utilizando las frmulas:
m3
= a3
- 3a2a1
+ 2a13
m4
= a4
- 4a3a1
+ 6a2a12 - 3a
14
siendo a1 = x .
1.1.9 Medidas de concentracin
Aunque "dispersin" y "concentracin" tengan significados opuestos en el
lenguaje coloquial, en estadstica no coincide el concepto de concentracin con la
acepcin normal del vocablo.
La "dispersin" hace referencia a la variabilidad de los datos, a las diferencias
existentes entre ellos y la representatividad de los promedios.
La "concentracin", por su parte, se refiere al mayor o menor grado de igualdad
en el reparto de todos los valores de la variable.
Estas medidas de concentracin tienen especial aplicacin a variables econmicas
(rentas, salarios, etc.), pues lo que interesa es la mayor o menor igualdad en el repartoentre los componentes de la poblacin, es decir, que est equitativamente repartida.
-
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Llamaremos, pues, concentracin al grado de equidad en el reparto de la suma
total de la variable considerada.
La concentracin es mxima si uno solo de los elementos recibe el total de la
variable, mientras que la concentracin ser mnima o equidistribuida si todos los
elementos perciben la misma cantidad.
Entre los ndices de concentracin que estudiaremos se encuentran el ndice de
Gini y la curva de Lorenz.
1.1.9.1 Curva de Lorenz
Es una representacin grfica de la concentracin.
Llamando
ur = xifii=1
r
! , pr =F r
n100 , qr =
ur
n100
Si representamos los valores pren el eje de abscisas y los valores qi en el eje de
ordenadas, dibujando en el cuadrado de lado 100 los puntos pi y qi, y unindolos, queda
determinada una poligonal llamada "curva de Lorenz".
Vemoslo en un ejemplo econmico (tengamos en cuenta que lo anterior no es
aplicable a todo tipo de variables):
Supongamos que tenemos k trabajadores, con salarios x1 x2 ... xk ordenadosen sentido creciente. Queremos saber como se reparte la suma total de salarios
S = x ii=1
k
!
entre los k trabajadores.
La concentracin es mxima si x1= x2= ........= xk-1 = 0; xk = S es decir, un solo
trabajador recibe todo y el resto nada.
-
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La concentracin es mnima si x1 = x2 = .........= xk, es decir, todos los
trabajadores reciben lo mismo.
Para determinar el ndice de concentracin se forman las columnas siguientes:
1- xifi que denota el salario recibido por los ni trabajadores.
2- Fi columna de frecuencia absolutas acumuladas.
3- ur, acumulador de la primera columna que denota el salario total recibido
por los Fr primeros trabajadores, siendo su valor ur = xifii=1
r
!
4- pr, que es la frecuencia relativa acumulada en tantos por 100:
pr =Fr
n100
5- qr, que es el porcentaje del salario total que reciben los N i primeros
trabajadores:
qr =ur
n100
Si la concentracin fuese mnima, pr = qr igualmente repartida.
Si la concentracin fuese mxima, q1 = q2 =..........= qk-1 = 0, qk = 100
La representacin de la curva de Lorenz sera:
-
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Figura 1.21: Curva de Lorenz
Los casos extremos nos daran las siguientes grficas (figura 1.22 y b):
pi %
qi %
Distribucin de concentracin mnima pi %
qi %
Distribucin de concentracin mxima
(a) (b)
Figura 1.22: Casos extremos de concetracin
Como propiedades de esta curva de Lorenz pueden citarse las siguientes:
- La curva es siempre creciente, pues la ordenacin de salarios es de menor a mayor.
- La curva empezar en el origen O = (0,0) y terminar en el (100,100)B
- La curva est siempre situada por debajo de la diagonal.
- La concentracin ser menor cuanto ms prxima est la curva de Lorenz a la
diagonal.
1.1.9.2 ndice de Gini
Se define el ndice de concentracin de Gini por :
IG =
p i ! q i( )i=1
k!1
"
pii=1
k!1
"
-
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Si la concentracin es mnima (pi = qi) vale 0 y si la concentracin es mxima
(q1 = q2 =........= qk-1 = 0) vale 1.
As pues el ndice de Gini varia de 0 a 1, siendo menor la concentracin y en
consecuencia ms justa y equitativa la distribucin cuanto ms prximo est a cero,
mientras que la concentracin ser mayor cuanto ms prximo est a 1 (Ver figura
1.23).
