cuadernillo de ejercicios y problemas de matemÁtica … · 1º 5). manuel, un astrónomo...

COLEGIO SANTO DOMINGO COORDINACIÓN DE MATEMÁTICA

CUADERNILLO DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATEMÁTICA PARA

SEGUNDO MEDIO 2019

NOMBRE:

Introducción:

Una de las formas más fáciles para estudiar matemática es repasar y aplicar

los conceptos analizados en clases a través de ejercicios y problemas; este

cuadernillo pretende ser una ayuda que debes usar tanto en su casa como en el

colegio con el fin de facilitar tu aprendizaje.

Algunos de los ejercicios y problemas de las guías que forman parte del

cuadernillo han sido cuidadosamente seleccionados de los texto de estudio

existentes en el mercado y otros son creaciones de tus profesores.

Esperamos que este conjunto de guías te sirva como un apoyo para tu

aprendizaje de la matemática en el presente año.

Muchos éxitos.

Departamento de Matemática

2

GUÍA: TRIGONOMETRÍA

sen a

; cos ec c

c a

cos b

; sec c

c b

tg a

; cot g b

b a

sen b

; cos ec c

c b

cos a

; sec c

c a

tg b

; cot g a

a b

I) Dados los triángulos rectángulos, escriba las razones trigonométricas de: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo α del triángulo y compare sus resultados con sus compañeros:

II) Calcula en cada triángulo la medida de x del lado indicado, y aproxima el valor de tu respuesta a las centésimas:

3

25 2cm

3cm

III) Calcula en cada caso la medida del ángulo indicado, aproximando el valor a centésima de grado.:

IV) En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas para sus ángulos agudos.

a ) b)

V) Dado el siguiente triángulo equilátero, encuentra:

a) sen 30° b) cos 30° c) tg 30° d) sen 60° e) cos 60° f) tg 60°

VI) Usa los valores fraccionarios de las razones trigonométricas de los ángulos notables y calcula las expresiones siguientes:

a) tg30 tg60 cos30 sen60 sen60 cos 30 tg2 45

d) sen90

tg60 tg30b)

1 tg60 tg30

e) 3tg2

30

4 cos2

3

30

1

cos 60 2

1 sen2

3

60

c) sen30 cos2 45 2tg2 30f) cos 60 tg2

45 3

tg2

4 30 cos2

30 sen2 30

VII) Determinar con ayuda de una tabla o una calculadora los ángulos agudos que cumplen con las siguientes relaciones inversas

a) Arc sen 0,515

b) Arc cos (0,342)

c) Arc tan 2,475

d) Arc sen (0,342)

e) Arc cos 0,809

f) Arc tan(11,43)

g) Arc sen 0,3907

h) Arc cos (0,9563)

i) Arc tan 3,372

j) Arc sen (0,7547)

k) Arc cos 0,7772

l) Arc tan (1,28)

VIII) Resolver los siguientes problemas

1) . Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8m cuando el ángulo de elevación del sol es de 53º. Haz un dibujo del problema.

2). Un avión se encuentra a 2300m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué

distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º? Haz un dibujo del problema

3). Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol

tiene un ángulo de elevación de 43º?. Haz un dibujo del problema

4) La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué altura alcanza el cometa ?

1º

5). Manuel, un astrónomo principiante, midió el ángulo que se muestra en la figura para calcular la distancia que hay entre los centros de la Luna y la Tierra. Considerando que el radio de la Tierra es 6380 km, ¿qué resultado obtuvo Manuel?

Tierra Luna

6). Determina el ángulo de inclinación mínimo necesario para que el avión de la figura pueda despegar sobrevolando el cerro.

Avión

7) Una torre de telecomunicaciones de 120 metros de alto proyecta una sombra de 80 metros. ¿Cuánto mide el ángulo de elevación del sol en ese instante?

8). Una persona sube por un camino que tiene 20° de pendiente respecto del plano horizontal. Al

cabo de caminar 500 metros, ¿a qué altura sobre el nivel inicial se encuentra la persona?

9). Una escalera se encuentra apoyada contra un muro, de manera que la distancia entre el pie de la escalera y el muro es de 1,2 metros. ¿A qué altura del suelo se apoya la escalera y cuál es su largo si se forma con él un ángulo de 70°?

10). Un satélite artificial sobrevuela una ciudad y en ese instante, desde un observatorio situado a

300 kilómetros de ella, se le avista con un ángulo de elevación de 64°. ¿A qué altura de la ciudad se encuentra el satélite?

11) Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8m cuando el ángulo de elevación del sol es de 53º. Haz un dibujo del problema.

12) Un avión se encuentra a 2300m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Qué distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º? Haz un dibujo del problema

13) Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 43º?. Haz un dibujo del problema

14) La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué altura alcanza el cometa?

15) La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿Qué altura alcanza el cometa?

100m

250m

2

2,56

676 841 1089 2.401 1.849

GUÍA: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

I) Determinar cuáles de los siguientes números son irracionales

1) 2) 1,4142 3) 4) 2,01001000100001….5) 3,678678678…

6) 7) 8) / 9) 17/11 10) 0,21211211121111….

II) Completar la siguiente tabla con y

Número IN (naturales) Z (enteros) Q (Racionales) Irracionales Reales 1,25

2,22222….

- 49

23

-7

9 / 4

9/3

-2,25

25

III) Aproximar los siguientes números irracional de acuerdo al criterio dado en cada caso

1) Redondear a la milésima 3) Redondear 3,1711711171117…. a la diezmilésima 4) Truncar 0,0203040506070809010011012013… a la centésima

6) Aproximar 57 por exceso a la décima

7) Aproximar 83 por defecto a la centésima

8) Aproximar 2 por exceso a la milésima

9) Piense y luego conteste:

a) ¿Si un número racional es sumado con uno irracional, el resultado es siempre un numero irracional ?.

b) ¿ Si un número racional (que no sea cero) es multiplicado por un número irracional el producto será un numero irracional?

