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ISSN 2316-9664Volume 10, dez. 2017

Graziane Sales TeodoroUniversidade Federal de Lavrasgraziane.teodoro@ufla.br

Edmundo Capelas de OliveiraUniversidade Estadual deCampinascapelas@ime.unicamp.br

Derivadas fracionarias: criterios para classificacaoFractional derivatives: criteria for classification

ResumoO calculo fracionario tem se mostrado importante e, em muitoscasos, imprescindıvel na discussao de problemas de diversas areasda ciencia, ganhando popularidade e importancia consideraveisdurante as ultimas tres decadas. Existe mais de uma formulacaopara a derivada fracionaria e esse numero de definicoes vem au-mentando, sendo cada uma delas mais adequada a um contextofısico. No entanto, alguns questionamentos surgem naturalmente:1) Todas essas derivadas realmente podem ser consideradas deri-vadas fracionarias? 2) Quais propriedades essas devem satisfazerpara serem classificadas como tal? Caminhando nessa direcao,em 1974, Ross propos um criterio, composto por cinco propri-edades, que um operador deve satisfazer para que este possa serchamado de derivada fracionaria. Em 2015, Ortigueira e Machadoreformularam esse criterio tendo em vista a necessidade de umaderivada fracionaria satisfazer a generalizacao da regra de Leib-niz. A fim de exemplificar um operador que satisfaz o criterioproposto por Ortigueira e Machado, apresentamos a derivada deRiemann-Liouville.Palavras-chave: Calculo Fracionario. Criterios. Derivada deRiemann-Liouville.

AbstractFractional calculus has been proved important and, in many cases,it is essential for discussing problems in various areas of science.The subject of fractional calculus has gained considerable popula-rity and importance during the past three decades. There is morethan one formulation for the fractional derivative and the num-ber of definitions is increasing, each one being more suited to aphysical context. However, questions that arise naturally are: 1)Could all these derivatives be considered fractional derivatives?and 2) Which properties they must satisfy to be classified as frac-tional derivatives? Going in this direction, Ross in 1974, propo-sed a criterion, composed of the five properties, that an operatormust satisfy to be considered a fractional derivative. Ortigueiraand Machado in 2015 reformulated this criterion due to the ne-cessity of a fractional derivative to satisfy the generalization ofthe Leibniz rule. In order to exemplify an operator that satisfiesthe criterion proposed by Ortigueira and Machado, we showed theRiemann-Liouville derivative.Keywords: Fractional Calculus. Criteria. Riemann-LiouvilleDerivative.

Edicao ErmacIniciação Científica

1 IntroducaoEm 1695, numa famosa carta, l’Hopital pergunta a Leibniz o significado de uma derivada de

ordem meio, com a resposta de Leibniz, temos o inıcio do calculo fracionario. A partir de entao,o calculo fracionario chamou a atencao de outros importantes matematicos, tais como, Euler,Laplace, Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Laurent entre outros. Devido as contribuicoes destese de outros matematicos, a teoria de operadores generalizados atingiu um nıvel de formalismosuficiente para dar inıcio aos estudos mais modernos (CAMARGO, 2009). O calculo fracionariotem se mostrado importante na discussao de problemas advindos de diversas areas do conheci-mento. Uma vantagem de sua utilizacao em aplicacoes e a sua propriedade nao-local, ou seja, oproximo estado de um sistema nao depende apenas de seu estado atual, mas sim de todos os seusestados anteriores, traduzindo assim melhor a realidade da natureza.

O calculo fracionario vem ganhando popularidade e importancia consideravel nas ultimastres decadas devido principalmente a suas aplicacoes atraentes em campos da ciencia e engenha-ria (SCHERER et al, 2011). Ha um grande numero de formulacoes para derivada fracionaria(OLIVEIRA; MACHADO, 2014) e esse numero vem aumentando (RODRIGUES; OLIVEIRA,2015). Com isso nos deparamos com a seguinte questao: Que criterios um operador deve satis-fazer para que este possa ser considerado uma derivada fracionaria?

A fim de responder esse questionamento Ross (ROSS, 1975) propoe cinco propriedades queum operador deve satisfazer para poder ser considerado uma derivada fracionaria, sao elas:

1. A derivada fracionaria de uma funcao analıtica e analıtica;

2. A derivacao fracionaria, quando a ordem e um inteiro positivo n, n ∈ N, deve produzir omesmo resultado da n-esima derivacao ordinaria e quando a ordem e um inteiro negativo−n, n ∈ N deve produzir o mesmo resultado da repeticao n-esima da integracao ordinaria;

3. A derivada de ordem zero de uma funcao e a propria funcao;

4. A derivada fracionaria e um operador linear;

5. A lei dos expoentes DαDβ f (x) = Dα+β f (x) e satisfeita para α < 0 e β < 0. (Usaremos anotacao Dα para representar uma derivada fracionaria de ordem α).