Por ltimo cabe sealar, que aunque el ndice de Gini tiene la ventaja de resumir
en un solo nmero lo recogido en la curva de Lorenz, a veces, dos distribuciones de
aspectos muy diferentes pueden tener dos ndices de concentracin de Gini iguales,
como indican las curvas de la figura 1.23.
Figura 1.23: Diferentes curvas de Lorenz
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"REPRESENTACIONES GRAFICAS"
1.2 Ampliacin
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Quizs fuese interesante, presentar el tema de las representaciones grficas
al alumno, mediante una introduccin desde la perspectiva del lenguaje
grfico y de su utilidad y difusin en el mundo que nos rodea. Sera una
buena forma de motivarle para que prestase atencin sobre la importanciade saber leer de forma correcta los grficos ms usuales.
1.2.1 El lenguaje grfico
El lenguaje grfico es el "conjunto de smbolos y convenios que permiten
comunicar una informacin cuantitativa de la manera ms eficiente posible"
(GETE-ALONSO y del BARRIO, 1990).
Este lenguaje se sirve de numerosos signos y smbolos que han evolucionado con
el tiempo y que encontramos en casi todas las manifestaciones de la actividad humana,
emplendose para expresar de manera rpida y sucinta ideas, objetos y situaciones, en
muchas ocasiones con significado universal.
1.2.1.1 El lenguaje grfico en la vida cotidiana
Si nos detenemos un momento a pensar en el mundo que nos rodea vemos como
el lenguaje grfico se utiliza en absolutamente todo nuestro entorno (figura 1.24).
Lo encontramos en las instrucciones de lavado de cualquier prenda de vestir, en la
informacin sobre los transportes metropolitanos de cualquier ciudad, en las teclas que
hacen funcionar los electrodomsticos, en los mapas de carreteras, en la informacin
acerca de la calidad y categora de restaurantes y hoteles, en las seales que regulan el
trfico, en elparte diario acerca del estado del tiempo, en los emblemas y distintivos de
organizaciones y sociedades, etc. etc.
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Figura 1.24.- Importancia y actualidad del lenguaje grfico(Tomada de AVILA-ZARZA, 1993)
1.2.1.2 El lenguaje grfico como herramienta decomunicacin social
Hace ya tiempo que las representaciones grficas abandonaron las publicaciones
especializadas, en las que se utilizan como herramienta de comunicacin y anlisis dedatos estadsticos, para pasar a formar parte de las herramientas de comunicacin social
(televisin, prensa, propaganda...).
La generalizada utilizacin de las representaciones grficas es sin duda
sorprendente.
Podemos encontrarlas en billetes, como el de diez Marcos alemanes de la figura
1.25, en el que aparece representada la curva normal de Gauss.
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Figura 1.25: Billete de diez marcos alemanes, en el que est impresala Curva Normal de Gauss
Tambin es posible encontrarlas ya en obras dirigidas al gran pblico, cuya
nica intencin es entretener. As ocurre, por ejemplo, con la conocida novela de ficcin
"Parque Jursico" (CRICHTON, M. 1990-92) en la que un Diagrama de perfil - (ver
figura 1.26) sirve de base argumental.
Figura 1.26.
Esto se debe a que sin duda, y cada vez con mayor intensidad, nos vemos
inmersos en una "sociedad estadstica", entendiendo como tal aqulla en la que los
ciudadanos piensan, razonan y toman decisiones en base a anlisis estadsticos de
datos.
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Aunque en Espaa la Estadstica dista an de ocupar un lugar como el que, por
ejemplo, tiene en un pas como Japn, donde los peridicos de mayor difusin e
importancia incluyen los viernes una seccin dedicada al control estadstico de calidad y
en el que, por ejemplo, el diagrama horario del tren de Tokio se presenta mediante unclsico Steam and Leaf(ROMERO, 1991)* , somos en la actualidad espectadores de un
cambio significativo.
Cada vez en mayor medida se recurre a datos y anlisis estadsticos para transmitir
la informacin, siendo los Mtodos Grficos de carcter descriptivo la herramienta de la
que no se puede prescindir**.