IV) Calcular las siguientes raíces cuadradas

1) 2) 3) 4) 5) 6)

1.296

300 360 750 1.000 2.000

2 5

8

10 17

18

64

3 32 5 8 6 4

2

45

28

2

V) Redondear con un decimal las siguientes raíces cuadradas

1) 2) 3) 4) 5) 6)

VII) Usando regla y compás y el teorema de Pitágoras, representar en la recta numérica dibujada sobre papel milimetrado, las siguientes raíces cuadradas:

1) 4) 7)

2) 5) 8) 3) 6) 9)

VIII) Calcular las siguientes raíces

1) 4)

2)

6)

7) 12 1

8)

9)

10)

11)

12)

IX) Transformar las siguientes potencias a raíces 3

1) 5 4

2

2) 35

1

3) 92

2

4) 32 5

3

5) 16 2

2

6) 8 3

3

7) p 8

8) 2a3

X) Transformar las siguientes raíces a potencias

1) 2) 3) 4) 5) 6)

XI) Escribir una raíz equivalente a cada una de las siguientes expresiones

1) 2

2) 3

3) 5

4) 2 6

5) 10 7

6) 3

7) 9

8)

9) 1,5

XII) Descomponer las siguientes raíces de modo que la cantidad subradical sea lo menor posible

1) 8 3) 45 5) 50 7) 40

2) 20 4) 32 6) 24 8) 48

XIII) Descomponer y reducir las siguientes expresiones

1) 3

2)

5 7

32 50

5)

6) 40

90 3 32

3) 27 2 48 7) 80 4 28 63

4) 2 3 8) 5 5 4 20 3 45

800

20

29

3

100

3) 841

3 8

5) 5 1

3 64

5 32

3 343

5 243

3 1.000

3 1.000

4 23 27 7 7

3

2

2 8

2

3 32

4 9

0,4

2 2

75

20

44 63

20

2

3

5 2

4 3

XIV) Racionalizar las siguientes expresiones

1) 5

2)

3 5

7) 3 2

5

12)

a 1 1

a 1 1

3) 6 p q 6 8)

p q

4) 9

5 9)

4 3

5) 5 10)

5 2

9

6) 2 1

2 11)

2 1

2 1

GUÍA: LOGARITMO

I) Completar la siguiente tabla:

LOGARITMO POTENCIA RAÍZ

log3 81 4 34 81 4 81 3

log5 125

83 512

5 16807 7

log2 1024 10

4096 64 46 4096

II) Calcular el valor de los siguientes logaritmos

1) log3 9 7) log3 (1/3) 13) log8 (1/32) 2) log4 64 8) log2 (1/4) 14) log8 16 3) log2 32 9) log3 (1/243) 15) log7 7 4) log5 625 10) log4 32 16) log12 1 5) log3 243 11) log9 27 17) log 5 5

7

6) log2 128 12) log6 216 18) log4 412

III) Desarrollar aplicando las propiedades de los logaritmos

1) log (ab) 2) log (2x) 3) log (p/q)

7) log

p3q4

r 2

11) log 12) log

4) log (a3b

2)

5) log (3m5)

8) log (abc)3

a4

6) log 2a

3b

9) log

2b3c 13) log 3x 2y 10) log

IV) Escribir en un solo logaritmo aplicando propiedades

1) log x + log y 2) 4log z 8) 3) log 2 + log a

1

logm 2

1

logn 2

4) 2log a + 3log b 5) 3log a – 2log b + 5log c 6) 4log x – 3log y + 2log z – 5log v

1

9) 1

log x 1

log y 3 3 2

10) log x

7) log a 3 2

V) Calcular los siguientes logaritmos usando la propiedad del cambio de base y la calculadora

1) log3 6

2) log2 7

3) log5 10

4) log8 20

5) log6 9

6) log3 12

7) log12 6

8) log2 20

10

m

x 5

abc

7a3b 2 5 c 2

VI) Calcular los siguientes logaritmos sabiendo que log 2 = 0,301; log 3 = 0,477 y log 7 = 0,845 y usando las propiedades

1) log 6 2) log 12 3) log 5 4) log 15 5) log 9 6) log 16 7) log 28

VII) Calcular los siguientes logaritmos naturales usando la calculadora

1) Ln 2 2) Ln 3 3) Ln 4 4) Ln 5

4) Ln 10 5) Ln 12 6) Ln 36

11

ALTERNATIVAS

1)

2)

3)

12

4)

5)

6)

13

12

5 1

16 8

4

25

8

7)

8)

9) 5 2

A) 16

B) 4 3

C) 2 3

D) 3

E) No

3

se puede det er min ar

10)

A )

B )

C )

D)

61

20

7

2

151

20

6

6

2

4 5

7

20

E) Ninguno de los valores anteriores

14

27

3

6 1

4

5

3 a2x2 3 ax1

2 3 2

12 2 8 3

3

10

20

11)

A) a3x3

B) 6 a3x3

C) a3x

D) ax3

E) ax1

12) =

A)

B)

C)

D)

E) 1

13) Si a, b y c entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes

es(son) equivalentes a

I) 2bc

A) Solo I B) Solo II

II)

III)

C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

14)

A)

B)

C)

D)

E) Ninguno de los valores anteriores

15

3 4

3 2

6 8

6 2

2 3 5

60

4 a4b2c2

a2bc

2

15

5

5

50 512 2

55 55 55 55 55

3 55 55 55 55 55

2 2

32

15) ( 242) :

A) 10

B) 10

C) 8 5

D) 32

E) 40

16)

A) 5 5

B) 56

C) 1 2

D) 53

3

E) 52

6 3

17) 2 2

A) 0

B) 3

2 2

C) 6 9

D) 6 9 2

2

E) 6 3 2

2

18) El número

A) 24

B)

es igual a:

C) 2 4

D) 214

E) Ninguno de los números anteriores

16

2

2

216

3 m2 m

8 m7

m5

5 m7

6 m7

19) Para todo m > 0 la expresión

A) m

B)

C)

D)

E)

es igual a

20) log (a + b)2 – log (a + b) =

A) 2 B) a + b C) log a + 3log b D) log a + log b E) log (a + b)

21) Si log 1

2 entonces x vale:

1 x

A)

99

100

B) 99

C) 99

100

D) 101

100

E) 19

20

22) ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a log 12?

A) log 6 log 2

B) log10 log 2

C) 2 log 6

D) log 2 log 2 log 3

E) log 6 log 2

17

3 m4

log2 8 log 1

3 9

23) El valor de la expresión

es log4 16

A) 5

2

B) 1

2

C) 3

D) 5

4

E) 7

4

24) log32 = a resulta

A) a3 = 2

B) a2 = 3

C) 23 = a

D) 32 = a

E) 3a = 2

25) Si a > 1, entonces log2 (log a a2 ) =

A) 0 B) 1 C) 2 D) a E) a

2

26) ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s)?

I) log1 log 20 log 20

II) log 1

log 30 30 2

III) log 4 log10 log 4 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

18

27) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) log 1

3 9

II) Si log

3 x 2,

entonces

x 3

III) Si logx

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

49 2, entonces x 1

7

28) log 2.0002 =

A) 4 log 1.000

B) 6 + 2 log 2 C) 2(6 + log 2) D) 2(log 2)(log 1.000) E) 3 + 2 log 2

29) ¿Cuál es el valor de la expresión log2 8 log3 9 log10 ?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

30) Sean x e y números positivos, la expresión log(x3y2 )es siempre igual a

A) 6 log(xy)

B) 3

log(xy) 2

C) 3 log x 2 log y

D) 3 log x 2 log y

E) (3 log x)(2 log y)

19

2

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

I) Verificar en cada ecuación , si los valores que se proponen son solución o no de la ecuación

a) x2 7x 10 0 ;

b) 2x2 5x 2 0 ;

x 0, x 2, x 3, x 5

x 1, x 1/ 2, x 2, x 3

c) 2x 2 3x 5 0 ; x 1, x 1, x 2, x 2

d) En la ecuación x 2 5x c 0 , una solución es 3. ¿Cuánto vale c?

e) En la ecuación x 2 bx 15 0 , una solución es 5 ¿Cuánto vale b?

