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Departamento de Matemáticas

OPERACIONES

CON

VECTORES(incompleto)

Autora: Mª Soledad Vega Fernández

Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma:

O bien

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SUMA DE VECTORES

vdesentidov2desentido

v.dirv2.dir

v·2v2

Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma:

Si k >0 ( 2 por ej.)

vacontrario)v2(sentido

v.dir)v2(.dir

v·2v2

PRODUCTO DE UN VECTOR ( ) POR UN ESCALAR (k)

v

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Si k < 0 ( -2 por ej.)

v·2 v·2

PRODUCTOS DE VECTORES

Producto escalar v · w:

Producto mixto: [u,v,w]

Es un número real

Es un vector

Es un número real

Módulo: αsen·w·vwxv

Dirección:

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Sentido:El de avance de un sacacorchos que gira de v a w

definido por:

que se obtiene:

αcos·w·vw·v

α

que se obtiene:

[u,v,w] = u ·( v x w)

Producto vectorial v x w (o v w)

v

wα

Perpendicular al plano que contiene a los vectores

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PRODUCTOS DE VECTORES: Expresiones analíticas

Si los vectores están expresados en una base ortonormal,

los productos quedan de la forma:

Producto escalar v · w:

kcjbiav

k´cj´bi´aw

k´´cj´´bi´´au

´c·c´b·b´a·aw·v

Producto vectorial v x w:

Vector cuyas componentes son los coeficientes de que se obtienen al desarrollar el:

kji ,,

c´b´a

cbakji

i j

k

Producto mixto: [u,v,w]

Es el nº que se obtiene al desarrollar el determinante:

´´c´´b´´a

´c´b´a

cba

PRODUCTOS DE VECTORES: Interpretación geométrica

Producto escalar v · w: Producto vectorial v x w:

A B

w

v

v

w

h

Módulo del vector v x w = Área del paralelogramo que tiene por lados v y w

[u , v, w] = Volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores u,v y w

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Producto mixto: αcosu·wvw,v,u

Área base Altura

w,vsen·w·vwxv

base altura

w,vcos·w·vw·v

Proyección de w sobre v

PRODUCTOS DE VECTORES: Propiedades

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Producto escalar:

111 z,y,xu

21

21

21 zyxu·uu

0v·uvuSi

Módulo de

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PRODUCTOS DE VECTORES

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PRODUCTOS DE VECTORES

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Ejercicio nº 1.-a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1, -2, 0).

ejemplo. un Pon ?wvuwvu que cierto ¿Esb)

PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios

Solución:a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3, -1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -

5)Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1:

30

5,

30

1,

30

2

También cumple las condiciones su opuesto:

30

5,

30

1,

30

2

b) En general, no es cierto. Por ejemplo: 0,1,0w0,0,1v0,0,1u

0,1,01,0,00,0,11,0,0uwvu

0w0wvu

.wvuwvu tanto, Por

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,112u vectores los por odeterminad pedoparalelepí del volumen el Calculaa) ,,

.032wy203v ,,,,

vu,v,uw,v,u2

;

Ejercicio nº 2.-

b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?:

PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios

Solución:

absoluto valor al igual es w y v ,u por odeterminad pedoparalelepí del volumen Ela)

de su producto mixto:

3u1717

032

203

112

w,v,u

Volumen

b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que:

34172w,v,u2w,v,u2

0vu,v,u

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PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios

sea jic que forma de e hallakj2ibji2a vectores los Dadosyxyx ;;

.a que módulo mismo el tenga yb a larperpendicu

Ejercicio 3.-

0,,c1,2,1b0,1,2a yx�

Solución:

54

2

55ac

020bcbc

222222

yy

yx

yxyx

yx

·

21

21155 22

xy

xyyy

Hay dos soluciones: .0,1,2ca ecorrespond que,1,2

yx

.0,1,2ca ecorrespond que,1,2

yx

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PRODUCTOS DE VECTORES: Ejercicios

Ejercicio nº 4.-

siendo: ,wu yvu vectores los por odeterminad amoparalelogr un de área el Halla

10,1,wy110v112u

,,,, ,

Solución:

:wu y vu Calculamos

22,0,vua 111wub ,,

producto su de módulo al igual es b y a por odeterminad amoparalelogr del área El

vectorial:

2,2,41,1,1220ba ,,

2222 u90,4244416224 Área

Ejercicio nº 3.- pide: se ,122w y12,0,v ,10,1,u vectores los Dados ,,

El volumen del paralelepípedo determinado por ellos.

Solución: Es igual al valor absoluto de su producto mixto:

3u44

122

120

101

w ,v ,u

Volumen

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