curso cpr de cehegín: día 6

Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann

Introducción a la Cosmología

José Antonio Pastor González

CPR de CehegínLunes 28 de noviembre de 2011

La geometría del espacio-tiempo:una introducción al pensamiento de Albert Einstein

Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann

Contenidos

1 Primeros hechos

2 Modelos de Robertson-Walker

3 Modelos de Friedmann

Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann

Contenidos

1 Primeros hechos

2 Modelos de Robertson-Walker

3 Modelos de Friedmann

Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann

Objetivo: modelar el Universo

Utilizamos la relatividad generalPrimeras simplificaciones: una galaxia será una partículaen este modelo (trabajamos a escala muy grande)Así, cada galaxia estará representada por una línea en elespacio-tiempo (es una partícula material)Trataremos el Universo como un fluido...

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Objetivo: modelar el Universo

Utilizamos la relatividad generalPrimeras simplificaciones: una galaxia será una partículaen este modelo (trabajamos a escala muy grande)Así, cada galaxia estará representada por una línea en elespacio-tiempo (es una partícula material)Trataremos el Universo como un fluido...

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Objetivo: modelar el Universo

Utilizamos la relatividad generalPrimeras simplificaciones: una galaxia será una partículaen este modelo (trabajamos a escala muy grande)Así, cada galaxia estará representada por una línea en elespacio-tiempo (es una partícula material)Trataremos el Universo como un fluido...

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Objetivo: modelar el Universo

Utilizamos la relatividad generalPrimeras simplificaciones: una galaxia será una partículaen este modelo (trabajamos a escala muy grande)Así, cada galaxia estará representada por una línea en elespacio-tiempo (es una partícula material)Trataremos el Universo como un fluido...

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Pero mejor... poco a poco¿Qué sabemos del Universo?

El cielo, de noche, es negroSi asumimos: universo espacial euclídeo, posición noprivilegiada, Newton, universo infinito... entonces Paradojade OlbersSi el universo es finito, ¿dónde y cómo son sus bordes?Conclusión: la física clásica tiene problemas para explicarel Universo (la moderna también)

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Pero mejor... poco a poco¿Qué sabemos del Universo?

El cielo, de noche, es negroSi asumimos: universo espacial euclídeo, posición noprivilegiada, Newton, universo infinito... entonces Paradojade OlbersSi el universo es finito, ¿dónde y cómo son sus bordes?Conclusión: la física clásica tiene problemas para explicarel Universo (la moderna también)

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Pero mejor... poco a poco¿Qué sabemos del Universo?

El cielo, de noche, es negroSi asumimos: universo espacial euclídeo, posición noprivilegiada, Newton, universo infinito... entonces Paradojade OlbersSi el universo es finito, ¿dónde y cómo son sus bordes?Conclusión: la física clásica tiene problemas para explicarel Universo (la moderna también)

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Pero mejor... poco a poco¿Qué sabemos del Universo?

El cielo, de noche, es negroSi asumimos: universo espacial euclídeo, posición noprivilegiada, Newton, universo infinito... entonces Paradojade OlbersSi el universo es finito, ¿dónde y cómo son sus bordes?Conclusión: la física clásica tiene problemas para explicarel Universo (la moderna también)

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¿Sabemos algo?

Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann

Los elementos del Universo (materia)...además de polvo...

Planetas, meteoritos, satélites...Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Lasestrellas son el horno donde se cuecen los elementos.Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellasagrupadas por la gravedadGalaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementalesen cosmología.Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muymasivos y que emiten intensamente (además de luz) en elespectro de las ondas de radio. Se piensa que son losembriones de las galaxias.

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Los elementos del Universo (materia)...además de polvo...

Planetas, meteoritos, satélites...Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Lasestrellas son el horno donde se cuecen los elementos.Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellasagrupadas por la gravedadGalaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementalesen cosmología.Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muymasivos y que emiten intensamente (además de luz) en elespectro de las ondas de radio. Se piensa que son losembriones de las galaxias.

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Los elementos del Universo (materia)...además de polvo...