II) Resolver las siguientes ecuaciones despejando la incógnita y aplicando la raíz cuadrada

1) x2 – 16 = 0 5) (2x+3)2 = 12x + 11 2) x2 = 25 6) 2x2 = -18 3) x2 + 2x = 9 + 2x 7) x2 +7 = 3 – x2 4) x ( x –1) = 64 – x

8) 5

x2 3 1

3 2 III) Resolver las siguientes ecuaciones factorizando en el último paso

a) x2 – 2x = 0 b) x2 + 5x + 6 = 0 c) x2 – 6x = 0 d) x2 – 6x – 16 = 0 e) x2 + 5x = 2x f) x2 – 14x + 33 = 0 g) (x – 3)2 = 9 h) x2 + 4x – 45 = 0 i) 4x2 – 5x = 3x j) x2 + 15x + 56 = 0

k) 5x2 + 9x = 2x l)

m) 7x2 = 3x n)

o) x2 + 2x – 63 = 0 p)

IV) Resolver las siguientes ecuaciones por medio de completación de cuadrados

V) Resolver las siguientes ecuaciones usando la fórmula

20

d) 2x2 + 8x – 16 = 0

e) x 2 2

x 1

=0 3 9

h) x

18

5 0 3 x

i) x2 + 4ax – 12a2 = 0 j) x2 – 5ax + 6a2 = 0

2 3 3 x 2

x

1

2x g)

a) x 2 8x 15 0

b) x 2 7x 3 0 c) 11x 21 2x 2

d) 4x 12x 2 12 e)

3x 1x 2 3x 6 f)

x 22 3

a) x2 – 2x – 15 =0 b) x(x+3) = 5x +3 c) x2 + 8x – 5 = 0

3 5 y

3 5

VI) Determinar la naturaleza de las raíces de las siguientes ecuaciones mediante el análisis del discriminante

a) x2 – 17x + 60 = 0 b) x2 + 2x – 1 = 0 c) 3x2 – 6x +3 = 0 d) 2x2 – 9x + 27 = 0 e) x2 + 6x + 9 = 0 f) 3x2 + 7x – 11 = 0 g) x2 – 12x + 36 = 0 h) 4x2 – 9x + 6 = 0 i) 2x2 – 11x – 12 = 0 j) 7x2 + 12x + 5 = 0

VII) Resolver los siguientes ejercicios y problemas aplicando las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado

1) Obtener la ecuación de segundo grado con coeficientes enteros cuyas raíces o

soluciones sean:

2) En la ecuación x2 + 5x + 8 = 0 las raíces son x1 y x2; calcular el valor de las siguientes

expresiones

3) Determine la suma y el producto de las raíces de la ecuación: a. x2 + 7x – 8 = 0 b. 5x2 – 5x + 7 =0 c. (x – 3) (2x + 5) = 0

d. x2 2

x 1

3 9

21

2 2 h)

a) 2 y -3 b) 4 y 5 c) -3 y – 5

d) 1

y 2 2

e) 2

y 9 3

1 2 2 1 f) x2 x x2 x

1 2 e) x2 x2

x2 x2 1 2

x1 x2

d)

1

1

x1 x2

c)

a) x1 + x2 b) x1x2

f) 7 y 7

g) 1 3 y 1 3

4) Cuál es el valor de k para que la ecuación 3x2 – kx + 3 = 0 tenga soluciones reales e iguales.

5) Determine la suma y el producto de las raíces de la ecuación: 2ax2 – bx + a2b2 = 0

6) ¿Cuál debe ser el valor de k en la ecuación x2 + 3kx + 12 = 0 para que la suma de sus

raíces sea 8? 7) ¿Qué condición debe cumplir t en la ecuación tx2 + 2x + 1 = 0 para que sus raíces

sean números complejos conjugados?

8) Determinar el valor de k, de modo que la ecuación 3x2 + 4x = k – 5 tenga: a. Dos soluciones reales y distintas. b. Dos soluciones reales e iguales. c. Dos soluciones que no sean números reales

9) Una solución de la ecuación kx2 3x k 0 es (-2). Determinar la otra.

10) Determinar el valor que debe tener k en la ecuación x2 2kx 3k 2 0 para que: a. Las dos soluciones de esta ecuación sean reales e iguales. b. Una solución de esta ecuación sea el doble de la otra.

VIII) Resolver las siguientes ecuaciones bicuadradas

1) x4 – 5x2 + 4 = 0 6) x4 – 14x2 + 48 = 0 2) x4 – 13x2 + 36 = 0 7) x4 – 17x2 + 16 = 0

3) 4)

x4 – 2x2 – 3 = 0 x4 + 4x2 – 45 = 0

8) 9x4 – 10x2 + 1 = 0

5) x4 – 10x2 + 9 = 0

X) Resolver los siguientes ejercicios y problemas usando la sección áurea

1) Calcular la sección áurea de los siguientes trazos con 3 cifras decimales

a) 10 cm b)12 cm c)

2) Demostrar que 1

1

1 cm d)17cm

3) Un sitio rectangular tiene sus lados en la razón áurea; si el más grade de ellos mide 20m Calcular el área del sitio.

4) Construir un pentágono regular en base a la sección áurea

22

5

GUÍA FUNCIONES REPASO:

I) Determinar en cuales de las siguientes situaciones está involucrada una función

1) Artículos de un supermercado con su precio 2) Una persona con su padre 3) Un padre con su hijo mayor 4) La relación mi hermano es 5) Un ser humano con su hijo 6) Los minutos que se usa el teléfono al mes con el valor de la cuenta 7) Los alumnos de un curso y su nota en la prueba de funciones

II) Determinar en cuales de los siguientes diagramas se representa una función

23

II) Sean f, g, h funciones de IR ––> IR definidas por

f(x) = 3x – 5 g(x) =

4 3x

7

h(x) = x

2 – 5x = + 2

A)Calcular:

1) f(2) = 3) h(-2) = 5) h(-3) + 2f (3) =

2) g(5) = 4) g(-3) + - g(2) = 6) g(5) - 2f(-1)=

B) Encontrar:

a) h(g(3)) =

b) f(g(11)) =

c) (g o f ) (9)=

d) (f o h )(4)=

e) Dom f, g, h

f) Rec f

g) f(g(-1))

h) g(f(-1))

III) Dadas las funciones:

I) f (x) 2x 3 II) g(x) 4 III) h(x) 2 x 3 IV) r(x) x

1

V) p(x) x

a) Identificar cada una de las funciones b) Grafique cada una de las funciones c) Encontrar el dominio y el recorrido de cada una de las funciones

2

24

y

x

y

x

UNIDAD: FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

I) Dadas las funciones de segundo grado f(x) = -2x2 ; g(x) = x2 – 5x + 6 y h(x) = 3x2 – 5

1) Encontrar:

a) f(-3) e) g(-2) i) g(4) m) h(4) b) f(3) f) g(2) j) g(0) n) h(-4) c) f(-1) d) f(-7)

g) g(3) h) g(1)

k) h(0) l) h(-2)

o) h(1)

II) Completar las siguientes tablas de valores y a partir de ellas construir los gráficos de las funciones f, g y h

x

f(x)

x g(x)

III) Dados los siguientes gráficos, determina a concavidad y tipos de soluciones, según la forma del gráfico:

1. 2.