Ortigueira e Machado reformularam o criterio proposto por Ross tendo em vista a necessidadeda derivada fracionaria do produto de duas funcoes satisfazer a regra de Leibniz em sua versaofracionaria (ORTIGUEIRA; MACHADO, 2015). Esse novo criterio tambem e constituıdo decinco propriedades, sao elas:

1. A derivada fracionaria e um operador linear;

2. A derivada de ordem zero de uma funcao e a propria funcao;

3. A derivacao fracionaria, quando a ordem e um inteiro positivo n, n ∈ N, deve produzir omesmo resultado da n-esima derivacao ordinaria e quando a ordem e um inteiro negativo−n, n ∈ N deve produzir o mesmo resultado da repeticao n-esima da integracao ordinaria;

4. A lei dos expoentes DαDβ f (x) = Dα+β f (x) e satisfeita para α < 0 e β < 0;

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p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664gsteco1019 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

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5. Vale a generalizacao da regra de Leibniz, a saber, Dα( f (x)g(x))=∞

∑k=0

(α

k

)Dk f (x)Dα−kg(x),

sendo(

α

k

)=

Γ(α +1)Γ(α− k+1)k!

.

Um exemplo de operador que satisfaz as cinco propriedades do criterio de Ortigueira e Ma-chado e a derivada de Grunwald-Letnikov.

Definicao 1 A derivada de Grunwald-Letnikov de ordem α de uma funcao f e definida atravesdo limite de uma serie, a saber,

Dα f (x) = limh→0

1hα

∞

∑k=0

(−1)k(

α

k

)f (x− kh).

Os autores apresentaram essa derivada bem como mostraram que esta satisfaz tais criterios(TEODORO; OLIVEIRA, 2017). Essa formulacao tem grande importancia em problemas nume-ricos (CAMARGO; OLIVEIRA, 2015) e esta baseada na generalizacao da diferenciacao or-dinaria.

Na proxima secao apresentaremos a derivada fracionaria de Riemann-Liouville bem comomostraremos que ela satisfaz o criterio proposto por Ortigueira e Machado.

2 Derivada de Riemann-Liouville

A derivada fracionaria de Riemann-Liouville e definida atraves de uma derivada de ordeminteira de uma integral fracionaria, sendo assim introduzimos, primeiro, a definicao de integralfracionaria.

Definicao 2 A integral fracionaria de Riemann-Liouville de ordem α de uma funcao f causal edada por,

Jα f (t) =1

Γ(α)

∫ t

0f (τ)(t− τ)α−1dτ, (1)

sendo Re(α)> 0, t > 0 e J0 = I, sendo I o operador identidade.

Podemos escrever a integral fracionaria, Eq.(1), como um produto de convolucao das funcoesf e φα , denotado por ∗, sendo a funcao φα conhecida como funcao Gel’fand-Shilov e dada por

φα(t) =

tα−1

Γ(α), se t > 0,

0, se t ≤ 0.

Portanto, podemos escrever

Jα f (t) =1

Γ(α)

∫ t

0f (τ)(t− τ)α−1dτ = φα(t)∗ f (t).

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Apresentamos agora a definicao da derivada fracionaria de Riemann-Liouville.

Definicao 3 Sejam α um numero complexo tal que Re(α) > 0 e m o menor inteiro maior queRe(α), assim m− 1 < Re(α) ≤ m. A derivada fracionaria segundo Riemann-Liouville de umafuncao causal e suficientemente bem comportada f e dada por,

Dα f (t) =dm

dtm Jm−α f (t) =1

Γ(m−α)

dm

dtm

∫ t

0

f (τ)(t− τ)α−m+1 dτ. (2)

Mostraremos que a derivada de Riemann-Liouville, conforme definida pela Eq.(2) satisfaz ocriterio proposto por Ortigueira e Machado.