Planetas, meteoritos, satélites...Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Lasestrellas son el horno donde se cuecen los elementos.Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellasagrupadas por la gravedadGalaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementalesen cosmología.Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muymasivos y que emiten intensamente (además de luz) en elespectro de las ondas de radio. Se piensa que son losembriones de las galaxias.

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Los elementos del Universo (materia)...además de polvo...

Planetas, meteoritos, satélites...Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Lasestrellas son el horno donde se cuecen los elementos.Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellasagrupadas por la gravedadGalaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementalesen cosmología.Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muymasivos y que emiten intensamente (además de luz) en elespectro de las ondas de radio. Se piensa que son losembriones de las galaxias.

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Los elementos del Universo (materia)...además de polvo...

Planetas, meteoritos, satélites...Estrellas de todo tipo (gigantes, enanas, neutrones...). Lasestrellas son el horno donde se cuecen los elementos.Cúmulos de estrellas: agrupaciones de hasta 105 estrellasagrupadas por la gravedadGalaxias: es una estructura mucho mayor que los cúmulos(agrupa a miles de éstos). Son las partículas elementalesen cosmología.Quasars: objetos muy lejanos, muy brillantes, muymasivos y que emiten intensamente (además de luz) en elespectro de las ondas de radio. Se piensa que son losembriones de las galaxias.

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Las galaxias

Desplazamiento hacia el rojo (recesión)A mayor desplazamiento, mayor distanciaObjetos relativamente nuevos en el panorama astronómico(descubiertas en la década de 1920, Slipher, Hubble,cefeidas)

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Las galaxias

Desplazamiento hacia el rojo (recesión)A mayor desplazamiento, mayor distanciaObjetos relativamente nuevos en el panorama astronómico(descubiertas en la década de 1920, Slipher, Hubble,cefeidas)

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Las galaxias

Desplazamiento hacia el rojo (recesión)A mayor desplazamiento, mayor distanciaObjetos relativamente nuevos en el panorama astronómico(descubiertas en la década de 1920, Slipher, Hubble,cefeidas)

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Las galaxias

Desplazamiento hacia el rojo (recesión)A mayor desplazamiento, mayor distanciaObjetos relativamente nuevos en el panorama astronómico(descubiertas en la década de 1920, Slipher, Hubble,cefeidas)

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La radiación de fondo

Descubierta por casualidad en 1965 (aunque se postulateóricamente 20 años antes, Dicke, Gamow, Novikov)Primeras observaciones: isotropía.Aparición de anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)Materia: (4-22-74) (normal-materia oscura-energía oscura)

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La radiación de fondo

Descubierta por casualidad en 1965 (aunque se postulateóricamente 20 años antes, Dicke, Gamow, Novikov)Primeras observaciones: isotropía.Aparición de anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)Materia: (4-22-74) (normal-materia oscura-energía oscura)

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La radiación de fondo

Descubierta por casualidad en 1965 (aunque se postulateóricamente 20 años antes, Dicke, Gamow, Novikov)Primeras observaciones: isotropía.Aparición de anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)Materia: (4-22-74) (normal-materia oscura-energía oscura)

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La radiación de fondo

Descubierta por casualidad en 1965 (aunque se postulateóricamente 20 años antes, Dicke, Gamow, Novikov)Primeras observaciones: isotropía.Aparición de anisotropías (COBE’1990) (WMAP’2006)Materia: (4-22-74) (normal-materia oscura-energía oscura)

Primeros hechos Modelos de Robertson-Walker Modelos de Friedmann

Contenidos

1 Primeros hechos

2 Modelos de Robertson-Walker

3 Modelos de Friedmann

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Hipótesis de trabajo

no estamos en una localización especial del Universo anivel espacial(homogeneidad espacial1)en cualquier dirección del espacio, el universo parece serel mismo (isotropía espacial2)corolario: la parte espacial del universo debe ser unmodelo 3D de curvatura constante

1Está claro que no ocurre así con la variable tiempo2Tampoco las direcciones temporales son isótropas: futuro y pasado