3. 4.

y y

x

x

x h(x)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

IV) Encontrar el eje de simetría, el vértice, el valor máximo o mínimo, los puntos de intersección de la curva con los ejes, dominio y recorrido y graficar cada una de las siguientes funciones.

1) y = 2x2 + 4 6) y = 2x2 -16x + 32 12) y = 3x2 + 18x + 15) y = 5x2 + 30x + 2) y = -x2 + 6 7) y = -3x2 – 6x – 3 31 49 3) y = x2 – 6x + 8 8) y = x2 – 4x + 1 13) y = -2x2 + 4x – 3 16) y = -3x2 – 30x – 4) y = x2 + 6x + 9 9) y = x2 + 2x + 3 14) y = 4x2 + 16x + 9 69 5) y = -x + 4x – 4 10) y = -x2 – 4x + 1

V) Determine la función correspondiente de acuerdo con los siguientes gráficos :

VI) Resolver los siguientes problemas

1) Calculen el o los valores de k para los cuales las siguientes funciones tenga dos intersecciones con el eje x:

a) f(x)= x 2 +2kx+k

b) f(x) = x 2 +(k-1) x- k

2) Se lanza un proyectil hacia arriba formando un cierto ángulo con respecto a la horizontal, con una velocidad inicial de 40 m/s, desde 20 m de altura. La posición del proyectil cuando han transcurrido t segundos desde el lanzamiento esta dada por la función f(t) = -5t2 + 40t + 20 a) Calcular la altura máxima que alcanza b) Determinar el tiempo que demora en alcanzar la máxima altura.

3) En Física se demuestra que la distancia d recorrida por un cuerpo en su caída en el

vacío está dada por la fórmula: d = v0 1

t + 2 g t2 donde v0 es la velocidad inicial del

cuerpo, t es el tiempo de descenso y g es la aceleración constante debida a la gravedad. Calcula el tiempo que necesita un cuerpo para descender 100 metros en el vacío si su velocidad inicial es 18 m/s y g es 9,8m/s2.

4) Un gallinero es atacado por una epidemia. A partir del instante en que se detectó el mal y se le empezó a atacar la mortalidad diaria se dio de acuerdo a la siguiente ley f(t) = -t2 + 30t + 99 donde t son días y f(t) muertes diarias. a) ¿Cuántos animales murieron el día que se detectó el mal?. b) ¿En qué día se produjo la mortalidad máxima? ¿Cuánto fue?. c) ¿Cuánto tiempo duró la plaga desde el día que se detectó? d) Si el modelo matemático rige al tiempo pasado ¿qué día se supone que empezó la

epidemia?.

5) Supongamos que el número (aproximado) de bacteria en un cultivo en un tiempo t (medido en horas) está dado por:

N(t) = 5000 + 3000 t – 2000t2. a) ¿Cuál es el número inicial de bacteria? b) ¿Cuánta bacteria hay luego de una hora? c) ¿En qué tiempo desaparece la población? d) ¿En qué tiempo la población de bacteria es máxima?

6) Se lanza una pelota hacia arriba con un determinado ángulo respecto de la horizontal, tal que su

trayectoria parabólica está dada por la función cuadrática: y = - 5t2 + 24 t + 3

2

¿Cuál es la altura máxima (K) que alcanza y en qué instante (T1)? ¿A partir de qué instante la pelota comienza a caer? ¿Cuánto demora en caer desde que alcanza su máxima altura? ¿Cuál será la altura que alcanza la pelota a los 3 segundos de haberla lanzado?

7) Don Arturo compró 30 metros de malla para cercar una plantación de lechugas; el desea plantar las lechugas en el fondo del patio donde se intersectan perpendicularmente dos muros rectos ¿Cómo debe hacer el cercado Don Arturo para que la superficie sea la mayor posible?

8) Si se tiene una cantidad inicial de $ 1 000 000 a un interés compuesto del 2% anual, el capital al primer año es $1 020 000, y al segundo año es $1 040 400.

¿Cuál será su capital final al cabo de tres años?: $1 061 208

9) Si se tiene un capital inicial “a” y un interés compuesto del i% prestado en n periodo (meses, años).

VII) Encontrar las inversas de las siguientes funciones

1) f(x) = 2x – 5 2) f(x) = 3x + 2 3) f(x) = x2 – 1 4) f(x) = 2x2 + 3 5) f(x) = x2 – 6x + 8

VIII) Determinar si las inversas de las siguientes funciones son funciones

1) ƒ(x) = 3 x + 2

2

2) f(x) = √2x − 5f

3) f(x) = x2 + 3

4) f(x) = 2x – 7

IX) si f(x) = 2x + 1, g(x) = 2x2 – 3 calcullar

1) f-1 (9) 2) g-1 (15) 3) g-1 (47) + 2f-1 (11)

Guía Interés compuesto

1.- El profesor Vergara decide viajar a España y desea depositar un capital de 16000 euros a un interés compuesto del 3,25% durante 4 años. ¿ Cuál es el capital final si el periodo de capitalización es anual .?

2.- Se deposita un capital de 16000 € a un interés compuesto del 3,25% durante 4 años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es mensual.

3.- Se deposita un capital de 8200 euros a un interés compuesto del 5,5% durante 6 años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es anual.

4.- Se deposita un capital de 29000 euros a un interés compuesto del 1,75% durante 7 años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es trimestral.

5.-¿Qué tasa de interés compuesto anual es equivalente al 12.5 con capitalización semestral?

6.- Encontrar la tasa de interés compuesto anual equivalente al 14% de interés simple a 8 años?

7.-¿Qué tasa de interés compuesto con capitalización cuatrimestral es equivalente al 18% de interés simple en 7 años?.

8.- ¿Qué tasa con capitalización cuatrimestral es equivalente al 13% de interés compuesto anual?

9.- Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

10.- Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1 583 945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.

11.- Pregunta PSU (2012):

Una persona dispone de un capital inicial C0 y desea efectuar un depósito a plazo. En un banco le ofrecen duplicar su capital al cabo de 3 años con una tasa de interés compuesta anual, pero no le indican el valor de ella ¿Cuál sería el valor de dicha tasa de interés?

