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DEFINICIONES Y DEFINICIONES Y CONCEPTOSCONCEPTOS

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

TIPOS DE VARIABLES TIPOS DE VARIABLES

Variable: Sujeto a variación o cambio

Variable independiente (1852): Una variable matemática definida que determina el valor de uno o más valores en una expresión o función.

Variable dependiente (1852): Una variable matemática cuyo valor es determinado por el valor de una o más variables en una función.

Diccionario Merriam-Webster’s Collegiate, 1998

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

TIPOS DE VARIABLES TIPOS DE VARIABLES

Variable aleatoria (1949): Una variable que está en función del resultado de un experimento estadístico en el cual cada posible resultado tiene una probabilidad definida de ocurrencia

Diccionario Merriam-Webster’s Collegiate, 1998

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

DEFINICIÓN DE CONSTANTE DEFINICIÓN DE CONSTANTE

Constante (Siglo 14): Algo invariable o sin cambio como a: un número que tiene un valor fijo en una situación o universalmente o que caracteriza una substancia o instrumento; b: un número que no cambia en una discusión matemática; c: un término en lógica con una designación fija.

Ejemplos: Constante de equilibrio (1929)Constante solar (1869)Constante dieléctrica (1875): Constante de Michaelis (1949)Constante de Planck (1910)

Diccionario Merriam-Webster’s Collegiate, 1998

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

DETERMINISMO Y PROBABILISMODETERMINISMO Y PROBABILISMO

Determinismo (1846): Una teoría o doctrina que sustenta que los fenómenos naturales están causalmente determinados por eventos anteriores o leyes naturales.

Diccionario Merriam-Webster’s Collegiate, 1998José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

DETERMINISMO Y PROBABILISMODETERMINISMO Y PROBABILISMO

El determinismo sustenta que el universo es completamente racional debido a que si tenemos el conocimiento completo de una situación, nos garantiza que es posible también conocer certeramente su futuro.

Pierre-Simon, Marquis de Laplace sustentó que si una mente pudiera, en un momento dado, conocer todas las fuerzas operando en la naturaleza, y las posiciones de cada uno de sus componentes, podría entonces conocer con certeza el futuro y el pasado de cada entidad, grande o pequeña.Enciclopaedia Británica, 1998José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

DETERMINISMO Y PROBABILISMODETERMINISMO Y PROBABILISMO

Probabilismo (1843): Teoría que expresa la imposibilidad de tener certidumbre en las ciencias y que la probabilidad gobierna las opiniones y acciones.

Enciclopaedia Británica, 1998José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

FUNCIONFUNCION

Es una variable de salida o variable dependiente cuyo valor está determinado únicamente por una o más variables de entrada (independientes).

)(xfy =

Williams, G.P. 1997. Chaos Theory Tamed.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

FUNCION LINEALFUNCION LINEAL

Es una relación matemática en la cual las variables son de primer orden (ecuación polinomial de primer orden), multiplicadas por constantes, y combinadas solamente con suma o resta.

y = 4954.1x - 2472.9R2 = 0.9915

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

CONTENIDO HÍDRICO

TASA

DE

SALI

DA

DE

AG

UA

(kg/

s)

0 salida

0.499

baxy +=

czbyaxy ++=

Williams, G.P. 1997. Chaos Theory Tamed.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

FUNCION NOFUNCION NO--LINEALLINEAL

Es una relación matemática en la que las variables “x” y “y” no se pueden poner en la forma de y=c+bx.

140

145

150

155

160

165

170

3.399990 3.399995 3.400000 3.400005Maximum potential tuber growth

(g dry weight/cm2 of leaf)

biom

ass

(g/p

lant

))(

)(52

23

2

+−

=x

xy

2xy =

Williams, G.P. 1997. Chaos Theory Tamed.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

FUNCION CONTINUAFUNCION CONTINUA

La función f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las 3 condiciones siguientes:

f(a) existe

lim f(x) existe

lim f(x) = f(a)

X a

X a

Si alguna de estas condiciones no se cumplen para a, entonces la función f es discontinua en a.Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

EJEMPLOSEJEMPLOS

CONTINUA DISCONTINUA

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

)()(

21−

=x

xf0

50

100

150

200

250

300

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

2xxf =)(

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ECUACIONES DIFERENCIALESECUACIONES DIFERENCIALES

Muchos sistemas dinámicos pueden ser expresados en términos de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo:

Tasa de cambio de temperatura u de un cuerpo que pierde calor por convección natural a temperatura T constante

251550 .)(*. Tudtdu

−−=

Tasa de cambio del tamaño de una población, donde k1 representa la tasa de nacimiento y k2 representa la tasa de mortalidad