Linearidade. Sejam f e g funcoes reais de variavel real, a e b escalares e α ∈C tal que Re(α)>0. Assim, para m−1 < Re(α)≤ m, temos

Dα(a f +bg)(t) =1

Γ(m−α)

dm

dtm

∫ t

0

(a f +bg)(τ)(t− τ)α−m+1 dτ

=1

Γ(m−α)

dm

dtm

[a∫ t

0

f (τ)(t− τ)α−m+1 dτ +b

∫ t

0

g(τ)(t− τ)α−m+1 dτ

]=

aΓ(m−α)

dm

dtm

∫ t

0

f (τ)(t− τ)α−m+1 dτ +

bΓ(m−α)

dm

dtm

∫ t

0

g(τ)(t− τ)α−m+1 dτ

= aDα f (t)+bDαg(t),

portanto a derivada fracionaria segundo Riemann-Liouville e um operador linear.

Derivada de ordem zero. Vamos calcular a derivada de Riemann-Liouville de ordem zero deuma funcao f , assim para α = 0 temos, D0 f (t) =D0J0 f (t) = f (t), ou seja, a derivada fracionariasegundo Riemann-Liouvile de ordem zero de uma funcao e a propria funcao.

Derivada de ordem inteira. Para α = m sendo m inteiro positivo, temos,

Dm f (t) =dm

dtm Jm−m f (t) =dm

dtm J0 f (t) =dm

dtm f (t).

Portanto, a derivada fracionaria segundo Riemann-Liouvile de ordem m, sendo m um inteiropositivo e igual a m-esima derivada ordinaria. Tomemos agora α =−m sendo m inteiro positivo,assim

D−m f (t) = Jm f (t) =1

Γ(m)

∫ t

0f (τ)(t− τ)m−1dτ

essa integral e a formula integral de Cauchy, portanto D−m representa a m-essima integral, ouseja,

D−m f (t) =∫ t

0

∫τm−1

0· · ·∫

τ1

0f (τ)dτdτ1 · · ·dτm−1.

Logo, a derivada fracionaria de Riemann-Liouville recupera o caso inteiro.

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Lei dos expoentes. Uma derivada fracionaria cuja a ordem α e menor que zero, pode ser in-terpretada como uma integral fracionaria. Portanto, mostrar que a derivada segundo Riemann-Liouville satisfaz a lei dos expoentes, DαDβ = Dα+β para α < 0 e β < 0 e o mesmo que mostrarque JαJβ = Jα+β , para α > 0 e β > 0.

Observemos que a funcao φα satisfaz a propriedade, φα(t)∗φβ (t) = φα+β (t), sendo α > 0 eβ > 0. De fato, pelo produto de convolucao de Fourier temos,

(φα ∗φβ )(t) =∫

∞

−∞

φα(τ)φβ (t− τ)dτ. (3)

Observemos que

φα(τ) =

τα−1

Γ(α), τ > 0;

0, τ < 0.φβ (t− τ) =

(t− τ)β−1

Γ(β ), τ < t;

0, τ > t.

O produto φα(τ)φβ (t− τ) so sera diferente de zero para 0 < τ < t. Assim pela Eq.(3) temos,

φα(t)∗φβ (t) =

∫ t

0

τα−1

Γ(α)

(t− τ)β−1

Γ(β )dτ, 0 < τ < t;

0, caso contrario.

Atraves da funcao beta, a saber, B(p,q) =∫ 1

0up−1(1− u)q−1du, e de sua relacao com a

funcao gama, B(p,q) =Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)

, temos,

∫ t

0

τα−1

Γ(α)

(t− τ)β−1

Γ(β )dτ =

1Γ(α)Γ(β )

∫ t

0τ

α−1(t− τ)β−1dτ

=1

Γ(α)Γ(β )

∫ t

0τ

α−1 tβ−1

tβ−1 (t− τ)β−1dτ

=1

Γ(α)Γ(β )

∫ t

0τ

α−1tβ−1(

1t(t− τ)

)β−1

dτ

=1

Γ(α)Γ(β )

∫ t

0τ

α−1tβ−1(

1− τ

t

)β−1dτ. (4)

Introduzindo a mudanca de variavel u =τ

tna Eq.(4), temos

∫ t

0

τα−1

Γ(α)

(t− τ)β−1

Γ(β )dτ =

1Γ(α)Γ(β )

∫ 1

0(ut)α−1tβ−1 (1−u)β−1 tdu

=tα+β−1

Γ(α)Γ(β )

∫ 1

0(u)α−1 (1−u)β−1 du

=tα+β−1

Γ(α)Γ(β )B(α,β )

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=tα+β−1

Γ(α)Γ(β )

Γ(α)Γ(β )

Γ(α +β )

=tα+β−1

Γ(α +β ).