1. f (x) x2 3x 4 , entonces f (1) es igual a:

a) -9 b) -8 c) -7 d) -6 e) 0

2. La gráfica siguiente corresponde a:

a) y = –(x + 4)2

b) y = –x2 – 3

c) y = –(x – 4)2 – 7

d) y = –(x – 4)2 + 7

e) y = –(x + 7)2

3. Dada la función h(x) x 2 2x 6 determina el vértice de dicha función:

a) (0,6)

b) (1,5)

c) (1,3)

d) (-1,5)

e) (-1,3)

4.Dada la función

a) b) (0, 2/3) c) ( 0,4/3) d) (0,-4/3) e) (0, 1/3)

f (x) x 2 2

4x 3

¿En qué punto intersecta al eje Y?

5. Si f (x) x 2 4x 4 calcular el vértice de la función.

a) (-2,0)

b) (2,0)

c) (0,2)

d) (0,4)

e) (4,0)

6. En la figura 4 se muestran dos parábolas de tal manera que una es la simétrica de la otra

con respecto al eje x. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) p + c = 0 II) m > 0 y a < 0 III) g(-1) = -f(-1)

a) Solo III

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) Solo I, II y III

7. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s), con respecto a la función

f (x) ax 2 bx c ?

I) Si a < 0, entonces la gráfica de la función es una parábola que se abre hacia abajo.

II) La gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, c).

III) Si a = 0, b ≠ 0 y c ≠ 0, entonces f es una función lineal.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) Solo I, II y III

8. ¿Cuál o cuáles de las funciones presentan concavidad hacia abajo?

I) h(x) 4 x 2 II) g(x) x 2 3x 1 III) f (x) x2 3x 4

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) Solo II y III

9. Dada la función f(x) = x2 + 2, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I. Dom f = IR II. Rec f = [2, +∞[ III. f (-2) = 6

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) Solo I, II y III

GEOMETRÍA ( VOLUMEN DE CONOS, CILINDROS Y ESFERAS)

1) A las siguientes figuras 2D les aplican rotaciones enteras alrededor de un eje que es parte de la figura misma.

a) Conjeturar acerca del tipo de figura 3D que se genera por la rotación.

b) Elaborar un dibujo 3D completando la figura 2D.

2) El dibujo muestra un cuadrado de lado r. Dentro del cuadrado están inscritos la cuarta parte de un círculo de radio r y un triángulo rectángulo isósceles con base r y altura r. El cuadrado gira junto con el círculo y el triángulo inscrito alrededor del eje indicado.

a) Desarrollar la expresión algebraica del volumen del cilindro que se genera por la rotación del cuadrado.

b) Desarrollar la expresión algebraica del volumen del cono que se genera por la rotación del triángulo inscrito.

c) Estimar el volumen de la semiesfera que se genera por la rotación de la cuarta parte del círculo inscrito. Explican y comunican las respuestas.

d) Expresar la fórmula del volumen de una esfera basándose en el resultado de la actividadc).

3) Resuelven problemas geométricos que involucran el volumen de esferas

(π ≈ 3,14).

a) Una pelota de plumavit tiene un diámetro de 5 cm. Calcular su volumen.

b) Otra pelota de plumavit tiene un diámetro de 10 cm. Determinar su volumen sin aplicar la fórmula y sobre la base del resultado anterior.

c) Una esfera tiene radio a. Determinar el radio de una esfera que tiene el doble del volumen y lo expresan con la variable a.

Ejercicios de cilindro cono y esfera

1. Hallar el área total de un cilindro circular cuyo radio de la base mide 2 cm. y la altura 5 cm.

2. Hallar el área total de un cilindro cuya base tiene 14 cm. de diámetro y su generatriz mide 10 cm.

3. La circunferencia de la base de un cilindro mide 25,12 m. y su altura 12 m. Hallar el área total del cilindro.

4. Hallar el volumen de un cilindro de 8 cm. de altura y cuyo radio de la base mide 1,5 cm.

5. Hallar el área total y volumen de un cilindro circular de 10 cm. de altura y 6 cm. de diámetro de la base.

6. El área lateral de un cilindro circular es 96□ y su altura mide 12 cm. Hallar el volumen del cilindro.

7. El área total de un cilindro de revolución es 150□ y el radio de la base mide 5 cm. Hallar su volumen.

8. El volumen de un cilindro de revolución es 2000□. Hallar el área total de este cilindro, sabiendo que tiene 20 cm. de altura.

9. Si S es el área lateral de un cilindro cuyo radio de la base es R, probar que su SR

volumen es igual a 2

10. Hallar el área lateral de un cono circular de 3 cm. de radio de la base y 9 cm. de generatriz.

11. Hallar el área total de un cono circular de 5 m. de radio de la base y 12 m. de altura. 12. La circunferencia de la base de un cono circular recto mide 12□ y su altura 10,5 m.

Hallar su área total. 13. La altura de un cono mide 20 cm. y la razón del radio de la base a la medida de la

generatriz es 3:5. Hallar el área total del cono. 14. Hallar el área y el volumen de un cono circular de 9 cm. de altura y cuyo radio de la

base mide 3 cm. 15. Hallar el volumen de un cono circular cuyo radio de la base mide 2 cm. y la altura 5

cm. 16. Un cono circular tiene 5 cm. de radio de la base y la generatriz mide 12 cm. Hallar su

volumen. 17. El diámetro de la base de un cono circular mide 8 cm. y la altura del cono 16 cm.

Hallar el área total y el volumen. 18. Hallar el volumen de un cono circular cuya generatriz mide 15 cm. y el radio de la base

es igual a 3/5 de la generatriz. 19. Hallar el volumen del cono engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo

isósceles cuyo perímetro es de 2 cm. 20. Sobre la base superior de un cilindro de 4 cm. de radio de la base y 5 cm. de altura, se

construye un cono circular de altura triple que el cilindro. Hallar el volumen del cuerpo formado.

21. El volumen de un cono circular de 10 m. de altura es 30□. Hallar el radio de su base. 22. El área total de un cono circular es 384□ y el radio de la base 12. Hallar su volumen. 23. Una pirámide hexagonal regular de 2 cm. de lado de la base y 8 cm. de altura está

inscrita en un cono circular. Hallar la diferencia entre los volúmenes de ambos cuerpos.

24. Hallar el área total del tronco de cono de revolución obtenido cortando a un cono de 15 cm. de altura y 6 cm. de radio de la base, por un plano distante 5 cm. del vértice.

25. Un trapecio rectángulo cuyas bases miden 6 y 9 cm., respectivamente, gira alrededor de un eje que contiene a su altura. Hallar el área total del tronco de cono engendrado, sabiendo que la altura del trapecio mide 4 cm.

26. Hallar el área lateral y el área total de un tronco de cono de 12 m. de altura, cuyos radios de las bases miden 11 y 6 m., respectivamente.