NkNkdtdN

21−=

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Tasa de crecimiento de doseles vegetales, donde fi es la fracción de radiación interceptada, e es el coeficiente de conversión de energía solar a biomasa y S es la radiación solar diaria.

eSfdt

dbiomasai

=

ECUACIONES DIFERENCIALES

Características:

• Ecuaciones diferenciales de primer orden• t es la variable independiente• N, u ó biomasa son variables independientes• Además, las condiciones iniciales se conocen, es decir se tiene que y0

corresponde a x0

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LA DERIVADALA DERIVADA

xo

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)12

xxx −=∆

Q(x2,f(x2))T

θ

12

12

xxxfxf

−−

=)()()tan(θ

f(x)

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)12

xxx −=∆

Q(x2,f(x2))T

θ

xxfxfm

PQ ∆−

=)()(

12

xxx ∆+=12

xxfxxfm

PQ ∆−∆+

=)()(

11

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)x∆

Q(x2,f(x2))T

0→∆x

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))T

x∆

0→∆x

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))T

x∆

0→∆x

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))T

x∆

0→∆x

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))T

x∆

0→∆x

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))T

x∆

0→∆x

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))T

x∆

0→∆x

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))T

x∆

0→∆x

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

José Alfredo Carrillo Salazar ontecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y T

o x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)x∆

Q(x2,f(x2))0→∆x

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y T

o x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)x∆

Q(x2,f(x2))0→∆x

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y T

o x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)x∆

Q(x2,f(x2))0→∆x

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y T

o x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)x∆

Q(x2,f(x2))0→∆x

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y T

o x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)x∆

Q(x2,f(x2))0→∆x

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))T

x∆

0→∆x

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y T0→∆x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))

x∆

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y T0→∆x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))

x∆

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y T0→∆x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y T0→∆x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)

Q(x2,f(x2))

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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LA DERIVADALA DERIVADA

y T0→∆x

P(x1,f(x1))

f(x2)-f(x1)Q(x2,f(x2))

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y T0→∆x

P(x1,f(x1))f(x2)-f(x1)Q(x2,f(x2))

xoLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

LA DERIVADALA DERIVADA

y T0→∆x

x

P(x1,f(x1))f(x2)-f(x1)Q(x2,f(x2))

oLeithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

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INTEGRACIÓN DE ECUACIONES INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASDIFERENCIALES ORDINARIAS

Ver notas en la página web:

http://www.colpos.mx/fiv610/notas/notas.html

José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS

La integración es la técnica de encontrar una función g(x) a partir de la derivada Dg(x), la cual es igual a la función f(x). Se indica con el signo “∫”, como en ∫f(x), y se denomina integral indefinida de la función. Además frecuentemente se añade el símbolo dx, que meramente identifica a x como la variable.

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INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS

Las integrales se usan para evaluar cantidades tales como áreas,volúmenes, trabajo, crecimiento, etc. En general, cualquier cantidad que puede interpretarse como el área bajo la curva.

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INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS

xo

y

R

f(x) ≥ 0 para toda x en [a,b]

Acotada por:Rectas x=a, x=b

a b

y = f(x)

Curva y=f(x)

Donde f es una función continua en el intervalo [a,b]

Area de R

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INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS

x1 x2

xi-1 xi

{

∆x

ci xn-1xo

y

y = f(x)

a=x0 xn=b

Sn= f(c1) ∆x + f(c2) ∆x + … + f(ci) ∆x + … + f(cn) ∆x

∑=

∆=n

i inxcfS

1)(

o bien, con la notación sumatoria,

donde

A ≥ Sn

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS

y

o

y = f(x)

x1 x2

xn-1

xn=b

∑=

∆=n

i inxcfS

1)(

donde

A ≥ Sn

A= área bajo la curva x

a=x0

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREAS

o

y = f(x)

x1x2

xn-1

xn=b

∑=∞→

∆=n

i inxcfA

1)(lim

Para cualquier ε > 0 existe un número N > 0 tal que:

ε<−∆∑=

Axcfn

i i1)(

Y n es un entero positivo

y

x

a=x0

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

INTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREASINTEGRACIÓN Y CÁLCULO DE ÁREASDEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

o

Y=f(x)

a b

Area de R

Acotada por:

Rectas x=a, x=b

Curva y=f(x)

Donde f es una función continua en el intervalo [a,b]

No necesariamente f(x) ≥ 0 para toda x en [a,b]

y

R

x

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Sn= f(ξ1) ∆1x + f(ξ2) ∆2x + … + f(ξi) ∆ix + … + f(ξn) ∆nx

o

y

y = f(x)

a=x0 x1 x2

xi-1 xi

ξixn-1 xn=b

A ≥ Sn

o bien, con la notación sumatoria,

∑=

∆=n

i iinxfs

1)(ξ

ξ1

ξ3

ξ2Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

Suma de Riemman

x

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La interpretación geométrica de la suma de Riemman es la suma de las medidas de las áreas de los rectángulos situados sobre el eje x, más los negativos de las medidas de las áreas de los rectángulos que están bajo el eje x.