Un claro ejemplo de esta situacin de transicin, se produjo a raz de las
elecciones generales realizadas en los dos ltimos comicios en nuestro pas, donde no
slo los resultados de las encuestas, sino tambin los aspectos relacionados con aqullas
eran objeto de anlisis estadstico, siendo los mtodos grficos las autnticas estrellas
en la transmisin de la informacin.
1.2.2 El poder de los mtodos grficos
"Una imagen vale ms que mil palabras"***. No slo el lenguaje grfico
es importante; el poder de las representaciones grficas es un hecho.
La visin es la modalidad sensorial dominante del ser humano; nuestro cerebro
est altamente capacitado para el manejo de informacin visual, siendo capaz de
reconocer y procesar imgenes grficas con una simple inspeccin ocular.
As, est comnmente aceptado por la comunidad cientfica que, en general, unarepresentacin grfica proporciona mayor informacin acerca de las caractersticas y
patrones de los datos, que un texto o una presentacin tabular de los mismos.
* Nos preguntamos, cuntos lectores en Espaa, sin y con conocimientos estadsticosbsicos podran ser capaces de interpretar uno similar...?.** Todo ello ha motivado no sacrificar en el apartado de mtodos grficos la inclusin
de aqullos, que an no siendo histricamente recientes, son an "grandesdesconocidos".*** Provervio Chino
-
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1.2.2.1 Los riesgos del Anlisis de Datos sin lautilizacin de grficos
LOS DIAGRAMAS DE ANSCOMBE
El peligro de llevar a cabo anlisis de datos sin la utilizacin de grficos puede
ponerse de manifiesto con los conocidos Diagramas de Anscombe (ANSCOMBE,
1973) (ver figura 6.19), los cuales evidencian cmo cuatro grupos de datos que
producen idnticas rectas de Regresin (incluida la ordenada en el origen y la
pendiente), idnticos coeficientes de correlacin e idnticos errores estndar,
corresponden en realidad a casos muy diferentes.
Como seala TUKEY (1962), gran parte del poder e importancia de los
Mtodos Grficos, es que nos permiten percibir aquello que nunca
esperbamos ver.
1.2.2.2 Los grficos como herramienta de engao
ESPACIO PERCEPTIVO Y ESPACIO MATEMTICO EUCLDEO
A pesar de la reconocida importancia y poder del lenguaje grfico, el proceso
perceptivo y cognoscitivo que se produce durante la inspeccin de un grfico no es del
todo conocido.
En las Matemticas los espacios se construyen a partir de unos axiomas, y se
describen y definen por una geometra. Hay varios tipos de espacios matemticos,
definidos por sus correspondientes geometras (topolgico, proyectivo, afn,
eucldeo...). El ms conocido y utilizado, es el Espacio Eucldeo.
El espacio fsico en el que vivimos, puede considerarse aproximadamente, y
teniendo en cuenta el alcance de nuestra percepcin, como un espacio matemtico
eucldeo. Admitir que el espacio fsico es eucldeo no equivale a que el perceptual lo
sea, y as, aun no est claro que la idea subjetiva de distancia, por ejemplo, coincida con
la distancia fsica definida en relacin con las coordenadas rectangulares. Segn
VURPILLOT (1979), el espacio visual binocular es un espacio de curvatura negativa
al que la geometra hiperblica de Lobatchefsky describra de forma ms adecuada.
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Sin embargo, y a pesar de esta controversia acerca de si el espacio perceptivo
coincide con en el espacio matemtico eucldeo, es ste -por aproximacin al espacio
fsico- el que generalmente utilizamos para representar el mundo.
No obstante, representadas en un espacio Eucldeo, las cosas no son siempre
aquello que parecen ser.
Como seala PINILLOS (1973 ) "En realidad, lo que ocurre es que la mente
humana funciona como una totalidad, y no son los sentidos, sino el sujeto, quien
percibe".
ILUSIONES GEOMTRICAS
Lo que acabamos de comentar se pone especialmente de manifiesto en las
conocidas distorsiones perceptivas o ilusiones geomtricas. (Ver figura 1.27a y b)
Fig. 1.27 (a): Ilusin de Mller-Lyer (dos rectas de igual longitud, parecen de diferente tamao(b): Ilusin de PoggendorfLas lneas oblicuas son colineales
Estas distorsiones perceptivas, conocidas ya a principios de siglo, deberan ser
tenidas en cuenta en el contexto de los Mtodos Grficos. Son sin embargo pocos losestudios experimentales realizados que examinan el papel de las distorsiones
perceptivas (ilusiones geomtricas) en relacin con la utilizacin de los grficos, y la
mayora de ellos no son conocidos por el usuario medio, como afirman SPENCE &
LEWANDOWSKY (1990).