27. Hallar el área de una esfera de radio igual a 2 m. 28. Hallar el radio de una esfera cuya superficie mide 314 cm2. 29. Hallar el área de una superficie esférica que pasa por los vértices de un cubo cuya

área total mide 216 cm2. 30. Demostrar que la superficie esférica es equivalente a la superficie lateral de un cilindro

cuya altura y diámetro de la base sean iguales al diámetro de la esfera. 31. Hallar el área de una superficie esférica cuya circunferencia máxima tiene 14□ m. 32. El área de una superficie esférica es 256□. Hallar el área del círculo máximo de esta

esfera. 33. Hallar el área de una esfera sabiendo que un círculo máximo de la misma tiene 9□

cm2 de área. 34. ¿Cuál es el radio de una esfera cuya superficie es igual a la de un cilindro circular de

10□ cm2? 35. Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación de un triángulo equilátero de

6 cm. de lado que gira alrededor de un eje que pasa por un vértice, siendo el lado opuesto a este vértice, paralelo al eje.

36. En un vaso cilíndrico de 36 cm. de diámetro que contiene cierta cantidad de agua, se echan dos bolas de igual diámetro y el nivel del agua sube 6 cm. Hallar el radio de estas bolas.

37. Hallar el volumen de la esfera circunscrita a un cilindro circular cuyo radio de la base mide 12 cm. y su altura 32 cm.

38. Hallar el volumen del cubo inscrito en una esfera cuyo volumen es igual a 288□. 39. Demostrar que la razón de las áreas laterales de dos cilindros equivalentes es igual a

la razón inversa de los radios de sus bases. 40. La diferencia entre los volúmenes de dos esferas concéntricas es 84□ cm2. Si la

menor tiene 1 cm. de radio, hallar el radio de la mayor.

UNIDAD: VARIABLE ALEATORIA 1

I) Identifique, cuál de las siguientes variables aleatorias que se pueden clasificar como discretas.

a) El tiempo que tardó en llegar a la Universidad hoy.

b) El número de estudiantes en los cursos del colegio.

c) El número de preguntas que contestó correctamente en el primer examen de

matemáticas.

d) El número de personas en una muestra de 50 que prefieren una marca determinada

de cerveza.

e) La cantidad de gas que se usa al mes para calentar un hospital.

f) El número de diarios que vende “El Centro” cada mes.

g) La cantidad exacta de bebida en una lata

II) Determinar la variable aleatoria en cada uno de los siguientes casos, indicando los valores que toma esta.

1) Se escoge una carta de un naipe ingles y se observa su número (considere As=1; J=11; Q=12; K=13)

2) Se lanza una moneda al aire 4 veces y se cuenta el número de sellos

3) Se lanzan dos dados y se calcula el valor absoluto de la diferencia

4) Se lanzan dos dados y se calcula el valor del producto

II) Determinar la función de probabilidad y de distribución en cada caso del ejercicio anterior

III) Resuelva los siguientes problemas

1) Suponga que el número de autos que pasan por una estación de lavado un domingo asoleado entre las 4 y las 9 de la tarde tiene la siguiente distribución de probabilidades:

X 4 5 6 7 8 9

P(X=x) 1/12 1/12 1/4 1/4 1/6

a) Complete la distribución de probabilidades. b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 6 autos van a pasar entre las 4 y las 6 de la tarde?

2) Sea X el número de personas de hogares en el censo 2002

X 1 2 3 4 5 6 7

P(x) 0,11 0,18 0,22 0,23 0,14 0,07

a) ¿Cuál debe ser la probabilidad de que el tamaño familiar sea de 7 y más personas para que esta sea una distribución de probabilidades discreta legítima? b) Muestre gráficamente la distribución de probabilidades. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga un tamaño familiar de más de 5 personas? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un hogar elegido al azar tenga un tamaño familiar de nomás de 2 personas? e) ¿Cuál es el valor de P(2 < x ≤ 4)

3) Sea X la variable aleatoria número de aleteos por segundo de una especie de polillas grandes mientras vuelan. Si X tiene como función de probabilidad.

X 6 7 8 9 10

PX 0.05 0.1 0.6 k 0.1

a) Encontrar valor de K. b) Graficar la función c) Encontrar la función de distribución.

GUÍA: VARIABLE ALEATORIA 2

1. En un recipiente hay tres bolitas: una blanca, una roja y una negra. Se saca al azar una bolita sin reponerla, y se sigue sacando más bolitas hasta que aparezca la bolita roja. Se denomina con X la variable aleatoria que representa el número de extracciones necesarias.

Completar la siguiente tabla con los eventos y los valores respectivos que toma la variable aleatoria X:

Determinar los eventos de los siguientes valores que toma la variable aleatoria X:

X = 2

X ≤ 2

X > 1

Responder: ¿Qué eventos describe la variable aleatoria del valor X = 3?

2. De una encomienda de vasos se sacan, de a uno, tres vasos para registrar si están intactos o tienen algún daño. No importa en qué orden aparecen los vasos intactos o dañados, solo interesa el número de vasos dañados. Se anota con una “i” si un vaso está intacto, y con una “d”, si está dañado. Completan el árbol de posibilidades para sacar al azar tres vasos.

Se denomina con X la variable aleatoria que representa el número de vasos dañados. Mencionan todos los valores que puede tomar la variable X.

Determinar los eventos si la variable aleatoria X toma los siguientes valores:

X = 0

X ≤ 1

1 ≤ X ≤ 3

X = 2

X = 3

¿Qué valor toma la variable X para los eventos “did” y “iid”?

3. Alumnos de la selección de fútbol de un colegio realizan un “juego de penales” con las siguientes reglas: cada uno tiene un máximo de 4 tiros; si un jugador convierte un gol en el primer intento, termina y obtiene 3 puntos; si convierte en el segundo intento, termina y obtiene 2 puntos; si convierte en el tercer intento, termina y obtiene 1 punto; si convierte un gol en el cuarto intento, obtiene 0 puntos. Y si no convierte, obtiene una multa de (-1) punto.

a) Elaborar un árbol o una tabla de posibilidades.

b) Determinar todos los eventos posibles de este “juego de penales”.

c) Determinar todos los valores xi posibles que puede tomar la variable aleatoria X.

d) Calcular las probabilidades P(X = xi ) de los valores xi que puede tomar la variable

aleatoria X. Se estima la probabilidad de convertir un gol, en 80 %.

4. Pamela y Martin quieren jugar a lanzar monedas con las siguientes condiciones: se lanza la misma moneda cinco veces, y después de cada lanzamiento, se anota el evento “cara” o “sello”. Los jugadores se turnan después de cada lanzamiento. Gana quien obtiene por primera vez una racha de dos veces cara.

a) Elaborar un árbol o una tabla de posibilidades para cinco lanzamientos.

b) Marcar los posibles caminos ganadores y anotan los eventos respectivos.

c) Una variable aleatoria X representa el número de lanzamientos para ganar el

juego. Determinar todos los valores posibles que puede tomar la variable X.

d) Calcular las probabilidades P(X = xi ) de los valores xi que puede tomar la

variable aleatoria X.

5. Se lanza un chinche tres veces y después de cada lanzamiento se anota en qué parte ha

caído. En el dibujo se muestra el evento “punta p”; el otro evento se llama “cabeza c”.