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

εξ <−∆∑=

Lxfn

i ii1)( Entonces, la integral

definida es:

∑=→∆

=∆n

i iiLxf

10)(lim ξ

En tal caso escribimos:∑∫=→∆

∆=n

i ii

b

axfdxxf

10)()( lim ξ

Leithold, L. 1992. El Cálculo con Geometría Analítica.José Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006

MÉTODOS DE INTEGRACIÓNMÉTODOS DE INTEGRACIÓN

• Técnicas de integración (por partes, funciones trigonométricas, sustituciones trigonométricas, etc)

• Integración numérica (cuadratura).

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INTERPOLACIÓNINTERPOLACIÓN

y

Interpolación con una polinomial de bajo nivel

Interpolación con una polinomial de alto nivel

x1

x2

x3

x4

x5 x6

x7

Es interpolación cuando el punto x, que se busca, está situado entre el valor más grande y más pequeño de las xi

xy = f(x)

xo

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EXTRAPOLACIÓNEXTRAPOLACIÓN

y

o

x1

x2

x3

x4

x5 x6

x7

y = f(x)

x

x

x

Si la x buscada se encuentra fuera de ese rango, entonces el proceso se llama extrapolación

Este proceso es mucho más peligroso que la interpolación

x

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MÉTODOS PARA INTERPOLAR O EXTRAPOLARMÉTODOS PARA INTERPOLAR O EXTRAPOLAR

•Polinomiales

•Funciones racionales

•Funciones trigonométricas

•Series de Fourier

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ERRORES EN LOS CÁLCULOS Y MEDICIONESERRORES EN LOS CÁLCULOS Y MEDICIONES

El error en matemática aplicada es la diferencia entre el valor real y el estimado

En estadística, un ejemplo común es la diferencia entre la media de una población y la media de una muestra obtenida de la población

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ERRORES EN LOS CÁLCULOS Y MEDICIONESERRORES EN LOS CÁLCULOS Y MEDICIONES

Error de redondeo

Error de truncación

Error relativo

Error porcentual

Error aleatorio

la computación digital, tanto humana, mecánica, o electrónica, es por naturaleza, finita

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ERROR DE REDONDEOERROR DE REDONDEO

Número irracional

π

Número racional

22/7, 355/113, 3.14, o 3.14159

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ERROR DE TRUNCACIÓNERROR DE TRUNCACIÓN

Un error de truncación resulta de ignorar todos, menos un número finito de términos en una serie infinita. Por ejemplo, la función exponencial ex puede expresarse como la suma de una serie infinita:

1 + x + x2/2 + x3/6 + ... + xn/n! + ...;

+ x + x2/21 + x3/6

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ANANÁÁLISIS DE ERRORES EN LOS CLISIS DE ERRORES EN LOS CÁÁLCULOSLCULOS

El análisis numérico se usa para investigar los errores que se producen en los cálculos. En algunos problemas, es muy difícil calcular u obtener respuestas precisas debido a que pequeños cambios en el problema pueden causar grandes cambios en la respuesta

Tales problemas se dice que son mal-condicionados (ill-conditioned).

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ANANÁÁLISIS DE ERRORES EN LOS CLISIS DE ERRORES EN LOS CÁÁLCULOSLCULOSEJEMPLOEJEMPLO

011 4 =− ).(x En tal caso x=1.1

046411324526744 234 =+−+− .... xxxx X

4234 10000104641324526744 −==+−+− ..... xxxx

44 1011 −=− ).(x

O X= 1.211011 −=− ).(x o x= 1.2

un cambio en el quinto lugar decimal, o en 0.01 porciento ha causado cambios en la posición 2, o diez porciento en la respuesta.

Montecillo, México. Verano 2006José Alfredo Carrillo Salazar

CASO PARTICULAR: ERRORES EN LAS MEDICICASO PARTICULAR: ERRORES EN LAS MEDICIÓÓN CON N CON EQUIPOSEQUIPOS

Error aleatorio (ruido)

Error sistemático (Error de calibración)

Error de lectura (precisión)

Error debido a equilibrio imperfecto

Medio medidoJosé Alfredo Carrillo Salazar Montecillo, México. Verano 2006