Portanto,

φα(t)∗φβ (t) =

tα+β−1

Γ(α +β ), t > 0,

0, t < 0.= φα+β (t),

Por fim, mostraremos que JαJβ f (t) = Jα+β f (t), para qualquer funcao f e para α > 0 e β > 0.De fato,

JαJβ f (t) = Jα(φβ (t)∗ f (t))= φα(t)∗ (φβ (t)∗ f (t))= (φα(t)∗φβ (t))∗ f (t)= φα+β (t)∗ f (t)

= Jα+β f (t).

E, portanto, a lei dos expoentes e satisfeita para α < 0 e β < 0.

Generalizacao da regra de Leibniz. Para mostrarmos que a derivada de Riemann-Liouvillesatisfaz a generalizacao da regra de Leibniz iremos primeiro considerar o seguinte resultado:

Lema 4 A derivada fracionaria de Riemann-Liouville de ordem α ∈ C de uma funcao analıticaf possui a propriedade,

Dα f (t) =∞

∑n=0

f (n)(t)tn−α

Γ(n−α +1)

(α

n

). (5)

Demonstracao. Vamos primeiro considerar Re(α) < 0, entao Dα = J−α sendo J−α a integralfracionaria de Riemann-Liouville, conforme Definicao 2, seja β =−α . Assim,

Dα f (t) = J−α f (t) = Jβ f (t) =1

Γ(β )

∫ t

0f (τ)(t− τ)β−1dτ.

Sendo f uma funcao analıtica, temos f (τ) =∞

∑n=0

f (n)(t)(τ− t)n

n!. E, portanto, podemos escre-

ver,

Dα f (t) =1

Γ(β )

∫ t

a

f (τ)(t− τ)1−β

dτ

(6)

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=1

Γ(β )

∫ t

0

∞

∑n=0

f (n)(t)(τ− t)n(t− τ)β−1

n!dτ

=1

Γ(β )

∞

∑n=0

f (n)(t)(−1)n

n!

∫ t

0(t− τ)β−1+ndτ

=1

Γ(β )

∞

∑n=0

f (n)(t)(−1)n

n!

[−(t− τ)β+n

β +n

]t

0

=1

Γ(β )

∞

∑n=0

f (n)(t)(−1)n

n!tβ+n

β +n

=1

Γ(β )

∞

∑n=0

f (n)(t)(−1)n

n!tβ+n

β +nΓ(β +n)Γ(β +n)

=1

Γ(β )

∞

∑n=0

f (n)(t)(−1)n

n!tβ+nΓ(β +n)Γ(β +n+1)

.

Agora observemos que (−β

n

)=

(−1)nΓ(n+β )

n!Γ(β ). (7)

Para mostrarmos a Eq.(7) precisaremos da seguinte equacao Γ(z)Γ(1− z) =π

sen(πz), conhecida

como formula de reflexao de Euler. Assim,(−β

n

)=

Γ(1−β )

Γ(1−β −n)n!=

π

sen(πβ )Γ(β )(−β −n)Γ(−β −n)n!=

π

sen(πβ )Γ(β )Γ(−β −n+1)n!.

Por outro lado,

Γ(−β −n)Γ(1−β −n) =π

sen(−π(β +n))=

−π

sen(βπ)(−1)n .

Assim, obtemos(−β

n

)=−πΓ(1+β +n)(−1)n sen(βπ)

sen(πβ )Γ(β )(−β −n)n!π=

(−1)nΓ(β +n)Γ(β )n!

,

portanto vale a Eq.(7). Pelas Eq.(6) e Eq.(7) podemos escrever

Dα f (t) =∞

∑n=0

f (n)(t)tn+β

Γ(n+β +1)

(−β

n

)=

∞

∑n=0

f (n)(t)tn−α

Γ(n−α +1)

(α

n

),

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logo, vale a Eq.(5) para Re(α) < 0. Mostraremos agora que vale a Eq.(5) para Re(α) > 0.Assim para m−1 < Re(α)≤ m e usando o fato de valer a Eq.(5) para Re(α)< 0, temos

Dα f (t) =dm

dtm Jm−α f (t)

=dm

dtm

∞

∑n=0

f (n)(t)tn+m−α

Γ(n+m−α +1)

(α−m

n

).