Para el evento “cabeza” se obtiene un punto positivo y para el evento “punta” se obtiene

un punto negativo. Se suman los puntos obtenidos en tres lanzamientos.

Luego completan la siguiente tabla:

a) Una variable aleatoria X representa los puntos obtenidos en tres lanzamientos. b) Relacionar los valores xi con los eventos correspondientes.

6. La probabilidad del evento “cabeza” se estima en 40 %. Calcular todas las probabilidades

P(X = xi ). En otro juego de “contar al azar”, también se lanza cinco veces una moneda y se anota

cara y sello, respectivamente. Se cuentan los cambios de cara a sello y al revés. Se gana

con el mayor número de cambios.

Elaborar un árbol o una tabla de posibilidades para cinco lanzamientos.

Responder cuáles son los números posibles que resultarán del conteo

.

Una variable aleatoria X representa los números posibles. Calcular las probabilidades P(X

= xi ) de los valores xi que puede tomar la variable aleatoria X.

GUÍA: ELEMENTOS DE COMBINATORIA

Resolver los siguientes problemas:

1) De la ciudad A hasta la B hay 7 caminos y de la B a la C hay 3 caminos ¿Cuántos caminos distintos se pueden realizar para ir de A a C pasando por B?

2) Marta se inscribió en un concurso de cuentos y obtuvo el primer lugar. El premio

consistió en un viaje por una semana, usando el transporte de su preferencia y con un acompañante. Los lugares posibles eran Pucón, Tongoy y Mendoza; los medios de transporte Avión o bus y los acompañantes posibles eran su mama, su hermana o su mejor amiga ¿Cuántas opciones distintas tiene Marta para realizar su viaje?

3) Una cooperativa está en período de elecciones de la nueva mesa directiva. Hay 8

candidatos a presidente, 4 a vicepresidente, 6 a secretario y 3 a tesorero ¿De cuantas manera se puede formar la nueva directiva?

4) ¿De cuántas maneras se puede elegir una vocal y una consonante de la palabra

Quijote?

5) ¿Cuántos números de tres cifras distintas y menores que 500 pueden formarse con los dígitos 2,3,4,5 y 6?

6) Si consideramos que nuestro alfabeto tiene 26 letras ¿Cuántas patentes diferentes

se pueden formar con tres letras y tres dígitos?

7) ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 7 personas en una fila?

8) ¿Cuántas palabras, no necesariamente pronunciables pueden escribirse con las letras de la palabra PINCEL?

9) Siete caminos conducen a la cumbre de un cerro ¿De cuántas maneras puede un

turista subir y bajar el cerro si el ascenso y el descenso deben ser por caminos diferentes?

10) ¿De cuántas maneras distintas se pueden poner las cuerdas en un Violín?

11) Hay 5 libros de poesía,7 de cuentos y 11 novelas ¿De cuántas maneras se

pueden ordenar en un estante si deben quedar juntos los libros de cada tema?

12) ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden escribir usando los dígitos 1,2,3,4,5?

13) ¿Cuántas palabras de cuatro letras distintas pueden escribirse usando las letras

de la palabra CLAUDIO?

14) ¿De cuántas maneras distintas puede elegirse la directiva de un curso de 17 personas si ésta debe estar formada por un presidente un secretario y un tesorero?

15) ¿De cuantas maneras distintas puede sentarse un grupo de siete personas en un asiento donde sólo caben cuatro?

16) ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 9 canciones total de 23?

17) Un examinador de la PSU dispone de 6 bancos en una fila que deben ser usados

por 4 estudiantes ¿De cuantas maneras puede elegir los bancos que van a ser ocupados?

18) De un total de 15 niños y 6 niñas se desea escoger un grupo de 6 ¿De cuántas

maneras puede hacerse esta elección?

19) Resolver el ejercicio anterior si cada grupo debe constar de 3 niños y 3 niñas exactamente

20) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 hermanos en una fila si el menor debe

estar en el primer lugar?

21) En un curso hay 15 niños y 16 niñas y se desea seleccionar un grupo de 14 alumnos. De cuantas maneras puede hacerse la elección si: a) No hay restricción b) Debe haber 7 niños y 7 niñas

22) ¿De cuantas maneras pueden alinearse 11 cadetes de modo que de 8 cadetes de

la primera compañía eligen 5; de 6 de la segunda compañía eligen 4 y finalmente de la tercera compañía que tiene 4 se elige el resto?

25) ¿Cuántos números menores o iguales que 3000 y múltiplos de 5 se pueden formar

con los dígitos 0,1,2,3,4, 7 ,5?

26) En una sala hay 22 sillas ¿De cuántas maneras se pueden ubicar 15 alumnos?

27) Se forman señales colocando banderas de diferentes colores una sobre otra en un asta. Si se tienen 9 banderas diferentes, hallar el número de señales que pueden formarse: Con 3 de las banderas, Con 4 de las banderas . Con todas las banderas

28) Al tirar una moneda al aire, puede caer en cara o en sello. Encontrar el número de

maneras diferentes en que pueden caer las siguientes cantidades de monedas a) 2 monedas b) 3 monedas c) n monedas

29) ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una fila de 8

sillas?

30) Hallar el número de comités de 4 miembros que se pueden formar con un conjunto de 15 personas

GUÍA DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

I) Calcular la medida en cm. de los siguientes arcos (considerar = 3,14)

1) El arco mide 30º y el radio 8 cm. 2) El arco mide 135º y el radio 5 cm. 3) El arco mide 45º y el radio 6 cm. 4) El arco mide 240º y el radio 10 cm. 5) El arco mide 63º y el radio 2 cm.

II) Calcular la medida de los ángulos pedidos en cada una de las siguientes figuras, en cada una de ellas O es el centro de la circunferencia.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

40).- Encuentra el valor de x e y en las siguientes figuras:

h) Según lo que observamos en la figura, si PB es tangente, ¿cuánto mide el ángulo ?

i) j)

k)

III) Realiza las siguientes demostraciones

1).- En la figura

AD DC .¿Cómo puedes probar que BD es bisectriz?

2) .- En la figura ABCD es un cuadrado y triángulo APB es un triángulo rectángulo.

AP BP son tangentes. Comprueba que el

3) En la figura

PB PD . Verifica desarrollando la demostración que

AB CD

B

O

B) 57º

GUÍA ALTERNATIVAS: ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1) En la figura, la recta BD es tangente a la circunferencia de centro O en el punto B. De las siguientes afirmaciones

I) AO OC II) DBO = 90º

III) AOC = 90º

Son verdaderas

A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) I y III E) II y III

T 2) TC tangente; BOA = 30º; el TCB mide:

A) 60º B) 30º C) 90º C A D) 75º E) 15º

3) Si y = 114º, entonces el ángulo x mide:

A) 114º

C) 228º D) 66º E) 24º

x y

C B

O

A D

O

B

A

C

O

4) En la figura, C + D + E = 57º; D

AOB= A) 19º B) 57º C) 38º C

D) 90º E) 180º E

5) En la figura, la recta PB es tangente a la circunferencia en el punto B, y el ABP = 84º¿Cuánto mide el arco ACB?

