derivadas. mΓ©todo de incremento o regla de los 4 pasos
Post on 16-Mar-2018
18.980 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Tema: La derivada
Autor: Erick Vicente Yagual Guevara
Sea π(π₯) una funciΓ³n, se define a su derivada
πβ(π₯), como:
πβ π₯ = limβπ₯β0
π π₯ + βπ₯ β π(π₯)
βπ₯
Para toda π₯ , siempre que el lΓmite exista y se
representa por:
π¦β², πβ² π₯ ,ππ¦
ππ₯π π·π₯π¦
InterpretaciΓ³n geomΓ©tricaEl valor de la derivada en cualquier punto de la curva es
igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.
Donde:
βπ₯: πππππππππ‘π ππ π₯βπ¦: πππππππππ‘π ππ π¦
En la grΓ‘fica se observa que la pendiente de la recta L
es:
ππ‘ =βπ¦
βπ₯=π π₯ + βπ₯ + π(π₯)
βπ₯
Si βπ₯ tiende a cero, la recta πΏ coincide con πΏπ‘, entonces
la pendiente deπΏπ‘, serΓ‘ el lΓmite de ππ‘.
limβπ₯β0
ππ‘ = limβπ₯β0
βπ¦
βπ₯= lim
βπ₯β0
π π₯ + βπ₯ + π(π₯)
βπ₯
Por definiciΓ³n, la derivada es:ππ¦
ππ₯= lim
βπ₯β0
π π₯ + βπ₯ + π(π₯)
βπ₯
Regla de los 4 pasos
Sea una funciΓ³n π¦ = π(π₯), entonces:
1. Agregar el incremento en x e y.
π¦ + βπ¦ = π π₯ + βπ₯
2. Despejar βπ¦ y se le resta la funciΓ³n original.
βπ¦ = π π₯ + βπ₯ β π π₯
3. Dividir para βπ₯.
βπ¦
βπ₯=
π π₯+βπ₯ βπ π₯
βπ₯
4. LΓmite cuando βπ₯ tiende a cero.
ππ¦
ππ₯= lim
βπ₯β0
βπ¦
βπ₯= lim
βπ₯β0
π π₯+βπ₯ βπ π₯
βπ₯
1.- Hallar la derivada mediante la regla de los 4 pasos
para la siguiente funciΓ³n:
π = ππ
π¦ + βπ¦ = (π₯ + βπ₯)2
π¦ + βπ¦ = π₯2 + 2π₯βπ₯ + (βπ₯)2
βπ¦ = π₯2 + 2π₯βπ₯ + (βπ₯)2βπ¦βπ¦ = π₯2 + 2π₯βπ₯ + (βπ₯)2β π₯2
βπ¦ = 2π₯βπ₯ + (βπ₯)2
βπ¦
βπ₯=
2π₯βπ₯
βπ₯+(βπ₯)2
βπ₯βπ¦
βπ₯= 2π₯βπ₯ + βπ₯
limβπ₯β0
βπ¦
βπ₯limβπ₯β0
2π₯ + βπ₯ = 2π₯ + 0 = ππ
πβ² π₯ = ππ πΉ/.
2.- Encuentra la derivada de la funciΓ³n π π =ππβπ
π+π,
aplica la definiciΓ³n.
π¦ + βπ¦ =2(π₯ + βπ₯) β 1
π₯ + βπ₯ + 5
βπ¦ =2(π₯ + βπ₯) β 1
π₯ + βπ₯ + 5β2π₯ β 1
π₯ + 5
βπ¦ =π₯ + 5 2π₯ + 2βπ₯ β 1 β (2π₯ β 1)(π₯ + βπ₯ + 5)
(π₯ + βπ₯ + 5)(π₯ + 5)
βπ¦
βπ₯=
π₯ + 5 2π₯ + 2βπ₯ β 1 β (2π₯ β 1)(π₯ + βπ₯ + 5)(π₯ + βπ₯ + 5)(π₯ + 5)
βπ₯
βπ¦
βπ₯=
2π₯3 + 2π₯βπ₯ β π₯ + 10π₯ + 10βπ₯ β 5 β (2π₯3 + 2π₯βπ₯ + 10π₯ β π₯ β βπ₯ β 5)
βπ₯(π₯ + βπ₯ + 5)(π₯ + 5)
βπ¦
βπ₯=
2π₯3 + 2π₯βπ₯ β π₯ + 10π₯ + 10βπ₯ β 5 β 2π₯3 β 2π₯βπ₯ β 10π₯ + π₯ + βπ₯ + 5
βπ₯(π₯ + βπ₯ + 5)(π₯ + 5)
βπ¦
βπ₯=
11βπ₯
βπ₯(π₯ + βπ₯ + 5)(π₯ + 5)
limβπ₯β0
βπ¦
βπ₯
limβπ₯β0
11
(π₯ + βπ₯ + 5)(π₯ + 5)= lim
βπ₯β0
11
(π₯ + 0 + 5)(π₯ + 5)= lim
βπ₯β0
11
(π₯ + 5)(π₯ + 5)
πβ² π =ππ
(π + π)ππΉ/.
3.- ΒΏCuΓ‘l es la derivada de la funciΓ³n π = π + π?
Nota: En este ejercicio utilizamos la conjugada.
π¦ + βπ¦ = π₯ + βπ₯ + 2
βπ¦ = π₯ + βπ₯ + 2 β π + π
βπ¦
βπ₯=
π₯ + βπ₯ + 2 β π + π
βπ₯
βπ¦
βπ₯=
π₯ + βπ₯ + 2 β π + π
βπ₯β
π₯ + βπ₯ + 2 + π₯ + 2
π₯ + βπ₯ + 2 + π₯ + 2
βπ¦
βπ₯=( π₯ + βπ₯ + 2)2β( π + π)2
βπ₯( π₯ + βπ₯ + 2 + π₯ + 2)
βπ¦
βπ₯=
π₯ + βπ₯ + 2 β (π₯ + 2)
βπ₯( π₯ + βπ₯ + 2 + π₯ + 2)=
π₯ + βπ₯ + 2 β π₯ β 2
βπ₯( π₯ + βπ₯ + 2 + π₯ + 2)
βπ¦
βπ₯=
βπ₯
βπ₯( π₯ + βπ₯ + 2 + π₯ + 2)=
1
( π₯ + βπ₯ + 2 + π₯ + 2)
limβπ₯β0
βπ¦
βπ₯
limβπ₯β0
1
( π₯ + βπ₯ + 2 + π₯ + 2)= lim
βπ₯β0
1
( π₯ + 0 + 2 + π₯ + 2)= lim
βπ₯β0
1
( π₯ + 2 + π₯ + 2)
πβ² π =π
π π + ππΉ/.
Ejercicios Propuestos
Deriva las siguientes funciones, utilizando la regla de
los 4 pasos.
1.- π = ππ + π2.- π = ππ
3.- π =ππ
πβπ
4.- π =π
ππ
5.- π π = π β π
6.- π =π
π
7.- π π = ππ + π
1.- π¦β² = 32.- π¦β² = 3π₯2
3.- π¦β² = β2
(π₯β1)2
4.- π¦β² = β6
π₯3
5.- πβ² π₯ =1
2 π₯β2
6.- π¦β² = β1
π₯ π₯
7.- πβ² π₯ =π₯
π₯2+4
top related