POULTON (1985) ha investigado ilusiones similares a la clsica de Poggendorf,
mediante experimentos que sugieren que las relaciones de lneas inclinadas sobre los
ejes vertical y horizontal de los grficos pueden producir errores de lectura, que seincrementan a medida que aumenta la distancia a los ejes.
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SOLUCIONES PARA MITIGAR LAS ILUSIONES GEOMETRICAS
POULTON (1985) propone:
que los todos los grficos muestren los cuatro ejes.
que todos los ejes estn graduados.
INCONVENIENTES DE LAS REPRESENTACIONES GRFICAS
Las representaciones grficas tienen ventajas, pero tambin sus inconvenientes. La
frase "una imagen vale ms que mil palabras" podra cambiarse por esta otra "una imagen
miente ms que 1000 nmeros" (SWOBODA, 1975).
Las representaciones grficas deberan proporcionar con una sola mirada
aquella idea del material estadstico que vena dada por la comparacin de
muchos nmeros y datos.
Pero... no siempre es as. Los errores y malentendidos surgen cuando el lector es
distrado o no est suficientemente preparado y adquiere una idea que no se
corresponde con los datos originales.
10000
9000
8000
7000
6000
I II III IV(a)
9500
9000
8500
8000
7500
I II III IV
(b)
I/II II/III III/IV
9%
8%
7%
6%
5%
(c)
Figura 1.28: La ascensin lenta de la curva (a) pone de manifiesto un crecimiento moderado. Los mismos datospueden expresar un crecimiento explosivo y optimista (b). Se puede obtener una curva ascendente primero, y
descendente despus si se toman los ndices de crecimiento de uno a otro perodo en lugar delos nmeros absolutos (c). (Adaptada de SWOBODA, 1975).
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No se pueden juzgar nunca las imgenes solas, sino que siempre
deben considerarse tambin los nmeros y las escalas.
1.2.3 Representaciones grficasms usuales
1.2.3.1 Introduccin
El artculo publicado por TUKEY en 1962, "The Future of Data Analysis", fue elgermen que proporcion un inusitado auge de Mtodos Grficos en la Estadstica,
inaugurando una nueva era en este campo, al otorgarles un papel central en anlisis
exploratorios.
Sin embargo, la importancia y protagonismo que entonces se prevea, no lleg a
hacerse realidad hasta ms tarde. Fue en la dcada de los 70 cuando aparecen
publicaciones sobre el tema, tanto histricas (ROYSTON, 1970), como de
recapitulacin (FIENBERG, 1977), o de carcter novedoso (CHERNOFF, 1973;
TUKEY, 1977). Incluso tiene lugar un Simposio sobre el tema (WANG &
LAKE,1978).
La aparicin, desarrollo y generalizada utilizacin de los ordenadores fue y es, sin
duda, la causa fundamental.
1.2.3.2 Clasificacin
Existen diversos criterios para clasificar los mtodos de representacin grfica:
SNEE & PFEIFER (1985), siguiendo el criterio del propsito del mtodo, realizan
una clasificacin de los distintos mtodos grficos en tres grandes grupos:
-Grficos utilizados en Anlisis Exploratorios.
-Grficos usados en Anlisis Confirmatorios.
-Grficos para la Comunicacin y/o Presentacin de los resultados.
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Esta clasificacin de los Mtodos Grficos, resulta de un gran atractivo por su
sencillez y didctica.
En la figura 1.29 podemos ver un esquema sobre de las fases del mtodo cientficoen donde tienen cabida las representaciones grficas.
Figura 1.29: Posible implementacin de los mtodos grficos en el procesodel Anlisis de Datos, segn NAGEL & DOBBERKAU (1988)
ALONSO (1982) realiza una clasificacin en funcin de la finalidad estadstica y
las caractersticas tcnicas de los distintos mtodos grficos. En ella, stos son
clasificados en cuatro grupos de tcnicas.
