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XIX Olimpiada de Matemática de Países del Cono Sur Pucón, Lican-‐Ray. CHILE
PRIMER DÍA, 20 DE MAYO DE 2008
(Versión en Español)
Duración de la Prueba: 4 horas. Problema 1: Se define I n( ) como el resultado de invertir los dígitos del número n . Por ejemplo I 123( ) = 321 ,
I 2008( ) = 8002 . Encontrar todos los enteros n , 1≤ n ≤ 10000 , para los cuales I n( ) = n2
⎡⎢⎢
⎤⎥⎥.
Nota: x⎡⎢ ⎤⎥ denota el menor entero mayor o igual que x . Por ejemplo 2,1⎡⎢ ⎤⎥ = 3 , 3,9⎡⎢ ⎤⎥ = 4 , 7⎡⎢ ⎤⎥ = 7 . Problema 2: Sea P un punto en el interior del triángulo ABC . Sean X , Y , Z puntos en los lados BC , AC y AB respectivamente, tales que
!PXC = !PYA = !PZB . Sean U , V y W puntos en los lados BC , AC y AB respectivamente, (o en sus extensiones, de ser necesario) con X entre B y U , Y entre C y V , y Z entre A y W , tales que PU = 2PX , PV = 2PY y PW = 2PZ . Si el área del triángulo XYZ es 1, determinar el área del triángulo UVW . Problema 3: Dos amigos A y B deben resolver el siguiente acertijo. Cada uno de ellos recibe un número del conjunto 1,2,…,250{ } pero no ve el número que recibió el otro. El objetivo es que cada amigo descubra el número del otro. El procedimiento que deben seguir es anunciar, por turnos, números enteros positivos no necesariamente distintos: primero A dice un número, luego B dice un número, a continuación nuevamente A , etc., de modo que la suma de todos los números anunciados sea 20. Demostrar que existe una estrategia por la cual mediante un acuerdo previo A y B pueden lograr el objetivo, sin importar qué número reciba cada uno al comienzo del acertijo.
XIX Olimpiada de Matemática de Países del Cono Sur Pucón, Lican-‐Ray. CHILE
SEGUNDO DÍA, 21 DE MAYO DE 2008
(Versión en Español)
Duración de la Prueba: 4 horas. Problema 4: ¿Cuál es el mayor número de casillas que puede colorearse en un tablero de 7 × 7 de manera que todo subtablero de 2 × 2 posea a lo más 2 casillas coloreadas? Problema 5: Sea ABC un triángulo isósceles de base AB . Una semicircunferencia Γ con centro en el segmento AB es tangente a los lados iguales AC y BC . Se considera una recta tangente a Γ que corta los segmentos AC y BC en D y E , respectivamente. Las rectas perpendiculares a AC y BC trazadas respectivamente por D y E se cortan en P . Sea Q el pie de la perpendicular a la recta AB que pasa por P . Demostrar que
PQCP
= 12ABAC
.
Problema 6: Decimos que un número es capicúa si al invertir el orden de sus cifras se obtiene el mismo número. Hallar todos los números que tienen al menos un múltiplo que es capicúa.
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