A) 96º B) 84º C) 192º D) 276º E) 180º

C

6) Si ABC mide 32º, ¿cuánto mide el CAB?

A) 58º

B) 32º A B C) 64º D) 90º E) No se puede calcular

P

84º B

A

7) Si ABCD es un cuadrilátero inscrito en la circunferencia ¿Cuánto mide el ángulo δ si el ángulo γ mide 36º?

A) 18º B) 36º C) 54º D) 72º E) 144º

8) ABCD es un cuadrilátero inscrito en la circunferencia, ABC = 85º, FAD=100º. Entonces la medida del ADE es:

A) 25º B) 42,5º C) 95º D) 85º E) 77,5º

9) La figura muestra un trapecio de bases

AB y CD inscrito en una circunferencia.

Entonces z + y - x =

A) 80º B) 100º C) 180º D) 200º E) 260º

10) Si la medida del arco AB es 80º y la medida del arco CD es 120º, ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 20º B) 100º C) 40º B D) 160º E) 200º

E D

C

O

F A B

D x y

C

z 100º A B

A D

x

C

E

D

O 36º

A B

D

O

A B

C

y 70º

A

11) En la figura, α = 26º, entonces el arco EA mide:

A) 16º B) 31º C) 52º C

D) 62º E) 88º

12) En la figura, calcular la medida del arco BD, si la medida del arco DA es 240º y la medida del ángulo β es 35º

A) 155º B) 170º C) 102,5º C

D) 137,5º E) 120º

13) En la figura, AB y BC tangentes a la circunferencia, entonces “y” mide:

A) 110º B) 100º

x B

C) 70º D) 50º E) 140º

14) Si TA es tangente a la circunferencia

de centro O y la longitud de la cuerda AB es igual al radio, entonces el ángulo x mide:

A) 20º B) 30º C) 45º D) 60º E) 90º

O

A x B

T

A

O B

A

B

F

O x

D

C

D C

15) El arco AB es una semicircunferencia

de radio OB , en que CD // AB . Si ACD = 20º, entonces ABC mide:

A) 20º B) 50º

A O B

C) 60º D) 70º E) 90º

16) En la circunferencia de centro O, COB = 80º y DAF = 30º, entonces el x mide:

A) 10º B) 30º E

C) 40º D) 50º E) 60º

17) De acuerdo con los datos de la figura, α es: B

A) 85º B) 42,5º C) 170º D) 95º E) Falta información

18) Encontrar α si O es centro de la circunferencia yCAB = β C

A) β B) 2 β C) β - 90º

D)

2 E) 90º - β

C O

40º A

45º

19) AC y BE son diámetros de la circunferencia de centro O. Si AOB = mide:

A) 30º B) 45º C) 60º D) 120º E) 130º

2 BOC, entonces el BDC

D

E C

O

A B

10

GUÍA DE ¨PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA

Determina el valor de x en cada uno de los casos:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

6

B

PA = PC =

D

A

4

P x + 2

O

2x

C

o) p)

q)

r).- En la figura, PA es tangente al círculo y AB es diámetro. Si PC = 7,2 cm. y BC = 13,8 cm. ¿cuánto mide el radio del círculo?

B

P

A

GUÍA ALTERNATIVAS: PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA

1) En la circunferencia de la figura el valor del trazo a es:

a) 11 cm b) 10 cm c) 9 cm d) 8 cm e) Otro valor

2) En la figura el valor de x es:

a) 3 cm b) 20/3 cm c) 9,6 cm d) 15 cm e) Otro valor

3) El valor del trazo y en la figura es:

a) 1,5 cm b) 5 cm c) 20/3 cm d) 15 cm e) Otro valor

4) El valor de u en la figura es:

a) 100 cm b) 50 cm c) 10 cm d) Otro valor e) No se puede determinar

5) En la figura AP= 16 cm AB = 22 cm, PD =8cm, entonces CD =? D

a) 88/3 cm b) 64/3 cm c) 12 cm d) 16,5 cm e) 20 cm

C

6 cm 12 cm

5 cm a

x 12 cm

8 cm 10 cm

15 cm

y 10 cm

5 cm

20 cm u

125

D C

A

B

6) Calcular el valor de x a partir de la información obtenida de la figura

a) 3 b) 6 c) 9 d) 15 e) Otro valor

7) En la figura PA = 8 cm., PB = 21 cm., PC = 6 cm., entonces el valor de CD es:

a) 16/7 cm. P b) 6 cm. c) 12 cm. d) 22 cm. e) 28 cm

8) En la circunferencia de la figura calcular al valor de x es:

a) -2,1 b) 2,1 c) 6 d) 12 e) 15

9) En la circunferencia de la figura, de diámetro 15 cm. el punto O es el centro de la circunferencia y PC =3 cm. , entonces el valor del trazo a es:

a) 3 cm b) 9 cm c) 18 cm d) 40,5 cm e) No se puede determinar

10) El valor de x en la circunferencia de la figura es:

a) cm.

b) 12,5 cm. c) 10 cm. d) 100 cm. e) No se puede determinar

x + 3 3x

x + 1 3x – 3

2x+1 2x

2x – 7 2x+3

C

a P

O

x

20 cm.

x

5 cm.

11) En la circunferencia de centro O de la figura, PA = P 36 cm. y la tangente mide 24 cm. Entonces el radio de la circunferencia mide:

a) 8 cm. b) 10 cm. O

c) 16 cm. A d) 20 cm e) Otro valor

12) En una circunferencia la potencia de un punto P ubicado en su interior es 60. Una cuerda de extremos A y B contiene al punto P entonces se afirma que:

I) Si P es el punto medio de la cuerda entonces PA = 30 cm. II) Si PA = 6 cm y la cuerda contiene al centro de la circunferencia, entonces el radio de

ésta es 8 cm. III) Si PA = 12 cm. entonces PB = 5 cm

De las afirmaciones son verdaderas:

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) I, II y III

13) En una circunferencia la potencia de un punto P exterior a ella es 144. PT es una tangente a ella y A y B son los puntos donde una secante que parte del punto P corta a la circunferencia, con respecto a la situación se afirma que:

I) La medida de la tangente PT es 72 cm. II) Si PA = 8 cm entonces AB = 10 cm III) Si PB = 24 cm. Entonces PA = 6 cm

De las afirmaciones son verdaderas:

a) sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III

14) En una circunferencia se tiene una cuerda AB que contiene en su interior a un punto P de modo que PA = 12 cm. y PB = 3 cm. con respecto a otra cuerda CD que también contiene al punto P se afirma

I) Si P es el punto medio de dicha cuerda entonces CD = 12 cm. II) Si CP = 4 cm. entonces CD = 9 cm. III) Si DP = 8 cm entonces PC = 12,5 cm

De las afirmaciones son verdaderas

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) I, II y III