-Tcnicas de Representacin Grfica de la distribucin de Probabilidad,para una o varias variables.
-Tcnicas que proporcionan el Perfil (o evolucin) a lo largo del tiempo, odel espacio, etc., de una o varias variables, bien para individuos, bien parapoblaciones.
-Tcnicas que presentan las proximidades entre individuos y poblaciones,de acuerdo con los valores que toman para varias variables.
-Tcnicas que permiten obtener grupos jerarquizados de individuos opoblaciones, en base a los valores que toman para varias variables.
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En base al procedimiento grfico y la tcnica estadstica subyacente, en el
Anlisis Multivariante pueden distinguirse claramente dos grandes grupos de tcnicas
grficas:
Mtodos Multivariantes Grficos (MMG).Mtodos Grficos Multivariantes(MGM).
Los Mtodos Multivariantes Grficos son potentes herramientas de diagnosis basadas
en el anlisis de grandes matrices de datos, que mediante complejos procesos
algebraicos asentados sobre mtodos numricos, permiten representar la informacin
del hiperespacio de partida en un subespacio de dimensiones reducidas.
Evidentemente se trata de procedimientos sumamente interesantes, pero queescapan al contenido del presente captulo.
Los Mtodos Grficos Multivariantes slo exigen efectuar una transcripcin
geomtrica de los datos correspondientes a un conjunto de variables, en una
representacin grfica.
Este tipo de mtodos permiten resumir la informacin, y constituyen directamente
un procedimiento grfico descriptivo. Entre ellos tenemos:
Diagramas de Dispersin Mltiple.
Figuras de Representacin (Grficos Pictoriales o Iconos).
Curvas de Andrews.
Estos mtodos sern tratados con mayor profundidad ms adelante. (Ver figura
1.30)
1.2.3.3 Representaciones grficas en el anlisismultivariante
MTODOS GRFICOS UNIVARIANTES MULTIPLES
Muchas de las representaciones utilizadas en anlisis multivariante no son en s
mismas multidimensionales ya que, a pesar de ser un conjunto de grficas que forman
una representacin unitaria, cada una de ellas por separado slo muestra una dimensin(o a lo sumo dos) de los datos referidos a varias variables o dimensiones. Desde ellas no
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se puede mostrar una variacin comn. Son por ello Mtodos Grficos Univariantes
Mltiples, ms que multivariantes.
Evidentemente, son muchas las posibilidades que permiten las representacionesunivariantes en el anlisis de los datos correspondientes a varias variables. Sin embargo,
estas representaciones no difieren en sus caractersticas de los mtodos grficos
univariantes pero debido a su importancia, popularidad y utilizacin en todos los
mbitos, merece la pena hacer referencia a tres tcnicas:
Stem & leaf,Box-plot*
Diagrama de dispersin**.
Curvas de Andrews Mapas Estadsticos
Grficos Pictoriales
o Figurativos
Diagrama de Dispersion
Mltiple
Figura 1.30: Algunos Mtodos Grficos Multivariantes(Tomado de AVILA-ZARZA (1993) con permiso del autor)
Stem & leaf
* Ambos son mtodos grficos de gran utilidad en la comparacin de dos o ms series
de datos, de ah su importancia dentro del anlisis multivariante** Mediante esta representacin grfica es como generalmente se presentan losresultados en la mayora de los mtodos multivariantes grficos (MGM).
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La representacin Stem & Leaf*** es una representacin intermedia entre
una tabla y un grfico. Muestra los valores con cifras, aunque su perfil es el
de un histograma.
Este tipo de representacin se debe a TUKEY (1977). (Ver figura 1.31).
Construccin de un diagrama Steam & Leaf
1.- Se debe escribir a la izquierda de una lnea vertical, de arriba hacia abajo,
todos los posibles dgitos principales del conjunto de datos.
2.- Luego se representa cada dato a la derecha de la lnea, escribiendo sus dgitos
secundarios en la fila apropiada.
Lectura del grfico
La longitud de cada fila nos muestra el nmero de valores en cada intervalo, por
lo que representa esencialmente un histograma lateral, solventando una limitacin del
histograma, ya que permite identificar los valores originales de cada intervalo.
La figura siguiente (figura 1.31) muestra el grfic
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