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Hipótesis de trabajo

no estamos en una localización especial del Universo anivel espacial(homogeneidad espacial1)en cualquier dirección del espacio, el universo parece serel mismo (isotropía espacial2)corolario: la parte espacial del universo debe ser unmodelo 3D de curvatura constante

1Está claro que no ocurre así con la variable tiempo2Tampoco las direcciones temporales son isótropas: futuro y pasado

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Hipótesis de trabajo

no estamos en una localización especial del Universo anivel espacial(homogeneidad espacial1)en cualquier dirección del espacio, el universo parece serel mismo (isotropía espacial2)corolario: la parte espacial del universo debe ser unmodelo 3D de curvatura constante

1Está claro que no ocurre así con la variable tiempo2Tampoco las direcciones temporales son isótropas: futuro y pasado

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Métrica de Robertson-Walker

−dt2 + R(t)2(

dr2

1− kr2 + r2(dφ2 + sen2φdθ2)

)t → (t , r0, φ0, θ0) es una partícula en reposo (una galaxia)en este sistema de referencia (sistema de reposocósmico). Además esta curva es una geodésica con dichamétrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y suinercia)t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico). Porhomogeneidad discurre por igual en cada punto así que(salvo traslaciones en t) es el mismo para todas lasgalaxias

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Métrica de Robertson-Walker

−dt2 + R(t)2(

dr2

1− kr2 + r2(dφ2 + sen2φdθ2)

)t → (t , r0, φ0, θ0) es una partícula en reposo (una galaxia)en este sistema de referencia (sistema de reposocósmico). Además esta curva es una geodésica con dichamétrica (la galaxia sólo está afectada por la gravedad y suinercia)t es el tiempo propio de la galaxia (tiempo cósmico). Porhomogeneidad discurre por igual en cada punto así que(salvo traslaciones en t) es el mismo para todas lasgalaxias

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Métrica de Robertson-Walker

−dt2 + R(t)2(

dr2

1− kr2 + r2(dφ2 + sen2φdθ2)

)R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende deltiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan)las galaxias conforme el tiempo cambiak es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D ytoma los valores k = 0,1,−1 (geometría euclídea,esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parteespacial toma el valor

kR(t)2

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Métrica de Robertson-Walker

−dt2 + R(t)2(

dr2

1− kr2 + r2(dφ2 + sen2φdθ2)

)R(t) es el factor de escala del universo. Sólo depende deltiempo cósmico y nos dice cuánto se alejan (o acercan)las galaxias conforme el tiempo cambiak es el signo de la curvatura de la parte espacial 3D ytoma los valores k = 0,1,−1 (geometría euclídea,esférica, hiperbólica). La curvatura (seccional) de la parteespacial toma el valor

kR(t)2

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Para k=1 una imagen sería...

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El factor de escala...... nos informa sobre la evolución del universo

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Contenidos

1 Primeros hechos

2 Modelos de Robertson-Walker

3 Modelos de Friedmann

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Ecuación de campo general

Los modelos de Robertson-Walker sólo usan la relatividad anivel cualitativo. Vamos a ver qué dice la ecuación de campode Einstein sobre estos modelos. La escribimos pues:

Ricij = 8π(Tij − 1/2Tgij)

donde T es un tensor (0,2) (16 componentes, 10 libres) quecodifica la distribución de materia-energía en el espacio-tiempo(tensor tensión-energía)

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Más simplificaciones

al considerar las galaxias como partículas cuya únicainteracción (unas con respecto a otras) es la gravitatoriase obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como unfluido perfecto (viscosidad cero)los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son sudensidad ρ y su presión pmás aún, el hecho de que la radiación no domine en eluniverso (en comparación con la gravedad) nos permiteasumir que p ≡ 0finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decirque la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

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Más simplificaciones

al considerar las galaxias como partículas cuya únicainteracción (unas con respecto a otras) es la gravitatoriase obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como unfluido perfecto (viscosidad cero)los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son sudensidad ρ y su presión pmás aún, el hecho de que la radiación no domine en eluniverso (en comparación con la gravedad) nos permiteasumir que p ≡ 0finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decirque la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