Considerando que essa serie converge uniformemente e utilizando a regra de Leibniz para o casointeiro podemos escrever,

Dα f (t) =∞

∑n=0

∞

∑k=0

(mk

) f (n+k)(t) dm−k

dtm−k tn+m−α

Γ(n+m−α +1)

(α−m

n

)

=∞

∑n=0

∞

∑k=0

(mk

) f (n+k)(t)Γ(n+m−α+1)Γ(n+k−α+1) tn+k−α

Γ(n+m−α +1)

(α−m

n

)=

∞

∑n=0

∞

∑k=0

(mk

)f (n+k)(t)

tn+k−α

Γ(n+ k−α +1)

(α−m

n

)

Introduzindo a mudanca de ındices k→ j−n temos,

Dα f (t) =∞

∑j=0

∞

∑n=0

(m

j−n

)(α−m

n

)f ( j)(t)

t j−α

Γ( j−α +1)

Utilizando a relacao (ORTIGUEIRA, 2011):

∞

∑n=0

(α

m−n

)(β

n

)=

(α +β

m

),

segue

Dα f (t) =∞

∑j=0

(α

j

)f ( j)(t)

t j−α

Γ( j−α +1).

Portanto, vale a Eq.(5) para todo α ∈ C, como querıamos mostrar. �Utilizando o Lema 4 e considerando f e g funcoes analıticas temos, pela Eq.(5),

Dα( f g)(t) =∞

∑n=0

( f g)(n)(t)tn−α

Γ(n−α +1)

(α

n

).

Usando a regra de Leibniz para o caso inteiro temos,

Dα( f g)(t) =∞

∑n=0

(α

n

)tn−α

Γ(n−α +1)

n

∑k=0

(nk

)f (k)(t)g(n−k)(t)

=∞

∑k=0

∞

∑n=k

(α

n

)(nk

)tn−α

Γ(n−α +1)f (k)(t)g(n−k)(t)

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=∞

∑k=0

f (k)(t)∞

∑n=k

(α

n

)(nk

)tn−α

Γ(n−α +1)g(n−k)(t).

Introduzindo a mudanca de ındices n→ n+ k podemos escrever

Dα( f g)(t) =∞

∑k=0

f (k)(t)∞

∑n=0

(α

n+ k

)(n+ k

k

)tn+k−α

Γ(n+ k−α +1)g(n)(t).

Como, (α

n+ k

)(n+ k

k

)=

Γ(α +1)Γ(1+α−n− k)(n+ k)!

(n+ k)!n!k!

=Γ(1+α)

Γ(1+α−n− k)n!k!Γ(α− k+1)Γ(α− k+1)

=

(α

k

)(α− k

n

)podemos escrever,

Dα( f g)(t) =∞

∑k=0

f (k)(t)∞

∑n=0

(α

k

)(α− k

n

)tn+k−α

Γ(n+ k−α +1)g(n)(t)

=∞

∑k=0

(α

k

)f (k)(t)

∞

∑n=0

(α− k

n

)tn+k−α

Γ(n+ k−α +1)g(n)(t).

Considerando novamente a Eq.(5) temos que a derivada de Riemann-Liouville satisfaz ageneralizacao da regra de Leibniz, a saber,

Dα( f g)(t) =∞

∑k=0

(α

k

)f (k)(t)Dα−kg(t).

3 ConclusoesTento em vista o crescente numero de definicoes envolvendo o conceito de derivada fracionariafaz-se necessario um criterio que um operador deve satisfazer para que esse possa ser chamado dederivada fracionaria. Nesse trabalho, foram apresentados dois criterios, um proposto em 1975 porRoss e outro em 2015 por Ortigueira e Machado, ambos sao compostos de cinco propriedades.Visto que o criterio de Ortigueira e Machado e mais restritivo que aquele proposto por Ross,apresentamos um operador que cumpre o criterio propostos por Ortigueira e Machado, a saber, aderivada de Riemann-Liouville (TEODORO; OLIVEIRA; OLIVEIRA, 2018).

4 Referencias bibliograficasCAMARGO, R. F. Calculo fracionario e aplicacoes. 2009. 135 f. Tese (Doutorado emMatematica) – Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica, Unicamp,Campinas, 2009.

TEODORO, G. S.; OLIVEIRA, E. C. de. Derivadas fracionárias: critérios para classificação. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 10,

p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664gsteco1019 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

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CAMARGO, R. F.; OLIVEIRA, E. C. Calculo fracionario. Sao Paulo: Livraria da Fısica,2015.

ORTIGUEIRA, M. D.; MACHADO, J. A. T. What is a fractional derivative? Journal ofComputational Physics, v. 293, p. 4-13, 2015.

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Artigo recebido em maio 2017 e aceito em nov. 2017.

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p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664gsteco1019 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

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