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Más simplificaciones

al considerar las galaxias como partículas cuya únicainteracción (unas con respecto a otras) es la gravitatoriase obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como unfluido perfecto (viscosidad cero)los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son sudensidad ρ y su presión pmás aún, el hecho de que la radiación no domine en eluniverso (en comparación con la gravedad) nos permiteasumir que p ≡ 0finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decirque la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

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Más simplificaciones

al considerar las galaxias como partículas cuya únicainteracción (unas con respecto a otras) es la gravitatoriase obtiene lo que en hidrodinámica se conoce como unfluido perfecto (viscosidad cero)los parámetros que caracterizan un fluido perfecto son sudensidad ρ y su presión pmás aún, el hecho de que la radiación no domine en eluniverso (en comparación con la gravedad) nos permiteasumir que p ≡ 0finalmente, la homogeneidad espacial nos permite decirque la densidad sólo es t-dependiente, luego ρ ≡ ρ(t)

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La ecuación de campo nos dice...

Ecuación de Friedmann:

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

Ley de conservación:

ρ′(t) + 3ρ(t)R′(t)R(t)

= 0

La función R(t) es positiva y además

R′′(t) < 0

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La ecuación de campo nos dice...

Ecuación de Friedmann:

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

Ley de conservación:

ρ′(t) + 3ρ(t)R′(t)R(t)

= 0

La función R(t) es positiva y además

R′′(t) < 0

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La ecuación de campo nos dice...

Ecuación de Friedmann:

R′(t)2 + k =8π3ρ(t)R(t)2

Ley de conservación:

ρ′(t) + 3ρ(t)R′(t)R(t)

= 0

La función R(t) es positiva y además

R′′(t) < 0

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Ley de conservación

Observemos que

(ρ(t)R(t)3)′ = 0

es equivalente a la ley de conservación... por lo que

λ0 =4π3ρ(t)R(t)3

para una constante λ0 que se identifica con la masa deluniverso

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Ley de conservación

Observemos que

(ρ(t)R(t)3)′ = 0

es equivalente a la ley de conservación... por lo que

λ0 =4π3ρ(t)R(t)3

para una constante λ0 que se identifica con la masa deluniverso

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La ecuación de Friedmann

k = 023

R(t)3/2 =√

2λ0t

k = 1R(t) = λ0(1− cos(v))

para v un parámetro que depende de tk = −1

R(t) = λ0(cosh(v)− 1)

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La ecuación de Friedmann

k = 023

R(t)3/2 =√

2λ0t

k = 1R(t) = λ0(1− cos(v))

para v un parámetro que depende de tk = −1

R(t) = λ0(cosh(v)− 1)

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La ecuación de Friedmann

k = 023

R(t)3/2 =√

2λ0t

k = 1R(t) = λ0(1− cos(v))

para v un parámetro que depende de tk = −1

R(t) = λ0(cosh(v)− 1)

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Las gráficas

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Ley de Hubble

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Ley de Hubble

Está implícita en los modelos de Friedmann:

dadas dos galaxias A = (t0,0, π/2, θ0) yB = (t0, r0, π/2, θ0) se calcula que están a distancia r0R(t)la velocidad de recesión es entonces r0R′(t)se define entonces

H(t) =R′(t)R(t)

la constante de Hubble (que depende del tiempo cósmico,pero que es constante en términos espaciales)

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Ley de Hubble

Está implícita en los modelos de Friedmann:

dadas dos galaxias A = (t0,0, π/2, θ0) yB = (t0, r0, π/2, θ0) se calcula que están a distancia r0R(t)la velocidad de recesión es entonces r0R′(t)se define entonces

H(t) =R′(t)R(t)

la constante de Hubble (que depende del tiempo cósmico,pero que es constante en términos espaciales)

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Ley de Hubble

Está implícita en los modelos de Friedmann:

dadas dos galaxias A = (t0,0, π/2, θ0) yB = (t0, r0, π/2, θ0) se calcula que están a distancia r0R(t)la velocidad de recesión es entonces r0R′(t)se define entonces

H(t) =R′(t)R(t)

la constante de Hubble (que depende del tiempo cósmico,pero que es constante en términos espaciales)